(完整版)10、小升初分班奥数行程问题2

小升初分班考试辅导讲义讲义编号：学员编号: 年 级：小六 课时数：3学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师：课 题行程问题2 教学目标 掌握典型的行程问题的分析思路及解题方法，会将其转化为原始的行程问题中的相遇、追及问题。

教学内容【专题知识点概述】通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。

但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响.一、 流水行船顺水速度=船速+水速， 水船顺V V V += 逆水速度=船速-水速. 水船逆V V V -= ( 其中船V 为船在静水中的速度，水V 为水流的速度)由上可得：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2； 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2.流水行船中的相遇与追击：（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.（2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答【例1】（难度等级※※）两港相距 120 千米，甲船往返两港需 60 小时，逆流航行比顺流航行多用了 20 小时．乙船的静水速度是甲船的静水速度的 3 倍，那么乙船往返两港需要多少小时？【分析与解】先求出甲船往返航行的时间分别是：(60 ＋20)÷2 =40小时，(60－20)÷2= 20小时．再求出甲船逆水速度每小时120 ÷40 =3千米，顺水速度每小时120÷20 =6千米，因此甲船在静水中的速度是每小时(6 ＋3) ÷2 =4.5千米，水流的速度是每小时(6 －3) ÷2= 1.5 千米，乙船在静水中的速度是每小时4.5×3 =13.5千米，所以乙船往返一次所需要的时间是120 ÷(13.5 ＋1.5) ＋120 ÷(13.5－1.5) =18小时．【举一反三】（难度等级※※）一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用 16 时。

求水流的速度。

【分析与解】两次航行都用16 时，而第一次比第二次顺流多行60 千米，逆流少行40 千米，这表明顺流行60 千米与逆流行40 千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的1.5 倍。

将第一次航行看成是16 时顺流航行了120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流速度为240÷16＝15（千米／时），逆流速度为15÷1.5=10（千米／时），最后求出水流速度为（15－10）÷2＝2.5（千米／时）。

【例2】（难度等级※※）A、 B 两码头间河流长为 220 千米，甲、乙两船分别从 A、 B 码头同时起航．如果相向而行 5 小时相遇，如果同向而行 55小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度．【分析与解】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：220÷5= 44(千米/时)，两船在静水中的速度之差为：220÷55 =4(千米/时)，甲船在静水中的速度为：(44 ＋4)÷2 =24(千米/时)，乙船在静水中的速度为：(44－4) ÷2 =20(千米/时)．【例3】（难度等级※※）一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米．那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?【分析与解】后一小时比前一小时多行6千米，说明前一小时小船逆水行驶，差3千米走完全程．后一小时小船逆水走3千米，顺水走了一个全程．因为顺水、逆水速度每小时差8千米，所以若小船一小时全顺水走，应比行程时的第一小时多行8千米，也就是比一个全长多5千米．再与小船第二小时行驶做比较，我们就得到小船顺水走5千米的时间与逆水走3千米的时间相同，这个时间我们认为是1份．在一份时间内，顺水与逆水所行距离差2千米，一小时差8千米，所以一小时内有8÷2=4份时间．由此得出小船顺水一小时走5×4=20干米，逆水一小时走3×4=12千米．因为小船在第一小时始终逆水，比全程少走3千米，所以从甲地到乙地为12×1+3=15千米．【例4】（难度等级※※※）江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。

又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。

则游船在静水中的速度为每小时多少千米？【分析与解】此题可以分为几个阶段来考虑。

第一个阶段是一个追及问题。

在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是15 千米，共用了5 小时，故两者的速度差是15÷5=3 千米。

由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3 千米。

在紧接着的1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3×1=3千米。

这时货船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。

此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度×1/10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。

按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。

货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了1/10 小时，帮两者的速度和是每小时33/10÷1/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。

（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15 千米。

【举一反三】（难度等级※※※）1、一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处。

客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。

客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物距客船 5 千米。

客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。

求水流的速度。

【分析与解】5÷1/6=30(千米/小时)，所以两处的静水速度均为每小时30 千米。

50÷30=5/3(小时)，所以货船与物品相遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。

由于两船静水速度相同，所以客船行驶20 千米后两船仍相距50 千米。

50÷(30+30)=5/6(小时)，所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。

30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小时)，所以水流的速度是每小时6 千米。

【例5】（难度等级※※※）甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的 A 站顺水向下游的 B 站驶去，与此同时乙轮船自 B 站出发逆水向 A 站驶来。

7.2 时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。

已知甲轮船与自漂水流测试仪 2.5 时后相距 31.25 千米，甲、乙两船航速相等，求 A，B 两站的距离。

【分析与解】因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则7.2 时后乙船到达 A 站，2.5 时后甲船距A站31.25 千米。

由此求出甲、乙船的航速为31.25÷2.5＝12.5（千米／时）。

A，B 两站相距12.5×7.2=90（千米）。

二、火车问题⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.【习题精讲】【例6】（难度等级※※）某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间?【分析与解】第一个过程，战士与排头兵相距一个队伍的长，也就是450米，排头兵的速度就是队伍的速度，即每秒1.5米．这个追及过程共用时：450÷(3-1.5)=300秒．第二个过程，战士与队尾兵也相距450米，队尾兵的速度也是每秒1.5米．这个相遇过程共用时：450÷(3+1.5)=100秒．整个过程一共用时300+100=400秒．【例7】（难度等级※※）一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的隧道用23秒．已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米，求客车与货车从相遇到离开所用的时间．【分析与解】客车用23秒通过一个210米的隧道，用25秒通过250米的隧道，由对过程1的分析我们知道，在25-23=2秒中，客车行进了250-210=40米，所以客车的速度是每秒40÷2=20米．23秒内，客车走的路程是20×23=460米，这段路是210米的隧道长和一个车长，所以客车车身长为：460-210=250米．在追及情况下，客车是快车，货车是慢车，由分析中的过程2，可以直接得到(250+320)÷(20-17)=190秒．【举一反三】（难度等级※※）1、小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长 460 米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是 20秒，而在这段时间内，他行走了 40米．求这列火车的速度是多少？【分析与解】火车走的路程为：460 ＋40 =500(米)，火车速度为：500 ÷20 =25(米/秒)．2、小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了 21秒．这列火车长 630米，以同样的速度通过一座大桥，用了1.5 分钟．这座大桥长多少米？【分析与解】因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车的速度为：630 ÷21= 30(米/秒)，大桥的长度为：30 ×(1.5×60)－630 =2070(米)．【例8】（难度等级※※※）李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒．已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2 米，货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？【分析与解】本题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口，相当于一个相遇问题，总路程为货车的车长．货车总长为：(15.8×30＋1.2×30 ＋10) ÷1000 =0.52 (千米)，火车行进的距离为：60×18/3600=0.3 (千米)，货车行进的距离为：0.52－0.3 =0.22(千米)，货车的速度为：0.22÷18/3600=44 (千米／时)．三、时钟问题时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。