江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试(二)数学试题

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试（二）

数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．

1．命题Rx，使得012x的否定为 .

2．抛物线yx82的准线方程为 .

3．在等差数列}{na中，已知1182aa，则1133aa的值为 .

4．下列命题：①45或54；②命题“若ba，则cbca”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 .

5．能够使“设x是实数，若1x，则311xx”是假命题的一个实数x的值为 .

6．“3yx”是“1x或2y”的 条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）

7．已知双曲线1922ayx的右焦点为)0,13(，则该双曲线的渐近线方程为 .

8．关于x的不等式0bax的解集是)1,(，则关于x的不等式02xbax的解集是 .

9．设yx,满足1||||0yxxyy，则yx3的最大值为 .

10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,FF是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，若02160PFF，则这一对相关曲线中椭圆的离心率为 .

11．在等比数列}{na中，1041aa，则能使不等式0)1()1()1(2211nnaaaaaa成立的最大正整数n是 . 12．已知实数yx,满足322yx，||||yx，则22)2(4)2(1yxyx的最小值为 .

13．各项均为正数的等比数列}{na中，),2(881211Nmmaaaamm，若从中抽掉一项后，余下的1m项之积为1)24(m，则被抽掉的是第 项．

14．设cba,,是正实数，满足acb，则baccb的最小值为 ．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．命题p：实数x满足03422aaxx（其中0a），命题q：实数x满足0232|1|xxx.

（1）若1a，且qp为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点为)0,4(1F，)0,4(2F，且经过点)1,3(P.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点M在椭圆上，且2121PFPFOM，求的值.

17．已知各项均为正数的数列}{na的首项11a，nS是数列}{na的前n项和，且满足：

),0(*1111NnaaaaSaSannnnnnnn.

（1）若321,,aaa成等比数列，求实数的值；

（2）若21，求证：数列}1{nnaS为等差数列；

（3）在（2）的条件下，求nS.

18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和C平行.当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风）. （1）设MN与AB之间的距离为250(xx且)1x米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数)(xSy；

（2）当MN与AB之间的距离为多少时，通风窗的通风面积S取得最大值？

19．已知椭圆C：)0(12222babyax的左焦点为)0,1(F，左准线方程为2x.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线l交椭圆C于BA,两点.

①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足AFPA，BFPB.

求证：为定值；

②若OBOA（O为原点），求AOB面积的取值范围.

20.若存在常数)2,(*kNkk、q、d，使得无穷数列}{na满足**1,,NknqaNkndaannn，则称数列}{na为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列}{nb为“段比差数列”.

（1）若}{nb的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.

①当0q时，求2016b；

②当1q时，设}{nb的前n3项和为nS，若不等式133nnS对*Nn恒成立，求实数的取值范围；

（2）设}{nb为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的}{nb并说明理由.

试卷答案

一、填空题

1．Rx，使得012x 2．2y 3．22 4．1

5．2 6．充分不必要 7．xy32 8．)2,1(

9．2 10．33 11．7n 12．53

13．13 14．212

二、解答题

15．（1）解：由03422aaxx得0))(3(axax，

又0a，所以axa3，

当1a时，31x，即p为真时，实数x的取值范围是31x，

由0232|1|xxx得2331xxx或，解得32x，即q为真时，实数x的取值范围是32x，

若qp为真，则p真且q真，

所以实数x的取值范围是)3,2(.

（2）由（1）知p：axa3，则p：ax或ax3，

q：32x，则q：2x或3x

因为p是q的充分不必要条件，则qp，

所以3320aa解得21a，故实数a的取值范围是]2,1(. 16.（1）依题意，设椭圆C的标准方程为)0(12222babyax

261)43(1)43(||||2222221PFPFa，∴23a

椭圆C的标准方程为121822yx

（2）)212,272()1,0()1,7(212121PFPFOM

点M的坐标为)212,272(M

∵点M在椭圆上，∴1)212(21)272(18122

即074202，解得21或107.

17.（1）令1n，得122a

令2n，得32322332aaaaSaSa，所以)12)(1(423a

由3122aaa，得)12)(1(42)12(2，因为0，所以1.

（2）当21时，1111nnnnnnnnaaaaSaSa，

所以21111111nnnnnnaaaSaS，即211111nnnnaSaS

所以数列}1{nnaS是以2为首项，公差为21的等差数列，

所以21)1(21naSnn，即2321naSnn.

（3）nnanS)232(1，①

当2n时，11)2321(1nnanS，②

①-②得，12223nnnanana

即1)2()1(nnanan，所以)2(121nnanann， 所以}2{nan是首项为31的常数列，所以)2(31nan，

代入①得651)232(2nnanSnn.

18.解：（1）当10x时，过A作CDAK于K（如图）

则xHMABCDDKAK1,212,1，

由2DHMHDKAK，得212xHMDH，

∴xDHHG223，

∴2)2)(1()(2xxxxHGHMxS；

当251x时，过E作MNET于T，连结EN（如图），

则1xET，222)1(49)1()23(2xxMNTN，

∴2)1(492xMN，

∴)1()1(492)(2xxETMNxS， 综上，251),1()1(49210,2)(22xxxxxxxS；

（2）当10x时，49)21(2)(22xxxxS在)1,0[上递减，

∴2)0()(maxSxS；

当251x时，492)1(49)1(2)1()1(492)(222xxxxxS，当且仅当2)1(491xx，即)25,1(1423x时取“”，

∴49)(maxxS，此时249)(maxxS，∴)(xS的最大值为49.

答：当MN与AB之间的距离为1423米时，通风窗的通风面积S取得最大值.

19.(1)由题设知cacac2,2,122，

∴1,22222caba，

∴C：1222yx

（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为)1(xky，则),0(kP

设),(),,(2211yxByxA，直线l代入椭圆得2)1(2222xkx，整理得，

0224)21(2222kxkxk，

∴222122212122,214kkxxkkxx

由AFPA，BFPB知22111,1xxxx，

∴4142122214121442142122222222221212121kkkkkkkkxxxxxxxx（定值）