2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4讲 函数的奇偶性与周期性课时作业 理
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第4讲 函数的奇偶性与周期性
1．(2015年福建)下列函数为奇函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝e x
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x －e －x
2．已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是( )
A.2
3
B ．2
C ．4
D ．6 3．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A ．f (x )＝x
B ．f (x )＝x 2
C ．f (x )＝tan x
D ．f (x )＝cos(x ＋1)
4．(2017年湖南衡阳八中二模)已知f (x )在R 上满足f (x ＋5)＝－f (x )，当x ∈(0,5)
时，f (x )＝x 2
－x ，则f (2016)＝( )
A ．－12
B ．－16
C ．－20
D ．0 5．(2016年四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )
＝4x
，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＋f (1)＝________.
6．(2016年江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
25－x ，0≤x <1， 其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92 ，则f (5a )的值是________．
7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝______________.
8．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)，f (x )＝log 12
(1－x )，
则函数f (x )在(1,2)上的解析式是____________．
9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图X241，请根据图象：
图X241
(1)写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；
(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．
10．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数，并证明你的结论．
第4讲 函数的奇偶性与周期性
1．D 解析：函数y ＝x 和y ＝e x 是非奇非偶函数； y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x
是奇函数．故选D.
2．B 解析：方法一，因为函数f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数
f (x )关于x ＝1对称，所以区间(3－2a ，a ＋1)关于x ＝1对称，所以3－2a ＋a ＋1
2
＝1，即a
＝2.
方法二，由y ＝f (x )定义域知y ＝f (x ＋1)，定义域为(2－2a ，a )，且为偶函数，∴2－2a ＋a ＝0.∴a ＝2.
3．D 解析：由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z )对称．
4．D 解析：因为f (x ＋5)＝－f (x )，所以f (x ＋10)＝－f (x ＋5)＝f (x )，f (x )的周期为10.因此f (2016)＝f (－4)＝－f (4)＝－(16－4)＝－12.故选A.
5．－2 解析：因为函数f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，
f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，所以f (1)＝0.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－41
2＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 6．－25 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12⇒－12＋a ＝12－25⇒a ＝35，因此f (5a )＝f (3)＝f (1)＝f (－1)＝－1＋35＝－2
5
.
7．－x x ＋2 解析：当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，f (x )＝f x ＋
2
＝
x ＋－x ＋2＝－x x ＋
2.
8．f (x )＝log 12
(x －1) 解析：当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，f (－x )＝log 12
(1＋x )．又
f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝lo
g 12
(1＋x )，x ∈(－1,0)；当x ∈(1,2)
时，x －2∈ (－1,0)．又f (x )是定义在R 上以2为周期的函数，所以f (x )＝f (x －2)＝log 12
(1＋x －2)＝ log 12
(x －1)．
9．解：(1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋2x ，
∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2
－2x (x ＞0)．
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x x ＞
，x 2＋2x x
(3)g (x )＝x 2
－2x －2ax ＋2，其图象的对称轴方程为x ＝a ＋1，
当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；
当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2
－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上所述，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a a ，－a 2
－2a ＋
＜a ≤
，
2－4a a ＞
10．解：(1)若y ＝f (x )为偶函数，
则f(－x)＝f[2－(x＋2)]＝f[2＋(x＋2)]＝
f(4＋x)＝f(x)．
∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，
只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．
若y＝f(x)为奇函数，
则f(0)＝f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾．
因此f(x)不是奇函数．
综上所述，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)，
f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f[7－(x－7)]＝f(14－x)，
∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(4－x)]＝f(4－x)．
∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.
又f(1)＝f(3)＝0，
∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，
f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)，
即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根．
由－2011≤1＋10n≤2011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；
由－2011≤3＋10n≤2011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402个．
∴方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根共有805个．。
