高一数学函数的值域课件

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高一数学指数函数ppt课件

与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应用。
指数函数在实际问题中的应用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
指数函数与其他数学知识的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时，图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量在不同区间内取值时，函数性质可能发生变化，此时可以采用分段讨论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解题准确性。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

高中数学第2章函数1函数概念课件必修1高一必修1数学课件

一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;

3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一

【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数．答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域．推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

高一数学值域的求法1

例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 3x-1 0,有
x= 1(t2+1), 3
于是y=5- 1(t2+1)+t=- 1(t- 3 )2+ 65 ,
3
3 2 12
t

3 2
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。
例1 求函数 y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。
解：y (x 1)2 3 , x 1,1,
y
24
x=
1 2
，ymin

3 4
,x

1,
ymax

3 2
,
3/2
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]

人教版高一数学课件-指数函数的图象及性质

必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
4.比较下列各组数的大小： (1)56－0.24 与(56)－14； (2)(π1)－π 与 1； (3)(0.8)－2 与(54)－12.
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
解析： (1)考察函数 y＝56x. ∵0<56<1，∴函数 y＝56x 在(－∞，＋∞)上是减函数．又－0.24>－14，∴56－0.24<56－14.
(4)∵－233<0，4313>430＝1，3412<340＝1， ∴－233<3412<4313.12 分
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
[題後感悟] 比較冪的大小的常用方法： (1)對於底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷． (2)對於底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷．(3)對於底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則應通過中間值來比較．
必修1 第二章 f(x)的圖象過點(2,4)，求f(－3) 的值．
解析：设指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，由题意得 a2＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝2x， ∴f(－3)＝2－3＝18.
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
指数函数的概念函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，求 a 的值．
(2)指数函数 y＝ax 与 y＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
[注意] 當指數函數底數大於1時，圖象上升，且底數越大時圖象向上越靠近於y軸；當底數大於0小於1時，圖象下降，底數越小，圖象向右越靠近於x軸．

高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质

伸缩变换
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相关的阅读材料，供学生课后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学习的内容，包括指数函数的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课的内容，了解指数函数的运算性质和应用场景，为下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容相关的问题，引导学生进行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任务的要求，包括任务的目标、完成时间、提交方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学术论文等。

人教版高中数学必修一(1.2.1-1函数的概念)ppt课件

定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ）象 1 5
对应法则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)

x
2

2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对应，不能称为映射。

高中数学必修第一册3.1函数的概念及其表示课件

那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w
（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
对于任一个给定的天数d，都有唯一确
定的工资w与之对应；
= 350
变量w和d之间是否是函数关系?它们各自的变化范围是什么 ?
试用集合 A，B 表示?
= 350
集合A
集合B
一一对应
1
2
3
4
5
6
350
记作:y=f(x) , x∈A
注意：
（1）x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函
数的定义域；
（2）与x的值相对应的 y值叫做函数值；函数值组成的
集合
叫做函数的值域。
C={y|y=f(x), x∈A}
深化概念
高中和初中函数概念的区分和联系
①
定义的扩大：初中强调变量之间的关系；高中是在映射概念和集合的概念的基础上进
∈ , , , , , , , . ,
∈ . , . , . , . , . , . , . , . , . , .
集合B
集合A
（3）对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B
中都有唯一确定的元素 y 与之对应。
不同点
分别通过解析式、图象、表格刻画变量之间的对
应关系
函
数
的
概
念
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，
在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，
就称f : A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
700
1050
1400
1750
2100
解析法
实例2：

3.1.1函数的概念(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一

12345
内容索引
谢谢观看
Thank you for watching
内容索引
活动二探究抽象函数的定义域
例 2 (1) 已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；【解析】因为f(x)的定义域为(0,1)，所以要使f(x2)有意义，则0<x2<1，即－1<x<0或0<x<1，所以函数f(x2)的定义域为{x|－1<x<0或0<x<1}．
内容索引
内容索引
例 1 求下列函数的定义域： (1) y＝3－12x；【解析】函数 y＝3－12x 的定义域为 R.
(2) y＝x＋x＋120；【解析】由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，即 x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1，所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2，且 x≠－1}．
【答案】 D
12345
内容索引
3. (多选)(2022·佛山顺德区容山中学高一期中)已知函数f(x)＝x2－2x－3的
定义域为[a，b]，值域为[－4,5]，则实数对(a，b)可能为( )
A. (－2,4)B. (－2 Nhomakorabea1)C. (1,4)
D. (－1,1)
【解析】画出f(x)＝x2－2x－3的图象如图所示．由图可知，f(－2) ＝f(4)＝5，f(1)＝－4，根据选项可知．当f(x)＝x2－2x－3的定义域为[a， b]，值域为[－4，5]时，实数对(a，b)可能为(－2,4)，(－2,1)，(1,4)．故选ABC.
内容索引
1. 函数值域的定义：若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值 y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 2. 函数的值域是由函数的定义域和对应法则共同确定的，所以求函数的值域一定要注意定义域是什么，对于同一个函数关系式，当定义域变化时，值域也可能发生变化.

函数的概念(第1课时)(课件)-2022-2023学年高一数学同步备课系列

总支出金额
生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民
问题4 国际上常用恩格尔系数 r (r
恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎
样的语言来刻画这个函数？
x2 1
A. f（x）＝x-1，g（x）＝
x 1
x 1, x 1,
1 x, x 1
B. f（x）＝|x+1|，g（x）＝
C. f（x）＝x+1，x∈R，g（x）＝x+1，x∈Z
D. f（x）＝x，g（x）＝（ x ）2
二、已学函数的定义域和值域：
反比例函数
k
y
确定，定义域，对应关系，值域是函数的三要素;
(4) 符号y=f(x)的理解：
① y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示,仅是一个函数符号, f(x)不是f与x相乘,例
如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7；
② f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格, 也可以是文字描
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标
准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一
个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是
w=350 d.
2，
3，
4，
5，
唯一确定的数y和它对应．
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的

高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件

上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：

+ ( ∈ ) 时取得最大值1，

当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；

①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +

+ ，所以自变量增加，函数值

+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.

单调性

−
−

−

同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

函数的表示法课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(３)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题４中的表格
例1. 某种笔记本的单价是5元，买 x(x {1,2,3,4,5}) 个笔记本需要 y 元. 试用函数的三种表示法表
示函数 y=f(x) . 解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.
用解析法可将函数 y=f(x) 表示为 y=5x,x {1,2,3,4,5}.
解：为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况，我们用图象法将表格中的4个函数表示出来，如图：
可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平，学习情况稳定且成绩优秀。张城同学的数学成绩不大稳定，总在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大。赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平, 但他成绩在稳步提高。
（1）画出函数 f (x), g(x) 的图象.
（2）x R,用m(x)表示f (x), g(x)中的较小者，记为m(x) min{ f (x), g(x)},
请分别用图象法和解析法表示函数 m（x）.
解：（1）f (x) x 1 的图象如图（1）；g(x) (x 1)2 的图象如图（2）.
所以，在同一直角坐标系中函数f ( x), g( x) 的图象为：
（2）由图象可知，函数M(x)的解析式为：
(x 1)2, x 1,
M
(x)
x
1,1
x
0,
(x
1)2 ,
x
0.
另：f (x) g(x)
(x 1) (x 1)2= x(x 1)
-1 0
x
练6. 给定函数 f (x) x 1, g(x) (x 1)2 , x R,
（2）x R，用M (x)表示f (x), g(x)中的较大者，记为 M (x) max{ f (x), g(x)}.

2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文

学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质，理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量进行换元，简化问题，使问题更容易解决。
指数函数在数学模型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描述复利、折旧等问题；在物理学中，指数函数被用来描述放射性元素的衰变等问题；在工程学中，指数函数被用来描述材料的疲劳寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，利用数学方法和技术进行求解，从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义域上是增函数；

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?方程有不为0的根，? ? ? (1? y)2 ? 4 ? 0
即 ( y ? 1)2 ? 4,? y ? 1 ? ?2或 y ? 1 ? 2
得?y | y ? ?1或 y ? 3?
【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，
求原函数的值域.也可将原函数式化为 y ? 0 ，可利用指
y
1? y
数函数的性质 3x＞0 得
? 0.
1? y
第(2)题采用了“部分分式法”求解,即将原分式分解成两项，其
中
y ? cx ? d
一项为常数，另一项容易求出值域．形如
ax ? b
(asi≠n0x，?c≠20?)的2函y 数均可使用这种方法.本2题? 2也y可?化1为
1 ? y 利用|sinx|≤1，得 1 ? y ，求函数的值
2
?
定义域为??? ?
?
，21；???
?函数y ? x和y ? ?
1?
2x均在?? ?
?
?
,
1 2
???上单调递增，
? y ? 1 ? 1? 2? 1 ? 1
2
22
?
函数的值域为?? y | ?
y?
1?
2
? ?
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
x
（2）? y ? 2 ? sin x ? ?1? 4
2 ? sin x
2 ? sin x
又??1 ? sin x ? 1, ? 4 ? 4 ? 4
3 2 ? sin x
?
函数的值域为?? ?
y
|
1 3
?
y?
3?? ?
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
域.
第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量的取值范围．
第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使用的条件，本题也可分x＞0，x＜0两类情况利用基本不等式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量x的二次方程.
例2.已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为R (1)求实数m的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为 f(m)，求 f(m) 的值域
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
x
（3）法一：（换元法）设 1? 2x ? t (t ? 0) 得 x ? 1? t2
? y ? 1? t 2 ? t ? ? 1 (t ? 1)2 ? 1 ? 1 (t ? 0)
2
2
2
2
?
函数的值域为?? y | ?
解解题:依分题析意：由,当yx?∈mRx时2 ?,m6mxx2-?6mm?x8+的m定+8义≥0域恒是成R立,当
可知 x? R时mx2 ? 6mx? ? m ? 8 ? 0恒成立，
m=0时,x∈从R而;当可m求≠出0
时m的,???m?取??值00范, 即围。???(m?
?0 6m)
2
?
4m(m
?
8)
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
（4）法二：（判别式法） x
由 y ? x ? 1 ? 1 (x ? 0), 得 x2 ? (1? y)x ? 1 ? 0 x
欲使mx2-6mx+m+8取遍一切正数,只需
?m? 0 ??? ? (?6m)2 ? 4m(m ? 8) ? 0 解得m∈[1,+∞)
延伸·拓展
例3.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a)，最小值为 m(a)，
试求M(a)及m(a)的表达式.
解解题：分f析(:x本) ?题x为2“? 顶2a点x动? ，(x区?间a)定2 ”? a的2二, x次? 函[0数,1]最, 值问题，只
须值顶讨。点论横顶点坐的标移为动情x ?况a与区间[0，1]的位置关系，便可确定最
(1)当 a ? 0 时，M (a) ? f (1) ? 1? 2a, m(a) ? f (0) ? 0
(2)当 0 ? a ? 1 时，M (a) ? f (1) ? 1? 2a, m(a) ? ? a 2
(3)当 1
?
, 0
解之得0<m≤1, 综上0≤m≤1,
(2)当m ? 0时 y ? 2 2;
当0 ? m ? 1时 y ? m(x ? 3)2 ? 8 ? 8m; ? ymin ? 8 ? 8m;
因此，f (m) ? 8 ? 8m (0 ? m ? 1)
? ? ? f (m) 的值域为 0，2 2
例2.已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为R (1)求实数m的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为 f(m)，求 f(m) 的值域
2.定义域为 R的函数 y=f(x)的值域为 [a，b]，则函数 y=f(x+a)
的值域为
( C)
(A)[2a，a+b] (B)[0，b-a] (C) [a，b] (D) [-a，a+b]
3.求下列函数的值域：
（1）y ?
ex ex
? 1 ;(2) y ?1
?
x?
4
sin x 2 ? x; (3) y ?
2 ? cos x
答案(1)(-1,1) (2)(- ∞,2]
(3)
? ?? ?
3, 3
3?
3
? ?
4.分别根据下列条件 ,求实数a 的值:
(1)函数f (x) ? ? x2 ? 2ax ? 1? a在区间[0，1]上有最大值 2； (2)函数f (x) ? ax 2 ? 2ax ? 1? a在区间[? 3，2]上有最大值 4
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(4)y ? x ? 1 ? 1?x ? 0?
x
解题分析: (1)(2)可采用方程的思想方法求出值域,即把函数
看成是关于x 的方程,利用方程有解的充要条件求出y的范围;
解（: 1）由
y
?
3x 3x ?
1
,
得
x?
x
y log3 1? y
? y ? 0, ? y? (0,1) 1? y
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
【解题回顾】对于 x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分 a=0 与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误.
变式题1 已知函数 y=lg(mx2-6mx+m+8) 的值域为 R, 求实数m的取值范围 .
解:当m=0时,函数为y=lg8,值域不为R;
当m<0时,mx2-6mx+m+8不能取遍所有正数,故值域也不为R;
y?
1? 2??
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1
(2) y ? 2 - sinx 2 ? sinx
(3) y ? x - 1 - 2x ;
(4) y ? x ? 1 ? 1?x ? 1?
（3）法二：（利用函数的单调性x ）
? 1? 2x? 0? x? 1
? ?
1?
2a
(a
?
1)
延伸·拓展
例3.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a)，最小值为 m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式.
【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点 (对称轴 ) 和区间都可移动．无论哪种情形都结合图象、顶点 (对称轴 )与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论.
?
2 a ? 1时，M(a) ?
f (0) ?
0, m(a) ?
?a2
2
(4)当 a ? 1时，M (a) ? f (0) ? 0, m(a) ? f (1) ? 1? 2a
综上所述：M (a)
?
??1? 2a (a ?
? ?
0(a
?
1)
?
2
1) 2 , m(a) ?
? 0 (a ? 0)
??? a 2 (0 ? a求出值域;(4)还可采用
基本不等式或利用函数的单调性求出值域.
能力·思维·方法
例题.
例1．求下列函数的值域：
(1)
y
?
3x ; 3x ? 1