高二数学 递推法(迭代法)求数列通项

递推关系是一个数列的一种形式，它描述的是每一项的值是上一项的值的函数。

当一
个数列的递推关系被给出时，一般情况下，我们可以使用几种策略来求该数列的通项公式。

首先，我们可以使用“递推法”来求数列的通项公式。

也就是说，根据给定的递推关系，我们可以从第一项开始，一步步推导出后续项，最终求出该数列的通项公式。

这种方法适
用于简单的递推关系，但是当递推关系变得复杂时，这种方法就不适用了。

其次，我们可以使用“变量替换法”来求数列的通项公式。

这种方法是先把递推关系式
中的变量替换成一个新的变量，比如$x$，然后将递推关系式化为一个多项式，最后求出
该多项式的通项公式。

这种方法适用于复杂的递推关系，但是它可能在求解过程中出现不可解的情况。

最后，我们可以使用“数学归纳法”来求数列的通项公式。

这种方法是从第一项开始，
通过数学归纳法，逐步证明每一项与前面项满足递推关系，最终求出数列的通项公式。

这
种方法适用于简单的递推关系，但是当递推关系变得复杂时，这种方法也可能不适用。

总之，当一个数列的递推关系被给出时，我们可以使用“递推法”、“变量替换法”和“数
学归纳法”等几种策略来求该数列的通项公式。

然而，这几种策略并不总是适用，我们还
需要根据实际情况选择合适的策略。

递推数列的通项求法例析
递推数列是学习数学的经典问题之一，递推数列的通项求法的概念应用于它，可以帮助我们求出一个数列的规律性及其特点。

递推数列的通项求法可以分为以下几个步骤：
一、求出已知数据
首先，我们要确定已知的数列，明确它的特点，即元素之间的关系，通过对数列的分析，得到数列中每一项的关系式。

二、求出项数
其次，我们要求出数列的项数，项数和数列的起点以及大小有关。

一般来说项数应该是一个自然数，那么我们可以利用已知的信息来求出项数。

三、确定公式
最后，使用已知的条件来确定递推式。

根据数列中已知的数据，我们可以求出数列中所有项的值，最后把它们代入递推式中就可以求出公式了。

以上就是递推数列的通项求法的基本思路，其主要步骤是：确定已知的数据，确定数列的项数，再确定递推式。

如果能够正确理解和掌握这个概念，就可以很容易地推出应用到实际中的曲线方程，从而预见出它们之间的关系。

数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。

而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。

而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。

这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。

2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。

递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。

3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。

对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。

4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。

然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。

差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。

5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。

比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。

需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。

在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。

第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n 项a n ，第n ＋1项a n ＋1，第n ＋2项a n ＋2有何关系？ 提示 a n ＋a n ＋1＝a n ＋2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.数列的前n 项和(1)数列{a n }的前n 项和：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(2)数列的前n 项和公式：如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式. 3.a n 与S n 的关系式 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.拓展深化[微判断]1.数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 2＝2a 1.(√)2.利用a n ＋1＝2a n ，n ∈N *可以确定数列{a n }.(×) 提示 只有给出a 1的值，才可以确定数列{a n }.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1.(×) 提示 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[微训练]1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511. 答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.[微思考]1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？ 提示 (1)“基础”，即第1项(或前几项)； (2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？ 提示相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n 的值，可求出数列中的第n 项a n 递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n 项a n题型一 由数列的递推公式求数列的项【例1】 若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，n ∈N *，求a 2 021.解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1， ∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2 021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.规律方法 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.【训练1】 (多选题)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，能使a n ＝3的n可以为( ) A.22 B.24 C.26D.28解析 由a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3.所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3. 答案 AD题型二 由递推公式求数列的通项【例2】 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，n ∈N *，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×…×n －1n ＝1n . a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ，n ∈N *.规律方法 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法. 【训练2】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n . 答案 1n题型三 由S n 与a n 的关系求a n【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式. 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)， 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N *.【迁移1】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＋1＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.【迁移2】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝2n －1，求数列{a n }的通项公式.解 ∵S n ＝2n －1，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1符合上式，∴a n ＝2n －1.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n ＋3，求数列{a n }的通项公式. 解 ∵S n ＝2n 2＋n ＋3，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 当n ＝1时，a 1不符合上式， ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2.一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用a n 与S n 的关系求通项所应用公式为a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，注意其步骤有三：①求n ＝1时的项，即a 1；②求n ≥2时a n 的表达式；③验证a 1是否满足n ≥2时的表达式. 二、素养训练1.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 由题知a 2＝12×1＋12＝1，a 3＝12×1＋14＝34. 答案 C2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推；D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 对∀n ∈N *成立，且a 3＝12，则a 1＝________. 解析 ∵a 3＝2a 2＝12，∴a 2＝6，a 2＝2a 1＝6，∴a 1＝3. 答案 34.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，则a 4＝________，猜想其通项公式是________.解析 ∵数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1，2，3，…)，∴a 2＝a 11＋a 1＝12，同理可得a 3＝13，a 4＝14.猜想其通项公式是a n ＝1n . 答案 14 a n ＝1n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，求a n . 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3(n －1)＝3，又a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3.基础达标一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23解析 由题知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23. 答案 D2.已知数列{a n }，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则a 1＋a 3的值为( ) A.4 B.5 C.6D.8解析 由a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，可得a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1＋a 3＝4. 答案 A3.已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *).若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A.－2B.－1C.0D.(－1)n解析 ∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝a 2－2a ＋1.∵数列{a n }是常数列，∴a ＝a 2－2a ＋1，解得a ＝－2.故选A.答案 A4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34D.33解析 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a 2＋a 18＝34. 答案 C5.设S n 为数列{a n }的前n 项和.若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A.27 B.81 C.93D.243解析 根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n .当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，则a 4＝3a 3＝32a 2＝33a 1＝81. 答案 B 二、填空题6.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 57.已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 解析 a 1a 2…a 8＝82，① a 1a 2…a 9＝92，② ②÷①得，a 9＝9282＝8164. 答案 81648.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29×2＝210＝1 024. 答案 1 024 三、解答题9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *).解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9. 猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52. 猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14. 猜想a n ＝－1n (n ∈N *).10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式. (1)S n ＝3n ＋2；(2)S n ＝n 2－n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2) ＝2·3n －1，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n )－[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，又a 1＝0满足a n ＝2n －2，故a n ＝2n －2.能力提升11.已知各项不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *).答案1n ＋112.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解 ∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …，a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加，得∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 即a n －a 1＝1－1n (n ≥2，n ∈N *).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2，n ∈N *)， 又当n ＝1时，a 1＝－1也符合上式. ∴a n ＝－1n ，n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，则下列结论正确的是( ) A.x 2 020＝a B.x 2 022＝a －b C.x 11＝x 2 021D.x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝2b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ， x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2， ∴{x n }是周期数列，周期为6， ∴x 2 020＝x 4＝－a ，A 不正确； x 2 022＝x 6＝a －b ，B 正确； x 2 021＝x 5＝x 11，C 正确；x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a ，D 正确. 答案 BCD14.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数，若a 4＝4，则m 所有可能的取值为( ) A.4 B.5 C.21D.32解析 若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)， 若a 1为偶数，则a 12＝2，a 1＝4； 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8；若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去). 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4，5，32.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,………2、2,6,12,20,30,………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.②已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。

根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。

在数学中，有几种方法可以求解这类问题。

一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。

这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。

k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。

解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。

二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。

该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。

解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。

利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。

三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。

该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。

递推公式通项公式
递推公式和通项公式是数学中常见的概念，它们都是数列的表示方式。

递推公式是一种逐项计算数列的方法，通过当前项和前一项之间的关系来确定下一项的值。

通项公式则是一种直接计算数列第n项的方法，通过数列的通项公式，我们可以不必逐项计算，直接得到数列的任意项的值。

对于递推公式，有多种不同的形式，比如线性递推公式、非线性递推公式等。

例如，斐波那契数列的递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1。

这个公式的意思是，斐波那契数列的第n项等于它前面两项的和。

通过这个公式，我们可以从f(0)和f(1)开始，逐项计算出斐波那契数列的后续项。

而通项公式则是一种更为简单直接的表示方法。

通项公式通常采用解方程的方法求得。

以斐波那契数列为例，它的通项公式为f(n)=1/√5*((1+√5)/2)^n - 1/√5*((1-√5)/2)^n。

这个公式可以直接计算出斐波那契数列的任意项，而不需要逐项计算。

总的来说，递推公式是一种通过前一项和当前项之间的关系来求得下一项的方法，而通项公式则是一种直接计算数列任意项的方法。

对于不同的数列，我们可以根据其特点选择适合的表示方式，从而更方便地进行计算和分析。

- 1 -。

解析：令 an＋2＋α·an＋1＝β(an＋1＋α·an)，
由
β－α＝3， α·β＝－2
⇒
α＝－1， β＝2，
或
α＝－2， β＝1
(选其中一种即
可)．
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)． ∴数列{an＋1－an}是等比数列，∴an＋1－an＝2n－1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋ a1＝2n－2＋2n－3＋2n－4＋…＋2＋1＋1＝2n－1.
利用几类经典的递推 关系式求通项公式
数列通项的常用方法
(1)利用观察法求数列的通项．
(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{an}的通项
公式；②an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2.
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)；
②an＋1＝anf(n)．
(4)构造等差、等比数列求通项：
①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)；
④an＋2＝p·an＋1＋q·an.
形如 an＋1＝kaan＋n 1(k≠0)，a1 已知型，求数列的通项公式
【例】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝12aan＋n 1(n∈N*)，求 an. 解：∵an＋1＝12aan＋n 1取倒数得： an1＋1＝12aan＋n 1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12. ∴{a1n}是以 1 为首项，12为公差的等差数列． ∴a1n＝1＋12(n－1)＝n＋2 1，∴an＝n＋2 1.
考点1 递推关系形如“an＋1＝pan＋q ”的数列求通项 例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an} 的通项公式．

1 高考数学-递推法（迭代法）求数列通项例1、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()22*11n+10n n n n a na a a n N ++-+=∈，求数列的通项公式.解：由题意知11,0n a a =>，将条件变形，得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦，又0n a >，得10n n a a ++≠，所以11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+，到此可采用: 法一（递推法）：121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⋅==⋅⋅⋅--L L ，从而1n a n =. 法二（叠成法）：12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L 所以1n a n= . 法三（构造法）：由11n n a n a n +=+，得()1n+11n na na +=，故{}n na 是常数列，1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件()1n n a f n a -=求通项的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.例2、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：由已知，得（两边除以1n 3+），得1n n n 1n 1n 31323a 3a +++++=，即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-， 故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+L 122121213()()()3333333n n -=+++++++L 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=--Λ， ∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-，即213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅= 练习：已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +=-=，求通项公式n a .（尝试叠加法）解：由已知，得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-()()()21n n-1n n+2121122a n n -==+-+-++=+=L L ．。

递推数列的通项公式递推数列是数学中常见的数列形式，它是通过前一项或前几项的值来递推得到下一项的值。

在数学研究中，求解递推数列的通项公式是一个重要的问题，它可以帮助我们找到数列中任意一项的值，从而更好地理解和应用数列。

一、什么是递推数列递推数列是指数列中的每一项都通过前一项或前几项的值来定义。

递推数列可以用数学的语言表示为：a[n+1] = f(a[n], a[n-1], ... , a[0]), 其中a[n]表示第n项的值，f表示递推公式。

通常情况下，我们已知数列的前几项，通过递推公式可以求得数列的后续项。

二、递推数列的规律与特性递推数列的各项之间存在一定的规律和特性，我们可以通过观察数列前几项的值来揭示这些规律。

常见的递推数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

这些数列都有各自的通项公式，可以通过这些公式来求解数列中任意一项的值。

三、递推数列的通项公式推导通项公式是求解递推数列中任意一项的值的公式。

对于某些简单的递推数列，其通项公式可以通过观察数列规律和使用简单的代数方法来推导得到。

下面以等差数列和等比数列为例，介绍通项公式的推导过程。

1. 等差数列的通项公式对于等差数列a[n]，假设首项为a[0]，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：a[n] = a[0] + n * d。

这个公式可以通过观察得到，每一项的值都是前一项的值加上公差。

2. 等比数列的通项公式对于等比数列b[n]，假设首项为b[0]，公比为q，则数列的通项公式可以表示为：b[n] = b[0] * q^n。

这个公式可以通过观察得到，每一项的值都是前一项的值乘以公比。

其他复杂的递推数列也可以通过类似的方法来推导出通项公式，其中可能需要运用到一些数学定理和技巧。

四、应用递推数列的通项公式递推数列的通项公式不仅可以帮助我们求解数列中任意一项的值，还可以用于解决一些实际问题。

例如，利用等差数列的通项公式，我们可以计算某个时刻的位置、速度等数值；利用等比数列的通项公式，我们可以计算利润、人口增长等数值。

递推数列求通项的方法递推数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列的数值按照一定的规律逐个推导而来的。

通项公式则是递推数列中用来表示第n项的公式。

本文将介绍一种求解递推数列通项的方法。

一、等差数列的通项公式等差数列是一种最简单的递推数列。

在等差数列中，每一项与前一项之间的差值都是相等的。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d二、等比数列的通项公式等比数列是一种常见的递推数列。

在等比数列中，每一项与前一项之间的比值都是相等的。

设等比数列的首项为a1，公比为q，第n 项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)三、斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是一种特殊的递推数列，它的前两项都是1，后面的每一项都是前两项之和。

斐波那契数列的通项公式为：an = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)四、其他递推数列的通项公式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还有许多其他类型的递推数列，它们的通项公式可能更加复杂。

这些递推数列的通项公式往往需要根据数列的规律进行归纳和推导。

五、求解递推数列通项的方法在实际应用中，我们通常通过观察递推数列的前几项，找出它们之间的规律，从而得到通项公式。

对于等差数列和等比数列来说，规律相对简单，容易找到通项公式。

而对于其他类型的递推数列，可能需要更多的数学推导和技巧。

六、举例说明下面举一个简单的例子来说明求解递推数列通项的方法。

考虑递推数列：1, 4, 7, 10, 13, ...观察这个数列，我们可以发现每一项与前一项之间的差值都是3。

因此，这是一个等差数列，首项a1为1，公差d为3。

根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，我们可以得到该数列的通项公式为：an = 1 + (n-1)*3 = 3n - 2七、总结递推数列通项的求解是数学中的一个重要问题。

递推数列求通项公式的典型方法1、 a n+1=a n +f （n ）型 累加法:a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…＋（a 2-a 1）+ a 1 =f （n-1）+f （n-2）+…f （1）+ a1例1 已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=a n +2n （n ∈N *）, 求a n 解: a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…＋（a 2-a 1）+ a 1 =2n-1+2n-2+…+21+1=2n -1（n ∈N *）例 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=2、)(1n g a ann =+型累积法:112211.....a a aa a a a a n n n n n ---=所以()()()()11...321a g n g n g n g a n ---=∴例2:已知数列｛a n ｝满足()*1N n n a ann ∈=+,.11=a 求n a解:112211...a a aa a a a a n n n n n ---==()()()()!11...321-=---n n n n ()()+∈-=∴N n n a n !1例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）. 解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n1. 3．q pa a n n +=+1型（p,q 为常数）方法：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p q a n n ，再根据等比数列的相关知识求n a . (2)()11-+-=-n n n n a a p a a 再用累加法求n a .(3)111++++=n n n n n p qp a p a ,先用累加法求n n p a 再求n a 例3．已知{}n a 的首项a a =1（a 为常数），()2,21≥∈=+-n N n a a n n ，求n a解 设()λλ-=--12n n a a ，则1-=λ ()1211+=+∴-n n a a{}1+∴n a 为公比为2的等比数列。

例2、已知数列
｛an｝满足
an13an2 3"
1,a1
3，求数列｛an｝的通项公式.
解：由已知，得
（两边除以
外），得影
an
3n
1
3n 1，
an
3n
1
3n 1，
an
故an（孑
an1
an1
an 2
13n
2)L
（I
（I
3n)
（I
an
练习:
2(n
3
1)
2(n 1)
3
已知数列
解：由已知，得
1
3n
(1
3n 1)
anan
1L
a2
an 1an
2
a1
（构造法）
:由an1
n
得-
an
n 1
i
n
法
法
法三
□l
n 1
丄,所以
2
an
，从而an
n+1 an 1
一1，故nan
nan
是常数列，nan1 a11,
点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件
an
an 1
f n求通项的题型;
法三是构造法（简单
+经典）,
根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想
an中,
ai
anan 1
2n
3
1
亍，即an
3n
a1
1an
求通项公式
an.（尝试叠加法）
an 2
n n-1
2小
n n+2
2
例1、设数列
项公式•

由递推式求通项公式、数列求和方法总结一、叠加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 相加得111()nn k a a f k +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

二、叠乘法 1.○。

------------ 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a af f f n a a a +=== ，，，两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例2. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯= n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{na }为等差数列;（2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c da c c d a n n因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列，所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系dca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c da n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d a c c d a n n例3.已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

数列的递推关系与通项公式在数学中，数列是由数字按照一定顺序排列而成的序列。

不同的数列可以有不同的递推关系和通项公式来描述它们。

本文将详细介绍数列的递推关系和通项公式的概念、应用和计算方法。

一、递推关系递推关系是指通过前面几项的数值来计算出数列后面一项的数值的关系式。

递推关系可以用于求解以后面的数值为目标的数列问题，通常采用迭代或递归的方式进行计算。

举个例子，斐波那契数列的递推关系为：$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中$F_1=1,F_2=1$。

也就是说，斐波那契数列中每一项的值都等于前两项的值之和。

通过递推关系，可以计算出斐波那契数列的任意一项，例如$F_3=2,F_4=3$等。

二、通项公式通项公式是指数列的任意一项能通过公式直接计算出来。

通项公式是数列的一种显式表达式，它不需要通过前面的项数计算后面的项数。

通项公式的求解是数列学习的重点之一。

对于某些数列，其通项公式可能很容易求解，而对于某些数列，其通项公式可能非常难以求解。

一般来说，数列的通项公式可以通过数学归纳法、递推关系和差分方程等方式求解。

举个例子，对于等差数列$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，其中$a_{1}$为首项，$d$为公差，$n$为项数。

通过推导，我们可以得到等差数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。

通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中任意一项的值。

三、数列的应用数列是数学中非常重要的一部分，具有广泛的应用价值。

在实际生活和工作中，数列有着很多重要的应用，比如在经济学、物理学、计算机科学等学科中，数列都有着不可或缺的作用。

1. 经济学中的应用经济学中常用的一些数列，如等比数列和收益率数列，可以用于计算商品价格、资产价值和财务报表等。

数列可以帮助经济学家计算和预测未来的经济情况，找出经济规律和趋势，从而为政策制定和决策提供依据。

2. 物理学中的应用在物理学中，数列可用于描述诸如声波、光波等周期性变化的现象。

1 高二数学递推法（迭代法）求数列通项例1、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()22*11n+10n n n n a na a a n N ++-+=∈，求数列的通项公式.解：由题意知11,0n a a =>，将条件变形，得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦，又0n a >，得10n n a a ++≠，所以11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+，到此可采用: 法一（递推法）：121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⋅==⋅⋅⋅--，从而1n a n =. 法二（叠成法）：12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-所以1n a n= . 法三（构造法）：由11n n a n a n +=+，得()1n+11n na na +=，故{}n na 是常数列，1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件()1n n a f n a -=求通项的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.例2、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：由已知，得（两边除以1n 3+），得1n n n 1n 1n 31323a 3a +++++=，即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-， 故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+122121213()()()3333333n n -=+++++++ 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=-- ， ∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-，即213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅= 练习：已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +=-=，求通项公式n a .（尝试叠加法）解：由已知，得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-()()()21n n-1n n+2121122a n n -==+-+-++=+=．。

1．递推公式：若已知数列的第一项1a (或前n 项)，且从第二项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．2．通项公式：数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式．注意：① 并非所有的数列都有通项公式； ② 有的数列可能有多个通项公式；③ 数列的通项公式就是一种特殊的函数关系式； ④ 注意区别数列的通项公式和递推公式． 3．由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下*2n n ∈N ，≥）方法1．叠加法：若数列递推公式为1()n n x x f n -=+，则通项12()nn i x x f i ==+∑．方法2．叠乘法：若数列递推公式为1()n n x f n x -=，则通项1(2)(3)()n x x f f f n =⋅⋅⋅⋅．方法3．待定系数法：若数列递推公式为1n n x ax b -=+(1)a ≠，可以设待定系数c ，使得1()n n x c a x c -+=+成立，解得1b c a =-，即1n b x a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列．方法4．倒数法：若数列递推公式为11n n n x x x αβ--=+，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形．考点：叠加法求数列通项【例1】 ⑴ 已知数列{}n a 满足*132n n a a n n +=++∈N ，，且12a =，求n a ．⑵ 已知数列{}n a 中，12a =，*12n n n a a n +=+∈N ，，求n a ． ⑶ 在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）知识梳理知识结构图经典精讲第2讲 利用数列递推求通项A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++【解析】⑴ 232n n na +=；⑵ 2n n a =； ⑶ A ；尖子班学案1【拓1】 已知数列{}n a 满足11a =，11122(1)n n n a a n -+=++++≥，求数列{}n a 的通项公式．【解析】 1211(21)(21)(21)n n n a a --=-+-++-+22(1)1n n =---+2n n =-．考点：叠乘法求数列通项【例2】 ⑴ 已知数列{}n a 中，11a =，111n n a a n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为________．⑵ （2011年海淀二模文13）已知数列{}n a 满足11a =，且1()n n n a n a a +=-*()n ∈N ，则2a = ；n a = ．⑶ 已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n n B ．12n n - C ．21n n - D ．12n n + 【解析】 ⑴ 12n +⑵ 2；n ． ⑶ B尖子班学案2【拓1】 已知数列{}n a 满足：11a =，*12(2)1n n n aa a n n n --=∈-N ，≥，求{}n a 的通项公式．【解析】 12n n a n+=．目标班学案1【拓2】 已知数列{}n a 中，11a =， 12n n a n a n++=，求n a ．【解析】 ()12n n n a +=．<教师备案>待定系数法：如果根据数列的递推公式，可以判断其通项具有某种固定的形式，那就可以用待定系数法设出其通项的形式，然后求解．例如：根据1n n a a d --=就知道{}n a 必定是等差数列，n a 必定是n 的一次函数；根据1n n a a an b --=+知道n a 必定是n 的二次函数等等； 下面讨论几种待定系数法适用的情形： ① 1n n x a x b -=⋅+；如果1a =，那么递推公式说明{}n x 是一个等差数列，所以只需讨论1a ≠的情形；这时设1()n n x c a x c -+=⋅+，解得1b c a =-，所以1n b x a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是公比为a 的等比数列；② 1n n n x a x b c -=⋅+⋅；这种情况有两种处理办法：一是两边都除以n a ，把递推公式变形成11nn n n n x x c b a a a --⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭， 然后n n x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以用叠加法来求其通项，只需要求等比数列nc b a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的前n 项和即可； 二是两边都除以n c ，变形成11n n n n x x a b c c c--=⋅+，然后转化成①的情形，用待定系数法求n n x c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项． ③ 1()n n x x P n -=+，()P n 是k 次的多项式；对于这种情形，由前面的迭加法可以知道1(2)()n x x P P n =+++， 由于()P n 是k 次的多项式，此时(2)()P P n ++必定是1k +次多项式， 所以可以先用待定系数法设出110k k n k k x c n c n c ++=+++，再代入递推公式求出待定系数011k c c c +，，，； ④ 1()n n x a x P n -=⋅+，1a ≠，()P n 是k 次的多项式；对于这种情形，可以先设待定多项式()Q n ，其中()Q n 也是k 次多项式，使得1()((1))n n x Q n a x Q n -+=⋅+-成立，然后根据(1)()()a Q n Q n P n ⋅--=解出()Q n ； 再根据{}()n x Q n +是公比为a 的等比数列求解通项．【铺1】在数列{}n a 中， 11a =，122n n n a a -=+，2n ≥，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】 122n n n a n -=⋅-．考点：待定系数法求数列通项【例3】 ⑴ 已知数列{}n a 满足11a =，1112n n a a +=+，求n a ．⑵ 已知数列{}n a 满足11a =-，1132(2)n n n a a n --=+≥，求n a ． 【解析】 ⑴ 11112222n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑵ 132n n n a -=-．目标班学案2【拓2】 在数列{}n a 中，*112431n n a a a n n +==-+∈N ，，，求数列{}n a 的通项公式．【解析】 14n n a n -=+．【例4】 （2010石景山一模文18）在数列{}n a 中，13a =，122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N ．⑴ 求2a ，3a 的值；⑵ 证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； ⑶ 求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴ 212226a a =+-=，3223213a a =+-=．⑵ ∵11111(22)2222(1)11n n n n n n a n a n n a n a n a n a n -----++-++-===+-+-+-， ∴数列{}n a n +是首项为114a +=，公比为2的等比数列．∴11422n n n a n -++=⋅=，即12n n a n +=-． ⑶ 2341(2222)(123)n n S n +=+++-++++2222(12)(1)821222n n n n n n +⨯-⨯+++=-=--*()n ∈N ． 【点评】 这是一个典型的文科数列大题．第⑵问求通项实际上就是待定系数法的应用；第⑶问求和涉及到分组求和的技巧，在第三讲我们会更进一步讨论．考点：倒数法求数列通项【例5】 ⑴ 在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，求n a ．⑵ 在数列{}n a 中，11a =，1121n n n S S S --=+，求n a ．【解析】 ⑴ 21n a n =+． ⑵ 1122(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=⎨-⎪--⎩，，≥．<教师备案>数列递推中还有一些在小题中经常出现的非常规题型，例如周期数列；与上面已知的题型相比，非常规题型的递推公式没有固定套路可寻．但是这种题型难度并不高，一般来说，如果要求的通项项数较小，可以直接根据定义写出对应的通项；如果要求的项数比较大，适当往下递推若干项即可发现通项的规律．考点：其它方法求数列通项【例6】 ⑴ （2011年杭州二中高三二模文6）在数列{}n a 中，12a =．当n 为正奇数时，12n n a a +=+；当n 为正偶数时，12n n a a +=．则6a =（ ）A ．11B ．17C ．22D ．23 ⑵ （2010海淀二模文13）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n *∈N ），则910a a +的值为 ．⑶ （2011年丰台二模文4）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =（ ） A ．12- B ．23- C ．35D ．52【解析】 ⑴ C⑵ 48 ⑶ C目标班学案3【拓2】 （2010年海淀期中文14）设数列{}n a 的通项公式为*23()n a n n =-∈N ，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≤成立的所有n 中的最大值，则2b = ，数列{}m b 的通项公式m b = ．【解析】 2；3222m m m b m m +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩，是奇数，是偶数，或者*121()12m k m k b k k m k +=-⎧=∈⎨+=⎩N ，，．已知数列{}*()n a n ∈N 满足：11a =，123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，求数列{}n a 的通项公式．【解析】 11!22n n a n n =⎧⎪=⎨⎪⎩，，≥． 【点评】 本题其实不难想到①②两式相减的方法．但是相减之后得到③式时极其容易忽略2n ≥的限制条件，导致错解如下：1(1)n n a n a +=+，1n n a n a -=，∴121121(1)21!n n n n n a a aa a n n n a a a ---=⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅= 一般来说，从首项开始的叠加法和叠乘法是不需要分1n =和2n ≥进行讨论的；但是这题本质上是一个n 项和与通项的关系式子1k kcS k-'=，在n 项和1k S -'转化成通项时必须分2n ≥来讨论，这是导致误解的根本原因．在数列求通项与求和的题型中，避免误解的最好办法就是对所得的答案进行简单的检验．1、（2008北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩；()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【解析】(1, 2)；(3, 402)．2、 （2009北京理14）已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，n *∈N ，则2009a =____；2014a =_________． 【解析】 1；0．【演练1】（2011年石景山期末文14）已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，则数列{}n a 的通项公真题再现实战演练式为 ，na n的最小值为 ． 【解析】 222n a n n =-+，425．【演练2】已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)0n n n a na ++-=*()n ∈N ，试求数列{}n a 的通项公式． 【解析】 1121112n n n a a n n n--=⋅⋅⋅⋅=-．【演练3】已知数列{}n a 满足：14a =，1122n n a a +=-*()n ∈N ，试求{}n a 的通项公式．【解析】 424n n a -=-．【演练4】（2011年山东省实验中学高三5月针对性练习文18）在数列{}n a 中，123a =，若函数3()1f x x =+在点()1(1)f ，处的切线过点1()n n a a +，．⑴ 求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；⑵ 求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ． 【解析】 ⑴ ∵2()3f x x '=，所以()f x 在1x =处切线的斜率为3k =，切点为(12)，，∴切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-．又因为切线过点1()n n a a +，，∴131n n a a +=-，即11133n n a a +=+．∴11111123632n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，111026a -=≠，∴12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为13的等比数列．⑵ 2111123332n n n S ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭11133111112243213nnn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅+=-+⎪⎝⎭-．【演练5】数列{}n x 满足11x =，11322(2)n n n n x x x x n --=-≥．试判断{}n x 中哪些项为正． 【解析】 由11322n n n n x x x x --=-得11122223n n n n n nx x x x x x ----==-，∴11132n n x x -=-，1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32-的等差数列， 故()13531122n n n x -⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴253n x n =-，从而只有1x 才是正项．【演练6】在数列{}n a 中，11a =，对任意自然数n ，当n a为有理数时，1n n a +=；当n a 为无理数时，1nn n a +=-⎝⎭．那么7a = ． 【解析】 18（2004年上海交大自主招生测试）已知{}n b 为公差为6的等差数列，11()n n n b a a n ++=-∈N ⑴ 用1a ，1b ，n 表示数列{}n a 的通项公式；⑵ 若11a b a =-=，[]2733a ∈，，求n a 的最小值及取最小值时的n 的值．【解析】 ⑴ 首先由题意得16(1)n b b n =+-．又∵11n n n a a b ++-=，∴1n n n a a b --=(2)n ≥． 由叠加法知121n n n a b b b a -=++++，∴11n n a a b S =-+，其中n S 是等差数列{}n b 的前n 项和．根据求和公式，11()3(1)2n n n b b S nb n n +==+-． ∴11111113(1)(1)3(1)n n a a b S a b nb n n a n b n n =-+=-++-=+-+-． ⑵ 将11a b a =-=代入⑴中n a 的通项，得(2)3(1)n a n a n n =-+-．∴2223(3)3(3)232612n a a a n a n a n a ++⎛⎫=-++=-+-⎪⎝⎭． ∵[]2733a ∈，，∴[]3566a +∈，．对于最小值讨论如下：①315562a +<≤，即[)2730a ∈，时，n a 在5n =处取最小值min 603n a a =-； ②135626a +<≤，即(]3033a ∈，时，n a 在6n =处取最小值min 904n a a =-； ③31562a +=，即30a =时，n a 在5n =与6n =处同时取最小值min 30n a =-．大千世界。