浅谈一类含两个绝对值的函数的最值求法

浅谈求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用．本文就函数值域求法归纳如下.一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1：求函数y= 的值域。

解：由算术平方根的性质知≥0，故≥3。

∴函数的值域为y≥3.小结：本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

二、反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

形如的函数的值域，均可使用反函数法。

此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。

例2：求函数的值域解法一：（反函数法）解法二：（分离常数法）由，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。

三、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例3、求函数的值域解：由四、换元法利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域，形如的函数均可使用换元法。

例4、求函数的值域解：（换元法）设，则五、判别式法把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，形如均可用判别式法.例5、求函数的值域解：（判别式法）原函数可化为（1）时不成立（2）时，综合（1）、（2）值域六、单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例6、求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

53怎样快速求含绝对值的二次函数最值我们介绍如下的含绝对值的二次函数，即形如①c bx d c b a y i i n i ++++⋅+⋅=∑=ωμμ||21 或 ②c bx ax L c b x a y i l ni +++⋅+⋅+=∑=21|.|)((其中c b a n i d c b a i i i i ,,,,,2,1,,,, =均为常数，且①中的②,i i b a 中的i i c a 不全为零，),,2,1n i = 的极值的一种快速求法，其方法与步骤为：(1)找出函数的零点，将函数写成分段函数；(2)找出分段函数中每个抛物线顶点的横坐标在相应分段区间上的点；(3)列表，表中第一横行x 列函数的零点值及抛物线顶点横坐标在相应分段区间上的值将(一∞，+∞)分成若干区间；表中第二横行Y 列出第一横行中相应点的Y 值，再根据相邻两点处Y 值的大小，画出抛物线段上升(记作7↗)或下降(记作↘)的方向；(4)表中相邻两箭头相反处，即是函数的极值点及极值．例1求函数|6|22---+=x x x y 的极值．解 (1)令,062=--x x 解得函数的零点一2，3，将所给函数写成分段函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤≤---<++-=3,8232,42,82222x x x x x x x x y (2) )2,(1,122--∞∉=-- ]3,2[0,020-∈=- ),3(1,12+∞∉=- (4)由表明显看出：当x=一2时，函数y 取极大值0；当x=0时，函数y 取极小值一4；当x=3时，函数y 取极大值5．例2 求函数1|1||4|2++--=x x y 的极值．解 令04,012=-=+x x 得函数的零点为一2，一l ，2，所给函数写成分段函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+---<≤-++--<-+=2,421,42,62,22222x x x x x x I x x x x x x y 而)2,(21--∞∉- ].1,2[2121--∉=-- ]2,1[2121-∈-=--- ),2(2121+∞∉=-- 列表[注：a ，b 表示(a ，b)区间]：由上表明显看出：当x=一2时，函数Y 取极小值0；当21-=x 时，函数y 取极大值;417 当x=2时，函数Y 取极小值一2．。

函数最值的解法小结摘要：最值是中学数学中的一个重要知识点，但教材中没有系统地介绍极值的求法。

本文从11个方面探讨了求初等函数最值的一些常用有效的方法。

关键词：函数，最值，初等函数，常用解法前言中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何，在生产实践中也有广泛的应用。

中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。

因此，最值问题历来是各类考试的热点。

但教材只是零散地介绍几种求最值的方法，本文作者旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法。

1．配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解。

例1-1．求函数y =分析：欲求min y ，只需使被开方数2615x x ++的值最小，222615(69)6(3)6x x x x x ++=+++=++而2(3)6x ++是一个非负数。

取最小值的充要条件是2(3)0x +=，故当x=-3时，min y =例1-2．求函数2cos 2cos 3y x x =-+的最大值和最小值分析：不难看出函数y 的解析式是以cos x 为主元的二次三项式，考虑将其配方，则22cos 2cos 113(cos 1)2y x x x =-+-+=-+min max (cos 1)2(cos 1)6y y x y y x =====-=2．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例2-1.已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为 。

【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得⎩⎨⎧ 1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2 1－x x ＋3 .所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2 a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．3. 换元法此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值，用函数极值法处理这一类最值时，须利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再来求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定。

追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究蒋志飞【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】2页(P88-89)【作者】蒋志飞【作者单位】江苏省丹阳市吕叔湘中学【正文语种】中文最近，在高三的一轮复习课堂上接连出现含绝对值的函数最值问题，笔者在教学中发现很有规律可循，现整理成文，与同行探讨．求函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值．（2011年高校自主招生联盟之一“北约”试题）众所周知，函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a＜b）的最小值为ba，此时x∈［a，b］．这不仅可以利用函数图像求得，也可以用绝对值不等式的性质很快得出结果．这类问题可以推广为n元的情况，同样可以结合这类函数的图像特征，求出相应的最小值，并且发现有规律可循．但是，“北约”将这道题继续推广：当绝对值内x的系数不全为1时，函数的最小值问题．那么这类问题该如何求出，是否具有一般性的规律呢？下面就借助首先给出函数的最小值的求法．先给出引理：函数f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bn|（b1＜b2＜…＜bn，n∈N+）一定有最小值．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=bk时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［bk，bk+1］时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．引理证明：（1）当n=2k-1（k∈N+）时，f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bk|+…+|x-b2k-1|（b1＜b2＜…＜bk＜…＜b2k-1）．由绝对值不等式的性质得|x-b1|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b1，当且仅当x∈［b1，b2k-1］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-2|≥b2k-2-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-2］时，等号成立；……|x-bk-1|+|x-bk+1|≥bk+1-bk-1，当且仅当x∈［bk-1，bk+1］时，等号成立；|x-bk|≥0,当且仅当x=bk时等号．又bk∈［bk-1，bk+1］⊆［bk-2，bk+2］…⊆…⊆［b1，b2k-1］，所以当且仅当x=bk时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-1-b1+b2k-2-b2+…+bk+1-bk-1=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|．（2）当n=2k（k∈N+）时，同理可得|x-b1|+|x-b2k|≥b2k-b1，当且仅当x∈［b1，b2k］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-1］时，等号成立；……|x-bk|+|x-bk+1|≥bk+1-bk，当且仅当x∈［bk，bk+1］时，等号成立．又［bk，bk+1］⊆［bk-1，bk+2］⊆…⊆［b1，b2k］，所以当且仅当x∈［bk，bk+1］时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-b1+b2k-1-b2+…+bk+1-bk=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．从以上证明的过程可知，如果函数的常数bi（i=1，2，···，n）有相等量，只需对bi从小到大排序，同样可以按照上述方法求出其最小值及相应的x值．进而得到推论：对于函数（x1≤x2≤…≤xn，M，n∈N+）的形式．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=xk时，f（x）取最小值；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［xk，xk+1］时，f（x）取最小值．例1求函数y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相应x的值．解故当x∈例2若不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：不等式可化为|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+ |x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立．又函数y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|最小值为f（1）=3，于是只需3＞2m，得故实数m的取值范围为用此推论，易得“北约”考题解答：f（x）min通过对函数i∈N+）的最小值的探究，使我们掌握了一种简捷的求解方法，它回避了描点画图和烦琐的运算，为研究相关的绝对值不等式问题提供了有力的工具，在实际中也具有一定的应用价值．1．注重发散思维，拓展解题方法高中数学是一门重逻辑、重思维的学科，除了涉及到众多理论内容之外，针对不同类型的数学题目也有诸多求解的方法，所以为了更好地解决有关的高中数学问题，需要在明确解题思路的基础上，合理选择一些适宜的解题方法来达到快速求解数学问题的目的，这就要求高中数学教师在平时的解题教学中要注重拓展学生的发散性思维，比如通过“一题多解”或者“多题一解”的变式解题训练可以更好地锻炼学生的解题思维，从而可以为提升学生的高中数学求解能力奠定扎实基础．而高中数学求解中常用的解题法有构建函数法、数形结合法、反证法以及类比法等多种方法．但是无论采用何种解题法，都需要结合题干信息及已求解出的条件来合理选用求解的方法，从而最终达到求解的目的．2．把握解题的适度性，提升解题能力教学中注重把握解题教学训练的适度性，避免陷入题海求解训练，更重要的是要把握解题训练的精炼特性，以便学生解题训练的效果最大化．比如，针对不同类型的高中数学知识，教师可以专门为学生制定一些专项解题训练题目来进行求解训练；引导学生在平时的解题过程中要注重及时反思解题过程中的差误，归纳和总结解题的一些小技巧、小窍门等解题经验，从而逐步借助高效的解题训练和解题知识的积累来逐步提升学生的数学解题能力．总之，教无定法，贵在得法，高中数学解题教学也不例外．传统解题训练过于重视“就题论题”和“题海训练”，却忽视了学生在解题训练中的自主能动性和思维的灵活性，影响了学生的解题效果．若能注意解题中的一题多解、多题一解等解题思想，注意解题的效率，就能提高学生的解题能力，教师的教学效益．。

福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。

以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。

解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。

本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。

关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。

例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。

2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。

关于函数值域与最值问题的求法摘要：关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。

在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。

因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。

本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。

关键词：函数的值域，函数的最值，方法。

函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。

但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。

关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来，常用的方法有：⑴配方法；⑵反函数法；⑶判别式法；⑷换元法（含式代换、三角代换等）；⑸单调性法；⑹不等式法；⑺数形结合法等。

下面就这些方法逐一说明它们的运用。

⒈配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。

此方法一般可解决形如y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。

例1、求函数y = x2 - 6x + 2的值域。

解法一：∵y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7又∵( x - 3)2≥0∴( x - 3)2－7≥－7∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。

解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。

∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里运用了二次函数的图象和性质求值域。

一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。

例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。

浅谈最值问题的解决方法作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第06期[摘要] 最值問题是对以求取目标函数最值为目的的一类数学问题的总称，题目形式灵活多变，且涉及的知识种类很多，能综合考查学生对于函数知识的掌握程度，也能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力，一直以来都是高考以及各级模拟考试的热点题型. 由于最值问题的灵活性与综合性，很多学生对于最值问题颇有种无从下手的感觉.文章以高考和模拟考试中比较有代表性的最值问题为例，探索其本质和较为一般的解决方法.[关键词] 最值问题;压轴题;不等式基本性质;分离变量;结构特点最值问题是对以求取目标函数最值为目的的一类数学问题的总称，题目形式灵活多变，且涉及的知识种类很多，可以建立在三角函数、二次函数、对数函数、数列、向量，乃至解析几何等各种知识背景上，能综合考查学生对于函数知识的掌握程度，也能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力，一直以来都是高考以及各级模拟考试的热点题型，也常常出现在压轴题中. 而由于最值问题的灵活性与综合性，很多学生对于最值问题颇有种无从下手的感觉，常常苦恼于找不到问题的切入点和转化思路. 本文将以高考和模拟考试中比较有代表性的最值问题为例，探索其本质和较为一般的解决方法，各位读者可以适当参考以开展教学.立足不等式基本性质求解最值最值问题常常与不等式紧密结合，因此巧用不等式本身固有的基本性质可以帮助我们转化问题，基本不等式、不等式的传递性等都是解题的利器，下面笔者给出一道例题以具体说明该方法.巧妙转化函数结构中蕴藏的玄机题中给出的条件或者目标函数有时具有独特的结构，这些结构信息可以成为我们转化问题的隐含条件，从中我们可以挖掘出几何意义，也可以借此构造新的研究函数.问题点评：本题的难点在于参数过多，处理起来复杂度较高，因此解决问题的关键在于根据结构特点减少变量个数，其中本题的关键在于转化4a2-2ab+4b2-c=0这一条件. 笔者在这里给出了三种方法：注意到题目条件的形式是二次等式，第一种方法利用了二次方程有解的条件;第二种方法立足柯西不等式的取等号条件;题设条件还可以转化出平方式相加的形式，因此第三种方法从三角换元的角度减少了变量. 题设条件和目标函数本身具有的结构特征很多时候能起到一定的提示作用，巧妙利用转化结构特点，综合运用消元减元技巧，往往是解决此类问题的关键所在.分离多元变量简化最值问题教学例题4：已知同一平面中的三个不同的单位向量a，b，c满足等式关系a+b+c=0，则对于0≤x≤≤y≤1，试求问题点评：本题中存在两个没有明显等量关系的变量x，y，在转化条件时我们可以采用分离变量的方法，先处理x再处理y.。

浅谈中学数学中函数的最值[内容摘要]：中学数学求函数的最值问题是中学数学重要内容之一，涉及的范围广分布在各个知识层面在中考和高考中也是重要考点,且经常把最值问题转化为求值域[关键词]：数形结合的水平最值问题建模水平各个知识层面，在中考和高考中也是重要考点，且经常把最值问题转化为求值域。

在实际生活中，最值问题往往与生活中的经济问题联系起来，能够达到节省材料，节约成本，提升利润等。

一、定义（1）函数的最小值：设函数y=f(x)定义域为I，如果存有实数M满足：①对于任意的x∈I，都f(x)≥M；②存有x0∈I，使得，f(x)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值。

（2）函数的最大值：设函数y=f(x)定义域为I，如果存有实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存有x0∈I，使得，f(x)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。

二、对最大（小）值的理解：(1)最值首先是一个函数值，即存有一个自变量x0，使f(x)等于最值，如f(x)=－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)=0 ；(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)或（f(x)≥f(x）)，“任意”两字不可省；（3）使函数f(x)取得最值得自变量有时可能不止一个；（4）函数f(x)在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义为图像上的最低点的纵坐标。

三、函数的最值在实际应用中非常重要，如用料最省、利润最大、效率最高等都是最值得应用四、函数的最值与函数的值域是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。

但是，在很多常见的函数中，函数的最值与值域的求法是相通的，常用的方法有观察法、定义法、不等式法、分离系数法、、判别式法、、配方法、图像法、换元法、有界性法、单调性求最值法、导数法、向量法等函数的最值最值问题是中学的难点，要想掌握除了具备扎实的基础知识，还必须具备一些水平：1、数形结合的水平。

浅谈中学函数最值的求法1. 运用函数判别是法求最值我们知道在求形如y= 这类型函数的最值时,我们常常都会想到用配方法,然后根据自变量的取值范围求出y的最值,但是往往会看到有些不能进行配方,而对于这样的函数则把y当成一个常数或者说一个常量进行求解其最值,在以前求解一元二次方程的根的时候,我们会用到δ来看该方程是否有解,而在δ=b2-4ac里,所有变量都是该一元二次方程中各项的系数.故我们也可以把y=化成一个一元二次方程.即有（a1y-a2）x2+（b1y-b2）x+（c1y-c2）=0而当a1y-a2≠0时,由于x,y均为实数必有δ=（b1y-b2）2-4（a1y-a2）（c1y-c2）?叟0,故可以求出y的范围,因此我们就有:若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0在a（y）≠0时.由于x、y为实数，必须有δ=[b（y）]2-4a（y）c（y）?叟0 由此求出y所在在的范围确定函数最值。

比如有下面的一个例题：例: 已知函数y=,求其最值?分析: 从整体函数看,其自变量为x是二次函数∴通过整理得x2-yx+y=x2-x即（y-1）x2+（1-y）x+y=0 又∵x∈r然后运用到δ求y的取值,从而达到解题的目的解由y=得（y-1）x2+（1-y）x+y=0 ∵y≠1时, x无解. ∴必须使得δ= （1-y）2- 4y（y-1）?叟0, ∴-?燮y?燮1. 又∵y≠1, ∴ y最小值等于- .从上面我们可以知道,判别式法一般适用一些分式或配方法不易求解的函数的最值,一般的形如y=.我们把y看成一个常量进行化简成为一个一元二次方程.然后利用判别式求其最值,而在求最值的过程中,一定要考虑二次项系数为零的情况(为零则x无解).故,一定要在最后求的y的范围内除去二次项系数为零的点。

2. 配方法.我们知道在求一个简单的二次函数的最值y=f（x）=ax2+bx+c（a ≠0）利用配方法可以得出:f（x）=ax2+bx+c=ax+2+我们根据二次函数的图象的性质可以知道:该函数的图象是开口向上或向下的抛物线,其顶点坐标是-,由于a的取值不同则该抛物线的开口方向不同,由于自变量的取值和对称轴的不同也会导致该函数的最值不同,则我们分情况分别加以讨论:2.1当自变量在全体实数范围内变化时,二次函数的最值为:a＞0 a＜0ymin=fmin= ymax=fmax=2.2当自变量的取值范围为有限区间[p,q]时,其最值在f（p），f （q），f-三者中取得,最值情况如下表图2-2[注]: 对于2.2中图表所表示的情况则可以表述为:轴在中间,顶点远点;轴在两边,近点远点.即:若轴在所给区间之内,其最值为顶点和离x轴最远的点;若轴不在所给区间之内,则最值为离x轴最近或最远点的函数值,比如以下的例题:例2.1 已知x1,x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0(k为实数)的两个实数根,x21+x22的最大值是:(a)19 (b)18 (c) (d)不存在解: 有韦达定理得x1+x2=k-2 x1x2=k2+3k+5故则有:x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19如果由此得k=-5时，（x21+x22）max=19。

双绝对值函数的最值定理(卢大庆)121.()()()f x A x x B x x =-+-，12x x ≠，求()f x 的最小值。

1.(1),A B ≠标准形式：,A B 是两个不相等的正数，不妨设0A B >> 121212()()f x A x x B x x B x x B x x B x x x x ⇒=-+-≥-+-=-+- ①，当且仅当11A x x B x x -=-,即1x x =时,不等式①取“=”号。

121212()()()B x x x x B x x x x B x x ⇒-+-≥---=- ②，当且仅当12()()0x x x x --≤,即12x x x ≤≤或21x x x ≤≤时,不等式②取“=”号。

对不等式①取“=”号的条件和不等式②取“=”号的条件取交集⇒当且仅当1x x =时，不等式①和不等式②同时成立，根据不等式的传递性有12()f x B x x ≥- ③当且仅当1x x =时，不等式③取“=”号min 112()()f x f x B x x ⇒==- 双绝对值函数的最值定理1：121.(1)()()()f x A x x B x x =-+-，12x x ≠，标准形式：0A B >>， ()f x 在x 等于两个绝对值中x 的系数较大的A 处的零点1x 时，取得最小值。

最小值具体等于多少不需要记忆，只需要把1x x =代入()f x 的解析式中就可以求出()f x 的最小值。

说明：举一个例子，()2(1)8(5)8(5)2(1)f x x x x x =-+-=-+-， 所以不是1.(1)所要求的标准形式利用加法的交换律可以转化为1.(1)所要求的标准形式。

所以不需要考虑0B A >>的情形，只需要考虑0A B >>的标准情形。

双绝对值函数的最值定理1：121.(1)()()()f x A x x B x x =-+-，12x x ≠，标准形式：0A B >>， ()f x 在x 等于两个绝对值中x 的系数较大的A 处的零点1x 时，取得最小值。

一个有关绝对值函数最值的几种不同求法
刘立刚
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2015(000)009
【摘要】点评：分类讨论去绝对值，将函数化为分段函数，且每段均为一次函数或常函数，显然，函数图像为连续的折线，而且折线的两侧是射线，中间为线段，结合图像根据函数单调性能很容易确定函数的最小值．
【总页数】2页(P37-38)
【作者】刘立刚
【作者单位】河北省定州中学,073000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一类绝对值函数最值的求法 [J], 甘志国
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