圆锥的截交线PPT

3
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
正垂线
3
Ⅰ
正平线
[例题2] 求圆锥截交线
解题步骤 1、分析 截平面为正平面，截平 面的水平投影为直线； 2、截交线为双曲线，截交线的 水平投影和侧面投影均为直线； 3、求出截交线上的特殊点#39; c"
a"
4、求出一般点C ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 6、整理轮廓线。
b"
b
c
a
[例题3]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
本章结束
圆锥的截交线
一、 二、 三、 四、 五、
截交线的性质 圆锥的截交线的类型及形状 求作截交线的方法 截交线上的特殊点 作图步骤与例题
一、 截交线的性质
圆锥的截交线是截平面与圆锥表面的共有线。
圆锥的截交线的形状取决于圆锥表面的形状 及截平面与圆锥轴线的相对位置。 圆锥截交线都是封闭的平面图形。
二、 圆锥截交线的类型与形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
α θ
α θ
α
θ
α
过锥顶 两相交直线
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
三、 求作截交线的方法
四、 截交线的特殊点
[例题1] 求圆锥截交线
3'
解题步骤 1、分析 截平面为正垂面，截平 面的正面投影为直线； 2、截交线为椭圆，截交线的水 平投影和侧面投影均为椭圆；由 于圆锥前后对称，故椭圆也前后 对称。椭圆的长轴为截平面与圆 锥前后对称面的交线——正平线 ，椭圆的短轴是垂直与长轴的正 垂线。 3、求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 4、求出一般点Ⅴ ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性即得 截交线的水平投影和侧面投影； 6、整理轮廓线。

23: 例23:求作顶尖的侧面投影
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 转体的截交线,并依次将其连接. 转体的截交线,并依次将其连接.
●
例24:完成截切复合回转体的投影 24:
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状? 形状? 特性? 特性? 一根轴的端点? 一根轴的端点?
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切, 例15: 圆锥被正垂面截切, 求截交线,并完成三面投影. 求截交线,并完成三面投影.
16: 例16:补全圆锥截切后的正面投影 解题步骤
2. 平面截切体的画图 关键是正确地画出截交线的投影. (1) 求截交线的两种方法: 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求截交线的步骤: (2) 求截交线的步骤: ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的 交线,并连接成多边形. 交线,并连接成多边形. ★补全轮廓线的投影
例4:补全三棱锥截切后的水平 投影和侧面投影
解题步骤
1.形体分析 2.求棱线与截切平面的交点 3.整理图形,加深图线
y
y
y
y
求八棱柱被平面P截切后的水平投影. 例5: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影.
P′
4 ′≡ 5 ′ 7〃 8〃 5 6 5〃 6〃 3〃 4〃 2〃 1〃 Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ

该组合 体是由 正垂面 ABCDE截 切后形
成的
该组合 体与原 基本体 画法的 区别在 于截切 后该正 垂面与 基本体 表面的
交线
交线－－截交线
截切类组合体 重点问题
9.3截交线的画法
截切：
各种位置面
用一个平面与立体相交，截去立体的一
部分。
平面体
曲面体
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。
正三棱锥截切
正三棱拄截切
正垂面
水平面
空间分析 投影分析 画图（找点） 分析棱线投影 检查截交先投影特 性（类似性）
画全正六棱拄截切体三视图
正垂面
k’
水平面 p’
哪个视图画完全了？哪个 没画全？哪个没画出？
画图步骤
•对未画出的视图
先画出完整的正六棱拄 的视图
再根据截交线的画法画 出截切体的视图
•补全没画全的视图
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是 求两平面的交线
交线的端点
立体表面的点
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV PV
P
垂直 圆
P
P
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
截平面是什么位置面？
PV
水平面
P
垂直 圆
截平面是什么位置面？
正垂面

圆球的三视图
蓝色圆是正平转向素线圆。 红色圆是水平转向素线圆。 紫色圆是侧平转向素线圆。
蓝色圆是主视图的转向轮廓线。 红色圆是俯视图的转向轮廓线。 紫色圆是左视图的转向轮廓线。
圆球表面的点
❖ 圆球转向素线圆上的点
(a”)
步骤 1：根据已知投影分析每 个点的空间位置。 点 A 位于水平转向素线圆的右前弧；
圆球表面的点
❖ 一般位置点-水平辅助圆法
(1”) 2’
步骤 2， 方法一，水平辅助圆法：在
圆球表面上，平行于水平投 影面，构造过点I、II、III的 水平辅助圆。
（3）
1
圆球表面的点
❖ 一般位置点-正平辅助圆法
步骤 2， 方法二，正平辅助圆法：在圆 球表面上，平行于正立投影面， 构造过点II的正平辅助圆。
圆球表面的点
❖ 一般位置点-侧平辅助圆法
步骤 2， 方法三，侧平辅助圆法：在圆 球表面上，平行于侧立投影面， 构造过点II的侧平辅助圆。
圆球截交线的基本形式
当圆球被一个截切平面切割时，截交线是圆或圆弧。但是 不同空间位置的圆和圆弧具有不同的投影特征。
截平面平行于投影面 截交线：圆或圆弧
投影具有积聚性和显真性
C
ad c
圆锥截交线的基本形式（一）
用一个截平面可以在圆锥表面得到五种截交线：
圆
三角形
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥截交线的基本形式（二）
θ PV
PV
θ
α
PV
垂直于轴线的截平面
截交线：圆或圆弧 投影具有积聚性 和显真性
通过锥顶的截平面
截交线：三角形 投影具有积聚性和
类似性
截平面不过锥顶， 且θ＞α

组成。如图6.27是建筑上
常见构件柱梁楼板连接 的直观图 。
图6.27 方梁与圆柱相贯 直观图
[例6.12] 求方梁与圆柱的相贯线。如图6.28所示。 [解] 具体作图步聚，如图6.29所示
图6.28 方梁与圆柱相 贯已知条件
图6.29 方梁与圆柱相贯投影图
[例6.13]已知坡屋顶上装有一圆柱形烟囱，求其交线， 如图6.30所示。
图6.21 求四棱柱体与四棱锥体相贯线已知条件
图6.22 四棱柱体与四棱锥体的相贯线作法一
图6.23 四棱柱体与四棱锥体的相贯线作法二
6.4 同坡屋面交线
坡屋面的交线是两平面立体相贯在房屋建筑中 常见的一种实例。在一般情况下，屋顶檐口的 高度在同一水平面上，各个坡面与水平面的倾 角相等，所以称为同坡屋面，如图6.24所示。
作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影 特点，直接求得水平投影，再根据各坡面与水 平面的倾角求得V面投影以及W面投影。
图6.24 同坡屋面的投影
[例6.10] 已知同坡屋面的倾角α=30°檐口线的H面投影， 求屋面交线的H面投影及V面投影，如图6.25(a) 所示。
[解] 如图6.25所示
图6.25 同坡屋面的交线
圆锥与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
直观图
6.5.2.4 贯通孔
凡是一立体被另一立体贯穿后的空洞部分称为 贯通孔。
贯通孔线的作图，可归结为相贯线的作图，与 相贯体不同的是贯通孔应画出其孔内不可见的 虚线投影。
图6.44所示为一个正四棱锥被一个正四棱柱贯 穿后所形成的贯通孔。
图6.45所示为一个水平圆柱被一个垂直圆柱体 贯穿后所形成的贯通孔 。
图6.6 三棱锥被两平面截断已知条件
图6.7 截头三棱锥的截交线

2.作图方法
1） 分析各棱面与回转体表面的相对位置。
2） 求出各棱面与回转体表面的截交线。
3） 连接各段交线，并判断可见性。
3.5 回转体与回转体相贯
1. 相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的 空间曲线，它是两回转体表面 的共有线。
2.作图方法
1）面上取点法 2）辅助平面法
⒊ 作图过程
1）找特殊点——确定交线的范围 2）补充中间点——确定交线的弯曲趋势
4 3
5 2
1
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线的形状。
截交线的边数=截平面截到的棱面数
（2）分析截平面与投影面的相对位置以 确定截交线的投影形状。
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
共有性 封闭的平面图形
回转体表面的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
相贯后的三视图：
不同直径圆柱体相贯的情况
交线总向大圆 柱的轴线弯曲
交线为两条平面 曲线（椭圆）
完整的三视图：
5.辅助平面法：
根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转 体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。
作图方பைடு நூலகம்：
假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两 回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅 助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线 上的点。
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
垂直 圆
平行 两平行直线
倾斜 椭圆
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
45°
什么情况下投
影为圆呢?
截平面与轴线 成45°夹角时
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.

根据截平面与圆锥轴线的相对 位置不同，截平面与圆锥面的交线 有五种形状。
过锥顶
三角形
垂直于轴线
圆
圆 抛物线 平行一素线 锥的 截交线 平行于轴线 双曲线
倾斜于轴线
椭圆
1.《机械制图习题集》第60--65页
2. 预习圆球截交线
复习回顾
空间及投影分析 画出截交线的投影
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体 当截交线的投影为非圆曲线时， 轴线的相对位置，以确定截交线的形状。 其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，再补充一般点。 分析截平面及回转体与投影面的相对 位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截 类似性等。 交线的可见性。
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
如何找椭圆另一 根轴的端点？
截交线 截交线的 的空间 投影特性？ 形状？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
复习回顾Biblioteka 回转体 截交线 的性质求回转 体的截 交线的 方法
圆柱体 截交线 的空间 形状
复习回顾
1. 回转体截交 线的性质有哪 些？
截交线是封闭的平面 图形。
回转体 截交线 的性质
截交线是截平面与回 转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回 转体表面的形状及截平 面与回转体轴线的相对 位置。
2. 如何求回转 体的截交线呢？
复习回顾
3. 圆柱体截 交线的空间形 状有哪几种？
复习回顾
圆柱体的截交线

xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线
从几何的角度去认识圆锥截交线：
圆锥截交线在几何学中被称为圆锥曲线。 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并获得了大量的成果。其中一位名叫阿波罗尼阿斯最 先采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面 渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆 锥的一条素线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一 些就可以得到双曲线。 严格来讲，圆锥曲线还包括一种退化情形：平面过锥 顶时，得到两条直线。更特殊的情况下，平面过锥顶 并与圆锥面相切，圆锥曲线为一条直线。
为实形圆，在另两个投影面上，纬
圆积聚为直线。
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xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线——圆锥表面求点的方法（素线法）
第8页
()
素线法作图原理：
过锥顶S作素线经过点M，并延长交底面圆 于点A。点M在素线SA上，则点M的三面投 影分别在素线SA的三面投影上。
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工程制图
工程制图 圆锥截交线——概述
“圆锥截交线”是《工程制图》课程的一个知识点， 教学目标是理解圆锥的三面投影的含义，掌握应用纬 圆法或素线法求圆锥截交线上的点，并正确画出截交 线的投影。 相关知识点包括：回转体；截交线的性质及求作截交 线的方法。
截交线的性质 求作截交线的方法
第1页
回转体 圆锥的投影 圆锥表面求点的方法
xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线——举例1
第 12 页
本例中，截交线上的一般位置点D、E也可以用素线法求作，作法如下图所示。
作图说明： 1. 在侧面投影中作素线s”m”和s”n”，与截交线侧面投影分别交于d”和e”。 2. 画出素线的正面投影s’m’和s’n’，根据点在直线上的投影规律，求出d’和e’。

PV
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精选椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形） 6
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是由三直视线图SA绕与
它成在相。图交示的位轴置线，O俯O视1旋图转为而一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精选课件
21
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
精选课件
22
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。
精选课件
7
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)

⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚成一 个圆，在另两个视图上分别以 两个方向的轮廓素线的投影表 示。
O A
O1 A1
⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断 回转体的每个视图都是该 视图投影方向的外形轮廓。 转向轮廓线：轮廓素线的投影。 ⑷ 圆柱面上取点 利用投影的积聚性
O
A

O1 a (b ) c b
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 ⑶ 轮廓线的投影与曲 个和圆球的直径相等的 面可见性的判断 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 ⑷ 圆球面上取点
k


k
圆的半径？
k
辅助圆法
(5) 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。
例1：求左视图
4’ ● 7’(8’) ● 2’(3’) ● 5’(6’) ●

You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
最前、最后点IV、V 求一般位置点III
判可见性、连线、描深
抛物线
圆锥截交
圆锥截交（补全俯视图，左视图）(1)
3’(4’)
5’(6’) 1’(2’)
62 4
3 51
4’’ 3’’
6’’
5’’
圆锥截交(2)
圆锥截交(3)
柱锥截交1
柱锥截交2
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
圆锥及其截交
圆柱截交
3、圆锥表面取点
m’
1’
m’’
1’’
m
1
(n’)
(n’’)
n
圆锥的截交线
圆锥的截交线有：
– 截平面垂直圆锥轴线—— 圆 – 截平面与圆锥轴线倾斜——椭圆 – 截平面平行一条素线——抛物线 – 截平面平行于圆锥轴线 ——双曲线 – 截平面过锥顶—— 等腰三角形
求圆锥与水平面的截交线
等腰三角形——过锥顶
1’(2’) 2
1
2’’
1’’
2 1
双曲线——截平面平行于圆锥轴线
圆锥截交（例1）
1’4’(5’2’) (3’)
3’’5’’1’’4’’2’’
3

3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直径 为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
k
⑶ 轮三廓个线视的图投分别影为与三曲 个圆，和面它圆可们球见分的别性直是的径圆判相球断等三的 ⑷个方圆向球轮面廓线上的取投点影。
辅助圆法
k
k
圆的半径？
第二十页，编辑于星期六：一点 三十分。
(5) 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 PV 对位置不同，截交线有五种形状 。
个圆，在另两个视图上分别以 两个方向的轮廓素线的投影表 示。
O A
O1 A1
第四页，编辑于星期六：一点 三十分。
⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的
O
可见性的判断
回转体的每个视图都是该视
图投影方向的外形轮廓。
A
转向轮廓线：轮廓素线的投影。
⑷ 圆柱面上取点
O1
利用投影的积聚性
(b) a
c
(b) a c
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平面侧截平圆面球截的圆截球交的线截的交投 线影的，在投俯影视，图在上侧为视部图分上圆为弧 部，分在侧圆视弧图，上在积俯聚视为图直上线积。 聚为直线。
第二十五页，编辑于星期六：一点 三十分。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
第二十六页，编辑于星期六：一点 三十分。
第三章
圆柱、圆锥及其截交线
第一页，编辑于星期六：一点 三十分。
3.2 基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
第二页，编辑于星期六：一点 三十分。
4.1 回转体的截切
回转体截切的基本形式
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。