河北省普通高中学业水平考试
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河北省普通高中学业水平考试数学注意事项：1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案．4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回．一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线2x－y＋1＝0的斜率为A．12B．2 C．－12D．－22．半径为3的球的体积等于A．9πB．12πC．36πD．54π3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是A．{0}?M B．0?M C．{0}∈M D．?∈M 4．在等差数列{a n}中，a2＝2，a5＝10，则a8＝A．16 B．18 C．20 D．505．不等式1x≥2的解集是A．{x|0＜x≤2} B．{x|x≥12}C．{x|x≤12}D．{x|0＜x≤12} 6．函数y＝2x－1的值域是A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(12，＋∞)7．已知sin x＝35，且?2＜x＜π，则tan x＝A ．45B ．－45C ．34D ．－348．函数f (x )＝2x ＋x －2的零点所在的区间是 A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 A ．1， 3B ．2，1C ．2，1D ．1，210．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是 A ．7 B ． 6C ．2 2D ． 511．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是 A ．15B ．25C ．35D ．112．等边三角形ABC 的边长为2，则AB →·BC →＝ A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 313．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是 A ．ac ＞bcB ．a 2＞b 2C ．a ＋c ＞b ＋cD ．1a ＜1b14．函数y ＝3sin (2x ＋?6)（x ∈R ）图象的一条对称轴方程是A ．x ＝0B ．x ＝－?12C ．x ＝?6D ．x ＝?315．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n ，则输出n 的值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．110正视图侧视图俯视图16．函数y ＝sin (x －?3)（x ∈R ）的一个单调递增区间为A ．[－2?3，?3]B ．[－?6，5?6]C ．[?3，4?3]D ．[5?6，11?6]17．已知数列{a n }，a n ＝2n ＋1，那么数列{a n }的前10项和为 A ．211＋8B ．211－1C ．210＋9D ．210－218．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，则A＝ A ．30?B ．60?C ．120?D ．150?19．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋4y ≥4，则目标函数z ＝x ＋y 的最小值是A ．0B ．5C ．4D ．120．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方法抽取一个样本，该样本中有9名女职工，则样本容量为 A ．27B ．36C ．40D ．4421．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于 A ．30? B ．45? C ．60?D ．90?22．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，则f (5)＝ A ．0B ．1C ．12D ．52二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 23．sin 165?·cos 15?＝_________．24．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(x ，－6)，若a ⊥b ，则x ＝___________． 25．函数f (x )＝lg (x 2－1)的定义域是___________．26．设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，定义数列{a n }的期望和为T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，若数列a 1，a 2，…，a 9的期望和T 9＝100，则数列2，a 1，a 2，…，a 9的期望和T 10＝________．D 1A 1 ADC 1B 1BCF E三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 27．（本小题满分8分）已知函数f (x )＝(sin x －cos x )2＋m ，x ∈R ． （Ⅰ）求f (x )的最小正周期；（Ⅱ）若f (x )的最大值为3，求m 的值． 28．（本小题满分8分）数列{a n }的前n 项和S n 满足3S n ＝a n ＋4（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n }的公差为3，且b 2a 5＝－1，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 29．（本小题满分8分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率； （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率． 30．（本小题满分8分）已知动点P 与两个定点E (1，0)，F (4，0)的距离之比是12． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝kx ＋3与曲线C 交于A ，B 两点，在曲线C 上是否存在点M ，使得四边形OAMB （O 为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．答 案一、选择题BCABDADBDCCACCBBACDBAD二、填空题23．1424．－925．(－∞，－1)∪(1，＋∞)26．92三、解答题8 3 4 7 931 9 3 7PM2.5日均值(微克/m 3)27．解：（Ⅰ）f(x)＝(sin x－cos x)2＋m＝m＋1－sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝2?2＝?．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x＝－1时，f(x)取最大值，故有m＋2＝3，得m＝1．………………8分28．解：（Ⅰ）由3S n＝a n＋4，得3S n－1＝a n－1＋4，两式相减，得3(S n－S n－1)＝(a n＋4)－(a n－1＋4)＝a n－a n－1，整理，得a na n－1＝－12（n≥2）．又3a1＝a1＋4，得a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项，以－12为公比的等比数列，故有a n＝2×(－12)n－1．………………4分（Ⅱ）由已知，得b2＝－1a5＝－8，又等差数列{b n}的公差d＝3，故b n＝b2＋(n－2)d＝3n－14，因此当n≤4时，b n＜0，当n≥5时，b n＞0，所以n＝4时，{b n}的前n项和T n最小，最小值为T4＝4(b1＋b4)2＝－26．………………8分29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中抽取2天的所有情况为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15。
…2分（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴P(A)＝815．…5分（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，故P(C)＝115，∴P(B)＝1－P(C)＝1415．…………………8分30．解：（Ⅰ）设点P(x，y)，由(x－1)2＋y2(x－4)2＋y2＝12，化简，得轨迹C的方程是：x2＋y2＝4．…………………4分（Ⅱ）因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，所以|3|1＋k2＜2，解得k＞52或k＜－52．假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离为d＝12|OM|＝1．所以|3|1＋k2＝1，解得k2＝8，即k＝±22，经验证满足条件．所以存在两点M，使得四边形OAMB为菱形．…………………8分。
