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实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。
一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。
（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。
（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。
2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。
（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。
（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。
（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。
（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。
（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。
二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。
当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。
（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。
（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像具有周期性。
2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。
（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。
平移变换可以改变函数图像的位置。
（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。
实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。
函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。
2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。
它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。
极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。
连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。
3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。
在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。
微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。
4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。
微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。
在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。
5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。
序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。
6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。
在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。
以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。
实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。
2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。
二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。
2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是函数在该点的极限值。
2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。
微分可以用来估计函数值的变化。
四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。
常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。
五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。
不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。
2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。
定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。
六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。
实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。
在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。
再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。
2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。
另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。
了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。
4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。
复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。
还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。
5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。
进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。
6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。
学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。
学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。
掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。
9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。
10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。
引言：实变函数是数学分析中的重要概念，是研究函数性质的基础。
在这篇文章中，我们将总结实变函数的相关知识点，为读者提供一个全面且详细的了解实变函数的资料。
本文将从函数的极限、连续性、导数、积分和级数等五个大点进行阐述，每个大点都包含5-9个小点的详细内容。
概述：实变函数是实数集到实数集的映射，研究实变函数的性质时，我们主要关注函数的极限、连续性、导数、积分和级数。
下面将详细介绍这些知识点。
正文：一、函数的极限1. 函数的极限概念：介绍函数极限的定义和图形解释。
2. 极限的性质：极限的唯一性、界限定理和保号性等。
3. 极限运算法则：介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限。
4. 无穷大与无穷小：定义无穷大和无穷小，并介绍无穷大与极限的关系。
5. 函数极限存在的条件：介绍连续函数、单调有界函数和有界变差函数等存在极限的条件。
二、函数的连续性1. 连续函数的定义：介绍连续函数的定义和连续函数的图像特征。
2. 连续函数的性质：介绍连续函数的保号性、介值性和有界性。
3. 连续函数的运算法则：介绍连续函数的四则运算法则和复合函数的连续性。
4. 列举函数的连续与不连续性：介绍一些特殊函数的连续性，如分段函数和有间断点的函数。
5. 连续函数的特例：介绍单调函数、递增函数和递减函数的连续性。
三、函数的导数1. 导数的定义：介绍导数的定义和导数的图形解释。
2. 导数的性质：介绍导数的可加性、可乘性和零点定理等。
3. 常见函数的导数：介绍常数函数、幂函数、指数函数和对数函数的导数。
4. 高阶导数与导数的递推关系：介绍高阶导数的定义和与导数的递推关系。
5. 隐函数与参数方程的导数：介绍隐函数和参数方程的导数计算方法和相关性质。
四、函数的积分1. 定积分的定义：介绍定积分的定义和定积分的几何意义。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的基本计算方法和积分的运算法则。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用。
4. 微积分基本定理：介绍微积分基本定理的两种形式和相关性质。
实变函数知识点实变函数知识点协议关键信息项：1、集合论基础集合的定义与表示集合的运算可数集与不可数集2、点集开集与闭集内点、外点与边界点完备集3、测度论勒贝格测度的定义与性质可测集的判定测度的可加性与可数可加性4、可测函数可测函数的定义与性质可测函数的运算依测度收敛5、勒贝格积分勒贝格积分的定义与性质勒贝格积分的计算勒贝格控制收敛定理11 集合论基础111 集合的定义与表示集合是具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的一个整体。
集合可以用列举法、描述法等方式进行表示。
112 集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
113 可数集与不可数集可数集是指能够与自然数集建立一一对应的集合；不可数集则是不能与自然数集建立一一对应的集合。
例如，有理数集是可数集，而实数集是不可数集。
12 点集121 开集与闭集开集是指集合中的每一个点都是内点的集合；闭集是指包含其所有边界点的集合。
122 内点、外点与边界点内点是指存在一个以该点为中心的邻域完全包含在集合内；外点是指存在一个以该点为中心的邻域完全不在集合内；边界点则是既不是内点也不是外点的点。
123 完备集完备集是没有孤立点的闭集。
13 测度论131 勒贝格测度的定义与性质勒贝格测度是对集合的一种度量方式，具有非负性、单调性、可列可加性等性质。
132 可测集的判定通过一系列的条件和定理来判定一个集合是否为可测集。
133 测度的可加性与可数可加性可加性指有限个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和；可数可加性指可数个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和。
14 可测函数141 可测函数的定义与性质可测函数是指定义域上的可测集到实数集的函数，满足一定的条件。
具有可加性、单调性等性质。
142 可测函数的运算可测函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是可测函数。
一、集合1、证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。
2、证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，nn（inf{xn} limxn）。
nn3、证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。
n n 1n n 1114、证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。
n 1n 1nn5、证明：任何无限集必与其一个真子集对等。
6、证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。
7、证明：有理数全体成一可数集。
8、证明：开区间(0,1)是一不可数集。
9、证明：无理数全体成一不可数集。
二、点集1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。
2、证明： A A A。
3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。
4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。
5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。
6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。
并举例说明开集的任意交不一定是开集。
7、证明开集与闭集的对偶性。
8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。
9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220f 1(G) {x|f(x) G}是开集。
三、测度论n1、若E {(0,0, ,0)} R，求mE。
***2、证明：若A B，则mA mB。
3、若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。
4、若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。
6、证明：凡外测度为零之集皆可测。
7、若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，试写出X上由所生成的代数。
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
实变函数复习提纲实变函数复习提纲2006-7-14第⼀章集合⼀、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、⼀⼀映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．⼆、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德⼀摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）．三、基本题⽬1、集合对等的判定、求基合的基数例证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、因()x x 2tanπ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴?：()x x 2tanπ=是（－1，1）到R上的⼀⼀对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11π=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，⼜c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。
摩根律的应⽤3 可数数集合的判定第⼆章点集⼀、基本概念：距离、度量空间、n 维欧⽒空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间⼆、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题⽬1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈?，x 的任意邻域)(x U 内有⽆数个⽆理点,∴)(x U E _，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E ⽆内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈?x ，)(x U ?内都有⽆数多个有理点，即有⽆数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.⼜在[0，1]外的任⼀点都不是E 的聚点.∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=?='?=E E E E ，∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为?=0E ，⽽E 是⾮空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，⽽[0，1]中的⽆理点不在E 内，即E E __'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章测度论引⼊：把区间的长度、平⾯图形的⾯积、空间⽴体图形的体积推⼴到点集的度量—测度．⼀、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任⼀点集，对于每⼀列覆盖E 的开区间E I U i i ?∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIµ（µ可以等于+∞，不同的区间列⼀般有不同的µ），所有这⼀切的µ组成⼀个下⽅有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：=∑∞=?∞=1inf1*i i E I I E m i iY注：由定义1知：nR 中的任⼀点集都有外测度（⼀个⾮负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任⼀点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多⾥条件，也简称卡⽒条件.L 可测集的全体记为µ.3可测集类1）零测度集类：2）⼀切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的⼆、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=?m ）；（⾮负性）；（2）设A ?B ，则A m *≤B m *；（单调性）（3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ?E ，B ?[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=?2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是⼀列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是⼀列可测集合，则i i S ∞=?1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递增的可测集合：s s 21…sn…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞==Y 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递减的，可测集合： S 1?S 2?…?Sn…令n n i i S S S ∞→∞==?=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三基本题⽬1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ?，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡⽒条件成⽴，即对nR T ??，有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=∵)()(CE T E T T I Y I =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ?+? （外测度的次可数可加性）①另⼀⽅⾯：∵E E T ?)(I ，∴)(*E T m I ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m I ≥0，∴0≤)(*E T m I ≤0，必有)(*E T m I =0 ⼜：)(CE T T I ? ∴T m *≥)(*CE T m I （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m I +)(*CE T m I ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m I +)(*CE T m I ，此即卡⽒条件成⽴；∴ E 是可测的，∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E 的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}?=,,,,,321m e e e e E Λ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321Λ，ΛΛ,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε?1，作开区间=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321ΛΛεεn i I inii ,,3,2,1,2)2(Λ=≤=εε因E e i i i iI=?∞=∞=11Y Y ，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m Y⼜由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为⼀可数集合，∴Q m *=0. 对于T ?，∵)()(cQ T Q T T I Y I =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m I I +≤ （外测度的次可列可加性）①另⼀⽅⾯，∵Q Q T ?)(I ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m I （单调性），0)(*≥Q T m I ，∴0)(*=Q T m I 。
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
●集合的交、并、差、余运算，对偶定理
●上、下限集的定义、求法
●有关函数集合的表示
●对等的判定建立、定理
●可数集的性质、判定
●基的判定
●具体集合的基: ,,[0,1],[0,1],,(),()
c
Q Q C R M M E L E,开集、闭集全体习题：11,22，28
●边界点、内点、聚点、边界E∂、导集E'、闭包E等的含义和
求法
●稠密集、疏朗集、孤立集的定义、性质
●开集、闭集、完备集的定义、性质、判定、构造
●Cantor集的性质(完备、疏朗、连续势、零测)
习题：15,19,28
●外测度的性质（非负性、单调性、次可加性、次可数可加性、
条件可加性、平移不变形）
●测度的性质（非负性、单调性、可加性、可数可加性、平移
不变形、上下连续性）
●可测集定义、性质。
全体M关于交、并、差、余的可列运算
及极限封闭，是 代数。
●可测集全体M的构成、构造（与开集闭集的关系）
习题：13,20，21
●可测函数的定义:
性质、判定
●可测函数全体()
M E的性质，极限封闭，与简单函数的关系●依测度收敛，几乎处处收敛，一致收敛的定义，它们之间的
关系(Egoroff, Lebesgue, Riesz定理)。
●可测函数的构成（与连续函数的关系，Lusin定理）
习题：4，18,20
●积分与可积的定义、性质、运算
●极限定理（Levi定理, Fatou引理, Vitali定理,Lebesgue控制
收敛性定理）
●积分的绝对连续性。
●R-积分和L-积分间的关系
习题：1，2，14。
