第十六章 专题

专题 动量守恒定律的综合应用课题任务 临界问题分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。

例1 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。

甲和他的冰车总质量为M ＝30 kg ，乙和他的冰车总质量也是30 kg 。

游戏时，甲推着一个质量为m ＝15 kg 的箱子和他一起以v 0＝2 m/s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。

为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。

(不计冰面摩擦)(1)若甲将箱子以速度v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)(2)设乙抓住迎面滑来的速度为v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示)(3)若甲、乙最后不相撞，则箱子被推出的速度至少多大？[规范解答] (1)设甲的速度变为v 1，甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得(M ＋m )v 0＝m v ＋M v 1解得v 1＝(M ＋m )v 0－m v M。

(2)设乙抓住箱子后的速度变为v 2，箱子和乙作用的过程，乙和箱子组成的系统动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得m v －M v 0＝(m ＋M )v 2解得v 2＝m v －M v 0m ＋M。

(3)甲、乙不相撞的条件是v 1≤v 2，其中v 1＝v 2为甲、乙恰好不相撞的条件。

即(M ＋m )v 0－m v M ≤m v －M v 0m ＋M代入数据得v ≥5.2 m/s 。

所以箱子被推出的速度为5.2 m/s 时，甲、乙恰好不相撞。

[完美答案] (1)(M ＋m )v 0－m v M (2)m v －M v 0m ＋M(3)5.2 m/s解决动量的临界问题时需要注意以下几点(1)应联想其中一个物体速度很小或速度很大时的状况。

(2)通常临界状态发生在二者速度相同的时刻。

(3)有时两个物体间发生相互作用时，动量守恒，动能损失最大时的情况和无动能损失的情况与完全非弹性碰撞和弹性碰撞相类似。

[变式训练1] 如图所示，甲车质量m 1＝20 kg ，车上有质量M ＝50 kg 的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h ＝0.45 m 处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。

此时质量m 2＝50 kg 的乙车正以v 0＝1.8 m/s 的速度迎面滑来。

为了避免两车相撞，当两车相距适当的距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应在什么范围以内？(不计地面和斜面的摩擦，取g ＝10 m/s 2)答案 3.8 m/s ≤v ≤4.8 m/s解析 在水平面上人跳离甲车和跳上乙车的两个过程中水平方向动量是守恒的。

甲车从斜坡滑到平面上的速度v 甲＝2gh ＝3 m/s ，设人跳离甲车后甲车的速度为v 甲′，跳上乙车后乙车的速度为v 乙′，人跳离甲车的水平速度为v ，以水平向右为正方向，则(M ＋m 1)v 甲＝M v ＋m 1v 甲′①M v －m 2v 0＝(M ＋m 2)v 乙′②甲、乙两车恰好不相撞的临界条件为v 甲′＝±v 乙′，若甲、乙同向且v 甲′>v 乙′甲、乙将相撞；若甲、乙反向且v 甲′>v 乙′，则甲车冲上斜面返回后将与乙车发生碰撞。

联立①②两式解得：当v甲′＝v乙′时，v＝3.8 m/s，当v甲′＝－v乙′时，v＝4.8 m/s。

故为了避免两车相撞，人从甲车跳到乙车上的速度应满足 3.8 m/s≤v≤4.8 m/s。

课题任务板—块模型1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。

2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，应由能量守恒求解问题。

3．滑块若未滑离木板时最后二者有共同速度，机械能损失最多。

例2如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M的长木板，以速度v0向右做匀速直线运动，将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动。

由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，求：(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度v′；(2)它们相对静止时，小铁块与木板上的A点的距离s；(3)在全过程中有多少机械能转化为内能？[规范解答](1)木板与小铁块组成的系统动量守恒。

以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得M v0＝(M＋m)v′解得v′＝M v0M＋m，方向向右。

(2)由功能关系可得，系统克服摩擦力所做的功等于系统动能的减少量，有－μmgs＝12(M＋m)v′2－12M v2。

解得s＝M v202μg(M＋m)。

(3)解法一：由能量守恒定律可得Q＝12M v2－12(M＋m)v′2＝Mm v202(M＋m)解法二：根据功能关系，转化成的内能等于系统克服摩擦力做的功，有ΔE＝Q＝μmgs＝Mm v202(M＋m)。

[完美答案](1)M v0M＋m，方向向右(2)M v202μg(M＋m)(3)Mm v202(M＋m)板—块模型解题思路(1)对系统应用动量守恒定律。

(2)在涉及滑块或平板的时间时，优先考虑用动量定理。

(3)在涉及滑块或平板的位移时，优先考虑用动能定理。

(4)在涉及滑块的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。

(5)滑块恰好不滑动时，滑块与平板达到共同速度。

[变式训练2]如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg且可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。

物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，求：(1)物块在车面上滑行的时间t；(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0′不超过多少。

答案(1)0.24 s(2)5 m/s解析(1)设物块与小车的共同速度为v，以水平向右的方向为正方向，根据动量守恒定律有m2v0＝(m1＋m2)v设物块与车面间的滑动摩擦力为F f，对物块应用动量定理有－F f t＝m2v－m2v0，又F f＝μm2g联立并代入数据得t ＝0.24 s 。

(2)要使物块恰好不从车面滑出，则物块到车面最右端时与小车有共同的速度，设其为v ′，则m 2v 0′＝(m 1＋m 2)v ′由能量守恒定律有 12m 2v 0′2＝12(m 1＋m 2)v ′2＋μm 2gL 代入数据解得v 0′＝5 m/s故要使物体不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v 0′不超过5 m/s 。

课题任务 子弹打木块模型1．木块放在光滑水平面上，子弹水平打进木块，子弹和木块组成的系统所受的合外力为零，因此系统动量守恒。

2．两者发生的相对位移为子弹射入木块的深度x 相。

3．根据能量守恒定律，系统损失的动能等于系统增加的内能。

4．系统产生的内能Q ＝F f x 相，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积。

5．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度。

6．当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔE k ＝F f L (L 为木块的长度)。

例3 如图所示，在水平地面上放置一质量为M 的木块，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离；(2)射入的过程中，系统损失的机械能；(3)子弹在木块中打入的深度。

[规范解答] 子弹和木块组成的系统动量守恒，因子弹未射出，故射入后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差。

(1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒定律得m v＝(M＋m)v′设二者一起沿地面滑动，前进的距离为x，由动能定理得－μ(M＋m)gx＝0－1 2(M＋m)v′2，联立解得x＝m2v22(M＋m)2μg。

(2)射入过程中系统损失的机械能ΔE＝12m v2－12(M＋m)v′2解得ΔE＝Mm v22(M＋m)。

(3)设子弹在木块中打入的深度(即子弹相对于木块的位移)为x相对，则ΔE＝μmgx相对联立解得x相对＝M v22μg(M＋m)。

[完美答案](1)m2v22(M＋m)2μg (2)Mm v22(M＋m)(3)M v22μg(M＋m)子弹打木块模型的特点(1)当子弹和木块的速度相同时木块的速度最大，两者的相对位移(子弹射入木块的深度)取得极值。

(2)系统的动量守恒，但系统的机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统机械能的减少，当两者的速度相同时，系统机械能损失最大。

[变式训练3]如图所示，一根质量不计、长为2 m的绳子，一端固定在天花板上，另一端系一质量为0.99 kg的小球，整个装置处于静止状态。

一颗质量为10 g、速度为500 m/s的子弹水平击中小球后并嵌入其中。

g取10 m/s2，求：(1)子弹嵌入小球后瞬间的速度v为多大？(2)子弹射入小球的过程中系统损失的机械能E损；(3)小球上升的最大高度h。

答案(1)5 m/s(2)1237.5 J(3)1.25 m解析(1)子弹射入小球的过程中，子弹与小球组成的系统水平方向动量守恒，有m1v0＝(m1＋m2)v，解得v＝5 m/s。

(2)系统损失的机械能等于系统总动能的减少量，有E损＝12m1v2－12(m1＋m2)v2，解得E损＝1237.5 J。

(3)由机械能守恒定律得12(m1＋m2)v2＝(m1＋m2)gh解得h＝1.25 m。

课题任务弹簧类问题1．弹簧类问题特点(1)对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。

(2)整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。

由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。

2．弹簧类问题的注意事项光滑水平面上的两物块通过弹簧作用时，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，两物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，两物体的速度相差最大，弹簧对两物体的作用力为零。

例4两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C 静止在前方，如图所示。