探究绝对值函数最值的求法

绝对值最值问题的方法
解绝对值最值问题的一种方法是通过例举法和数学推理。

首先，我们可以列举出给定函数或方程式的所有可能情况，找出绝对值最大或最小值所对应的取值。

例如，对于一个函数f(x) = |x - a| + b，我们可以尝试不同的取值并计算函数值来确定绝对值最值所对应的取值。

另一种方法是利用数学推理来求解绝对值最值问题。

对于绝对值函数，当内部表达式为正时，绝对值等于此表达式本身；当内部表达式为负时，绝对值等于此表达式的相反数。

因此，我们可以通过对内部表达式的符号进行分析，找出使得绝对值最大或最小的取值情况。

例如，对于绝对值函数f(x) = |3x - 7|，我们可以将内部表达式3x - 7分为两种情况，即3x - 7 > 0和3x - 7 < 0。

当3x - 7 > 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7本身；当3x - 7 < 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7的相反数。

通过对这两种情况进行进一步分析，我们可以确定绝对值最值所对应的取值。

绝对值最值问题方法的选择取决于具体情况和方程式的复杂性。

有时通过列举法和尝试不同的取值可以直接得出答案；有时需要通过数学推理和符号分析来确定取值。

对于更复杂的问题，可能需要借助计算机和数值方法来求解。

一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法该类型问题常高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,近年来,但往往因分段区间太多而难以,常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决. 有效解决.迅速解题则可以化繁为易,若利用以下命题,a≤…≤≤a≤a ︱x-a+︱x-a:设a︱+…+︱, y=︱x-a︱+x-a︱命题n31322n1:y达到最小值的条件求; 值达到最小[an=2k时,x∈, a],y(1)当k+1k.,y(2)当n=2k-1时,x=a值达到最小k. 的最小值x-19︱, 求yx-3︱x-2︱+︱︱+…+︱x-11、y=︱︱+.+︱2x-5︱的最小值︱︱+2x-3︱+︱2x-4︱︱2、求y=2x-1︱+︱2x-2x-6︱的最小值.︱logx-4+︱logx-2︱logx+1︱+logx-1︱+︱log︱+︱求3、y=︱22222222+2x-3︱的最小值x.+︱x︱+2x-2︱+︱4、求y=x︱+2x-15、y=︱x+1︱+︱2x-6︱+︱3x-6︱的最小值.6、y=︱x-6︱+︱12x-6︱的最小值.1 / 7111111|x?|x?|?y|?x?|?|. 、7的最小值5442331a|6|?|?x?6|x?a? 恒成立,求8、若关于不等式的取值范围2x,都有9、如果对于任意实数),那么m的最大值是( y=︱x-1|+︱x-2|+︱︱x-3|+.......+x-2008︱≥m成立2 B.1004A.1003×10041005 D.1004×1005 × C.1003的解集.x-4︱>4,求x︱︱+︱x-2︱+x-3︱+︱︱10、y=x-1,相邻街距都是1.两街道相交的点(2009上海)某地街道呈现东西和南北方向的网格状11、称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除报刊零售点外)为发行点,使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短,求该发行点的坐标.12、（2011陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）（A）(1)和（20）（B）(9)和（10）(C) （9）和（11）(D) （10）和（11）2 / 73 / 74 / 75 / 76 / 77 / 7。

绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。

绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。

首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。

绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。

我们将分别讨论这两种情况。

首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。

为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。

由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。

假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。

我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。

当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。

通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。

假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。

当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。

同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。

假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。

综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。

我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。

接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。

为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。

解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。

绝对值求最大值和最小值的例题
【原创版】
目录
1.绝对值的概念和性质
2.绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
3.例题解析
正文
一、绝对值的概念和性质
绝对值是一个数到 0 的距离，表示为|a|，它永远是非负的。

对于实数 a，其绝对值可以表示为：
当 a≥0 时，|a|=a；
当 a<0 时，|a|=-a。

二、绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
在数学问题中，求最大值和最小值是非常常见的。

利用绝对值的性质，可以简化这类问题的求解过程。

1.求最大值问题
假设有一个实数集合 A，求 A 中的最大值。

我们可以通过求 A 中每个元素的绝对值，然后比较这些绝对值的大小，找到最大值。

2.求最小值问题
同样，假设有一个实数集合 A，求 A 中的最小值。

我们可以通过求 A 中每个元素的绝对值，然后比较这些绝对值的大小，找到最小值。

三、例题解析
例题：求下列集合中的最大值和最小值。

集合 A={-3, 2, -5, 1, -1}
1.求最大值
首先，求集合 A 中每个元素的绝对值：|-3|=3, |2|=2, |-5|=5,
|1|=1, |-1|=1。

比较这些绝对值，可以发现 5 是最大值，对应的元素是 -5。

因此，集合 A 中的最大值是 -5。

2.求最小值
首先，求集合 A 中每个元素的绝对值：|-3|=3, |2|=2, |-5|=5,
|1|=1, |-1|=1。

比较这些绝对值，可以发现 1 是最小值，对应的元素是 1 和-1。

含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。

（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。

含有绝对值的二次函数最值求解问题作者：夏良娟来源：《新课程学习·中》2013年第05期2009年江苏省高考题最后一题考了含参带有绝对值的二次函数，本质是含有绝对值的二次函数最值求解问题，重点考查了分类讨论、数形结合的思想。

此类题目有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。

在教学过程中，我对这类题目进行了小结，总结了两种方法。

二次函数是最简单的非线性函数之一，它有着丰富的内容，对近代数学乃至现代数学影响深远，与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。

本文通过几个例子，归纳解决这类问题的一些常见题型与基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a3x2-2ax+a2，x≥a注意函数在x=a处相接，分段时两侧都取闭区间，以防止有一侧无最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比较。

当x≥a时，如图1所示。

若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a处取得，f（x）min=f （a）=2a2；若ax=处取得，f（x）min=f（）=a2；当x≤a时，如图2所示。

若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在x=-a处取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a这种方法是大部分学生所喜欢采用的方法，可是做到这里之后就结束了，不知道或不会综合，难以写出最终答案。

由于f（x）分段，故需比较各段上的最小值，可以通过画数轴的方法得出最后的结论。

当a当a≥0时，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.综上，f（x）min=a2，a-2a2，a≥0法二：讨论a的位置，画出完整的对接图形，由图直接得出最小值。

由于对称轴是，-a，它们与a的分界点为a=0。

若不能直接得到，则令=a，-a=a，找到分界点a=0。

一般有两个，此题较特殊，只有一个。

绝对值的最大值和最小值求法绝对值的最大值和最小值求法：对值大,距离就要远（最好是一个离原点近,一个离原点远）.|a-b|＞0 绝对值小,距离就近.|a-b|=0 可以把函数成多个函数后联立，以此去掉函数解析式里的绝对值符号，再将每一段函数的最大值和最小值求出，所有段函数里最大值最大的那段函数的最大值就是整个函数的最大值，最小值亦同。

奇偶性可以先从图象入手，如果图象关于y轴成轴对称就是偶函数，如果关于原点中心对称就是奇函数。

如果从图象上难以看出，可以通过奇偶函数的定义来解决，即f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数。

举例说明：（1） |x-1|，因为 |x-1|≥0 所以令 x-1=0 得 x=1时 |x-1|有最小值0，无最大值。

（2）|x²-2|，令x²-2=0 得 x=±√2 时取得最小值 0，无最大值。

（3）求|x+1|+|x-1|的最值，同时令 x+1=0，x-1=0 得x=-1 或+1 得 -1≤x≤1时取得最小值|-1+1|+|-1-1|=|1+1|+|1-1|=0+2=2+0=2，无最大值。

求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最值，同时令中间两个 x+2=0，x-1=0 得 -2≤x≤1时取得最小值|-2+3|+|-2+2|+|-2-1|+|-2-2|=|1+3|+|1+2|+|1-1|+|1-2|=1+0+3+4 =4+3+0+1=8，无最大值。

【偶数个绝对值令中间两个=0解】（4）求|x+3|+|x+2|+|x-1|的最值，令中间 x+2=0 得 x=-2时取得最小值 |-2+3|+|-2+2|+|-2-1|=1+0+3=4，无最大值。

求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|+|x-0.5|的最值，令中间 x-0.5=0 得 x=0.5时取得最小值|0.5+3|+|0.5+2|+|0.5-1|+|0.5-2|+|0.5-0.5|=3.5+2.5+0.5+1.5+0 =8，无最大值。

对一类含绝对值函数最值问题的探究摘要：研究形如的一类含绝对值函数性质，需要学生很强的直观想象与逻辑推理能力。

特别是此类函数的最值问题，对学生思维的缜密度和创新意识要求非常高。

本文拟对形如一类函数最值问题进行探究,帮助学生开拓解题思路,加深数学理解，形成理性思维。

关键词：最大值中的最小值纵向距离平口单峰正文：1.问题的提出形如一类含绝对值函数的最值问题，是高中阶段较为常见的一类问题，其数学特征明显，但综合性非常强。

解决绝对值相关问题主要有两个思路：一是代数化简，另一是几何直观。

本文试从这两个思路进行探究，最终形成解决这类问题的一般方法。

引例1：已知函数 ,若对于 ,使得求实数的取值范围。

2.对问题的理解按问题所给条件，只需满足，因为M要受到参变量的影响，不妨设，因为a,b的任意性，显然须满足的最小值都要大于或等于 .综上分析，问题的本质是求函数的最大值的最小值。

3.解法探究思路1：研究绝对值问题的基本思路就是分类讨论，本例中需要考虑抛物线的对称轴不同位置，对函数的最大值的影响。

解法1：①当，即，此时函数在上单调，则有 ,所以②当，此时函数在上满足：,则有 ,所以 .③当，此时函数在上满足：,则有 ,所以 .综上：当且仅当 ,即时，函数的最大值的最小值为，所以 .思路2：对于函数，我们可以理解为函数在上的函数值的偏差值的绝对值，也可以说是这两个函数图像在上的纵向距离（或铅垂距离）。

引例1所求问题本质是求这两个函数图像在时的纵向距离最大值的最小值。

为了帮助同学的理解，我们可以先思考一个折筷子的实验：一根固定长度的筷子，从其中何处折断，才能使较长一段的的长度最短？显然从筷子中间折断，能够使较长一段最短,且最短长度就是筷子的一半。

把这个实验迁移到本题，那么函数在上的图像应该如图所示：解法2：当直线如图所示时，抛物线上的点到直线的最大距离最小。

即。

4.发现与归纳对于解法1，很大程度上是要依赖于函数的特殊性，通过函数的单调性，对最大值进行分类整理，比较。