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第十三章_卡方检验与方差分析

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方差分析及协方差分析

方差分析及协方差分析

方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称"变异数分析〞或"F检验〞，是R.A.Fisher创造的，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

方差分析的作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。

方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最正确水平等。

方差分析是在可比拟的数组中，把数据间的总的"变差〞按各指定的变差来源进展分解的一种技术。

对变差的度量，采用离差平方和。

方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的局部离差平方和，这是一个很重要的思想。

经过方差分析假设拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。

假设要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的根底上进展多个样本均数的两两比拟。

方差分析的分类及举例一、单因素方差分析〔一〕单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。

这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。

这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。

单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。

例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。

方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。

据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两局部，用数学形式表述为：SST=SS A+SSE。

方差分析_精品文档

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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。

它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。

方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。

组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。

通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。

方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。

原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。

2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。

3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。

4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。

5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。

方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。

此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。

然而，方差分析也有一些限制。

首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。

其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。

最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。

2020年智慧树知道网课《SPSS应用(山东联盟)》课后章节测试满分答案

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绪论单元测试1【判断题】(100分)学习《SPSS应用》可以有效提高你的统计思维能力。

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A.flvB.mp4C.savD.spv4【单选题】(20分)下列选项不属于数据编辑窗口的功能的有（）。

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A.个案B.元组C.变量D.属性第二章测试1【多选题】(20分)SPSS中无效的变量名有（）。

A.1@aB.abc1#C.*homeD.cd_12【单选题】(20分)SPSS软件的编辑窗口能打开的文件类型有（）。

A.*.docB.*.stC.*.xlsD.*.mat3【单选题】(20分)变量的起名规则一般：变量名的字符个数不多于（）。

A.8B.9C.6D.74【单选题】(20分)SPSS默认的字符型变量的对齐方式是（）。

A.垂直居中B.右对齐C.左对齐D.中间对齐5【单选题】(20分)SPSS的主要变量类型不包括（）。

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A.升序排序B.不排序C.可升可降D.降序排序3【单选题】(20分)通过（）可以达到将数据编辑窗口中的计数数据还原为原始数据的目的。

统计学中的方差分析与卡方检验

统计学中的方差分析与卡方检验

方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。

方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。

方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。

在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。

方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。

通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。

方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。

卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。

分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。

卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。

卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。

尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。

首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。

其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。

最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。

如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。

当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。

总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。

第十三章 卡方检验与方差分析

第十三章 卡方检验与方差分析
第十三章 χ检验与方差分析
2
我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数 检验的问题。现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以 2 2 χ χ 上样本的差异， 检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。 检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则 可以对多个总体均值是否相等进行检验。后者由于通过各组 样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检 验统计量，所以又称F检验。 第一节：拟合优度检验 第二节：无关联性检验
应用举例
[例 ] 孟德尔遗传定律表明：在纯种红花豌豆与白花豌豆杂交后 所生的子二代豌豆中，红花对白花之比为3：1。某次种植试验的结果 为；红花豌豆176株，白花豌豆48株。试在α＝0．05的显著性水平上， 对孟德尔定律作拟合优度检验。（参见下表）
3．正态拟合检验
[例] 试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取α＝0．05。

2 χ 一篇文章中引进的所谓 检验法。Βιβλιοθήκη Pi 1c
i
2．拟合优度检验(比率拟合检验)
首先把问题表述成一般模式。设一总体包含c种可区别的个体。根据某 种理论或纯粹的假设，第i 种个体出现的概率应为某个已知的数Pi ( i＝1 ， 2，…，c),有Pi ＞0， P ＝1。这一组概率(P1 ，P2 ，…，Pc)就构成了我 们的理论分布。现在在该总体中随机地抽取一个容量为n的样本，发现其中
c fi f 率，即：xi 出现的频率为 ，并有 i ＝1。 n i 1 n
i 1
c
现在我们就是要据此经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设。
拟合优度检验如何进行?
关键是确定合适的检验统计量以及该统计量所服 从的概率分布。这里不可避免地要引进某种人为因素 ，即人们设计出下面这样的综合性可比指标：

t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析

t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析

统计中经常会用到各种检验, 如何知道何时用什么检验呢, 根据结合自己的工作来说一说：之欧侯瑞魂创t检验有单样本t检验, 配对t检验和两样本t检验.单样本t检验：是用样本均数代表的未知总体均数和已知总体均数进行比力, 来观察此组样本与总体的不同性.配对t检验：是采纳配对设计方法观察以下几种情形, 1, 两个同质受试对象分别接受两种分歧的处置；2,同一受试对象接受两种分歧的处置；3, 同一受试对象处置前后.u检验：t检验和就是统计量为t,u的假设检验, 两者均是罕见的假设检验方法.当样本含量n较年夜时, 样本均数符合正态分布,故可用u检验进行分析.当样本含量n小时, 若观察值x符合正态分布, 则用t检验（因此时样本均数符合t分布）, 当x为未知分布时应采纳秩和检验.F检验又叫方差齐性检验.在两样本t检验中要用到F检验.从两研究总体中随机抽取样本, 要对这两个样本进行比力的时候, 首先要判断两总体方差是否相同, 即方差齐性.若两总体方差相等,则直接用t检验, 若不等, 可采纳t'检验或变量变换或秩和检验等方法.其中要判断两总体方差是否相等, 就可以用F检验.简单的说就是检验两个样本的方差是否有显著性不同这是选择何种T检验（等方差双样本检验, 异方差双样本检验）的前提条件.在t检验中, 如果是比力年夜于小于之类的就用单侧检验, 即是之类的问题就用双侧检验.卡方检验是对两个或两个以上率（构成比）进行比力的统计方法, 在临床和医学实验中应用十分广泛, 特别是临床科研中许多资料是记数资料, 就需要用到卡方检验.方差分析用方差分析比力多个样本均数,可有效地控制第一类毛病.方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出, 以F命名其统计量, 故方差分析又称F检验.其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同, 检验两个或多个样本均数的不同是否有统计学意义.我们要学习的主要内容包括单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析（oneway ANOVA）：用途：用于完全随机设计的多个样本均数间的比力, 其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否相等.完全随机设计（completely random design）不考虑个体差此外影响, 仅涉及一个处置因素, 但可以有两个或多个水平, 所以亦称单因素实验设计.在实验研究中按随机化原则将受试对象随机分配到一个处置因素的多个水平中去, 然后观察各组的试验效应；在观察研究（调查）中按某个研究因素的分歧水平分组, 比力该因素的效应.两因素方差分析即配伍组设计的方差分析（twoway ANOVA）：用途：用于随机区组设计的多个样本均数比力, 其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否相等.随机区组设计考虑了个体差此外影响, 可分析处置因素和个体不同对实验效应的影响, 所以又称两因素实验设计, 比完全随机设计的检验效率高.该设计是将受试对象先按配比条件配成配伍组（如植物实验时, 可按同窝别、同性别、体重相近进行配伍）, 每个配伍组有三个或三个以上受试对象, 再按随机化原则分别将各配伍组中的受试对象分配到各个处置组.值得注意的是, 同一受试对象分歧时间（或部位）重复屡次丈量所获得的资料称为重复丈量数据（repeated measurement data）, 对该类资料不能应用随机区组设计的两因素方差分析进行处置, 需用重复丈量数据的方差分析.方差分析的条件之一为方差齐, 即各总体方差相等.因此在方差分析之前, 应首先检验各样本的方差是否具有齐性.经常使用方差齐性检验（test for homogeneity of variance）推断各总体方差是否相等.本节将介绍多个样本的方差齐性检验, 本法由Bartlett于1937年提出, 称Bartlett法.该检验方法所计算的统计量服从分布.经过方差分析若拒绝了检验假设, 只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等.若要获得各组均数间更详细的信息, 应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比力.创作时间：二零二一年六月三十日。

卡方检验与方差分析

卡方检验与方差分析
不太理想的办法
与邻近行或列中的实际频数合并 删去理论频数太小的格子所对切概率法
42
方差分析
为了进行两组以上均数的比较，通常可 以使用方差分析方法。本部分主要介绍 方差分析基本概念、单因素方差分析及 其在SPSS中的操作。
方差分析是R.A.Fister发明的，用于两 个及两个以上样本均数差别的显著性检 验。
卡方检验
在H0为真时，实际观察数与理论数之差
Ai－Ti 应该比较接近0。
所以在H0为真时，检验统计量
2 P
k i 1
( Ai
Ti )2 Ti
服从自由度为（r-1）×（c-1）的卡方分布。
当
2 P
2 ,v，拒绝H0。
上述卡方检验由此派生了不同应用背景的各种问
题的检验，特别最常用的是两个样本率的检验
进一步，在掌握关键影响因素，如品种、施肥量因素等之后，我们 还要对不同的品种、不同的施肥量条件下的产量进行对比分析，研究究 竟哪个品种的产量高，施肥量究竟多少最合适，哪种品种与哪种施肥量 搭配最优，等等。在这些分析研究的基础上，我们就可以计算出各个组 合方案的成本和收益，并选择最合理的种植方案，主动的在农作物种植 过程中对各种影响因素加以准确控制，进而获得最理想的效果。
方差分析分类
单因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析
方差分析概述
方差分析的作用
在诸多领域的数量分析研究中，找到众多影响因素中重要的影响因 素是非常重要的。比如：在农业生产中，我们总是希望在尽量少的投入 成本下得到较高的农作物产量。这就需要首先分析农作物的产量究竟受 到哪些因素的影响。有许多因素会影响农作物的产量，如种子的品种、 施肥量、气候、地域等，他们都会给农作物的产量带来或多或少的影响。 如果我们能够掌握在众多的影响因素中，哪些因素对农作物的产量起到 了主要的、关键性的作用，我们就可以根据实际情况对这些关键因素加 以控制。

统计学中的卡方检验与方差分析

统计学中的卡方检验与方差分析

统计学中的卡方检验与方差分析统计学是一门重要的学科，它帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势。

在统计学中，卡方检验和方差分析是两个常用的分析方法，它们在研究中起着重要的作用。

一、卡方检验卡方检验是一种用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联的方法。

它基于观察值和期望值之间的差异来判断变量之间的关系。

在卡方检验中，我们首先需要建立一个假设。

通常情况下，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。

原假设是指两个变量之间不存在关联，备择假设则是指两个变量之间存在关联。

然后，我们会进行观察值和期望值的计算。

观察值是指实际观察到的数据，而期望值是基于原假设计算得出的数据。

接下来，我们会计算卡方统计量。

卡方统计量是观察值和期望值之间差异的度量，它的计算公式是：卡方统计量= Σ((观察值-期望值)^2 / 期望值)最后，我们会根据卡方统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。

自由度是指用于计算卡方统计量的独立变量的个数。

卡方检验可以应用于很多领域，比如医学研究、市场调查等。

它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在关联，从而对研究结果进行解释和推断。

二、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的方法。

它通过分析样本内部的差异和样本之间的差异来判断均值是否存在显著性差异。

在方差分析中，我们首先需要建立一个假设。

与卡方检验类似，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。

原假设是指样本之间的均值没有显著差异，备择假设则是指样本之间的均值存在显著差异。

然后，我们会计算组内方差和组间方差。

组内方差是指样本内部的差异，而组间方差是指样本之间的差异。

接下来，我们会计算F统计量。

F统计量是组间方差与组内方差的比值，它的计算公式是：F统计量 = 组间方差 / 组内方差最后，我们会根据F统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。

方差分析可以应用于很多领域，比如教育研究、工程实验等。

它可以帮助我们比较不同组别的均值差异，从而对实验结果进行评估和解释。

实验三 卡方测验和方差分析

实验三 卡方测验和方差分析
输出选项中选择输出区域，输出区域不 能覆盖原始数据。
名种处理间的多种比较： 1、计算标准误 2、计算LSR 3、标记字母
练习内容：教材中例5.1
思考题
1.方差分析表中P-值的含义是什么？如 何利用它来判断F值的显著性？
实验四 方差分析
实验目的：学会利用Excel进行方差分 析，掌握方差分析的基本理论和方法。
操作步骤：
将多样本等重复的数据资料输入到工作 表中，点击工具栏中的数据后 1个数据所包含的单元格区域。
分组方式指的不同处理的分组方式。
若数据中有非数值的标记，必须选择标 记。

方差分析与卡方检验

方差分析与卡方检验

方差分析与卡方检验方差分析（Analysis of Variance），简称ANOVA，是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。

它通过比较组内变异与组间变异的大小来判断不同组之间是否存在显著差异。

卡方检验（Chi-Square Test），又称χ²检验，是一种用于检验实际观测值与理论预期值之间是否存在显著差异的统计方法。

方差分析和卡方检验是常用的两种统计分析方法，本文将分别对它们进行介绍和比较。

一、方差分析方差分析是一种基于方差的统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。

它适用于多个独立样本或多个相关样本之间的比较。

具体的步骤如下：1. 假设检验方差分析的假设检验通常基于以下假设：- 零假设（H0）：各组样本的均值相等。

- 备择假设（H1）：至少有一个组样本的均值与其他组不同。

2. 计算统计量方差分析中常用的统计量是F值。

F值是组间均方与组内均方之比，其具体计算公式为：F = 组间均方 / 组内均方3. 比较临界值根据给定的显著性水平（通常为0.05），查表或计算得到临界值。

4. 做出判断如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各组样本的均值存在显著差异；否则，接受零假设，认为各组样本的均值相等。

二、卡方检验卡方检验是一种用于检验实际观测值与理论预期值之间差异的统计方法。

它适用于分类变量之间的比较。

具体的步骤如下：1. 假设检验卡方检验的假设检验通常基于以下假设：- 零假设（H0）：实际观测值与理论预期值之间无显著差异。

- 备择假设（H1）：实际观测值与理论预期值之间存在显著差异。

2. 构建列联表根据实际观测值，构建列联表。

列联表是由多个分类变量组成的二维表格，用于统计不同组别之间的频数或频率。

3. 计算卡方值根据列联表中的实际观测频数和理论预期频数，计算卡方值。

卡方值的计算公式为：χ² = ∑ [(观测频数 - 预期频数)^2 / 预期频数]4. 比较临界值根据给定的自由度和显著性水平，查表或计算得到临界值。

卡方检验和方差分析

卡方检验和方差分析

1、卡方检验是对两个或两个以上样本率（构成比）进行差别比较的统计方法，在临床和医学实验中应用十分广泛，特别是临床科研中许多资料是计数资料，就需要用到卡方检验。

资料类型：1、四格表资料;两个样本率比较2、配对四格表：3、行列表资料：多个样本率比较2、方差分析1、定义、目的：用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。

方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。

其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。

我们要学习的主要内容包括：2、单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析（one-way ANOVA）：用途：用于完全随机设计的多个样本均数间的比较，其目的是推断各样本所代表的总体均数是否相等。

完全随机设计（completely random design）不考虑个体差异的影响，仅涉及一个处理因素，但可以有两个或多个水平，所以亦称单因素实验设计。

在实验研究中按随机化原则将受试对象随机分配到一个处理因素的多个水平中去，然后观察各组的试验效应；在观察研究（调查）中按某个研究因素的不同水平分组，比较该因素的效应。

还可用于方差齐性检验、回归系数假设检验、相关系数假设检验3、两因素方差分析即配伍组设计的方差分析（two-way ANOVA）：用途：用于随机区组设计的多个样本均数比较，其目的是推断各样本所代表的总体均数是否相等。

随机区组设计考虑了个体差异的影响，可分析处理因素和个体差异对实验效应的影响，所以又称两因素实验设计，比完全随机设计的检验效率高。

该设计是将受试对象先按配比条件配成配伍组（如动物实验时，可按同窝别、同性别、体重相近进行配伍），每个配伍组有三个或三个以上受试对象，再按随机化原则分别将各配伍组中的受试对象分配到各个处理组。

值得注意的是，同一受试对象不同时间（或部位）重复多次测量所得到的资料称为重复测量数据（repeated measurement data），对该类资料不能应用随机区组设计的两因素方差分析进行处理，需用重复测量数据的方差分析。

卡方检验的原理和使用

卡方检验的原理和使用

卡方检验的原理和使用卡方检验（Chi-Square Test）是一种常用的统计方法，用于检验两个或多个分类变量之间是否存在相关性。

它的原理基于统计学中的卡方分布，通过比较实际观测值与期望理论值之间的差异来判断变量之间的关联性。

在实际应用中，卡方检验被广泛用于医学、社会科学、市场调研等领域，帮助研究人员验证假设、分析数据，从而做出科学的决策。

一、卡方检验的原理卡方检验的原理基于卡方分布，其核心思想是通过比较实际观测值与期望理论值之间的差异来判断变量之间是否存在相关性。

在进行卡方检验时，首先需要建立零假设（H0）和备择假设（H1）。

零假设通常是假定两个变量之间不存在相关性，备择假设则是假定两个变量之间存在相关性。

卡方检验的步骤如下：1. 收集数据并建立列联表：将研究对象按照不同的分类变量进行分组，并统计各组的频数，建立列联表。

2. 计算期望频数：根据总体频数和各组的比例计算期望频数，即在零假设成立的情况下，每个组的理论频数。

3. 计算卡方值：通过比较实际观测频数与期望频数的差异，计算得到卡方值。

4. 确定显著性水平：根据卡方分布表确定显著性水平，一般取0.05。

5. 比较卡方值与临界值：如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝零假设，认为两个变量之间存在相关性；反之，则接受零假设。

二、卡方检验的使用卡方检验在实际应用中具有广泛的用途，主要包括以下几个方面： 1. 分类变量相关性检验：用于检验两个或多个分类变量之间是否存在相关性，例如性别与偏好、教育程度与收入水平等。

2. 拟合优度检验：用于检验观测频数与期望频数之间的拟合程度，例如检验实际抽样数据是否符合某种理论分布。

3. 独立性检验：用于检验两个分类变量之间是否独立，例如检验药物治疗对疾病痊愈的影响是否独立于患者的年龄。

4. 方差分析：在多组分类变量比较中，可以使用卡方检验进行方差分析，判断不同组别之间的差异是否显著。

在使用卡方检验时，需要注意以下几点：1. 样本量要足够大：样本量过小会影响检验结果的可靠性，一般要求每个单元格的期望频数不低于5。

方差分析-统计学原理

方差分析-统计学原理
（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相 等（此变异主要反映的是随机误差的作用）
各部分变异的计算：
①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离均
差平方和 SS总 来表示。
g ni
g ni
SS总 （Xij X )2
X
2 ij

C

X
2
C
i1 j1
i1 j1
其中
将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
• 该设计的特点：（1）该设计包含两个因素，一个 是区组因素，一个是处理因素；（2）各区组及处 理组的受试对象数相等，各处理组的受试对象生物 学特性较均衡，可减少试验误差，提高假设检验的 效率。
方差分析的应用条件
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
方差分析的用途
1 用于两个或多个均数间的比较 2 分析两个或多个因素的交互作用 3 回归方程的假设检验 4 方差齐性检验
第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，
yij i ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r, 诸ij相互独立，且都服从N (0, 2 )
模型可以改写为

yij


ai
ij ,
j
1, 2,..., mi ,i
1, 2,..., r,


r
miai 0
将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别 接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差 别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。

方差分析PPT课件

方差分析PPT课件

方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
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第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
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分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。

方差分析中的检验统计量

方差分析中的检验统计量

方差分析中的检验统计量方差分析中的检验统计量（ANOVA）是统计学中用来比较多个种类变量之间的均值差异的一种常见技术。

它通过衡量一个分组的方差来测量组间的均值差异，具体而言，它衡量的是组内变量的总体方差和组间方差之间的差异。

为了执行组间方差分析，我们需要计算出检验统计量。

有许多检验统计量，但最常用的是卡方检验（Chi-square test）、独立样本t检验（Independent Samples t-test）和方差分析（ANOVA）。

卡方检验是一种统计检验，它用于检验观察到的分类标签是否来自某个参考分布，这个参考分布指定了每个分类中样本的比例。

卡方检验可以用来检验组间变量的均值差异。

卡方检验有一个假设，就是变量服从多元正态分布，也就是说，变量的每一组数据都服从正态分布。

如果变量不服从多元正态分布，那么卡方检验就没有意义。

此外，卡方检验假设每一组变量的尺度是相同的，也就是说，每个组的变量具有相同的方差和均值。

独立样本t检验是一种比较两组样本的均值的假设检验，它用于检验它们之间是否存在某种统计显著的均值差异。

独立样本t检验假设两个样本来自两个正态分布，并且它们具有相同的方差。

独立样本t检验也假设两个样本是独立的，也就是说，样本一中的结果与样本二中的结果没有相关性。

方差分析（ANOVA）是一种用于比较多个组之间均值的统计检验。

它假设，所有组中变量服从正态分布，并且每个组之间存在均值差异。

方差分析可以用于比较两个组，也可以用于比较多个组。

方差分析的一个重要假设是，所有组之间的变量服从相同的尺度，也就是说，每个组的变量具有相同的方差和均值。

在实际应用中，在检验组间变量均值差异时，要根据不同情况来选择最合适的检验统计量。

卡方检验是当所比较的样本量较小时的合适检验，而独立样本t检验和方差分析则适合检验样本量较大的情况。

另外，在使用以上三种方法之前，需要检查数据是否符合以上假设，而该假设的满足程度也会影响检验的结果。

t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析

t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析
F 检验又叫方差齐性检验。在两样本 t 检验中要用到 F 检验。
从两研究总体中随机抽取样本，要对这两个样本进行比较的时候，首先要判断两总体方差是否相同， 即方差齐性。若两总体方差相等，则直接用 t 检验，若不等，可采用 t'检验或变量变换或秩和检验 等方法。 其中要判断两总体方差是否相等，就可以用 F 检验。 简单的说就是检验两个样本的方差是否有显着性差异这是选择何种 T 检验（等方差双样本检验， 异方差双样本检验）的前提条件。 在 t 检验中，如果是比较大于小于之类的就用单侧检验，等于之类的问题就用双侧检验。 卡方检验 是对两个或两个以上率（构成比）进行比较的统计方法，在临床和医学实验中应用十分广泛，特别 是临床科研中许多资料是记数资料，就需要用到卡方检验。 方差分析 用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。方差分析(analysisofvariance,ANOVA)由 英国统计学家首先提出，以 F 命名其统计量，故方差分析又称 F 检验。 其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学 意义。我们要学习的主要内容包括 单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析（one-wayANOVA）： 用途：用于完全随机设计的多个样本均数间的比较，其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数 是否相等。完全随机设计（completelyrandomdesign）不考虑个体差异的影响，仅涉及一个处理因 素，但可以有两个或多个水平，所以亦称单因素实验设计。在实验研究中按随机化原则将受试对象 随机分配到一个处理因素的多个水平中去，然后观察各组的试验效应；在观察研究（调查）中按某 个研究因素的不同水平分组，比较该因素的效应。 两因素方差分析即配伍组设计的方差分析（two-wayANOVA）： 用途：用于随机区组设计的多个样本均数比较，其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否 相等。随机区组设计考虑了个体差异的影响，可分析处理因素和个体差异对实验效应的影响，所以 又称两因素实验设计，比完全随机设计的检验效率高。该设计是将受试对象先按配比条件配成配伍 组（如动物实验时，可按同窝别、同性别、体重相近进行配伍），每个配伍组有三个或三个以上受 试对象，再按随机化原则分别将各配伍组中的受试对象分配到各个处理组。值得注意的是，同一受 试对象不同时间（或部位）重复多次测量所得到的资料称为重复测量数据

卡方检验与方差分析

卡方检验与方差分析

第十三章 2χ检验与方差分析我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数检验的问题。

现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以上样本的差异，2χ检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。

2χ检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则可以对多个总体均值是否相等进行检验。

后者由于通过各组样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检验统计量，所以又称F 检验。

第一节 拟合优度检验1．问题的导出第十一章最后一节，我们将累计频数检验用于经验分布与理论分布的比较，实际已经提供了拟合优度检验的一种方法。

2χ拟合优度检验与累计频数拟合优度检验相对应，在评估从经验上得到的频数和在一组特定的理论假设下期望得到的频数之间是否存在显著差异时，是一种更普遍的检验方法。

2．拟合优度检验(比率拟合检验)据经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设，检验统计量是2o χ＝频数理论理论频数观察频数∑-/)(2 理论证明，当n 足够大时，该统计量服从2χ分布。

因此对给定的显著性水平α，将临界值2αχ与2o χ比较，可以就H o 作出检验结论。

对于拟合优度检验，在试验规模小时，否定零假设的意义大，接受零假设的意义不大；若试验规模大时，则接受零假设的意义大，否定零假设的意义不大。

3．正态拟合检验第二节 无关联性检验2χ检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列联表检验。

由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行交互分类的，所以，①2χ检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法无法比拟的优点；②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。

1．独立性、理论频数及自由度检验统计量 2oχ＝∑-e e o f f f 2)(＝∑∑==-c i r j eij eij oij f f f 112)( 进一步上式可变为 2o χ＝-∑∑==c i r j eij oij f f 112n在使用2χ检验法进行列联表检验之前，还必须确定与2o χ这个检验统计量相联系的自由度，即 (r ×c -1)-(r -1)-(c -1)＝(c -1)(r -1)。

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[解]
故拒绝H0，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有 即认为总体上性别与收入高低之间不独立， 显著相关关系。 显著相关关系。
[例] 在某种流行病流行的时候，共有120个病人进行了治疗，其中40个 在某种流行病流行的时候，共有120个病人进行了治疗，其中40个 病人按标准剂量服用某种新药，另有40个病人按标准剂量的2 病人按标准剂量服用某种新药，另有40个病人按标准剂量的2倍服用了这种 新药，其余40个病人只按病状治疗(而不是按病因治疗) 新药，其余40个病人只按病状治疗(而不是按病因治疗)，治疗结果按迅速痊 愈、缓慢痊愈、未痊愈分为三类，最后交叉分类的情况列于下表，试问这 三种疗法之间有没有差别( 三种疗法之间有没有差别(α取0．05)。 05)。
2 2
第三节方差分析
方差分析，是一种很重要的分析方法， 方差分析，是一种很重要的分析方法，它可以检验两个 以上样本均值之差。方差分析是均值差检验的推广， 以上样本均值之差。方差分析是均值差检验的推广，一般用 于处理自变量是一个（或多个） 于处理自变量是一个（或多个）定类变量和因变量是一个定 距变量之间的关系。 距变量之间的关系。方差分析所包含的假定与均值差检验所 包含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、 包含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、等方差 性等，但检验本身却很不相同。 性等，但检验本身却很不相同。方差分析直接涉及的是方差 而不是均值和标准差。同时，比较也不取两种估计量之差， 而不是均值和标准差。同时，比较也不取两种估计量之差， 而是取两种估计量的比率。在两种估计量彼此独立的前提下， 而是取两种估计量的比率。在两种估计量彼此独立的前提下， 具有已知的抽样分布， 两种估计量之比率F具有已知的抽样分布，因而可进行很简单 的检验。 的检验。
c fi f ，并有 ∑ i ＝1。 n i= n 1
i= 1
现在我们就是要据此经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设。
拟合优度检验如何进行? 拟合优度检验如何进行
关键是确定合适的检验统计量以及该统计量所服 从的概率分布。这里不可避免地要引进某种人为因素 ，即人们设计出下面这样的综合性可比指标：
一是三个样本可能不同， 一是三个样本可能不同，这使全部数据 有三个“中心” 有三个“中心”； 二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。 二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。
总变差分解
可以看出，总变差分解成两部分： 可以看出，总变差分解成两部分： 第一部分是各观测值 Yij 对其所属类别均值 Yi的偏差 组内变差( 的平方和，称为组内变差 Within的平方和，称为组内变差( Within-groups Sum of Squares)，记作SS 组内变差反映了数据围绕各“ Squares)，记作SSW。组内变差反映了数据围绕各“中 的散布程度， 因随机波动所产生的变异， 心”的散布程度，即反映了 Yij因随机波动所产生的变异， Yij 与自变量因素无关。换言之, 与自变量因素无关。换言之,SSW是自变量因素所没有解 Y 释的 的变异。因此，又称之为残差。 的变异。因此，又称之为残差 残差。 ij 第二部分是组间平方和 Between第二部分是组间平方和 ( Between-groups Sum of Squares)，记作SS Squares)，记作SSB ，它涉及到诸类别均值 Yi对总均值 的偏差， 中心” Y 的偏差，反映了前表中数据的c个“中心”的散布程 度。
3．正态拟合检验
[例] 试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取α＝0．05。 试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取α 05。
[解]
第二节
无关联性检验
即列联表检验。在上一章，我们曾多次提到过性别与收入高低有无 关联的问题，在实际中类似的问题很多。例如受教育程度与投票行 为有无关联?吸烟与寿命长短有无关联? 为有无关联?吸烟与寿命长短有无关联?家庭小孩多少与收入多少有 无关联?受教育时间长短与收入多少有无关联? 无关联?受教育时间长短与收入多少有无关联?血型与某种性格上的 差异有无关联? 差异有无关联?等等，把这类问题上升到一般，就是在列联表的基 础上考察变量X与Y有无关联。由于列联表一般是按品质标志把两个 变量的频数进行交互分类的，所以： ① χ2 检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法 无法比拟的优点； ②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。
2 χ 检验法。 一篇文章中引进的所谓 检验法。
c
∑P
i =1
i
2．拟合优度检验(比率拟合检验) 拟合优度检验(比率拟合检验)
首先把问题表述成一般模式。设一总体包含c种可区别的个体。根据某 种理论或纯粹的假设，第i 种个体出现的概率应为某个已知的数Pi ( i＝1 ， 2，…，c),有Pi ＞0，∑P ＝1。这一组概率(P1 ，P2 ，…，Pc)就构成了我 们的理论分布。现在在该总体中随机地抽取一个容量为n的样本，发现其中
第一节
拟合优度检验
运用Z检验、 检验等讨论假设检验的问题 运用 检验、t检验等讨论假设检验的问题，一般要求总体服从 检验 检验等讨论假设检验的问题， 正态分布， 正态分布，或者在大样本条件下可以利用渐近正态分布理论来描述 抽样分布。也就是说， 抽样分布。也就是说，我们都要直接或间接地假定对象总体具有已 知的分布形式，然后对总体的未知参数进行假设检验。 知的分布形式，然后对总体的未知参数进行假设检验。如果不知道 总体的分布形式，就无法运用t检验法等对总体参数进行假设检验 总体的分布形式，就无法运用 检验法等对总体参数进行假设检验 。于是，这里有一个前面留下来的尚未讨论的问题很重要，就是怎 于是，这里有一个前面留下来的尚未讨论的问题很重要， 样检定总体是否具有正态或其他分布形式？ 样检定总体是否具有正态或其他分布形式？拟合优度检验正是就这 一问题而言的检验方法。 一问题而言的检验方法。
2 χo统计量之值并定出其自由度后，就可以依前述的方法，在给定了显 统计量之值并定出其自由度后，就可以依前述的方法，
应用举例
检验检定性别与收入之间的相关程度是否显著( 检验检定性别与收入之间的相关程度是否显著(α取0．001)。 001)。
2 χo 检验也适用于定类变量和定类变量的相关统计，即可 2 以用它检定λ和τ系数是否显著。就下表所示资料，试以 χo
2 时，该统计量 服从 χ 分布，它是一种具有已知的并制成表的概率 分布，
分布，因此对给定的显著性水平α，可求得临界值 分布，因此对给定的显著性水平α 较，进而作出检验结论。 进而作出检验结论。
2 2 χα 与 χo比 ，
显而易见， 越接近， 统计值越小， 显而易见，理论频数 fe 与观测频数 fo 越接近， χo 统计值越小，
第十三章 χ 检验与方差分析
2
我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数 检验的问题。现在， 检验的问题。现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以2 2 χ ， 检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。 χ 上样本的差异， 检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。 上样本的差异 检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验， 检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则 可以对多个总体均值是否相等进行检验。 可以对多个总体均值是否相等进行检验。后者由于通过各组 样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检 样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从 分布的检 验统计量，所以又称F检验 检验。 验统计量，所以又称 检验。 第一节： 第一节：拟合优度检验 第二节： 第二节：无关联性检验 第三节： 第三节：方差分析 第四节： 第四节：回归方程与相关系数的检验
c i= 1 i
c
第 i 种个体的数目为fi (i ＝1，2，…，c)，并有 ∑fi ＝n。我们要据此检 i= 1 验理论分布。 用概率论的语言可以这样说，设对象总体中随机变量X有c种取值。当X的 取值是xi 时，按零假设，其总体分布等于理论分布，即P( xi )＝Pi ( i＝1， 2，…，c) 例如，就孟德尔的3∶1理论来说，c ＝2，P(x1)＝3/4，P(x2)＝1/4。现 在从该总体中随机地抽取一个容量为n的样本，发现其中xi(i＝1，2…，c)出 c 现的次数为fi (i ＝1，2，…，c)，并有 ∑fi ＝n。知道了频数也就知道了频 率，即：xi 出现的频率为
其中k1，k2，…，kc 是适当选取的常数。仔细观察不 难 发现，L值大，意味着经验分布与理论分布偏离大；L 值小，意味着经验分布与理论分布偏离小。当在某个选定 的水平上，经验分布显著偏离理论分布，那么对象总体具 有某种分布形式的零假设便被否定。
结论： 结论：
用
2 χo 作为检定Ho成立的检验统计量，理论证明，当n足够大 作为检定H 成立的检验统计量，理论证明，
χ2 检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，
1、独立性、理论频数及自由度 独立性、
应用此式， 应用此式，不必计算理论频数
计算与 χo 这个检验统计量相 联系的自由度
2
算出 著性水平之后，来对X， 属性无关联的零假设进行检验了 属性无关联的零假设进行检验了。 著性水平之后，来对 ，Y属性无关联的零假设进行检验了。
2
经验分布与理论分布拟合程度越好。反之，fe 与 fo 差距越大， 差距越大， 经验分布与理论分布拟合程度越好。反之，
2 值越大，经验分布与理论分布拟合程度越差，拟合优度检验由此 值越大o 经验分布与理论分布拟合程度越差， χ，
得名。 得名。
应用举例
[例 ] 孟德尔遗传定律表明：在纯种红花豌豆与白花豌豆杂交后 所生的子二代豌豆中，红花对白花之比为3 所生的子二代豌豆中，红花对白花之比为3：1。某次种植试验的结果 为；红花豌豆176株，白花豌豆48株。试在α 为；红花豌豆176株，白花豌豆48株。试在α＝0．05的显著性水平上， 05的显著性水平上， 对孟德尔定律作拟合优度检验。（参见下表）