初中数学竞赛指导：巧解一道三角形的竞赛题

初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。

，过C作CE与a）垂直且交8。

延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。

,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。

,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。

= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。

，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。

£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。

= 60。

,/4(78 = 40。

八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值. 对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAEC BA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21AC EDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ）A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A .1个 B .3个 C .5个 D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EG FDCBA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.x图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m.图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECOABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13 三角形的基本知识例1130°或50°例2 B 例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6 解法1一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2 整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1. 2（b ＋c ）2. －5＜a ＜－23. 钝角4. 180°5. 90°6. C7. D8. B9. B 10. B 11. 提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF . 12. （1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33° （2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，① 同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D . ∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°. 13. （1）（2）略 提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ， 故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1. 82. 193. 175 提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204. 2a5. A6. D7. D8. B9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ， 则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =. 10. 711. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y xx ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22. 所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°). 12. （1）S △BCD ＝2 （2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°. ∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。

直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】 延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ， 在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】 设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。

几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO DB EC Q P NM · O Q PBDEC N M · A OD BFAECP P ADCB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。

求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。

EDCBA2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求证：MQ∥NP。

4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。

求证：KP⊥AB。

5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。

解直角三角形一、 竞赛知识要点利用直角三角形中的已知元素（至少一边）求得其余元素的过程叫做解直角三角形。

一般地，涉及到解直角三角形的问题有如下几类：1. 利用直角三角形的边角关系求解问题；2.构造直角三角形解题；3.解直角三角形与其他知识的综合；4.解直角三角形在实际中的应用。

二、 经典题型分析例1：已知电线杆AB 直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45°，60A ∠=°，CD=4m,BC=m,求电线杆的长。

【解题反思】例2：若直角三角形的两个∠A 和∠B 的正弦值是方程20x px q ++=的两个根。

（1） 那么实数p,q 应满足哪些条件？（2） 如果p ，q 的所有条件，那么方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形两个锐角的正弦？请说明理由。

【解题反思】例3：如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角为30°，在教室地面的影长NM=，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ）米。

【解题反思】B C D FE三、 课堂拓展巩固1、如图在四边形ABCD 中，AB=4∠B=135°，∠C=90°求∠D 的度数。

2、如图，护城河CC ˊ处直角转弯，宽度保持为4米，从A 处往B 处，经过两座桥DD ′, EE ′设护城河是东西—南北方向，A 、B 在东西方向上相距64米，在南北方向上相距84米。

求A 到B 的最短路程。

3、如图,在梯形ABCD 中，AD ∥BC(BC>AD),∠D=90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，若AE=10,则CE 的长为 。

四、竞赛实战演练 1、如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB,PD ⊥DB,如果PC=6，那么PD=（ ）2、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射后照射在B 点，若入射角为 α，AC ⊥CD,BD ⊥CD,垂足分别为C 、D ，且AC=3,BD=6,CD=11,则tan α的值为（ ）A DBC AD D ′ C C ′E E ′ B A BC D E A B O C P D A BD CE α。

第十七讲解直角三角形
础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．
m，BC＝(2
4 )m，则电线杆AB的长为．
2
6
弦，无斜用切，宁乘勿除．
使得求解的直角三角形最终可解．
CD的长．
°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米)
一点C，求BC即可．
每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等．若
．
5°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )
q 的值．
地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)
( )
13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31
AC ，CE=3
1BC ，则∠1和∠2的大小关系是( )
正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会级，则称为受台风影响．
得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．。

初中几何竞赛试题及答案1. 已知一个等腰三角形的顶角为120°，求底角的度数。

答案：等腰三角形的底角相等，设底角为x°，则顶角为120°。

根据三角形内角和为180°，有x + x + 120 = 180，解得x = 30°。

所以底角的度数为30°。

2. 一个圆的半径为5cm，求其周长。

答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为半径。

将半径r = 5cm代入公式，得 C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm。

所以圆的周长为31.4cm。

3. 一个矩形的长是宽的两倍，若宽为4cm，求矩形的面积。

答案：设矩形的宽为4cm，则长为2 × 4 = 8cm。

矩形的面积公式为A = 长× 宽，代入数值得A = 8 × 4 = 32cm²。

所以矩形的面积为32cm²。

4. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度c满足c² = a² + b²，其中a和b分别为两条直角边的长度。

将a = 3cm和b = 4cm代入公式，得c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以c = √25 = 5cm。

因此，斜边的长度为5cm。

5. 一个正五边形的内角和是多少度？答案：正五边形有5个内角，每个内角的度数可以通过公式(5-2) × 180° ÷ 5计算得出。

代入数值得(5-2) × 180° ÷ 5 = 3 × 180° ÷ 5 = 540° ÷ 5 = 108°。

所以每个内角的度数为108°，正五边形的内角和为5 × 108° = 540°。

专题36全国初中数学竞赛分类汇编卷〈七〉三角形〈提优〉I.如｜蜀，在.6.ABC中，LABC和ζACB的平分线相交子点。

，过0点作EF//BC交AB子点E，交AC 于点F，过点。

你OD_l_AC于D，下列四个结论．1①EF=BE+CF：②LBOC=90。

＋2LA；＠点O itl.6.ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n, 则S c,A EF=�mn，正确的结论有（）个AB cA.l个B.2个 c.3个。

.4个2.如图，四边形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且LMAN=45。

．设LAMD＝口，ζCNM ＝白，则。

与自之间的关系为（〉DcNA.2 a －白＝90。

B.a+fJ=90。

C.a =2日。

.a＝自＋30。

3.如图，0是正三角形ABC内一点，OA=3,08=4, OC=S，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。

得到线段BO’，下列结论：①.6.BO' A司以由.6.BOC绕点B逆时针旋转60。

得到；②点。

与O’的距离为4；③LAOB=l50。

④s P.!I地11;AOBO ＝削σ；⑤S叫＋S c,A O时1士；中正E角的结论是〈）A℃B.①③④C②＠④⑤ D.①＠⑤4.AD与BE是6ABC的角平分线，D,E分别在BC,AC上，若AD=AB,BE=BC，贝�L'.C=()Bc AA.69。

ωTRU900c.（τ3)° D.不能确定5.在四边形ABCD中，AD=DC=2，ζDAB＝ζDCB=90。

，BC,A D的延长线交于P，求AB•S i:.PAB的最小值pDBA6.着，1个等腰三角形的顶角a1、a2、…、an两两不等，它们的共同特点是：被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则a1+ a 2＋…＋an＝·fα－ 2b = m-7 7设。

、b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长，当。

、b、川满足方程t R Ja+b＝号＋2时，m的值是8.己知ID.ABC中，AB=AC,L'.BAC=90。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个图形不是三角形？A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 平行四边形2. 在一个三角形中，若三个角的度数分别为60°，70°，则这个三角形的形状是：A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形3. 若一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，那么第三边的长度范围是：A. 1cm < 第三边 < 7cmB. 2cm < 第三边 < 6cmC. 3cm < 第三边 < 7cmD. 4cm < 第三边 < 8cm4. 在直角三角形中，若斜边长为5cm，一条直角边长为3cm，则另一条直角边的长度为：A. 4cmB. 2cmC. 5cmD. 3cm5. 下列哪个结论是错误的？A. 三角形的内角和为180°B. 等边三角形的三个角都是60°C. 等腰三角形的底角相等D. 直角三角形的两个锐角互余6. 若一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么这个三角形的周长至少为：A. 18cmB. 19cmC. 20cmD. 21cm7. 在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=50°，则∠C的度数是：A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°8. 下列哪个三角形的面积最大？A. 底为6cm，高为4cm的三角形B. 底为8cm，高为3cm的三角形C. 底为10cm，高为2cm的三角形D. 底为12cm，高为1cm的三角形9. 若一个三角形的两边长分别为7cm和9cm，第三边长为x，则x的取值范围是：A. 2cm < x < 16cmB. 3cm < x < 16cmC. 4cm < x < 16cmD. 5cm < x < 16cm10. 在三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠C的度数是：A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°二、填空题（每题5分，共50分）1. 一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角的度数是______。

第23章第三讲 相似三角形的性质一、相似三角形的性质（略）二、典型例题1．如图，过正方形ABCD 的顶点C 作任意一条直线与AB 、AD 的延长线分别交于点E 、F ． 求证：AE+AF ≥4AB ．FE D CB A2．如图，等边△ABC 的边长为a ，D 是BC 边上的一点，且BD ∶DC=2∶3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处．（1）设折痕为MN ，求AM AN； （2）如果BD n DC m ，求AM AN ． NMDC B A3．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，P 是AC 的中点，连结BP 并延长交AC 于E ． 若AC ∶AB=k ．求AE ∶EC ．PED CB A4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次是12,,m m m ．证明：1254m m m +≤．5．如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，P 是CD 延长线上的一点，PM 交AC 于Q ．求证：∠QNM=∠MNP ．6．如图，P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE 、FG 、HI ，分别平行于AB 、BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425，求d ．H IP GF ED CB ANM Q PO DC B A ED C B A321三、练习题1．已知，如图，正方形DEMN 内接于ABC ，若A D EC E M S S ∆∆=，4DEMN S =正方形，3BDN S ∆=，求BC 的长．N M ED CB A2．已知，如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，DF ⊥AB 交AC 于F ，DE ⊥AC ，垂足为E ，若EF ∶CF=2∶1，DE=2，BC 的长．FED CB A3．如图，在△ABC 中，D 、E 是AC 、BC 的中点，BF=13AB ，BD 与FC 相交于G ，连接EG ．（1）求证：EG ∥AC ；（2）求BFG BEG S S ∆∆的比值．G F ED C B A4．如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ， 求证：QH ⊥DH ．5．已知，在△ABC 中，AB 、AC 上各有一点R 、Q ，直线RQ 与BC 延长线交于点P ，求证：1AQ CQ PC PB AR BR PQ RQ PQ PR QR PR⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅． RQP CB A6．已知平行四边形ABCD ，C 在边AD 、AB 上的射影分别是M 、N ，NM 延长后与BD 的延长线交于P ，求证：PC ⊥AC ．NM PDC B A。

九年级数学竞赛解直角三角形教案【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面cD和地面Bc上，如果cD与地面成45°，∠A＝60°，cD＝4，Bc＝，则电线杆AB的长为．思路点拨延长AD交Bc于E，作DF⊥Bc于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABcD中，AB=，Bc-1，cD=，∠B=135°，∠c＝90°，则∠D等于A．60°B．67．5°c．75°D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】如图，在△ABc中，∠=90°，∠BAc=30°，Bc=l，D为Bc边上一点，tan∠ADc是方程的一个较大的根?求cD的长．求出ABc△Rt的值，解ADc∠tan思路点拨解方程求出Ac值，为解Rt△ADc创造条件．【例4】如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABcD，AB=3米，Bc=0．5米，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?思路点拨作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的c处，则图中cD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；设点A的影子落在地面上某一点c，求Bc即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等．若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．学历训练．如图，在△ABc中，∠A=30°，tanB=，Bc=，则AB的长为．．如图，在矩形ABcD中．E、F、G、H分别为AB、Bc、cD、DA的中点，若tan∠AEH=，四边形EFGH的周长为40c，则矩形ABcD的面积为．．如图，旗杆AB，在c处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前北进10，达到D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为．．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛的距离为A．20海里B．20海里c．海里D．．已知a、b、c分别为△ABc中∠A、∠B、∠c的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且sinB?cosA—cosB?sinA＝0，则△ABc的形状为A．直角三角形B．等腰三角形c．等边三角形D．等腰直角三角形．如图，在四边形ABcD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，Bc=，AD=2，则四边形ABcD的面积是A．B．c．4D．6．如图，在△ABc中，∠AcB=90°，cD⊥AB于D，cD=1，已知AD、BD的长是关于的方程的两根，且tanA—tanB=2，求、的值．．如图，某电信部门计划修建一条连结B、c两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、c两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得c地的仰角为60°．已知c地比A地高200米，则电缆Bc至少长多少米?．如图，在等腰Rt△ABc中，∠c=90°，∠cBD＝30，则=． 0．如图，正方形ABcD中，N是Dc的中点．是AD上异于D的点，且∠NB=∠Bc，则tan∠AB＝．1．在△ABc中，AB=，Bc=2，△ABc的面积为l，若∠B是锐角，则∠c的度数是．．已知等腰三角形的三边长为a、b、c，且，若关于的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是A．15°B．30°c．45°D．60°3．如图，△ABc为等腰直角三角形，若AD=Ac，cE=Bc，则∠1和∠2的大小关系是．无法确定2D＝∠1．∠2c∠1<．∠2B∠1>．∠A．如图，在正方形ABcD中，F是cD上一点，AE⊥AF，点E在cB的延长线上，EF交AB于点G．求证：DF×Fc＝BG×Ec；当tan∠DAF=时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=时，△AEF的面积是多少?．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往c处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?该城市受到台风影响的最大风力为几级?．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABcD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度Dc都可直接测得，从A、D、c三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上．根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG．。

三角形在数学竞赛中的题型与解题策略三角形是数学竞赛中一个重要的题目类型，涉及了几何学和三角函数等相关概念。

对于这类题目，理解三角形的性质和掌握解题策略是至关重要的。

首先，我们来看一些与三角形相关的常见题型。

1. 三角形的性质：1.1 三边关系：根据三条边的长度关系，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

1.2 角关系：根据三个角的大小关系，可以判断三角形的形状，如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

1.3 高度、中线和角平分线：这些线段可以把三角形分成几个等腰三角形，从而利用等边、等腰三角形的性质推导出结果。

2. 三角形的面积：2.1 海伦公式：对于已知三边长度的三角形，可以使用海伦公式计算其面积。

2.2 边长和高度：已知底边和高度，可以计算三角形的面积。

2.3 角度和边长：已知两条边和夹角，可以计算三角形的面积。

3. 三角形的相似和全等：3.1 相似三角形：利用三角形的相似性质，可以求解未知边长和角度。

3.2 全等三角形：利用三角形的全等性质，可以求解未知边长和角度。

在解题过程中，可以采用以下策略：1. 分析和利用已知条件：仔细阅读题目，了解已知条件和寻找解题线索。

根据已知条件，可以找到合适的定理和公式来解题。

2. 利用几何图形：画出准确且清晰的几何图形，有助于观察和推导出一些结论。

使用图形的性质和构造，可以解决一些几何问题。

3. 运用数学公式和定理：熟练掌握三角函数、海伦公式、相似三角形和全等三角形等的公式和定理。

根据需要，将问题转化为可以利用这些公式和定理求解的形式。

4. 利用等边、等腰三角形等性质：假设三角形具有一些特殊性质，如等边三角形、等腰三角形等，并根据这些性质进行推导和计算。

这些特殊性质往往可以简化问题，加快解题进程。

5. 运用三角形的内角和外角性质：根据三角形内角和外角的关系，可以推导出一些重要的结论。

利用这些结论，可以解决一些需要求角度的问题。

6. 利用垂线、中线和角平分线：根据垂线、中线和角平分线的性质，可以将三角形分成几个相等的小三角形，从而简化问题的解决过程。

《三角形》竞赛专题训练1 与三角形有关的线段我们来看这样一个问题:如图1所示，AD 是BC 边上的高，若点P 在BC 边上移动，你能判断线段AP 与边AB 或边AC 的大小吗?从直观上我们可以看出，若点P 在线段BD 上移动，则AP AB <，若点P 在线段CD 上移动，则AP AC <.可是遇到这样判断三角形中边与边的大小的问题，我们会想到哪些定理呢?下面我们就通过例题来看看这些定理的运用.经典例题(1)在ABC ∆内，AB AC =，AD 是边BC 上的高，若点P 在ABD ∆内，证明: APB APC ∠>∠.( 2) ABC ∆是等边三角形，P 是ABC ∆内或边上任意一点(不包含端点)，证明:PA PB PC <+. 解题策略(1)如图2，设PC 与AD 交于点E ，连结BE ，延长AP 交BC 于点F ，因为AB AC =，所以ACB ABC ∠=∠，CAD BAD ∠=∠，CE BE =，ECB EBC ∠=∠(由等腰三角形性 质)，则ACE ACB ECB ABC CBP ABP ∠=∠-∠>∠-∠=∠，CAP BAP ∠>∠ 所以180APB ABP BAP ∠=︒-∠-∠ 180ACE CAP >︒-∠-∠ APC =∠(2)直接找PA 与PB PC +的关系并不容易，因为它们不在一个三角形中，这时我们要想办法找个中间量，使得PA 小于这条边，而PB PC +大于这条边，由两边之和大于第三边可知PB PC BC +>，我们很自然地想到把BC 作为中间量来证明.如图3，延长AP 交边BC 于点F ，则AP AF ≤，因为AFC B ∠>∠，B C ∠=∠，所以AC AF >，而PB PC BC +≥ (等号成立条件是点P 在边BC 上)，所以AP PB PC <+.画龙点睛判断三角形边与边的大小，我们常用的定理有:(1)在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边; (2)在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边. 举一反三1. 如图，ABC ∆中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 上的点，证明: DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是高，P 是线段AD 上任意一点，证明:PB PC BD CD -<-3. 如图，在ABC ∆中有D 、E 两点，求证:BD DE EC AB AC ++<+.融会贯通4. 已知点O 在ABC ∆内部，连结OA ，OB ，OC ，说明:1()2AB AC BC OA OB OC AB AC BC ++<++<++2 与三角形有关的角三角形内角和是180度，这条看似简单的定理在我们求三角形中的角的度数甚至是其他多边形的内角的度数时，却起着不可缺少的作用，这一讲我们就来看几道利用内角和定理的有趣的问题. 经典例题如图所示.平面上六个点A B C D E F 、、、、、构成一个封闭折线图形.求+A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠的度数.解题策略所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中，两两成对地分布在三个三角形中，且这三个三角形中第三个角的对顶角在同一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可求得结果.因为+180A B APB ∠∠+∠=︒ +180E F FRE ∠∠+∠=︒+180C D DQC ∠∠+∠=︒ 且 +180PRQ PQR QPR ∠∠+∠=︒ 即 +180FRE DQC APB ∠∠+∠=︒故 +360A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠=︒ 画龙点睛三角形内角和等于180度，在涉及求角度的时候，总要直接或间接地用到这条定理，当然，更多时候，它要结合其他知识，如外角和定理、对顶角相等，平行线性质定理才能使它的作用更大的发挥出来，希望同学们能熟练应用. 举一反三1. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.2. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.3. 如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 相交于G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，求A ∠的度数.融会贯通4. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于1A ，1A CD∠与1A BC ∠的平分线交于2A ，2A BC ∠与2A CD ∠的平分线交于3A ，3A BC ∠与3A CD ∠的平分线交于4A ，若450A ∠=︒，求A ∠的度数.3 多边形的边和角在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角和公式: (2)180n -⨯︒.多边形的外角和等于360︒.经典例题如图1，在六边形ABCDEF 中，=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠，1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm.求六边形ABCDEF 的周长.解题策略如图2，将BC 、DE 、AF 分别向两边延长交于L 、M 、N 三点.由六边形内角和公式可知=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠(2)1806n =-⨯︒÷120=︒所以=N L M NCD NDC FEM EFM LBA ∠∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠LAB =∠60=︒，所以LMN ∆、ALB ∆、CDN ∆、EFM ∆都是等边三角形；所以LN MN LM ==，AB LB AL ==，EM MF FE ==，CD DN CN ==因为1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm ，所以1AB LB AL ===cm ，3CD DN CN ===cm.因为LN CN BC LB =++，所以3317LN =++=(cm)，所以7LN MN LM === cm.因为EM MN DE DN =--，所以7232ME =--=(cm)，所以2EM MF FE ===cm.因为AF LM LA FM =--，所以7124AF =--=(cm)，因为六边形ABCDEF 的周长AB BC CD DE EF FA =+++++，所以六边形ABCDEF 的周长13322415=+++++=cm.画龙点睛因为每个内角都是120°，所以多边形的每个外角也都相等，且为60°，从而可以通过延长线段构造等边三角形，利用等边三角形的特殊性质解题. 举一反三1. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( ).(A)13 (B)14 (C)15 (D)162. 一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图b)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图a 中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的大小是 度.3. 如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖密铺，从里向外共铺了10层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为0.5m ，则第10层的外边界所围成的多边形的周长是多少?融会贯通4. 在一个多边形中，除了两个内角外，其余的内角和为2002°，求这个多边形的边数.4 图形面积——等积变换对于三角形的面积有以下两个重要性质:1. 两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积的比;2. 等底(高)的两个三角形面积之比等于它们的高(底)之比.作为以上两个性质的一个特例，等底等高的两个三角形面积相等. 经典例题如图，已知P 为ABC ∆内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边相交于点D 、E 、F .把ABC ∆分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已经给出.求ABC ∆的面积.解题策略设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，由题设404303PBD PCD S BD DC S ∆∆=== 所以8440435303ABD ACD S x S y ∆∆++==++ 化简得34112x y -=- ①又30402351BPC EPC S BP PE S ∆∆+===所以8421ABP APE S x S y ∆∆+== 化简得284x y =- ② 由①、②可得56,70x y == 所以315ABC S ∆=画龙点睛底边相等的两个三角形面积之比等于它们的高之比，高相等的两个三角形面积之比等于它们的底之比，灵活利用这个性质可以帮助我们解决许多问题. 举一反三1. 如图，平行四边形ABCD 中，//EF AC 分别交CD 、AD 于E 、F .连结AE 、BE 、BF 、CF ，问与BCE ∆面积相等的三角形还有几个?分别是哪几个？2. 在ABC ∆中，E 为AC 中点，D 在BC 上，2DC BD =，AD 交BE 于F ，求证::1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 在ABC ∆内任取一点P ，连结AP 、BP 、CP ，并分别延长交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1AF BD CEBF CD AE=.融会贯通4. 设P 是ABC ∆内任一点，AD 、BE 、CF 过点P 且分别交边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1PD PE PFAD BE CF++=.参考答案1 与三角形有关的线段1. 因为,,AE AF EF BD BF DF CE CD DE +>+>+>所以AE AF BD BF CD CE DE EF DF +++++>++ 所以DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在BD 上取一点E ，使得DE CD =，则BD CD BE -=，PD 既是PEC ∆的高，又是中线，则PEC ∆是等腰三角形，所以PE PC =，因为PB PE BE -<，故PB PC BD CD -<-.3. 延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N .在ABM ∆中AB AM BM +>，在CNM ∆中，NM MC NC +> 所以AB AM NM MC BM NC +++>+ 因为AM MC AC +=，BM BN NM =+ 所以AB AC NM BN NM NC ++>++ 所以AB AC BN NC +>+……①在BNC ∆中，BN NC BD DN NE EC +=+++……② 在DNE ∆中，DN NE DE +>……③由②、③得BN NC BD DE EC +>++……④由①、④得AB AC BN NC BD DE EC +>+>++4. 根据两边之和大于第三边，对于OAB ∆、OBC ∆、OAC ∆，有： OA OB AB +>，OA OC AC +>，OB OC BC +> 因此OA OB OA OC OB OC AB AC BC +++++>++所以1()2AB AC BC OA OB OC ++<++ 延长BO 交AC 于D ，则AB AC AB AD DC BD DC BO OD DC BO OC +=++>+=++>+， 即AB AC OB OC +>+同理可得：AB BC OA OC +>+，AC BC OA OB +>+三式相加得：2()2()AB AC BC OA OB OC ++>++ 即AB AC BC OA OB OC ++>++2 与三角形有关的角1. 将CD 延长，交AB 于点F ，AE 于点G ，则AFG B C ∠=∠+∠，AGF D E ∠=∠+∠ 因为180A AFG AGF ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒2. 如图，因为CIH D E ∠=∠+∠，CHI A B ∠=∠+∠，180CHI CIH C ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒3. 延长CD 交AB 于H ，212123CDB DHB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠，224CGB CFB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠因为12∠=∠，34∠=∠，且140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒ 所以1340∠+∠=︒，60A ∠=︒4. 因为ACD A ABC ∠=∠+∠（外角和定理）所以111222ACD ABC A ∠-∠=∠ 即112A A ∠=∠以此类推2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312A A ∠=∠所以41680A A ∠=∠=︒3 多边形的边和角1. B2. 60°3. 根据题意分析可得:从里向外的第1层是61612⨯+=边形;第2层是62618⨯+= 边形;此后，每层都比前一层多6条边.依此递推，第10层是610666⨯+=边形，因为边 长为0.5m ，所以第10层的外边界所围成的多边形的周长是660.533⨯=(m).4. 设这个多边形的边数为n ，两个内角的和为x ︒.则(2)1802002n x --=解得1802362x n =-因为0360x <<所以01802362360n <-< 解得118113619090n << 所以14n =或15，则多边形的边数是14或15.4 图形面积——等积变换1. BCE CEA S S ∆∆=，ACE AFC S S ∆∆=，AFC ABF S S ∆∆=，，，所以与BCE ∆面积相等的有3个三角形，分别是CEA ∆、AFC ∆、ABF ∆2. 设BDF S a ∆=.连结DE ，取DC 中点G ，连结EG ，由中位线性质可知//EG AD ，所以F 是BE 的中点，于是有BDF EDF S S a ∆∆==，又2GCE DEG BDE S S S a ∆∆∆===， 所以225FDE DEG GCE FDCE S S S S a a a a ∆∆∆=++=++=四边形.因此:1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 因为ACF APF BPF BCFS S AF BF S S ∆∆∆∆== 所以ACF APF ACP BCF BPF BCP S S S AF BF S S S ∆∆∆∆∆∆-==-同理可得APB APC S BD CD S ∆∆=，BCP APB S CE AE S ∆∆= 三式相乘可得1AF BD CE BF CD AE= 4. 设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为a t 、b t 、c t ，BC 、CA 、AB 边上的高分别为a h 、b h 、c h ，因为PDC a PBC ADC a ABCS t S PD AD S h S ∆∆∆∆=== 所以PBC ABCS PD AD S ∆∆= 同理PAC ABC S PE BE S ∆∆=，PAB ABC S PF CF S ∆∆= 三式相加即得1PD PE PF AD BE CF ++=。

初中数学竞赛辅导讲义---解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(24-)m，则电线杆AB62的长为．思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=24-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件．【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．学历训练1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=31，BC=10，则AB 的长为 ．2．如图，在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =34，四边形EFGH 的周长为40cm ，则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图，旗杆AB ，在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°，向旗杆前北进10m ，达到D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则旗杆的高为 ．4．上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CD=1，已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且tanA —tanB=2，求p 、q 的值．8．如图，某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CBD ＝30，则DC AD = ．10．如图，正方形ABCD 中，N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中，AB=26-，BC=2，△ABC 的面积为l ，若∠B 是锐角，则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1和∠2的大小关系是( )A ．∠1>∠2B ．∠1<∠2C ．∠1＝∠2D ．无法确定14．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时，△AEF 的面积为10，问当tan ∠DAF=32时，△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．参考答案。

一、三角法解几何题的基本定理：1．正弦定理：∆ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(其中，R为∆ABC的外接圆半径)．2．余弦定理：∆ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；…cos A＝b2＋c2－a22bc；…．二、常用的结论：3．张角定理：sin(α+β)t＝sinαb+sinβa．4．r＝4R sin A2sinB2sinC2．典型例题例1．已知一个直角三角形ABC，其斜边BC被分成n等分，n是大于1的奇数，α表示点A对包含斜边中点在内的那一等分线段的视角．a为斜边的长，h为斜边上的高，求证：tanα=4nha(n2－1)．例2．锐角ABC的∠A的平分线交BC于L，交外接圆于N，作LK ⊥AB，LM⊥AC，垂足分别为K，M．求证:四边形AKNM的面积=ΔABC 的面积．例3．设P为⊿ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC，又设D、E分别是⊿APB与⊿APC的内心．求证：AP、BD、CE交于一点．例4．在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，经AC、BD的交点O 任作两条直线分别交AD于E，交BC于F，交AB于G，交CD于H，GF、EH分别交BD于I、J．求证:IO=OJ．例5．设a、b、c为三角形的三边，a≤b≤c，R和r分别表示⊿ABC 的外接圆半径与内切圆半径．令f=a+b－2R－2r，试用∠C的大小来判定f的符号．例6．给定a，2<a<2，内接于单位圆P的凸四边形ABCD适合以tαβabAB CAKLMNt3t2t4t1JHEFGBCDAOαβabcIC‘B‘BCDAOA‘⑴ 圆心在这凸四边形内部；⑵ 最大边长为a ，最小边长为4－a 2 ，过点A 、B 、C 、D 依次作圆P 的四条切线l A 、l B 、l C 、l D ，已知l A 与l B ，l B 与l C ，l C 与l D ，l D 与l A 分别交于点A'，B'，C'，D'．求面积之比S 四边形A 'B 'C 'D 'S 四边形ABCD的最大值与最小值．例7.一条直线l 与具有圆心O 的圆ω不相交，E 是l 上的点，OE ⊥l ，M 是l 上不同于E 的点，从M 作w 的两条切线切ω于点A 和B ，C 是MA 的点，使得EC 垂直于MA ，D 是MB 上的点，使得ED 垂直于MB ，直线CD 交OE 于F ．求证点Ｆ的位置不依赖于点M 的位置．例8.凸四边形的四个角分别为 2α, 2β, 2γ, 2δ，四条边分别为l , m , n , k ．求证它的面积 S = (l + m + n + k ) 24(cot α + cot β + cot γ + cot δ) －(l + n －m －k ) 24(tan α + tan β + tan γ + tan δ)．例9.在△ABC 的三边中点D 、E 、F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF 、FD 、DE 交于I 、L 、M ．求证：I 、L 、M 三点共线．例10.已知平面上一个半径为R 的定圆⊙O ，A 、B 是⊙O 上两个定点，且A 、B 、O 不共线，C 为异于A 、B 的点，过点A 作⊙O 1与直线BC 切于点C ，过点B 作⊙O 2与直线AC 切于点C ，⊙O 1与⊙O 2相交于DC (异于C 点)．求证：(1) CD ≤ R ；(2) 当点C 在⊙O 上移动时，且与A 、B 不重合时，直线CD 过一定点．例11.已知P 是△ABC 内一点，过P 作BC 、CA 、AB 的垂线，其垂足分别为D 、E 、F ，又Q 是△ABC 内的一点，且使得∠ACP = ∠BCQ , ∠BAQ = ∠CAP ．证明∠DEF = 90︒的充要条件是Q 为△BDF 的垂心．例12.设点D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，并且△AEF 、△BFD 、△CDE 的内切圆都与△DEF 的内切圆外切．求证AD 、BE 、CF 三线共点．12AB CDE MF OPP lDL MNBαKβA δγrrr r ●●●●BDI E F●●●OACBDEF AC P QXYO 1●3●2M●●O O O ●●I HA J A21MBCO POO ●1．设M 是⊿ABC 的AB 边上的任一点，r 1、r 2、r 分别是ΔAMC 、ΔBMC 、ΔABC 的内切圆半径，ρ1、ρ2、ρ分别是这些三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径．求证：r 1ρ1·r 2ρ2＝rρ．2．设正方形ABCD 边长为1，试求其内接正三角形面积的最大值与最小值．3．在∠A 内有一定点P ，过点P 作直线交角的两边于B 、C ，问何时PB ·PC 取最小值． 4．在平面上有一个定点P ，考虑所有可能的正三角形ABC ，其中AP =3，BP =2，求CP 长度的最大值．5．设⊿ABC 的三个内角A 、B 、C 分别为α、β、γ，求证：在AB 上有一点D ，使CD 为AD 与BD 的几何中项的充要条件为sin αsin β≤sin 2γ2．6．在梯形ABCD 中(AB ∥CD )，两腰AD 、BC 上分别有点P 、Q 满足∠APB =∠CPD ，∠AQB =∠CQD ．求证：点P 与Q 到梯形对角线的交点O 的距离相等．7．在一个非钝角⊿ABC 中，AB >AC ，∠B =45︒，O 与I 分别是⊿ABC 的外心与内心，且2 OI =AB －AC ，求sin A ．8.ABCD 内接于圆，AB ∩CD = E ，AD ∩BC = F ，M 、N 为AC 、BD 中点，已知AC = a , BD = b ，求MNEF． 9.△ABC 内心为I ，A 对应的旁心为I a ，II a 分别交BC 、⊙ABC 于A '、M ，N 为 ⌒ABM 的中点，NI 、NI a 分别交⊙ABC 于S 、T ．求证S 、A '、T 三点共线．10.设△ABC 内切圆与BC 、CA 、AB 相切于D 、E 、F ，一圆与△ABC 内切圆切于D ，并与△ABC 外接圆切于K ，点M 、N 类似定义．求证DK 、EM 、FN 相交于△DEF 的欧拉线上．γ2γ1βαBCAD。

107第九章 三角形基本问题第一节 三角形内角和【知识点拨】三角形内角和定理：三角形三个内角和为1800。

推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

凸n 边形的内角和为（n －2）×1800，凸n 边形的外角和为3600。

【赛题精选】例1、在△ABC 中，∠B ＝320，∠C ＝250，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC 。

求：∠DAE 的度数。

例2、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数。

【说明】如图中，很容易推出∠1＋∠2＝∠3＋∠4的结论，这个结论经常会用到！例3、如图，∠DEA 的平分线与∠BCA 的平分线相交于点F 。

求证：∠F ＝21（∠B ＋∠D ）。

108例4、试证明“三角形中的最大角不小于600，最小角不大于600。

”例5、平面上有四个点A 、B 、C 、D ，其中任何三点都不共线。

求证：△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD 中至少一个内角不超过45°。

例6、P 为△ABC 内一点，求证∠BPC ＞∠BAC 。

例7、如图，B 、C 、D 三点在同一直线上，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点E 。

109求证：∠E ＝21∠A 。

例8、∠AEB 、∠AFD 的平分线相交于O 点。

求证∠EOF ＝21（∠DAB ＋∠BCD ）。

例9、如图E 是△ABC 中AC 边延长线上一点，∠BCE 的平分线交AB 延长线于D 。

若∠CAB ＝400，∠CBD ＝680。

求CDB 的度数。

例10、证明：凸n 边形中锐角的个数不超过3个。

110【针对训练】A 组1、如右图，在△ABC 中，∠A ＝700，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，求∠BOC 的度数。

2、试证明三角形中直角或钝角的个数不能多于一个。

3、在△ABC 中，∠A ≥1200，试证明∠B 、∠C 中至少有一个不超过300。

4、如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝420，∠B 、∠C 的三等分线分别交于D 、E ，求∠BDC 、∠BEC 的度数。

数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一．选择题1．如图，已知直线MN∥ AB，把△ ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心2．课本第 5 页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心” ．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心3．如图为4×4 的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ ACD的重心B．△ ABC的外心C．△ ACD的内心D．△ ABC的垂心4．如图，O是△ ABC的外心，OD⊥ BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C5．在△ ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠ AFC＝45°，∠ AGC＝60°，则∠ ACF的度数为（）7．如图，已知 H 是△ ABC 的垂心，△ ABC 的外接圆半径为 R ，△BHC 的外接圆半径为 r ，则 RA ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．75°6．如图，已知△ ABC 的三个顶点分别在反比例函数 y ＝ k > 0）的图象上，那么△ ABC 的C ． 外心D ．垂心B ． R >rC ．R <rD ．无法确定8．以 Rt △ ABC 的两条直角边 AB 、BC 为边， 在三角形 ABC 的外部作等边三角形 ABE 和等边三角形 BCF ， EA 和 FC 的延长线相交于点 M ，则点 B 定是三角形 EMF 的（ ））A ．R ＝rA．垂心B．重心C．内心D．外心9．如图，锐角△ ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H 是△ DEF的（）C．内心D．外心10．三个等圆O1，O2，O3有公共点H，点A、B、C 是其他交点，则H是三角形ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心．填空题11．在半径为 1 的⊙ O中内接有锐角△ ABC，H是△ ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝12．如图，ADCFBE是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB＝90°，现需要利用这块残料在△ABC的外部制作 3 个等边△ ADC、△ CBF、△ ABE的内切圆⊙ O1、⊙ O2、⊙ O3，若其中最大圆⊙ O3的半径为0.5 米，可使生产成本节约 3 元（节约成本与圆面积成正比），照此计13．如图，在△ ABC中M为垂心，O 为外心，∠ BAC＝60°，且△ ABC外接圆直径为10，则AM＝15．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△ OAB，△ OBC，△ OCD，△ 算，则10 块这样的残料可使生产成本节约元．14．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙ O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝ODA的重心分别为E，F，G，H，则S EFGH：S ABCD＝．16．如图，I 是Rt△AB（C∠ C＝90°）的内心，过I 作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已三．解答题18．如图所示，已知锐角△ ABC 的外接圆半径 R ＝1，∠ BAC ＝60°，△ ABC 的垂心和外心分别为 H 、O ，连接 OH 、 BC 交于点 P（ 1）求凹四边形 ABHC 的面积；I 关于边 BC ，CA ，AB 的对称点，19．如图， AD ，BE ，CF 是△ ABC 的高， K ，M ，N 分别为△ AEF ，△ BFD ，△ CDE 的垂心，求证：若点 B 在△ A 1B 1C 1 的外接圆上，则∠ ABC等于2）求 PO ?OH 的值．△DEF ≌△KMN ．20．如图，点H为△ ABC的垂心，以AB为直径的⊙ O1和△ BCH的外接圆⊙ O2相交于点D，延长AD交CH于点P，21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I 分别为△ ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙ O于E，AI 的延长线交⊙ O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．22．如图，H是锐角△ ABC的垂心，O为△ ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠ BAC的度数．23．如图，D，E，F 分别是△ ABC的边BC，CA，AB上的点，且∠ FDE＝∠ A，∠ DEF＝∠ B．又设△ AFE，△ BDF，△ CED均为锐角三角形，它们的垂心依次为H1，H2，H3，求证：1．∠ H2DH3＝∠ FH1E；2．△ H1H2H3≌△ DEF．24．如图，△ ABC为锐角三角形，CF⊥ AB于F，H为△ ABC的垂心．M为AH的中点，点G在线段CM上，且CG⊥ GB．1）求证：∠ MFG＝∠ GCF；2）求证：∠ MCA＝∠ HAG．25．如图，已知H 为锐角△ ABC的垂心，D 是使四边形AHCD为平行四边形的一点，过BC的中点M作AB的垂线，垂足为N，K为MN的中点，过点 A 作BD的平行线交MN于点G，若A，K，M，C四点共圆．求证：直线BK平分线段CG．参考答案一．选择题1．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于 F ∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD' ⊥BC于D' ，作OE' ⊥AC于E' ，作OF' ⊥AB于F' ，由裁剪知，OD＝OD' ，OE＝OE' ，OF＝OF' ，∴ OD' ＝OE' ＝OF' ，∴图 2 中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ ABC的内心，故选：C．2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．3．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2 ，∴ O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ ABC的外心，∵ OA＝OC≠ OD，∴点O即不是△ ACD的重心，也不是△ ACD的内心，故选：B．4．解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠ BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，∴∠ BAC＝∠ BOD；同理可得：∠ BOF＝∠ BCA，∠ AOE＝∠ ABC；设⊙ O的半径为R，则：OD＝R?cos ∠ BOD＝R?cos ∠A，OE＝R?cos ∠ AOE＝R?cos ∠B，OF＝R?cos ∠ BOF＝R?cos ∠C，故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠ B：cos ∠ C，∴ ＝2，∴ ＝2，作CE⊥ AG于点E，连接EF，∴△ CEG是直角三角形，∵∠ EGC＝60°，∴∠ ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠ GFE＝∠ FEG＝30°，而∠ ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠ EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠ AGC﹣∠ AFC＝15°，∴∠ FAD＝∠ EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△ AEC是等腰直角三角形，∴∠ ACE＝45°，∴∠ ACF＝∠ ACE+∠ ECF＝30° +45°＝75 故选：D．6．解：结论：△ ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵ A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．＝a ?∴（ k ﹣ ay ）（ c ﹣x ）＝（ k ﹣cy ）（ a ﹣x ），∴ ck ﹣kx ﹣ acy +axy ＝ ak ﹣kx ﹣ acy +cxy ，a ﹣c ） xy ＝（a ﹣c ）k ．显然， a ﹣c ≠ 0，∴ xy ＝k ，即： y ＝ ．∴点 H （x ， y ）在反比例函数∵△ABC 的外接圆半径为 R ， AB 的斜率＝BC 的斜率＝AH 的斜率＝， 容易得出：∵AH ⊥BC ，CH 的斜率＝CH ⊥AB ，延长 AD 交△ ABC 的外接圆于 G ，连接 BG ，CG ，∴△ ABC 的外接圆的半径等于△ BGC 的外接圆的半径，∴△ BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ ADC＝∠ BEC＝90°，∴∠ CAD+∠ ACB＝90°，∠ CBE+∠ACB＝90°，∴∠ CAD＝∠ CBE，∵∠ CBG＝∠ CAD，∴∠ CBE＝∠ CBG，同理：∠ BCF＝∠ BCG，在△ BCH和△ BCG中，，∴△ BCH≌△ BCG（ASA），∴△ BHC的外接圆的半径等于△ BGC的外接圆的半径，∵△ BHC的外接圆半径为r ，∴△ BGC的外接圆的半径为r ，∴ R＝r ，∵以Rt△ ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ ABE和等边△ BCF，∴ ∠CBE＝90°+60°＝150°，∠ FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△ CBE与△ FBE中，，∴△ CBE≌△ FBE（SAS）；∴ CE＝FE，∠ FEB＝∠ CEB，∴ BE⊥CF于G，∴ EG是△ MEF的边FM上的高，同理：FH是△ MEF的边EM上的高，∴点 B 是△ MEF的三边的高，即：点 B 是△ MEF的垂心．故选：A．9．解：∵ BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F 共圆（以BC为直径），∴∠ EBF＝∠ FCE，∵ HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F 共圆（以BH为直径），∴∠ HBF＝∠ FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠ HDE＝∠ HCE，∴∠ HDE＝∠ HDF，∴ DA平分∠ EDF即可．同理可证EB平分∠ DEF，FC平分∠ EFD，∴ H 是△ DEF的角平分线的交点，∴ H是△ DEF的内心．故选：C．10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F 点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3 有公共点H，∴∠ 1所对的弧BH与∠ 4所对的弧BH为等弧；∠ 2所对的弧CH与∠ 5所对的弧CH 为同弧；∠ 3所对的弧AH与∠6 所对的弧AH为同弧，∴∠ 1＝∠ 4 ，∠ 2＝∠ 5，∠ 3＝∠ 6 ，∵∠ 1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠ 6＝180°，∴2∠2+2∠ 3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠ 2+∠3+∠ 4＝90°，∠ 1+∠ 3+∠2＝90 °，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ ABC的垂心．11．解：设AL与⊙ O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙ O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙ O的直径，∴∠ CBG＝∠ CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵ H为△ ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠ BAC，∴∠ BAD＝∠ CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥ BC．∵ AE⊥BC，∴ OD∥AE，∴∠ ODA＝∠ EAD．∵OA＝OD，∴∠ ODA＝∠ OAD，∴∠ OAD＝∠ EAD．∵ AL垂直于OH，∴∠ ANO＝∠ ANH＝90°．在△ ANO和△ ANH中，，∴△ ANO≌△ ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt △GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴ BC＝＝．故答案为：．12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙ O2的面积＝⊙ O3的面积，∵⊙ O3可使生产成本节约3元，∴1 块这样的残料可使生产成本节约 6 元．6×10＝60 元．则10 块这样的残料可使生产成本节约故答案为：60．13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠ BAF＝90°，∴ AB＝10?sin F＝10?sin ∠ACB，又∵点M为△ ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ ADB＝∠ AEC＝90°，∴△ AEM∽△ ADB，在Rt△AEC中，∠ EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥ BC于N，∵BF是⊙ O的直径，∴∠ BCF＝∠ BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△ BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴ BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ sin F＝，即AM＝在Rt△ADC中，sin ∠ACD＝，即AD＝AC?sin ∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．∴ ON＝＝，∴ CF＝2ON＝ 2 ，∵ H是△ ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴ AH＝CF＝2∵ H是△ ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠ OAH＝∠ NOM，∵OH⊥AM，∴∠ AOH＝∠ ONM＝90°，∴△ AOH∽△ ONM，∴，∴，∴，∴，∴ OM＝．15．解：如图：∵E 、F 分别是△ OAB 与△ OBC 的重心，∴，∴，∴EF ∥AC ，同理： FG ∥ BD ，HG ∥AC ，HE ∥BD ，∴ ERU ，Q RUSF ，USG ，T THQU ，EFGH 是平行四边形，∵ ∵同理：16．解：如图，过 I 分别作三边的垂线，垂足为 D 、F 、G ，设 AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝ b，ID ＝IH ＝ IG ＝r，解得 a ＝由△ ABC ∽△ EIG ∽△ IFH ，解得r ＝ 又 ab ＝2S △ABC ＝r （ a +b +c ），∵ A 1、 B 1、 C 1分别是点 I 关于边 BC ，CA ， AB 的对称点，∴ID ＝A 1D ＝ IA 1，∠ BDI ＝ 90°，∵点 B 在△ A 1B 1C 1 的外接圆上，∴IB ＝IA 1，∴ ID ＝ IB ，∴∠ IBD ＝30°，∴∠ ABC ＝60°．故答案为： 60°．由勾股定理，得 c 2＝a 2+＝r ()2 ∴∠ DBI ＝ ∠ABC ，三．解答题（共8小题）18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙ O于点G，连接AG、CG、CO，延长长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥ BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵ H 为垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∴GA∥CH，GC∥AH，∴AGCH是平行四边形，∴AG＝GC，∵∠ BAC＝60°，OB＝OC，∴∠ OBC＝∠ OCB＝30°，∴ OM＝OB＝，BM＝，∴ BC＝，又∵ OM＝CG，∴AH＝2OM＝1，设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△ AHC＝×AH×BN+ ×AH×（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠ BAC＝60°，∴∠ ACF＝30°，∴∠ CHE＝60°，∴∠ BHC＝120°，CH交AB于F，延CN＝×AH× BC＝∴B、C、H、O四点共圆，∵∠ OBC＝∠ OCB＝30°，∴∠ CHP＝∠ OBC＝30°，∴∠ OHC＝∠ OCP＝150°，∴△ OHC∽△ OCP，∴OH?OP＝OC2＝1．19．证明：如图：∵OD⊥BC，FM⊥BC，∴OD∥FM，∵OF⊥AB，DM⊥AB，∴OF∥DM，∵DMFO是平行四边形，同理OFKE，ODNE均为平行四边形，∴MD∥KE，MD＝KE，∴MDEK也是平行四边形，∴DE＝MK，同理DF＝KN，EF＝MN∴△ DEF≌△ KMN（SSS）．20．证明：如图，延长AP交⊙ O2 于点Q，连接AH，BD，QB，QC，QH．因为AB为⊙ O1的直径，所以∠ ADB＝∠BDQ＝90°．（5 分）故BQ为⊙ O2 的直径．于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10 分）又因为点H为△ ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥ CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形．（15 分）所以点P为CH的中点．（20分）21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI ，BD，如图，∴ AG＝（AB+AC﹣BC），而BC＝（AB+AC），∴ AG＝BC，又∵ AD平分∠ BAC，AE平分∠ BAC的外角，∴∠ EAD＝90°，∴O点在DE上，即ED为⊙ O的直径，而BD弧＝DC弧，∴ ED 垂直平分BC，即BH＝∴AG＝BH，而∠ BAD＝∠ DAC＝∠ DBC，∴Rt△AGI≌Rt△BHD，∴AI＝BD；（2）∵∠ BID＝∠ BAI+∠ABI，而∠ BAI＝∠DBC，∠ ABI＝∠ CBI，∴∠ DBI ＝∠ BID ，∴ID ＝DB ， 而 AI ＝BD ，∴AI ＝ID ，∴OI 为三角形 AED 的中位线，则 F 为AC 的中点，连接 CH ，取 CH 中点 N ，连接 FN ，DN ，则 FN ∥AM ， AH ＝2FN ，DN ∥ BE ，∵AM ⊥BC ， OD ⊥BC ，∴OD ∥AM ，∴FN ∥OD ，∵BE ⊥AC ， OF ⊥AC ，∴BE ∥OF ，∵OD ⊥BC ，∴D 为 BC 中点，∵ N 为 CH 中点，∴DN ∥BE ，∴DN ∥OF ，∴四边形 ODNF 是平行四边形，∴OD ＝FN ，∴BE ⊥AC ，∴ OI ＝ AE ． BH 并延长交 AC 于 E ， 过 O 作 OF ⊥ AC 于 F ，∵AH＝2FN，∴AH＝2OD．（2）解：如图2，连接OB，OC，∴OA＝OB，∵OA＝AH，∴OB＝AH，由（1）知，AH＝2OD，∴ OB＝2OD，在Rt△ODB中，cos ∠ BOD＝∴∠ BOM＝60°，∵OD⊥BC，∴∠ BOC＝2∠BOD＝120°，∴∠ BAC＝∠BOC＝60°．23．证明：（1）∵ H2是△ BDF的垂心，∴ DH2⊥ BF，∴∠ H2DB＝90°﹣∠ B，同理：∠ H3DC＝90°﹣∠ C，＝＝∴∠ H2DH3＝180°﹣∠ H2DB﹣∠ H3DC＝∠ B+∠ C，∵H1是△ AEF的垂心，∴∠ H1EF＝90°﹣∠ AFE，∠ H1FE＝90°﹣∠ AEF，∴∠ EH1F＝180°﹣∠ H1EF﹣∠ H1FE＝180°﹣（90°﹣∠ AFE）﹣（90°﹣∠ AEF）＝180 °﹣∠ A＝∠ B+∠ C，∴∠ H2DH3＝∠ FH1E；（2）如图，由（1）知，∠ FH1E＝∠ B+∠C，∵∠ FDE＝∠ A，∠ A+∠ B+∠ C＝180°，∴∠ FH1E+∠EDF＝180°，∴H1在△ DEF的外接圆上，同理：H2，H3 也在△ DEF的外接圆上，∴D，H2，F，H1，E，H3六点共圆，由（1）知，∠ EH1F＝∠ H2DH3，∴EF＝H2H3，同理：DF＝H1H3，DE＝H1H2，∴△ DEF≌△ H1H2H3（SSS）．24．证明：（1）如图延长AH交BC于T．∵ H是△ ABC的垂心，∴∠ THC＝∠ HFA＝90°，∵∠ THC＝∠ AHF，∴∠ HCT＝∠ FAH，在Rt △AFH中，∵ AM＝MH，∴FM＝AM＝MH，∴∠ FAH＝∠ MFA，∴∠ MFA＝∠ HCT，∵BG ⊥CM ，∴∠ BFC ＝∠ BGC ＝90°，∴B 、C 、G 、F 四点共圆，∴∠ AFG ＝∠ BCG ，∴∠ AFM +∠ MFG ＝∠ HCT +∠MCF ，∴∠ MFG ＝∠ GCF ．（2）∵∠ FMG ＝∠ FMC ，∠ MFG ＝∠ MCF ，∴△ MFG ∽△ MCF ，∴ MF 2＝ MG ?MC ，∵MA ＝MF ，∴ MA 2＝ MG ?MC ，∴△ MAG ∽△ MCA ， ∴∠ MCA ＝∠ HAG ．25．证明：如图，设 BK 交CG 于E ，连接 AG ， AK ， ∵A ，K ，M ，C 四点共圆，∵∠ AMG ＝∠AMC ，∴∠ ACB＝∠ AKG（外角等于内对角），∵ H是△ ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∵四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥AD，AH∥CD，∴CD⊥BC，AD⊥AB，∴∠ BCD＝∠ BAD＝90°，∴∠ BAD+∠ BCD＝180°，∴点A，B，C，D四点共圆，∴∠ 5＝∠ ACB＝∠ AKG，∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠ 1＝∠ 2＝∠ 4，∵AG∥BD，∴∠ 3＝∠ 4＝∠ 2，在△ ANG和△ ANK中，，∴△ ANG≌△ ANK，∴GN＝KN＝MK，∴ MK＝KG，∵直线BKE截得△ GMC，由梅涅劳斯定理得：∵点M是CB中点，∴ CB＝2BM，∴GE＝EC，∴直线BK平分线段CG．。

初中几何竞赛题，一题多解
在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上取点D,使得
AD=BC.∠A=20°, ∠B=80°,求∠BDC的度数？
[思路导航]题目条件等腰三角形的顶角和底角都不是特殊角，但是它们的差却是60°，因此结合图形考虑等边三角形，以此为关键点进行解题。

•方法一：
内部构造法
如图，以BC为边在△BCD内作等边△BCE
并由△ABC是等腰，△BCE是等边想到，连接AE，出全等
在△ABE和△ACE中
AB＝AC ， AE＝AE ， BE＝CE
∴△ABE≌△ACE（SSS）
∴∠AEB＝∠AEC＝(360°－60°)/2=150°
∠ABE＝∠ACE＝80°－60°=20°
在△ADC和△BEA中
AD=BE ，∠DAC＝∠ABE ，AC＝AB
∴△ADC≌△BEA(SAS)
∴∠ADC=∠AEB＝150°
∴∠BDC=30°
•方法二：
外部构造法
以AC为边向外作等边△ACF，连接DF
∵∠BAC＝20°
∴∠DAF＝80°
在△ACB和△FAD中
BC＝AD，∠ACB＝∠DAF，AC＝AF
∴△ACB≌△FAD（SAS）
∴∠AFD＝20°，∠ADF＝∠80°AF＝DF＝AB
∠DFC＝60°-20°=40°
∴∠FDC＝（180°-40°）/2=70°∴∠ADC=80°+70°=150°
∴∠BDC=30°。