江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试

2017-2018学年度第一学期期中学情检测

高二数学

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..

1. 命题：“，”的否定为__________.

【答案】，

【解析】 由题意得，根据全称命题与特称命题的关系可知，

命题“”的否定为“”

2. 不等式的解集是__________．

【答案】

【解析】 由题意得，不等式可化为，所以不等式的解集为.

3. 已知数列的前项和为，且，则数列的首项为__________．

【答案】

【解析】 设等差数列的首项为，公差为，

由，得，所以.

4. 关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】 由题意得，不等式的解集为，

要使得不等式成的充分不必要条件是，

则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.

5. 若正项等比数列满足，则的最大值为__________．

【答案】2

【解析】 根据等比中项可知，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.

6. 若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

因为过坐标原点，其中表示直线的斜率，

所以可行域内能使得斜率取得最大值，可行域内能使得斜率取得最小值，

由，解得，此时，

由，解得，此时，

所以实数的取值范围是.

7. 等比数列的前项和为，已知，，则公比__________．

【答案】或

【解析】∵，

①当时,，满足条件。

②当时,可得.解得.

综上可知：或.

点睛：等比数列求和公式中当和时，公式不一样，切勿用错.

当时，；

当时，.

8. 设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________．

【答案】

【解析】 由等差数列的前项和公式，

可设，

则，，

所以.

...........................

【答案】10

【解析】 设这种汽车最多使用年报废最合算，

用年汽车的总费用为万元，

故年汽车每年的平均费用为万元，

当且仅当时等号成立，故汽车使用年报废最合算.

10. 下列说法中所有正确命题的序号是__________．

①“”是“”成立的充分非必要条件；

②、，则“”是“”的必要非充分条件；

③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；

④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.

【答案】②③④

【解析】 对于①中，，则，所以是的必要不充分条件，所以不正确；

对于②中，由时，则，而当，则成立，所以是的必要不充分条件，所以知正确的；

对于③中，原命题的逆命题与原命题的否命题，互为逆否关系，说以一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真是正确的；

对于④中，在等比数列中，当时，，即成立，

当时，则，所以，所以在等比数列中，是的充要条

件，所以是正确的，故选②③④.

11. 设是数列的前项和，且，，则__________．

【答案】

【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .

【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是

，若是消，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为： ，再利用递推求解通项公式.

视频

12. 已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

又且，则且，

所以当直线过点时，目标函数取得最大值，

又由，解得，即，

所以，

又，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

13. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由题设可知，则，以上两式两边相减可得，即，故，则，由题意，即，应填答案。

点睛：解答本题关键是充分借助题设中新定义的“好值”的概念，借助题设条件得到，再运用数列通项之间的递推关系建立方程，即，从而求得，进而借助题设中的，建立不等式组，即，通过解不等式组使得问题获解。

14. 已知，均为正数，且，则的最小值为__________．

【答案】6

【解析】 由均为正数，且，则，

又由，

，

当且仅当，即取等号，

所以，当且仅当取等号，

所以，所以.

点睛：本题考查了不等式是的性质，柯西不等式和基本不等式的应用问题，着重考查了学生的推理和计算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中根据基本不等式求解的最小值，在利用柯西不等式求解是解答关键.

三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 设（，）

（1）若不等式的解集为，求，的值；

（2）记，若且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】 试题分析：

（1）由题意，根据一元二次方程的根与系数的关系列出方程组，即可求解的的值；

（2）由，得出函数的解析式，列出不等式组，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（1）由题意得：，解得

（2）∵，∴

由题意得：，解得

16. 命题：已知实数，满足约束条件，二元一次不等式恒成立，

命题：设数列的通项公式为，若，使得．

（1）分别求出使命题，为真时，实数的取值范围；

（2）若命题与真假相同，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）或

【解析】试题分析：

（1）由题意，画出可行域，结合图象得到当目标函数过点时，目标函数取得最大值，联立方程组，求解点的坐标，代入求解最大值，得出范围，再由基本不等式，看求解为真时的范围即可.

（2）因为命题与真假相同，分类讨论，即可求解的取值范围.

试题解析：

（1）约束条件，画出可行域，结合图象可得

当目标函数过点时，目标函数取得最大值.

得，则的最大值为.所以命题为真：

由 （当且仅当，即时取等号.）

所以命题为真：

（2）因为命题与真假相同

①若与同为真：则，∴，②若与同为假，则，∴.

综上：或.

17. 设数列的前项和，满足（）；

（1）记，求数列的前和.

（2）记，且数列的前和为，若不等式，对任意恒成立，求实数的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

（1）根据数列中与的关系，即可求解数列的通项公式，进而得出的通项公式及数列的前项和.

（2）由（1）得 ，利用裂项相消，求得数列的和，即可得到的最小值.

试题解析：

（1）因为（）当时，，

当时， ，对适用

所以，所以

所以

（2）因为

所以

故从而的最小值为

18. 服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

【答案】（1）（）；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）由题意知：每件产品的销售价格为，即可表示出利润关于促销费用的函数关系式.

（2）由（1）中的函数关系式，利用基本不等式求最值，即可得出2017年促销费用多少时，利润最大.

试题解析：

（1）由题意知：每件产品的销售价格为

所以

（）

所以（）

（2）由

当且仅当，即时取等号.

又

当时，当时，有最大值；

当时，易证关于为增函数，所以时，有最大值；

答：当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大；

当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大.

19. 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设

（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；

（2）若，又数列满足：：

①求数列的前和；

②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）由，得故，进而，可得数列为等比数列，即可求解数列的通项公式；

（2）①由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.

②证明：由（1）得，对于给定的，若存在，，且，，

得出取，则，使得，得以证明.

试题解析：

（1）因为.

故，即，所以

故数列为等比数列，且，所以

（2）

，故数列是以为首项，为公差的等差数列，

易求出

① ，

以上两式相减得：

所以

②证明：由且，知，

对于给定的，若存在，，且，，

只需，只需

取，则

所以对于数列中的任意一项，

都存在与，使得，

即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.

20. 已知函数.

（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：对任意，，都有成立；

（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）