3.4 多元线性回归模型的预测

多元线性回归预测系统的设计1.前言许多现象往往不是简单的与某一因素有关而是要受多个因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归，多元线性回归是预测中经常使用的预测方法，其基本原理是通过对多个变量之间变动关系的分析，建立一定的数学模型，并对因变量的未来变化趋势进行预测。

2.多元线性回归的定义在研究问题是，我们考虑一个变量受其他变量的影响时，把这变量称为因变量，记为Y ，其他变量称为自变量，记为X ，这时相关系数可记作其中()x f 为当x X =时，因变量Y 的均值，即()()x X Y E x f ==|.称()x f 为Y 对X 的回归函数，ε为Y 与()x f 的偏差，它是随机变量，并假定()0=εE 。

回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即其中 ),,,|(),,,(221121m m m x X x X x X Y E x x x f ==== 为m 元回归函数，统称为多元回归函数。

3.多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式是：01122334455Y Z Z Z Z Z ββββββε=++++++其中j 1,2,...,j k β=（）是回归系数，Y 是被解释变量，i z 1,2i z ，ki z 是k 个对Y 有显著影响的解释变量（k ≥2），i ε是 反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标i 表示第i 期观察值（i Y ,i z 1, i z 2,ki z ）,n i ,2,1=。

假设多元样本回归函数为：01122i i i k ki Y z z z ββββ∧∧∧∧∧=++ 回归残差为：∧-=i i i Y Y ε。

由于有n 期的观察值，这一模型实际上包含n 个方程1111111101εββββ+++++=k k z z z Y(),ε+=x f Y ,),,,(21ε+=m x x x f Y2222212102εββββ+++++=k k z z z Yn kn k n n z z z Y εββββ+++++= 221102写成矩阵形式：,εβ+=Z Y其中, z z z z z 1 z z 1 z z 1,kn k2k12n 1n 2212211121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= Z Y Y Y Y n . , , n 10k 10k 10⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧∧∧∧εεεββββββββε 3.1模型的假设(1)变量i Y 和i X 1, i X 2,i X k ,(i =1,2...n)之间，存在线性随机函数关系i i i 22i 110i εββββ+++++=k k X X X Y ，其中i ε是随机误差项。

Y0 t α × σ X 0 ( X′X) 1 X′ < E (Y0 ) < Y0 + t α × σ X 0 ( X′X) 1 X′ 0 0
2 2
其中， (1- 的置信水平下的临界值 临界值。 其中，tα/2为(1-α)的置信水平下的临界值。
二、Y0的置信区间
e0服从正态分布，即 服从正态分布，
2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元） 实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31% 相对误差： 实测值 相对误差
预测的置信区间 ：
0.00285 0.00828 1.88952 = 0.00285 0.00001 0.00001 0.00828 0.00001 0.00004
′X) 1 X′ )) e0 ~ N (0, σ (1 + X 0 ( X 0
2
σ e2 = σ 2 (1 + X 0 ( X′X) 1 X′0 ))
0
构造t统 构造 统计量
Y0 Y0 t= ~ t (n k 1) σ e0
可得给定(1- 的置信水平下 置信区间： 可得给定(1-α)的置信水平下Y0的置信区间： (1
( X′X) 1
X′ (X′X) 1 X 0 = 0.3938 0
于是E(2001）的95%的置信区间为: E( E(
1776 . 8 ± 2 . 093 × 705 . 5 × 0 . 3938
或
（1741.8，1811.7）
同样，易得2001的95%的置信区间为
1776.8 ± 2.093 × 705.5 × 1.3938
§3.4 多元线性回归模型的预测

基于多元线性回归的股价分析及预测多元线性回归是一种基于多个自变量与一个因变量之间关系的模型，它可以用于对多个因素对于一个事件或现象的影响进行分析，常应用于股票的价格预测。

本文将详细讨论如何构建多元线性回归模型进行股价分析和预测。

一、多元线性回归模型的建立股价是由多种因素决定的，例如公司业绩、市场变化、国家政策等。

为了建立更准确的多元线性回归模型，我们需要选择合理的自变量，并对它们进行预处理。

一般来说，我们需要对自变量进行归一化处理和特征选择。

1.归一化处理采用归一化处理可以将不同自变量的尺度转化为统一的维度，避免某些自变量对结果的影响过大。

一般常用的归一化方法有：Min-Max 归一化和 Z-Score 归一化。

假设我们要对自变量 $x_{i}$ 进行 Min-Max 归一化，则操作步骤如下：$$ x_{i} = \frac{x_{i} - Min(x_{i})}{Max(x_{i}) - Min(x_{i})} $$其中，$Max(x_{i})$ 和 $Min(x_{i})$ 分别表示自变量 $x_{i}$ 在数据集中取到的最大值和最小值。

2.特征选择在实际建模中，我们可能需要面对大量的自变量，但是有的自变量可能对结果的影响并不大。

因此，在建立多元线性回归模型时，需要进行特征选择，选取与结果相关性高的自变量来构建模型。

常用的特征选择方法有：卡方检验、皮尔逊系数、互信息等。

二、模型的拟合与评估当我们确定好自变量后，就需要进行模型的拟合。

我们可以采用最小二乘法来估计模型参数，即$$ w = (X^TX)^{-1}X^TY $$其中，w 表示模型参数，X 表示包含所有自变量的设计矩阵，Y 表示目标变量。

为了评估模型的拟合效果，我们一般会使用 $R^2$ 值和 RMSE（均方根误差）来评价模型的拟合效果。

- $R^2$ 值其中，$y_i$ 表示实际值，$\hat{y_i}$ 表示预测值，$\bar{y}$ 表示 $y$ 的均值。

2019年宁波大学硕士研究生招生考试复试科目考试大纲科目名称: 计量经济学一、考试形式与试卷结构（一）试卷满分及考试时间本试卷满分为100分，考试时间为150分钟。

（二）答题方式答题方式为闭卷、笔试。

（三）试卷题型结构1.选择题2.简答题3.计算与分析题二、考查目标（复习要求）《计量经济学》融计量经济学理论、方法与应用为一体，论述了经典的单方程计量经济学模型的理论方法，包括一元线性回归模型、多元线性回归模型和放宽基本假定的单方程计量经济学模型，以及计量经济学应用模型。

要求考生系统掌握计量经济学的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关理论和方法，分析解决现实经济问题。

三、考查范围或考试内容概要第一章绪论1.1 计量经济学1.2 建立经典单方程计量经济学模型的步骤和要点1.3 计量经济学模型的应用第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型2.1 回归分析概述2.2 一元线性回归模型的基本假设2.3 一元线性回归模型的参数估计2.4 一元线性回归模型的统计检验第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型3.1多元线性回归模型3.2多元线性回归模型的参数估计3.3多元线性回归模型的统计检验3.4多元线性回归模型的预测3.5可化为线性的多元非线性回归模型3.6含有虚拟变量的多元线性回归模型3.7受约束回归第四章经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型4.1多重共线性4.2异方差性4.3内生解释变量问题4.4模型设定偏误问题第五章计量经济学应用模型5.1计量经济学应用模型类型设定5.2计量经济学应用模型总体回归模型设定5.3计量经济学应用模型函数关系设定5.4计量经济学应用模型变量性质设定参考教材或主要参考书：《计量经济学》（第四版），李子奈、潘文卿编著，高等教育出版社，2015年09月。