指数式与指数函数

1 指数与指数函数

知识点

3.1.1 实数指数幂及其运算

3.1.2 指数函数

一、实数指数幂及其运算

（一）整数指数幂的表示

①正整数指数幂的定义：()nanaaaanN个

②正整数指数幂运算法则：

mnmnaaa，

nmmnaa，

mnmnaaa( m＞n ,a≠0)，

nnnabab，

(0)nnnaabbb

③零指数幂：010aa

④负整数指数幂：1(0,)nnaanNa

（二）分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂：(0,,,1)mnmnaaamnNn

②正数的负分数指数幂：11(0,,,1)mnmnmnaamnNnaa

③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义

（三）有理数指数幂的运算性质：

①(0,,)rsrsaaaarsQ

②(0,,)srrsaaarsQ

③0,0,rrrabababrQ

考点一：实数指数幂的运算性质

例1.下列各式中正确的是（ ）

A．nna＝a（nN*） B．（na）n＝a（nN*） 2 C．npmpa＝nma（n，m，pN*）D．nma－＝mna1（m，nN*，a＞0）

考点二：指数式的运算

例2.化简下列各式（其中各字母均为正数）

（1）23111132265()ababab （2）121121333225(3)(4)6ababab

（3）20.520371037(2)0.1(2)392748

（4）411300.753327(0.064)()2160.018

【反思归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，化简原则是：化根式为分数指数幂，化负指数为正指数，化小数为分数等。对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

§2.7 指数与指数函数 考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 知识梳理

1．根式

(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(3)(na)n＝a.

当n为奇数时，nan＝a，

当n为偶数时，nan＝|a|＝ a，a≥0，－a，a<0.

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂：mna＝nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．

正数的负分数指数幂：mna－＝1mna＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

3．指数幂的运算性质

aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．

4．指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a>1 0

图象

定义域 R 值域

(0，＋∞)

性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；

当x<0时，01；

当x>0时，0

在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数

常用结论

1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，－1，1a.

2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)4－44＝－4.( × )

(2)2a·2b＝2ab.( × )

(3)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞)．( × )

1 指数函数讲义经典整理（含答案）

一、同步知识梳理

知识点1：指数函数

函数(01)xyaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R

知识点2：指数函数的图像和性质

知识点3：指数函数的底数与图像的关系

指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如

图所示，则01cdab，

在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，

在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大

即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大

在第一象限内，“底大图高”

知识点4：指数式、指数函数的理解

① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算

② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函

2 数的基础，应引起重视

③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值

④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像12223,,3,21xxxyyxyy 等函数均不符合形式01xyaaa且，因此，它们都不是指数函数

⑤ 画指数函数xya的图像，应抓住三个关键点：11,,0,1,1,aa

二、同步题型分析

题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域

例1：已知函数，且．

（1）求m的值；

（2）判定f（x）的奇偶性；

（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

考点：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．

专题：

计算题．

分析：

（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；

（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；

思思老师 指数与指数函数

【考纲要求】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；

4.掌握指数函数图象：

5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的

思想方法；

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、整数指数幂的概念及运算性质

(1)整数指数幂的概念

(2)运算法则

①；

②；

③；

④. ()

()

),0(1010*

Z*na

aaaaZnaaaa

nnann

ι=¹=Î×××=

-!"!#$%

个

nmnm

aaa+

=×

()

mnn

m

aa=

()

0¹>=-

anma

aa

nm

nm

，

()

mmm

baab=指数与指数函数

图象与性质 指

数

运

算

性

质 指

数

函

数

的

图

像

与指

数

的

概

念 思思老师 考点二、根式的概念和运算法则

(1)n次方根的定义：

若xn

=y(n∈N*

，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.

要点诠释：

n为奇数时，正数y

的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为

；零的奇次方根为零，记为；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为

.

(2)根式的意义与运算法则

考点三、分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

考点四、有理数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3)

当a>0，p为无理数时，ap

是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

；

(3)幂指数不能随便约分.如

.

考点五、指数函数

(1)定义： ny

ny00=n

ny±