实验六-拉丁方试验设计

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. . 实验六 拉丁方实验设计

实验目的

了解拉丁方实验设计的基本方法与数据的分析方法。

实验工具

Spss中的Analyze General linear ModelUnivariate。

知识准备

一、拉丁方设计的概念

将k个不同符号排成k列，使得每一个符号在每一行、每一列都只出现一次的方阵，叫做k×k拉丁方。利用拉丁方阵进行实验设计的方法叫做拉丁方设计。最初设计实验方案时，拉丁方阵用拉丁字母组成的方阵来表示。后来，尽管方阵中的元素改用了字母、阿拉伯数字或其它的符号，人们仍称这种实验方案为拉丁方实验。

拉丁方设计的特点是处理数、重复数、行数、列数都相等。如图6.47为4×4拉丁方，它的每一行和每一列都是一个区组或一次重复，而每一个处理在每一行或每一列都只出现一次，因此，它的处理数、重复数、行数、列数都等于4。

拉丁方设计的特点：

重复数＝处理数＝列数＝横行数；每个处理在横行的区组内或列的区组内都能出现一次，从两个方向都可看成重复，排列呈方形；两个方向的排列都是随机的，从两个方向进行局部控制，试验精确度较高。

缺点：处理数＝重复数，若处理过多，重复随之增多，使实验工作量过大。一般不宜超过8个处理。若处理数过少，方差分析时的自由度过小，影响分析结果的精确性。由于重复数与处理数必须相等，缺乏灵活性。

二、拉丁方设计步骤

〔1〕根据因素的水平数选择标准方。标准方是指代表处理的字母，在第一行和第一列均为顺序排列的拉丁方。如图6.48。

A B C D

B A D C

C D A B

D C B A

图6. 47 4×4拉丁方 .

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在进行拉丁方设计时，首先要根据实验处理数k从标准方表中选定一个k×k的标准方。例如处理数为5时，则需要选一个5×5的标准方，如图6.48所示。随后我们要对选定的标准方的行、列和处理进行随机化排列。本例处理数是5，因此根据随机数字表任选一页中的一行，除去0、6以上数字和重复数字，满5个为一组，要得到这样的3组5位数。假设得到的3组随机数字为14325，53124，41235。

〔2〕列随机。根据第一组5个数字14325调整列的顺序，即把第4列调至第2列，第2列调至第4列，其余列不动。如图6.49所示。

〔3〕行随机。根据第二组5个数字53124调整行的顺序，即把第5行调至第1行，第3行调至第2行，第1行调至第3行，第2行调至第4行，第4行调至第5行。如图6.49。

〔4〕处理随机。将处理的编号按第三组5个数字41235的顺序进行随机排列。即4号=A，1号=B，2号=C，3号=D，5号=E。因此经过随机重排的拉丁方中A处理用4，B处理用1，C处理用2，D处理用3，E处理用5。如图6.49。

三、拉丁方实验结果的统计分析

拉丁方差实验结果可以用两种表格表示：一是纵横区组两向表，二是各处理的单向分组表。 A B C D E

B A E C D

C D A E

B

D E B A C

E C D B A

图6.48 5×5标准方

〔3〕行随机

〔按53124排列〕

5 E B D C A

3 C E A D B

1 A D C B E

2 B C E A D

4 D A B E C 〔4〕处理随机

〔按4＝A，1＝B，2＝C，3＝D，5＝E〕

5 1 3 2 4

2 5 4 3 1

4 3 2 1 5

1 2 5 4 3

3 4 1 5 2

图6.49 拉丁方实验设计步骤图 〔2〕列随机

〔按14325排列〕

1 4 3 2 5

1 A D C B E

2 B C E A D

3 C E A D B

4 D A B E C

5 E B D C A .

. . 拉丁方设计的数据的统计模型为：

ijtjiijεβαμy

其中，μ为总均值；iα 为横行效应；jβ为纵列效应；t为处理效应；ij为实验误差，满足正态分布N(0,σ2)。如果是固定效应模型，则满足0iα；满足0j。

实验的结果中，处理数k=横行区组数r=纵列区组数c=重复次数n。这样，实验有k个处理，便有kk个观测值。方差分析时，从总变异方差中除分解出处理间方差和误差项方差外，还可分解出纵横两个区组的方差，这就使误差项方差进一步减小。所以拉丁方实验的精确度比随机区组实验更高。

1.平方和与自由度的分解

总平方和为：cySijT2，22)(kycij，12kfT。

横行平方和为：ckTSrr2 ，1kfr，rT为横行数据的和。

纵列平方和为：ckTScc2，1kfc，cT为纵列数据的和。

处理平方和为：ckTStt2，1kft，tT为各处理的数据和。

误差平方和为：tcrTesssss，1kfe。

总平方和 = 横行平方和 + 纵行平方和 + 处理平方和 + 误差平方和

总自由度 = 横行自由度 + 纵行自由度 + 处理自由度 + 误差自由度

2．F检验

各平方和除以各自的自由度得到均方和。从而可以得到各检验统计量：

erMSMSF，ecMSMSF，etMSMSF

对于给定的显著性水平，根据计算得到的F统计量的值和临界值做对比可以得到结论。 .

. . 如果方差分析的结果有显著的差异，进一步可以进行多重比较。多重比较的方法见前面的内容。

实验背景

对玉米的五个品种进行拉丁方实验，产量〔kg〕如下表所示，试作方差分析。

表6.12 纵列

横行 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ A 14

D 19

B 23

C 21

E 23 E 22

B 21

A 15

D 18

C 16 D 20

A 16

C 20

E 24

B 23 C 18

E 23

D 18

B 21

A 17 B 25

C 18

E 23

A 17

D 20

实验过程

〔1〕输入数据,如图6.50所示。

图6.50

〔2〕单击Analyze General linear ModelUnivariate，打开Univariate主对话框。如图6.51所示： .

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图6.51

选择要分析的变量“产量〞进入Dependent Variable 框中，选择因素变量“行、列和因素〞进入Fixed Factor框中。

〔3〕单击Model...按纽选择分析模型，得到Model对话框。如图6.52 所示，在SpecifyModel框中，指定模型类型。

图6.52

本例选择Custom选项。从左边Factors & Covariates框中选择变量“因素、行、列〞进入Model框中，单击Build Term下面的小菜单，选择主效应。最后在Sum of Square 中选择分解平方和的方法，选取默认项TypeⅢ。本例中模型包含截距项。单击Continue 返回在主对话框。 .

. . 单击OK。

输出结果与分析如下：

图6.53

图6.53描述的是因素的不同水平、行和列对应的实验的数据的个数。

Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: 产量157.229a1213.1022.664.0519525.76019525.7601937.085.000130.749432.6876.647.00515.54943.887.790.55319.84044.9601.009.44159.011124.9189742.00025216.24024SourceCorrected ModelIntercept因素行列ErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squared = .727 (Adjusted R Squared = .454)a.

图6.54

图6.54为方差分析的结果，表明只有不同的品种对产量有显著的影响。

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. . Expected Mean Squaresa,b5.0005.0001.000Intercept,

因素.000.0001.000因素4.700.0001.000.0005.0001.000.000.0001.000SourceIntercept因素行列ErrorVar(行)Var(列)Var(Error)QuadraticTermVariance ComponentFor each source, the expected mean square equalsthe sum of the coefficients in the cells times thevariance components, plus a quadratic term involvingeffects in the Quadratic Term cell.a.

Expected Mean Squares are based on the Type IIISums of Squares.b.

图6.55

图6.55为均值期望。