抛物线.板块一.抛物线的方程.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

§9．6 抛物线１．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F ）的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．２．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y２＝２px（p>0）y２＝—２px（p>0）x２＝２py（p>0）x２＝—２py（p>0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0,0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝１准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×）（２）方程y＝ax２（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是（错误!，0），准线方程是x＝—错误!. （×）（３）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（×）（４）AB为抛物线y２＝２px（p>0）的过焦点F（错误!，0）的弦，若A（x１，y１），B（x２，y２），则x１x２＝错误!，y１y２＝—p２，弦长|AB|＝x１＋x２＋p.（√）２．设抛物线y２＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．[—２,２]Ｃ．[—１,１] Ｄ．[—４,４]答案C解析Q（—２,0），设直线l的方程为y＝k（x＋２），代入抛物线方程，消去y整理得k２x２＋（４k２—8）x＋４k２＝0，由Δ＝（４k２—8）２—４k２·４k２＝6４（１—k２）≥0，解得—１≤k≤１．３．（２0１２·四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则|OM|等于（）Ａ．２错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４Ｄ．２错误!答案B解析由题意设抛物线方程为y２＝２px（p>0），则M到焦点的距离为x M＋错误!＝２＋错误!＝３，∴p＝２，∴y２＝４x.∴y错误!＝４×２＝8，∴|OM|＝错误!＝错误!＝２错误!.４．动圆过点（１,0），且与直线x＝—１相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案y２＝４x解析设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（１,0）的距离与到直线x＝—１的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y２＝４x.５．若抛物线y２＝２px的焦点与椭圆错误!＋错误!＝１的右焦点重合，则p的值为________．答案４解析因为椭圆错误!＋错误!＝１的右焦点为（２,0），所以抛物线y２＝２px的焦点为（２,0），则p ＝４．题型一抛物线的定义及应用例１已知抛物线y２＝２x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（３,２），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．思维启迪由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．解将x＝３代入抛物线方程y２＝２x，得y＝±错误!.∵错误!>２，∴A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝—错误!的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为错误!，即|PA|＋|PF|的最小值为错误!，此时P点纵坐标为２，代入y２＝２x，得x＝２，∴点P的坐标为（２,２）．思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．已知点P是抛物线y２＝２x上的一个动点，则点P到点（0,２）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析抛物线y２＝２x的焦点为F（错误!，0），准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点（0,２）的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点（0,２）的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点（0,２）的距离．因此所求的最小值等于错误!＝错误!，选Ａ．题型二抛物线的标准方程和几何性质例２抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x２＋y２＝9相交，公共弦MN的长为２错误!，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解由题意，得抛物线方程为x２＝２ay（a≠0）．设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，而|AN|＝错误!.∵|ON|＝３，∴|OA|＝错误!＝２，∴N（错误!，±２）．∵N点在抛物线上，∴５＝２a·（±２），即２a＝±错误!，故抛物线的方程为x２＝错误!y或x２＝—错误!y.抛物线x２＝错误!y的焦点坐标为错误!，准线方程为y＝—错误!.抛物线x２＝—错误!y的焦点坐标为错误!，准线方程为y＝错误!.思维升华（１）由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．（２）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（１）设斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF （O为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为（）Ａ．y２＝±４xＢ．y２＝±8xＣ．y２＝４xＤ．y２＝8x（２）（２0１３·江西）已知点A（２,0），抛物线C：x２＝４y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于（）Ａ．２∶错误!Ｂ．１∶２Ｃ．１∶错误!Ｄ．１∶３答案（１）B （２）C解析（１）直线方程为y＝２（x—错误!），令x＝0，得y＝—错误!，故有４＝错误!·|错误!|·|—错误!|＝错误!，∴a＝±8，∴y２＝±8x.（２）由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|＝|FO|∶|AF|＝１∶错误!.题型三抛物线焦点弦的性质例３设抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.思维启迪证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证k OC＝k OA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．证明方法一设AB：x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２—２pmy—p２＝0．由根与系数的关系，得y A y B＝—p２，即y B＝—错误!.∵BC∥x轴，且C在准线x＝—错误!上，∴C（—错误!，y B）．则k OC＝错误!＝错误!＝错误!＝k OA.∴直线AC经过原点O.方法二如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.则AD∥EF∥BC.连接AC交EF于点N，则错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!.∵|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，∴|EN|＝错误!＝错误!＝|NF|，即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.思维升华本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A y B＝—p２这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，A（x１，y１）、B（x２，y２）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）错误!＋错误!为定值；（３）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．证明（１）由已知得抛物线焦点坐标为（错误!，0）．由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２＝２p（my＋错误!），即y２—２pmy—p２＝0．（*）则y１、y２是方程（*）的两个实数根，所以y１y２＝—p２.因为y错误!＝２px１，y错误!＝２px２，所以y错误!y错误!＝４p２x１x２，所以x１x２＝错误!＝错误!＝错误!.（２）错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.因为x１x２＝错误!，x１＋x２＝|AB|—p，代入上式，得错误!＋错误!＝错误!＝错误!（定值）．（３）设AB的中点为M（x0，y0），分别过A、B作准线的垂线，垂足为C、D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝错误!（|AC|＋|BD|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．题型四直线与抛物线的位置关系例４已知抛物线C：y＝mx２（m>0），焦点为F，直线２x—y＋２＝0交抛物线C于A，B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.（１）求抛物线C的焦点坐标．（２）若抛物线C上有一点R（x R,２）到焦点F的距离为３，求此时m的值．（３）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．思维启迪抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离．解（１）∵抛物线C：x２＝错误!y，∴它的焦点F（0，错误!）．（２）∵|RF|＝y R＋错误!，∴２＋错误!＝３，得m＝错误!.（３）存在，联立方程错误!消去y得mx２—２x—２＝0，依题意，有Δ＝（—２）２—４×m×（—２）>0⇒m>—错误!.设A（x１，mx错误!），B（x２，mx错误!），则错误!（*）∵P是线段AB的中点，∴P（错误!，错误!），即P（错误!，y P），∴Q（错误!，错误!）．得错误!＝（x１—错误!，mx错误!—错误!），错误!＝（x２—错误!，mx错误!—错误!），若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则错误!·错误!＝0，即（x１—错误!）·（x２—错误!）＋（mx错误!—错误!）（mx错误!—错误!）＝0，结合（*）化简得—错误!—错误!＋４＝0，即２m２—３m—２＝0，∴m＝２或m＝—错误!，而２∈（—错误!，＋∞），—错误!∉（—错误!，＋∞）．∴存在实数m＝２，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．思维升华（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x１＋x２＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（１,0）的距离减去它到y轴距离的差都是１．（１）求曲线C的方程；（２）是否存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有错误!·错误!＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解（１）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：错误!—x＝１（x＞0）．化简得y２＝４x（x＞0）．（２）设过点M（m,0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x１，y１），B（x２，y２）．设l的方程为x＝ty＋m，由错误!得y２—４ty—４m＝0，Δ＝１6（t２＋m）＞0，于是错误!１又错误!＝（x１—１，y１），错误!＝（x２—１，y２），错误!·错误!＜0⇔（x１—１）（x２—１）＋y１y２＝x１x２—（x１＋x２）＋１＋y１y２＜0．２又x＝错误!，于是不等式２等价于错误!·错误!＋y１y２—错误!＋１＜0⇔错误!＋y１y２—错误!错误!＋１＜0．３由１式，不等式３等价于m２—6m＋１＜４t２. ４对任意实数t,４t２的最小值为0，所以不等式４对于一切t成立等价于m２—6m＋１＜0，即３—２错误!＜m＜３＋２错误!.由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有错误!·错误!＜0，且m的取值范围是（３—２错误!，３＋２错误!）．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：（１２分）设抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为２（O为坐标原点）．（１）求抛物线C的方程；（２）是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．思维启迪（１）求MN的长，由面积得p的值；（２）问题的几何条件是：线段MN的中垂线与y轴的交点和M，N构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y轴交点，利用直角边垂直关系列式求解．规范解答解（１）当直线l与x轴垂直时，则|MN|＝２p，∴S△OMN＝错误!·２p·错误!＝错误!＝２，即p＝２．∴抛物线C的方程为y２＝４x. [４分]（２）∵直线l与x轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P.故可设直线l：y＝k（x—１）（k≠0），M（x１，y１），N（x２，y２），P（0，y0），联立错误!可化简得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，则错误!代入直线l可得MN的中点为（错误!，错误!），错误!则线段MN的垂直平分线为y—错误!＝—错误!（x—１—错误!），故P（0，错误!＋错误!）．[8分]又错误!·错误!＝0，则x１x２＋（y１—y0）（y２—y0）＝0．即x１x２＋y１y２—y0（y１＋y２）＋y错误!＝0．１—４—y0·错误!＋y错误!＝0，化解得ky错误!—４y0—３k＝0，由y0＝错误!＋错误!代入上式，化简得（３k４—４）（k２＋１）＝0．解得k＝± 错误!.∴存在直线l：y＝± 错误!（x—１）．[１２分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围（或指出直线过曲线内一点）第三步：根据题目要求列出关于x１x２，x１＋x２的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．（１）题比较基础，易于掌握；（２）题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零．方法与技巧１．认真区分四种形式的标准方程（１）区分y＝ax２与y２＝２px（p>0），前者不是抛物线的标准方程．（２）求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y２＝mx或x２＝my （m≠0）．２．抛物线的焦点弦：设过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点的直线与抛物线交于A（x１，y１），B（x，y２），则：２（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝错误!；（３）若F为抛物线焦点，则有错误!＋错误!＝错误!.失误与防范１．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．２．注意应用抛物线的定义解决问题．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．抛物线y＝—错误!x２的焦点坐标是（）Ａ．（0，错误!）Ｂ．（—错误!，0）Ｃ．（0，—错误!）Ｄ．（—错误!，0）答案C解析把原方程先化为标准方程x２＝—２y，则２p＝２，∴错误!＝错误!，即焦点坐标为（0，—错误!），故选Ｃ．２．（２0１３·四川）抛物线y２＝４x的焦点到双曲线x２—错误!＝１的渐近线的距离是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!答案B解析抛物线y２＝４x的焦点F（１,0），双曲线x２—错误!＝１的渐近线是y＝±错误!x，即错误!x±y＝0，∴所求距离为错误!＝错误!.选Ｂ．３．已知抛物线y２＝２px（p>0），过其焦点且斜率为１的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为２，则该抛物线的准线方程为（）Ａ．x＝１Ｂ．x＝—１Ｃ．x＝２Ｄ．x＝—２答案B解析∵y２＝２px的焦点坐标为（错误!，0），∴过焦点且斜率为１的直线方程为y＝x—错误!，即x＝y＋错误!，将其代入y２＝２px，得y２＝２py＋p２，即y２—２py—p２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２p，∴错误!＝p＝２，∴抛物线的方程为y２＝４x，其准线方程为x＝—１．４．已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!的值一定等于（）Ａ．—４Ｂ．４Ｃ．p２Ｄ．—p２答案A解析１若焦点弦AB⊥x轴，则x１＝x２＝错误!，则x１x２＝错误!；２若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k（x—错误!），联立y２＝２px得k２x２—（k２p＋２p）x＋错误!＝0，则x１x２＝错误!.即x１x２＝错误!，则y１y２＝—p２.故错误!＝—４．５．如图，抛物线C１：y２＝２px和圆C２：（x—错误!）２＋y２＝错误!，其中p>0，直线l经过C１的焦点，依次交C１，C２于A，B，C，D四点，则错误!·错误!的值为（）Ａ．p２Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析设抛物线的焦点为F，A（x１，y１），D（x２，y２），则|AB|＝|AF|—|BF|＝x１＋错误!—错误!＝x１，同理|CD|＝x２.又错误!·错误!＝|AB||CD|＝x１·x２＝错误!.二、填空题6．若点P到直线y＝—１的距离比它到点（0，３）的距离小２，则点P的轨迹方程是__________．答案x２＝１２y解析由题意可知点P到直线y＝—３的距离等于它到点（0，３）的距离，故点P的轨迹是以点（0,３）为焦点，以y＝—３为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x２＝１２y.7．已知过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝２，则|BF|＝________.答案２解析设A（x0，y0），由抛物线定义知x0＋１＝２，∴x0＝１，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝２．8．已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的准线为l，过M（１,0）且斜率为错误!的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若A错误!＝M错误!，则p＝________.答案２解析如图，由AB的斜率为错误!，知∠α＝60°，又A错误!＝M错误!，∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝３0°.∴错误!＝错误!错误!＝错误!.∴M为焦点，即错误!＝１，∴p＝２．三、解答题9．如图，已知抛物线y２＝２px（p>0）有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为１和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝—错误!x，由错误!得x＝0或x＝错误!.∴A点坐标为错误!，同理得B点坐标为（２pk２，—２pk），由|OA|＝１，|OB|＝8，可得错误!２÷１解方程组得k6＝6４，即k２＝４．则p２＝错误!＝错误!.又p>0，则p＝错误!，故所求抛物线方程为y２＝错误!x.１0．（２0１３·福建）如图，抛物线E：y２＝４x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.（１）若点C的纵坐标为２，求|MN|；（２）若|AF|２＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．解（１）抛物线y２＝４x的准线l的方程为x＝—１．由点C的纵坐标为２，得点C的坐标为（１,２），所以点C到准线l的距离d＝２，又|CO|＝错误!，所以|MN|＝２错误!＝２错误!＝２．（２）设C（错误!，y0），则圆C的方程为（x—错误!）２＋（y—y0）２＝错误!＋y错误!，即x２—错误!x＋y２—２y0y＝0．由x＝—１，得y２—２y0y＋１＋错误!＝0，设M（—１，y１），N（—１，y２），则错误!由|AF|２＝|AM|·|AN|，得|y１y２|＝４，所以错误!＋１＝４，解得y0＝±错误!，此时Δ>0．所以圆心C的坐标为（错误!，错误!）或（错误!，—错误!），从而|CO|２＝错误!，|CO|＝错误!，即圆C的半径为错误!.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．设F为抛物线y２＝４x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则|错误!|＋|错误!|＋|错误!|等于（）Ａ．9 Ｂ．6 Ｃ．４Ｄ．３答案B解析设A（x１，y１）、B（x２，y２）、C（x３，y３），又F（１,0）．由错误!＋错误!＋错误!＝0知（x１—１）＋（x２—１）＋（x３—１）＝0，即x１＋x２＋x３＝３，|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝x１＋x２＋x３＋错误!p＝6．２．已知抛物线C：y２＝４x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为３∶１，则点A的坐标为（）Ａ．（２,２错误!）Ｂ．（２，—２错误!）Ｃ．（２，±错误!）Ｄ．（２，±２错误!）答案D解析如图所示，由题意，可得|OF|＝１，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为３∶１，∴错误!＝错误!＝３，∴|AF|＝|AM|＝３，设A错误!，∴错误!＋１＝３，解得y0＝±２错误!.∴错误!＝２，∴点A的坐标是（２，±２错误!）．３．（２0１２·安徽）过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案C解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（１,0），又|AF|＝３，由抛物线定义知：点A到准线x＝—１的距离为３，∴点A的横坐标为２．将x＝２代入y２＝４x得y２＝8，由图知点A的纵坐标y＝２错误!，∴A（２,２错误!），∴直线AF的方程为y＝２错误!（x—１）．联立直线与抛物线的方程错误!解之得错误!或错误!由图知B错误!，∴S△AOB＝错误!|OF|·|y A—y B|＝错误!×１×|２错误!＋错误!|＝错误!错误!.故选Ｃ．４．已知直线l１：４x—３y＋１１＝0和直线l２：x＝—１，抛物线y２＝４x上一动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值是________．答案３解析因为x＝—１恰为抛物线y２＝４x的准线，所以可画图观察．如图，连接PFd２＝PF，∴d１＋d２＝d１＋PF≥FQ＝错误!＝错误!＝３．５．如图，过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝２BF，且AF＝３，则此抛物线的方程为________．答案y２＝３x解析如图，分别过A，B作AA１⊥l于A１，BB１⊥l于B１，由抛物线的定义知AF＝AA１，BF＝BB１，∵BC＝２BF，∴BC＝２BB１，∴∠BCB１＝３0°，∴∠AFx＝60°.则△AA１F为等边三角形，过F作FF１⊥AA１于F１，则F１为AA１的中点，设l交x轴于K，则KF＝A１F１＝错误!AA１＝错误!AF，即p＝错误!，∴抛物线方程为y２＝３x.6．抛物线y２＝４x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（１）若错误!＝２错误!，求直线AB的斜率；（２）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解（１）依题意知F（１,0），设直线AB的方程为x＝my＋１．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y２—４my—４＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），所以y１＋y２＝４m，y１y２＝—４．１因为错误!＝２错误!，所以y１＝—２y２. ２联立１和２，消去y１，y２，得m＝±错误!.所以直线AB的斜率是±２错误!.（２）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于２S△AOB.因为２S△AOB＝２×错误!·|OF|·|y１—y２|＝错误!＝４错误!，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是４．。

抛物线的定义与性质要求层次重难点抛物线的定义及标准方程 C由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质 C直线与抛物线的位置关系要求层次重难点 抛物线的定义与性质 C判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长直线与抛物线的位置关系C1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是(0)2p，，准线方程是2px =-，其中p 是焦点到准线的距离．3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）：⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p >，抛物线方程的四种形式如下：标准方程图形对称轴 焦点坐标 准线方程知识内容高考要求模块框架抛物线.知识框架5．抛物线)标准方程：22(0)y px p =>； 焦点：02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，通径2AB p =；准线：2p x =-；焦半径：12pCF x =+， 过焦点弦长121222p pCD x x x x p =+++=++，2212124p x x y y p ==-，6．0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．7．弦长公式同椭圆和双曲线．。

《抛物线及其标准方程》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。

我们可以通过一个简单的实验来直观地理解抛物线的定义。

拿一根绳子，一端固定在一个点上（这个点就是焦点 F），另一端系一个小球，然后让小球沿着一个平面运动，并且始终保持绳子绷紧。

小球运动的轨迹就是一条抛物线。

需要注意的是，抛物线的定义中，定点不能在定直线上，否则轨迹就不是抛物线了。

二、抛物线的标准方程1、焦点在 x 轴正半轴上设抛物线的焦点为 F(p, 0)，准线方程为 x ＝ p，其中 p 为正数。

对于抛物线上任意一点 M(x, y)，根据抛物线的定义，点 M 到焦点F 的距离等于点 M 到准线的距离。

点 M 到焦点 F 的距离为：√（x p)²＋ y²点 M 到准线的距离为：x ＋ p所以有：√（x p)²＋ y²＝ x ＋ p两边平方并化简可得：y²＝ 2px这就是焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程。

2、焦点在 x 轴负半轴上设抛物线的焦点为 F(p, 0)，准线方程为 x ＝ p，其中 p 为正数。

同样根据抛物线的定义，可得：√（x ＋ p)²＋ y²＝｜x p|两边平方并化简可得：y²＝－2px这是焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程。

3、焦点在 y 轴正半轴上设抛物线的焦点为 F(0, p)，准线方程为 y ＝ p，其中 p 为正数。

对于抛物线上任意一点 M(x, y)，有：√x² ＋（y p)²＝｜y ＋ p|两边平方并化简可得：x²＝ 2py这是焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程。

4、焦点在 y 轴负半轴上设抛物线的焦点为 F(0, p)，准线方程为 y ＝ p，其中 p 为正数。

同理可得：√x² ＋（y ＋ p)²＝｜y p|两边平方并化简可得：x²＝－2py这是焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程。

高一数学复习考点知识讲解课件§3.3抛物线3．3.1抛物线的标准方程考点知识1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用．导语通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？一、抛物线的定义与标准方程问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l 上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．知识梳理 抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线(directrix)． 问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示过F 作直线FN ⊥直线l ，垂足为N ，以直线NF 为x 轴，线段NF 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，设焦点F 到准线l 的距离为p ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又设P (x ，y )为抛物线上任意一点．过点P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则PF ＝PH ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋p 2， 将上式两边平方并化简，得y 2＝2px (p >0)．知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2注意点：(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或y )的取值范围． 例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点为直线x ＋3y ＋15＝0与坐标轴的交点．解(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)．又p2＝2，∴2p ＝8，故所求抛物线的标准方程为x 2＝8y . (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．(2)求参数p的值．(3)确定抛物线的标准方程．提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．答案2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1. (2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案x 2＝10y 和x 2＝－10y解析设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0等于() A ．1B ．2C ．4D ．8 答案A解析∵14＋x 0＝54x 0， ∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由题图可知，点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172. 延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值． 解将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝±6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ， 则P A ＋PF ＝P A ＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值是72. 即P A ＋PF 的最小值是72.2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，P A1＋PQ＝P A1＋PF≥A1F min.A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋72＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1.即所求最小值为1.反思感悟抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．答案4解析把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.(2)设点A的坐标为(1，15)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋P A的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1，于是PF ＝d ＋1，所以d ＋P A ＝PF －1＋P A 的最小值为AF －1＝4－1＝3.三、抛物线的实际应用例3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是() A ．11.25cmB ．5.625cm C ．20cmD ．10cm 答案B解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p ＞0)．∵A (40,30)在抛物线上， ∴302＝2p ×40， ∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4542＝458＝5.625(cm)．(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．答案3.84解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，y B)，解得y B＝－425，点A的坐标为(2，－4)，∴AB＝y B－(－4)＝－425＋4＝3.84，∴最长支柱的长为3.84米．反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝85，得x2＝－165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，y A)，由22＝－165y A，得y A＝－5 4.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|y A|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始不能通航．1．知识清单：(1)抛物线的定义．(2)抛物线的标准方程．(3)抛物线的实际应用．2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是() A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y答案B解析由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为()A.18B.12C.14D．4答案C解析根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝12y，其中p＝14，则抛物线的焦点到准线的距离p＝14.3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．答案6解析由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案2 6解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．课时对点练1．已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为()A．x2＝4y B．x2＝－4yC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x答案D解析∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)，∴抛物线是焦点在x 轴负半轴上的抛物线，且p 2＝1，得p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .2．已知抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则其焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4 答案A3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是() A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案A解析因为y ＝14x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)答案B解析∵抛物线的准线方程为x＝－p 2，∴－p2＝－1，∴p2＝1，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．5．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为()A．y2＝x B．x2＝8yC．x2＝－8y D．y2＝－8x答案AC解析若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝12，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.6．点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案D解析当a >0时，开口向上，准线方程为y ＝－14a ，则点M 到准线的距离为3＋14a＝6，所以a ＝112，所以抛物线方程为y ＝112x 2；当a <0时，开口向下，准线方程为y ＝－14a ，点M 到准线的距离为|3＋14a |＝6，所以a ＝－136或112(舍去)，所以抛物线方程为y ＝－136x 2.综上，抛物线方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2. 7．已知抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，则抛物线方程为________________，双曲线方程为________．答案y 2＝4x 4x 2－43y 2＝1解析因为交点在第一象限，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，由此知道双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程x214－y234＝1.8．在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是________．答案(－6,62)，(－6，－62)解析由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x，又PF＝9，∴3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6 2.∴所求点的坐标为(－6,62)，(－6，－62)．9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．解不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，可得12·2m·n＝16，解得m＝n＝4，p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .10．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．解设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， M 点到准线的距离为d ，则d ＝MF ＝10，即9＋p 2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．11．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点()A ．0.5mB ．1mC ．1.5mD ．2m答案B解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，集光板端点A (1,0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p ＝1，解得p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y ，故焦点坐标是F (0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1m.12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP→＝4FQ →，则QF 等于() A.72B.52C ．3D ．2答案C解析过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，如图．∵FP→＝4FQ →， ∴PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，∴QF ＝QQ ′＝3.13．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为()A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案C解析由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 答案②④解析抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则MF ＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足； 由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．15．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x轴上方且在双曲线上，则OP →·FP→的最小值为________. 答案3－2 3解析抛物线y ＝18x 2，即x 2＝8y 的焦点为F (0,2)．所以a 2＝22－12＝3，故双曲线的方程为y 23－x 2＝1.设P (x ，y )，因为点P 在x 轴上方，故由双曲线的性质可得y ≥3，OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ，y －2)， OP →·FP →＝x 2＋y (y －2)＝x 2＋y 2－2y＝y 23＋y 2－2y －1＝43y 2－2y －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－32y －1 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74. 因为y ＝34<3，故函数t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74在[3，＋∞)上单调递增，当y ＝3时，取得最小值，最小值为43×(3)2－2×3－1＝3－2 3.所以OP →·FP→的最小值为3－2 3. 16.一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB 恰好是拱高OD 的4倍．若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解以拱顶O 为原点，拱高OD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵AB 是OD 的4倍，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4. 由点B 在抛物线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4， ∴p ＝a 2.∴抛物线方程为x 2＝－ay .设点E (0.8，y 0)为抛物线上一点，代入方程x 2＝－ay ，得0.82＝－ay 0，∴y 0＝－0.64a ，∴点E 到拱底AB 的距离h ＝a 4－|y 0|＝a 4－0.64a ，令h ＞3，则a 4－0.64a ＞3，解得a ＞6＋22415或a ＜6－22415(舍去)．∴a 的最小整数值为13.。