竞赛中常用的因式分解

初中阶段因式分解的常用方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式),(cbamcmbmam

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

,)(2),)((22222babababababa

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式(此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。)

例1、分解因式：bnbmanam 例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy

（二）分组后能直接运用公式(注意这两个例题的区别！)

例3、分解因式：ayaxyx22 例4、分解因式：2222cbaba

练习：分解因式3、yyxx3922 4、yzzyx2222

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式(用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。)

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。

例5、分解因式：652xx 例6、分解因式：672xx

练习5、分解因式(1)24142xx (2)36152aa (3)542xx

（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2

例7、分解因式：101132xx 317102xx

因式分解的常用方法与技巧

田发银

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学家问题重要的手段和工具，有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见。对于特殊的因式分解，除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法，这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，使复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下，供同学们参考。

一、巧拆项 在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1 因式分解：。

解析：根据多项式的特点，把3拆成，则

。

例2 因式分解：。 解析：根据多项式的特点，把拆成，把11x拆成，则 =

。

二、巧添项 在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，则解法独特，新颖别致。

例3 因式分解：。 解析：根据多项式的特点，在中添上两项，则有

。

三、巧换元 在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，使问题化繁为简，迅速获解。

例4 因式分解：。 解析：

。 设，则。于是： 原式

。

四、展开巧组合 若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。

例5 因式分解：。

解析：将多项式展开后再重新组合，分组分解。

例6 因式分解：。 解析：

。

五、巧用主元 对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理，从而使问题柳暗花明。

例7 因式分解：。

解析：这是一个轮换对称多项式（指以a代替b、b代替c、c代替a后原式不变），不妨以a为主元进行整理：

。

从以上几例可以看出，因式分解题型较多，解法灵活，有较强的技巧性，若能根据多项式的具体结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思想，有效地激发同学们的学习兴趣。

因式分解

【例 1】分解因式：2222

(48)3(48)2xxxxxx

提示:将看成一个字母，可利用十字相乘2

48xxu

【例 2】(“希望杯”培训试题)分解因式：22

(52)(53)12xxxx

【【【【方法1：将看作一个整体，设，则2

5xx2

5xxt

方法2：将看作一个整体，设，则2

52xx2

52xxt

方法3：将看作一个整体，2

53xx

【巩固】分解因式：

(1)(3)(5)(7)15xxxx(1)(2)(3)(4)24aaaa22

(1)(2)12xxxx

【例 3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】若，是整数，求证：是一个完全平方数.xy

4

234xyxyxyxyy

【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2

(25)(9)(27)91aaa【巩固】分解因式22

(32)(384)90xxxx

【例 5】分解因式：2222

4(31)(23)(44)xxxxxx

提示:可设，则. 22

31,23xxAxxB2

44xxAB

【巩固】分解因式：2

(2)(2)(1)abababab

【巩固】

分解因式：21

(1)(3)2()(1)

2xyxyxyxyxy

【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式：44

(1)(3)272xx

练习:

1 .分解因式

xx32

342.求证：多项式的值一定是非负数

3.分解因式：()()()abcabbc2333

4.在中，三边a,b,c满足.求证：ABCabcabbc222

166100acb2

5.已知：

6.若x为任意整数，求证：的值不大于100。()()()7342

xxx

7.将

8. 分解因式：

（）

（）131083108

2333155432

22xxxxx

aaaa

实用文档

标准文案 因式分解

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；

解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． 序号 公式 记忆特征

1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)

（十字相乘法） (1) 常数项两数积

(2) 一次项系数两数和

(3) 二次项系数为1

2 a2-b2 = (a-b)(a+b)

（平方差公式）

3 a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

（完全平方公式）

4 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2

（完全平方公式扩展） (1) 三数平方和

(2) 两两积的2倍

5 a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3

a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3

（完全立方公式） 对照完全平方公式相互加强记忆

6 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (1) 近似完全平方公式

(2) 缺项之完全立方公式

(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)

(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)

7 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 对照公式4相互加强记忆

8 an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1) n=整数