傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变
换。研究的都是什么?从几方面讨论下。
这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。
傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义
【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声
学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换
的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它
们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅
里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：
一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来
的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信
号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号 是一组这样 的分量的叠
加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信
号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周 期，或者说，给了一个周期，
我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出
其对应的曲线，就像给出时域上每一点的 信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的
更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数
值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰
好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表
变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换
1、傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
2、拉普拉斯变换
定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω
是复参变量，称为复频率。 左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换 ，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数； 而在拉普拉斯变换 中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。 拉普拉斯变换 主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。 Fourier变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
第四章 拉普拉斯变换
第一题选择题
1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。
A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。
2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。
A、指数增长信号 B、 指数衰减振荡信号 C、 常数 D、等幅振荡信号
3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。
A、左半平面 B、右半平面 C、虚轴上 D、虚轴或左半平面
4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是
B 。
A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号
5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。
A 左半平面 B 右半平面 C 虚轴上 D 虚轴或左半平面
6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。
A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号
7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是
D
A、指数增长信号 B、 指数衰减振荡信号 C、 常数 D、等幅振荡信号
8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。
A 稳定 B 不稳定 C 临界稳定 D 无法判断稳定性
9．系统函数H(s)是由 D 决定的。
A 激励信号E(s) B 响应信号R(s) C 激励信号E(s)和响应信号R(s) D 系统。
10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是 B 。
A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号
第四章 拉普拉斯变换
第一题选择题
1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。
A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。
2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。
A、指数增长信号 B、 指数衰减振荡信号 C、 常数 D、等幅振荡信号
3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。
A、左半平面 B、右半平面 C、虚轴上 D、虚轴或左半平面
4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是
B 。
A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号
5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。
A 左半平面 B 右半平面 C 虚轴上 D 虚轴或左半平面
6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。
A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号
7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是
D
A、指数增长信号 B、 指数衰减振荡信号 C、 常数 D、等幅振荡信号
8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。
A 稳定 B 不稳定 C 临界稳定 D 无法判断稳定性
9．系统函数H(s)是由 D 决定的。
A 激励信号E(s) B 响应信号R(s) C 激励信号E(s)和响应信号R(s) D 系统。
10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是 B 。
A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号
