利用因式分解解竞赛题

初中数学.因式分解C级.第01讲.教师版 Page 1 of 10 因式分解进阶

中考要求

内容 基本要求 略高要求 较高要求

因式分解 了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系

会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）

能运用因式分解的方法进行代数式的变形，解决有关问题

例题精讲

一、基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()mabcmambmc整式的乘积因式分解

式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式

十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式.

二、提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

三、公式法

平方差公式：22()()ababab

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

实用文档

标准文案 因式分解

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；

解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． 序号 公式 记忆特征

1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)

（十字相乘法） (1) 常数项两数积

(2) 一次项系数两数和

(3) 二次项系数为1

2 a2-b2 = (a-b)(a+b)

（平方差公式）

3 a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

（完全平方公式）

4 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2

（完全平方公式扩展） (1) 三数平方和

(2) 两两积的2倍

5 a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3

a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3

（完全立方公式） 对照完全平方公式相互加强记忆

6 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (1) 近似完全平方公式

(2) 缺项之完全立方公式

(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)

(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)

7 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 对照公式4相互加强记忆

8 an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1) n=整数

数学竞赛中的因式分解问题

市郊中心学校 李英

1 引言

因式分解是指把一个多项式分解为几个整式的积的形式，即和差化积.它是

中学数学中最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决

许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，

不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的

思维能力，都有着十分独特的作用，学习它，既可以复习整式四则运算，又

为学习分式打好了基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能

力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法互为

逆变形.因式分解的应用较为广泛，可应用于多项式除法、高次方程的求根

以及分式的运算.

因式分解在中学数学里占有十分重要的地位，它是学习其他知识的一

座桥梁，在分式的运算中，它是通分和约分的基础知识；在解高次方程与

不等式时，它又是一种重要的解法；在数的运算中，它是进行简便运算的

重要方法；在代数式与三角式的恒等变形中，它又是一种重要的手段；它

对整式的运算也起到巩固的作用；它是整式乘法的逆变形，对学生的逆向

思维能力、观察能力的培养也起着积极的作用.在各类数学竞赛中，它是命

题的热点.

2 数学竞赛中常见的因式分解方法

2.1 分组分解法

[1]

当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，然后再直接提公因式或

运用公式进行因式分解.例如：要把多项式amanbmbn

分解因式，可以先把

它前两项分成一组，并提出公因式a

，再把它后两项分成一组，并提出公因式b

，

从而得到

amnbmn

,又可以提出公因式

mn

，从而得到



abmn

.

例1分解因式222

2224yx565x24y30yyy

xxx（全国“希望杯”数

学竞赛题）

分析 本题如是按照一般的分组分解方法难以进行，若将它整理成x

或

y的

二次三项式再分组，问题就变得简单了. 解 原式=

2

22

24545645xyyxyyy

第 1 页 共 1 页 因式分解解答题

1．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920或201719等．

（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出四个即可）？

（2）将多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解成三个一次式的乘积后，利用题目中所示的方法，当x＝31时可以得到密码283238，求m，n的值．

【分析】（1）当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，代入x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y）即可；

（2）由题意，得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），则有即可求m、n．

【解答】解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），

当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，

形成的数字密码可以是211428、212814、142128、142821、282114或281421（任写4个即可）；

（2）由题意，得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），

因为（x﹣3）（x+1）（x+7）＝x3+5x2﹣17x﹣21，所以，

解得，

故m，n的值分别是56，17．

【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．