专题17 三角函数应用-2018年江苏高考理科数学真题及相似题训练

2018年高考数学理科试卷（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅CD AB ，则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==Nn n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长． B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为． ②设，当x >0时，， 所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C截得的弦长为． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以1,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111||||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅-===⋅．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩ 不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CCCC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

2018年高考理科数学三角函数100题（含答案解析）1.己知x 0=﹣是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极小值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，π）D ．（，π）2.已知△ABC 是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC 的面积为，则AB=（ ）A ．B ．C ．D ．33.已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是 （A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0 4.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<<D ．(2)(0)(2)f f f <<-5.设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数6.已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）．A ．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线π8x =对称 C ．关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线π4x =对称 7.为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度 8.已知(0,π)α∈，3cos 5α=-，则tan α=（ ）．A ．34B ．34-C ．43D ．43-9.已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭图象如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）．A ．对称轴方程是ππ()6x k k =+∈Z B ．对称中心坐标是ππ,0()3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．在区间2ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增10.设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定11.要得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）．A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位 12.将函数cos y x =的图像上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）． A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13.函数y=cos 2(x ﹣6π)的一条对称轴为（ ） A ．x=﹣6π B ．x=125π C ． x=3π D ．x=﹣3π 14.在锐角△ABC 中，∠A=，∠BAC 的平分线交边BC 于点D ，|AD|=1，则△ABC 面积的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，] C ．[，）D ．[，）15.已知函数，则f （x ）的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．C ．D ．16.已知，且，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．17.函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f （1）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，B=45°，面积S=3，则b 的值为（ ）A ．6B ．26C ．D ．20.已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cos α=﹣，则m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．21.已知实数a=cos 224°﹣sin 224°，b=1﹣2sin 225°，c= ︒-︒23tan 123tan 22，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a22.要得到y=sinx•cosx ﹣cos 2x+21的图象，只需将函数y=22sin2x 的图象（ ）A ．左移4πB ．右移4π C ．左移8π D ．右移8π 23.已知θ∈（，π），sin θ=，则sin （θ+）等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣24.若函数f （x ）=sin ωx+cos （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在[0，]上的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．25.已知cos （+α）=，则α∈（，），则sin2α=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．26.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数f（x ）的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．27.设a=（sin17°+cos17°），b=2cos 213°﹣1，c=，则（ ）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c28.已知 f（sinx）=x，且，则的值等于（）A．B．C．D．29.已知tanα=，α∈（π，π），则cosα的值是（）A．±B．C．﹣D．30.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）31.cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．32.已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数33.已知θ是第四象限角，且，则cos θ= ．34.已知x 1，x 2是函数f （x ）=2sin2x+cos2x ﹣m 在[0，]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）= ． 35.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点1(2，则πcos()3θ+=________. 36.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________． 37.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =4c =，60A =︒，则b =__________． 38.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin B ，则a =__________，ABC S =△__________． 39.已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________． 40.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．41.点P 从(0,1) 出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 . 42.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 43.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角B 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin B =__________，cos()αβ-=__________．44.在ABC △中，cos c a B =，①A =__________；②若1sin 3C =，则cos(π)B +=__________．45.已知α∈（，π），sin α=，则tan= ．46.在△ABC 中，，AB=2，且△ABC 的面积为，则边BC 的长为 ．47.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若==，则sinB= ． 48.若sin(α﹣3π)=51，α∈(0，2π)，则cosα= ． 49.已知△ABC 中，AB=3，BC=1，sinC=3cosC ，则△ABC 的面积为 ． 50.已知函数的图象为C ，关于函数f （x ）及其图象的判断如下：①图象C 关于直线x=对称；②图象C 关于点对称；③由y=3sin2x 得图象向左平移个单位长度可以得到图象C ；④函数f （x ）在区间（﹣）内是增函数；⑤函数|f （x ）+1|的最小正周期为π．其中正确的结论序号是 ．（把你认为正确的结论序号都填上） 51.将函数的图象上所有点的横坐标向 平移 个单位，可得函数y=sin2x 的图象． 52.已知sin α=，α∈（0，），则cos （π﹣α）= ，cos2α= ．53.已知函数y=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2π）． ①若f （0）=1，则φ= ；②若∃x ∈R ，使f （x+2）﹣f （x ）=4成立，则ω的最小值是 ． 54.设f(x)=sin 2x ﹣3cosxcos(x+2π)，则f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为 ． 55.若函数f(x)=sin(ωπx －6π)(ω＞0)的最小正周期为51，则f(31)的值为 ．56.已知△ABC 中，角C 为直角，D 是BC 边上一点，M 是AD 上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB ，则|MA|= ． 57.已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f （x ）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g （x ）的图象．若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a+c=6，且g （B ）=0，求b 的取值范围． 58.已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当时，f （x ）的最小值为2，求a 的值．59.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知acosAcosB ﹣bsin 2A ﹣ccosA=2bcosB ． （1）求B ；（2）若，求a ．60.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()sin sin sin a b A c C b B -=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值． 61.在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．角π6A =，(12c b +=． （1）求角C 的值．（2）若1CA CB ⋅=a 、b 、c 的值． 62.已知向量(sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值． 63.函数π()cos(π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值．（Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．64.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan 21tan A cB b+=． Ⅰ求角A 的大小．Ⅱ若函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在x B =处取到最大值a ，求ABC △的面积．65.在ABC△1cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值． （Ⅱ）若2BC =，π4A =，求ABC △的面积． 66.在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B，C 2sin 0b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小．（Ⅱ）若5a c +=，且ac >，b =AB AC ⋅的值． 67.己知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值． （Ⅱ）若5()16f α=，求cos2α的值． 68.如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积． 69.已知函数2()sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．70.如图，在△ABC 中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB 和BC 的长．（结果用θ表示）； （2）当AB+BC=6时，试判断△ABC 的形状．71.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sinBC =．（Ⅰ）若a ，求b 的值． （Ⅱ）求tan C 的值． 72.已知函数2π()2sin cos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间． 73.已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =-．（I ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程． 74.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a =sin C A ． （1）求边c 的值．（2）若cos C ABC △的面积． 75.已知函数π()sin 2cos 26f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （3）求()f x 在区间7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．76.已知在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，60A =︒，32b c =，ABC S =△． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 77.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始作边两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B ． （Ⅰ）求tan()αβ+的值． （Ⅱ）求2+αβ的值．78.已知函数π()sin sin3f x x x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π6f⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）求()f x的单调增区间．79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c(3sinB+cosB)=a+b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为53，求sinB的值．80.B试题分析：发菜属于蓝藻，虽然没有叶绿体但含有藻蓝素和叶绿素，能进行光合作用；A 错误。

2018－2018学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷1.2018.17、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 2、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅ ，则B ∠等于3、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为4、（本题满分14分）已知向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，C n m 2sin =⋅， 其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求AB 的长.江苏省2018高考数学模拟题(压题卷) 1．已知点O 为△ABC 的外心，且4AC = ，2AB =，则AO BC ⋅ 的值等于 ．2．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则c 的最大值是 ．3 已知2πn x ≠，函数xx 22cos 4sin 1+的最小值是 . 4．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，cos m n B C ⋅=- ． (1)求角A 的大小；(2)若a =3，求△ABC 面积的最大值．六、函数题1．如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．(1)若BC l =,求养殖场面积最大值；(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ， 使B D D C l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．2． 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60o （海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离,BC D =为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设()CD x km =，点D 对跑道AB 的视角为θ．(1)将tan θ表示为x 的函数； (2)求点D 的位置，使θ取得最大值．2018届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题9.在△ABC 中,已知b =22,a =2,如果三角形有解,则角A 的取值范围是16．(本小题满分14分) 在∆ABC 中，点M 是BC 的中点，∆AMC 的三边长是连续三个正整数，tan ∠C •tan ∠BAM=1 (1)判断∆ABC 的形状； (2)求∠BAC 的余弦值。

2018 年高考数学真题专题汇编----三角函数
一、填空题 1.(全国卷 I 文 11 改 )已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A 1 ，a ，
B 2 ，b ，且 cos 2
1.
2 ，则 a b __________． 3
5 5
) 的图象关于直线 x 对称，则 的值是__________． 2 2 3
4.
4.（天津理 6 改）将函数 y sin(2 x ) 的图象向右平移 个单位长度，所得函数的增区间__________． 5 10 3 5 4.在区间 [ , ] 上单调递增 4 4 5.(全国卷 II 理 15)已知 sin α cos β 1 ， cos α sin β 0 ，则 sin(α β ) __________． 1 5. 2 5π 1 6.(全国卷 II 文 15)已知 tan(α ) ，则 tan α __________． 4 5 3 6． 2 1 7.(全国卷 III 理 4 改)若 sin ，则 cos 2 __________． 3
7 9 8.(全国卷 I 理 16)已知函数 f x 2sin x sin 2 x ，则 f x 的最小值是_____________．
7.
3 3 2 9.(全国卷 II 理 10)若 f ( x) cos x sin x 在 [a, a] 是减函数，则 a 的最大值是_____________． π 9. 4 10.(全国卷 I 文 16)△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b sin C c sin B 4a sin B sin C ，