一元二次方程的概念

导学案一元二次方程的概念

问题1有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然

后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c

㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x

cm，则盒底的长为________________,宽为_____________.

得方程：_____________________________，整理得：_________________________①

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条

件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为___________

设应邀请x

个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共

_________________场。列方程：___________________________，整理得：

____________________________②

请回答下面问题：（1）方程①②中未知数的个数各是多少？____（2）它们最高次数分别是几次？_____

方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），

并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.

归纳总结：

1.一元二次方程:像这样等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最

高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式:一般地，任何一个关于x的一元二次方程，󰀂经过整理，󰀂都能

化成如下形式ax2+bx+c=0（a,b,c是常数a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其

中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________,_____是一次项系数；_____

是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系

一元二次方程的概念整理：

1. 一元二次方程的概念：

（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。

（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），才能确定a、b、c的值。

一元一次方程与一元二次方程的区别和联系

2. 一元二次方程的解法：

熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。

一元二次方程的基本解法有四种：

（1）直接开平方法：它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。axbcac200()

（2）配方法：

先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。1xpxpxmnn22220()

（3）公式法：

用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。 关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。abcbacbacxbbaca22244042

（4）因式分解法：

适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。

我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。

对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。

3. 一元二次方程根的判别式：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2－4ac的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。

一元二次方程的概念和根

第一部分 知识点梳理

一、一元二次方程的基本概念：只含有 个未知数，并且未知数的次数是 的 方程。

归纳：1、一元二次方程的一般形式是02cbxax,（a，b，c是常数且a≠0）,其中2ax叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项。

2、一元二次方程的条件：（1）二次项系数a≠0，（2）未知数最高次数必须为2

例题、判断下列方程是不是一元二次方程：

① 3x2-13y=0；②253x=1；③2xy-7=0；④3x=x2+4；⑤232x+5＝3x；

例．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【变式练习】

1、方程43)5)(31(xxx化为一般形式为 ，它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、已知方程07)1()1(22xkxk，（1）当k为何值时，是一元二次方程。（2）当 k为何值时，是一元一次方程？

举一反三： 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

例：若043)2(22xxmm是关于x的一元二次方程，则m的值是 。 专 题 一元二次方程的概念和根

目 标 理解一元二次方程和根的概念

重 难 点 把方程化为一元二次方程的一般方程；找出各项的系数；根的应用。

常 考 点 一元二次方程的概念和根的应用

变式练习1：已知关于 x的方程02)3(21xxaa是一元二次方程，求a的值。

例、方程2x＝-3x2+5中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．

- 1 - 一元二次方程

点击一：一元二次方程的定义

一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．

针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。

（1）x2+x1－5=0 （2）x2－3xy+7=0 （3）x+12x=4

（4）m3－2m+3=0 （5）22x2－5=0 （6）ax2－bx=4

针对练习2: 已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是 。

点击二：一元二次方程的一般形式

元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.

针对练习3: 把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.

点击三：一元二次方程的根的定义的意义

一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c＝0（a≠0）成立，则m一定是ax2+bx+c＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.

针对练习3: 若m是方程x2+x－1＝0的一个根，试求代数式m3+2m2+2009的值.