卡方检验法在检验学生成绩中的应用

2χ检验法在检验学生成绩中的应用摘要在对学生成绩分析时，采用数理统计中的2χ检验法可以方便有效地得出相关数据。

以某初中全体学生的数学成绩为总体，采用卡方拟合检验法来检验初三学生的数学成绩近似的服从正态分布,以及检验其相应的方差是否正确，完成对考试成绩客观准确的分析,充分了解学生的学习情况。

利用卡方分布检验中重要应用列联表独立检验对学生数学成绩与学校对其所培养的重视程度的关系进行研究，这可以帮助我们去发现教育教学中所要发生的问题，为教育质量的认定与评价提供有效的保障。

关键词: 2χ检验法；假设检验；卡方分布The application of 2χ-test in test scores of studentsAbstractIn the analysis of student achievement, using the test statistics can be conveniently and effectively get the relevant data. A junior high school student with math scores for overall, using the chi-squared fit to test the students mathematical results approximately obey the normal distribution, and test the corresponding variance is correct, complete analysis of test scores of objective and accurate, the full understanding of students learning. Using the card application distribution test of contingency table test for students to study mathematics achievement and school emphasis on its culture, which can help us to discover what happens in education and teaching, to provide an effective guarantee for the monitoring and evaluation of the quality of education.Keywords: 2χ-test, hypothesis testing, 2χdistribution目录摘要χ-test in test scores of students I The application of 2引言 01.1 中值11.2 平均值11.3 标准差11.4 区域11.5 模式12.假设检验的基本概念 32.1 问题的提法32.2 假设检验的基本思想32.3 假设检验的定义与步骤43.2χ检验法在检验学生成绩中的应用 6χ检验63.1 参数2χ检验93.2 非参数23.3 列联表独立性检验164 结语 19参考文献 20引言在现实生活中，我们经常遇到一些现象可以利用数学知识进行解释与解决的。

面对一堆数据我们可以应用数理统计的知识去进行分析，然后找到它们的规律，这对我们生活工作有着理论指导作用。

现实中有很多数据可以建立数据模型进行分析利用，如学生成绩、股票收益、人的身高体重等等。

在教学过程中考试是必不可少,它能够检验与反映学生所掌握的知识水平,也是检验教师所实施的教学方式所达到的效果的一种重要方法。

通过考试，我们可以将学生的成绩看成数据资源,然后运用所学数理统计中知识,进行利用分析这些数据。

在分析这些数据之前我们是不知道它们的总体是如何分布的，所以我们就需要利用样本对总体进行假设检验，而这种假设检验称为非参数检验[1]。

非参数检验方法有很多，如2χ拟合检验法、t检验、柯尔莫哥洛夫检验、符号检验、秩检验等。

这里采用2χ检验法来检验初三学生的数学成绩近似的服从正态分布。

通过理统计分析之后，我们能够对教育教学中效果得到一定了解，这对今后教育教学工作有一定的借鉴作用。

1. 常用统计量为了方便对数据分析的说明以及建立模型的需要，我们将成绩视为总体随机变量,记作ξ,而学生成绩里的数据就可视为总体ξ的一组样本,那么利用统计学中经常用的统计量对样本作出数据分析,就能够得出一些相关的教育教学的结论[2]。

在平时教育教学工作中,我们经常运用以下几个统计量进行数据分析:1.1 中值中值是表示对总学生成绩按照高低进行排序之后，处于在总成绩中间位置的分数。

它是用来反映全体学生考试成绩的具有代表性的数值,在一定程度上可以反映学生成绩整体水平，且不受到学生成绩两极分化的影响。

它的主要不足之处是不具有很强的可靠性，不能客观的说明学生成绩的水平。

1.2 平均值平均值用来反映学生学习成果的平均水平,运用它的主要的意义在于方便学生知道自己在班级的地位，教师也可以利用在各个班级间作比较。

它的不足之处是易受到个别数据的影响,使其不具有客观的代表性，从而无法客观的反映学生的成绩情况。

1.3 标准差标准差是在数理统计中经常使用并作为统计分布程度上的测量。

标准差定义是总体各单位标志值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根，它反映组内个体间的离散程度[3]。

而标准差运用在教育教学中就是用来反映了学生成绩的分布相对于总体的均值的离散程度。

如果标准差越大,则说明学生成绩的高低相差越大,由此可看出学生间学习成绩相距较大。

1.4 区域区域是指一段数据的分布范围，而运用到学生成绩中是指学生成绩的最高分与最低分之差,它是用来反映总体学生的学习成绩上的所分布的范围,运用它可以让我们对学生成绩的有一个大体的了解。

1.5 模式模式运用到学生成绩中去，主要是指总体成绩中出现次数最多的一个分数,它是用来反映学生成绩主要分布在什么地方。

利用它我们能够大体知道学生水平在什么位置，它的不足之处在于不具有客观的可靠性。

2.假设检验的基本概念2.1 问题的提法在数学学习中，我们常常遇到“假设X 正确”、“假设函数f 单调递增”……之类的语句。

而在数理统计假设中的“假设”与这些的意义是不同的。

它不是一个正确的命题出现的，而是作为一个陈述，其是否正确，我们是否愿意认可它，这些都是需要依据样本分析才能做出最后的决定。

而这做出决定的过程，我们称作对该假设进行检验[4]。

在统计学中，我们把需要根据样本去推断命题是否正确的称为一个假设，通过样本对一个假设做出“是”或“不是”的一个判断的过程，称这为检验这个假设，具体的判断规则称为该假设的一个检验，检验的结果若是肯定该命题，则称为接受该假设，反之则是否定或拒绝该假设[5]。

利用统计假设检验处理实际问题时，我们一般可以分为四条：（1）明确所需处理的问题，其答案只能是“不是”或“是”。

（2）取得样本并知道样本的分布。

（3）把回答是“是”的转化到样本分布上所得命题称为假设。

（4）根据样本数据，进行分析计算，得到“拒绝”、“接受”的假设的决定。

2.2 假设检验的基本思想为了方便理解假设检验的基本思想，我们先说明相应的问题。

例 假设小明说他的袋子里装了10个大小相同的球，其中5个白球，5个黑球。

现在我们进行有放回的摸球试验，每次摸一个球后记录颜色，试验结果是全部是黑色的球，那么我们对小明的说法两种看法：一种是他的说的是对的，我们的试验只是运气好而已；另一种看法是认为他是说谎，我们运气哪有这么好，而这只是我们自己的想法，这还需要一个科学客观的分析论证。

现在我们对上面问题进行分析论证：现在我们假设“一半为黑球”是真命题，那么在有放回的试验中，我们可以知道其概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.001~i X ()5,4,3,2,1=i 得出这次试验中黑球总数为51X X X ++=根据以前所学知识我们随机变量0312.05.055~5=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X （2.2.1）显然这是一个小概率的事件，也就是说100人中大约只有3个人才会出现这样的结果。

然而我们就是三人中的一个人，而现实生活经验告诉我们这个可能性太低。

当然我们也不能否认这种事件可能出现的，所以我们得出一个比较科学结论：冒着0312.0的错误来不赞成他的说法。

以上的分析论证就是数理统计学中假设检验的基本思想，它有点像中学数学证明中的反证法，首先需要假设一个命题H 为真的，然后根据这命题和已知的条件进行推理，最后得到一个矛盾的结果，这就可以说该命题H 不成立，从而确定反命题H 成立。

而在统计学中这种“矛盾”跟我们以前学习的“矛盾”不同，这里我们指小概率事件，还有一点需要说明的是在以前数学证明中一旦命题H 不成立时，我们就认为其反命题H 成立，而我们在数理统计中否定一个假设H 是指“冒多大”的风险[6]。

2.3 假设检验的定义与步骤1.零假设与对立假设在检验假设中，常把一个被检验的假设称作为零假设（原假设），记为0H ，未知的总体参数θ等于某个特殊的常数值，记作00:θθ=H ，而与零假设的对立面叫作对立假设（备择假设）[7]。

2.检验统计量在检验一个假设时所要使用的统计量称为检验统计量，使原假设得到接受的那些样本所在的区域，称为该假设检验的接受域，而使原假设被否定的那些样本所成德区域W ，则称为该检验的否定域[8]。

3.假设检验的步骤（1）根据相关的问题做出相应的零假设0H ，同时也给出它的对立假设1H ；（2）在0H 的前提下，选择相应的统计量，而统计量需要包含检验的参数，并且总体分布已知；（3）根据相应问题定出显著性水平α，然后根据对立假设1H 和总体统计量的分布，计算出其小概率事件及其概率表达式。

（4）按照样本值计算出需要的数值；（5）判断小概率事件是否发生，需要综合（3）（4）就可以看出。

根据实际推动原理：若小概率事件在一次实验中发生就认为原假设0H 不合理，于是就拒绝0H 。

若小概率事件不发生，就认为原假设0H 合理，即接受0H [9].3.2χ检验法在检验学生成绩中的应用3.1 参数2χ检验我们这里仅介绍母体ξ的分布为正态时的检验方法，正态分布()2,σμN 含有两个参数μ和2σ，因此，这里的假设都是对这两个参数的假设，现在我们讨论有关方差假设的显著性检验问题[10]。

设n ξξξ ,,21是取自正态分布的母体()2,σμN 的子样。

现在需要检验假设20212020:,:σσσσ≠=H H .下面分别对μ已知和μ未知两种情况说明与论证。

1. 0μμ=是已知的常量。

由于样本的方差()2101∑=-ni i n μξ是母体方差20σ的无偏估计，那么统计量为()202101σμξ∑=-n i i n 当0H 是真命题时，那么统计量应该在1的附近随机的分布，那么当假设0H 成立时，统计量 ()202102σμξχ∑=-=n i i （3.1.1）服从自由度为n 的2χ分布[11]。