指数与指数函数

指数与指数函数

1．整数指数幂的运算性质：

)()(),()(),(ZnbaabZnmaaZnmaaannnmnnmnmnm

2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(na)n=a.

②当n为奇数时，nna=a；当n为偶数时，nna=|a|=)0()0(aaaa.

3．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,,,1mnmnaaamnNn ；

（2）正数的负分数指数幂的意义是110,,,1mnmnmnaamnNnaa

4．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

10,,rsrsaaaarsQ

20,,srrsaaarsQ

30,0,rrrabababrQ

例 10510250aaaa 12312430aaaa

若0a，则3223233aaa，4554544aaa，

2323aa 4545aa．

例题分析： 例1．求值： 238， 12100， 314， 341681．

例2． 用分数指数幂的形式表示下列各式ao：

2aa， 332aa， aa.

例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）211511336622263ababab； （2）83184mn；

例4．计算下列各式：

（1）3451255 （2）2320aaaa．

指数函数定义：一般地，函数xya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

1 指数与指数函数

知识点

3.1.1 实数指数幂及其运算

3.1.2 指数函数

一、实数指数幂及其运算

（一）整数指数幂的表示

①正整数指数幂的定义：()nanaaaanN个

②正整数指数幂运算法则：

mnmnaaa，

nmmnaa，

mnmnaaa( m＞n ,a≠0)，

nnnabab，

(0)nnnaabbb

③零指数幂：010aa

④负整数指数幂：1(0,)nnaanNa

（二）分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂：(0,,,1)mnmnaaamnNn

②正数的负分数指数幂：11(0,,,1)mnmnmnaamnNnaa

③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义

（三）有理数指数幂的运算性质：

①(0,,)rsrsaaaarsQ

②(0,,)srrsaaarsQ

③0,0,rrrabababrQ

考点一：实数指数幂的运算性质

例1.下列各式中正确的是（ ）

A．nna＝a（nN*） B．（na）n＝a（nN*） 2 C．npmpa＝nma（n，m，pN*）D．nma－＝mna1（m，nN*，a＞0）

考点二：指数式的运算

例2.化简下列各式（其中各字母均为正数）

（1）23111132265()ababab （2）121121333225(3)(4)6ababab

（3）20.520371037(2)0.1(2)392748

（4）411300.753327(0.064)()2160.018

【反思归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，化简原则是：化根式为分数指数幂，化负指数为正指数，化小数为分数等。对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

指数与指数函数图像及性质

【知识要点】

1．根式

（1）如果axn，那么x叫做a的n次方根.其中1n，且Nn。

（2）如果axn，当n为奇数时，nax；当n为偶数时，nax0a.其中na叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. 其中1n，且Nn。

(3)Nnnaannn,1,00。

(4),||,nnanaan为奇数为偶数 其中1n，且Nn。

2.分数指数幂

(1)正分数指数幂的定义: nmnmaa1,,,0nNnma

(2)负分数指数幂的定义:

nmnmaa11,,,0nNnma

(3) 要注意四点：

①分数指数幂是根式的另一种表示形式；

②根式与分数指数幂可以进行互化；

③0的正分数指数幂等于0；

④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:

①srsraaaQsra,,0；

② rssraaQsra,,0；

③rrrbaabQrba,,0,0.

3.无理数指数幂

(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近;

(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：

一般地，函数0,1xyaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

5．指数函数的图像与性质

函数名称 指数函数

定义 函数(0xyaa且1)a叫做指数函数

图象 1a 01a

定义域 R

值域 (0,)

过定点 图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．

奇偶性 非奇非偶

单调性 在R上是增函数 在R上是减函数

a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

第一课时

【典例精讲】

题型一 根式、指数幂的化简与求值

1.na叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1aa；

思思老师 指数与指数函数

【考纲要求】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；

4.掌握指数函数图象：

5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的

思想方法；

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、整数指数幂的概念及运算性质

(1)整数指数幂的概念

(2)运算法则

①；

②；

③；

④. ()

()

),0(1010*

Z*na

aaaaZnaaaa

nnann

ι=¹=Î×××=

-!"!#$%

个

nmnm

aaa+

=×

()

mnn

m

aa=

()

0¹>=-

anma

aa

nm

nm

，

()

mmm

baab=指数与指数函数

图象与性质 指

数

运

算

性

质 指

数

函

数

的

图

像

与指

数

的

概

念 思思老师 考点二、根式的概念和运算法则

(1)n次方根的定义：

若xn

=y(n∈N*

，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.

要点诠释：

n为奇数时，正数y

的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为

；零的奇次方根为零，记为；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为

.

(2)根式的意义与运算法则

考点三、分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

考点四、有理数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3)

当a>0，p为无理数时，ap

是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

；

(3)幂指数不能随便约分.如

.

考点五、指数函数

(1)定义： ny

ny00=n

ny±