2014年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
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2014年全国高考理科数学试卷山东卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=（A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4) （3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根 （D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x ya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C ）2 （D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）1 （B ）8 （C ）12 （D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5 （B ）4（C（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离2C 的渐近线方程为（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望。
（19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . （20）（本小题满分13分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. （21）（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
参考答案一、选择题1.D2.C3.C4.A5.D6.D7.C8.B9.B10.A二、填空题11.3 12.1613.1414.215.)+∞三、解答题 16.解：（Ⅰ）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+因为()y f x =的图像过点(12π和2(,2)3π-所以sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ+⎨⎪-=+⎪⎩即12122m n =+⎨⎪-=-⎪⎩解得1m n ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图像上符合题意的最高点为0(,2)x ， 由题意知2011x +=，所以00x =即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2） 将其代入()y g x =得sin(2)16πϕ+=因为0ϕπ<<，所以6πϕ=因此()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=由222,k x k k πππ-≤≤∈Z ，得,2k x k k πππ-≤≤∈Z所以，函数()y g x =的单调递增区间为[,],2k k k πππ-∈Z17.（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =所以//AB DC ，又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA = 连接1AD在四棱柱1111ABCD A BC D -中， 因为1111//,CD C D CD C D = 可得1111//,C D MA C D MA = 所以，四边形11AMC D 为平行四边形 因此11//C M D A又111111,C M A ADD D A A ADD ⊄⊂平面平面所以111//C M A ADD 平面（Ⅱ）解法一：连接,AC MC由（Ⅰ）知//CD AM 且CD AM = 所以，四边形AMCD 为平行四边形 可得BC AD MC == 由题意60ABC DAB ∠=∠= 所以，MBC 为正三角形因此22,AB BC CA === 因此CA CB ⊥以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -所以()10,1,0,A B D因此1,0)2M所以11111((,0)22MD D C MB =-== 设平面11C D M 的一个法向量(,,)n x y z由11100n D C n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0y y -=+-= 可得平面11C D M的一个法向量(1n =又1CD =为平面ABCD 的一个法向量因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>== 所以，平面11C D M 和平面ABCD解法二：由（Ⅰ）知平面11DC M ⋂平面ABCD AB = 过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接1D N 由1CD ⊥平面ABCD ，可得1D N AB ⊥ 因此1D NC ∠为二面角1C AB C --的平面角 在Rt BNC 中，1,60BC NBC =∠=可得2CN =所以12ND ==在1Rt D CN中，11cos CN D NC D N ∠=== 所以，平面11C D M 和平面ABCD18.解：（Ⅰ）记i A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(0,1,3)i =则31011111(),(),()123236P A P A P A ===--= 记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(0,1,3)i = 则31013131(),(),()155555P B P B P B ===--= 记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上” 由题意，30100103D A B A B A B A B =+++ 由事件的独立性和互斥性，30100103()()P D P A B A B A B A B =+++30100103()()()()P A B P A B P A B P A B =+++30100103()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B =+++1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯= 所以，小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310（Ⅱ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得00111(0)()6530P P A B ξ===⨯=1001100111131(1)()()()35656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=11131(2)()355P P A B ξ===⨯=3003300311112(3)()()()255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=31133113131111(4)()()()253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=33111(6)()2510P P A B ξ===⨯=可得，随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19.解：（Ⅰ）因为1121121,22222S a S a a ⨯==+⨯=+ 41143424122S a a ⨯=+⨯=+ 由题意得2111(22)(412)a a a +=+ 解得11a =所以21n a n =- （Ⅱ）()11144(1)(1)(21)21n n n n n n nb a a n n --+=-=--+ 111(1)2121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭当n 为偶数时，11111111...33523212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121n =-- 221n n =+ 当n 为奇数时，11111111...33523212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121n =+- 2221n n +=+ 所以，22,21,n n n n T n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数2n 为偶数2n+1（或121(1)21n n n T n -++-=+）20.解：（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞242221()()x x x e xe f x k x x x-'=--+ 322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x --= 由0k ≤可得0x e kx ->所以，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增。
