D 10.2 直方图

1 10.2

直方图

通过事例使学生掌握作直方图的几个重要步骤,理解组距、频数、频数分布的意义,能绘制频数分布直方图.

感受数据的整理过程,体会表格在数据整理中的作用.

1.进一步感受统计在生产生活中的作用,增强学习数学的兴趣.

2.进一步建立统计的观念,培养调查研究的良好习惯和科学态度.

【重点】

1.探究用频数分布直方图描述数据的方法.

2.感受和体会统计结果对决策的意义和作用.

【难点】 通过用频数分布直方图描述数据,反映数据中蕴含的规律.

【教师准备】 课堂需要的统计数据和直方图.

【学生准备】 复习全面调查和抽样调查的相关知识.

2

导入一:

欣欣制衣厂职工的年龄人数分布情况如下图所示.

同学们,这是我们学过的条形统计图吗?如果不是,那么它与我们学过的条形图之间有什么区别和联系呢?这节课我们将要学习这些内容.

[设计意图] 呈现一个与条形图外观不同的直方统计图,初步帮助学生感受数据的另外一种描述方法.

导入二:

为了参加全校各年级之间的广播体操比赛,七年级准备从63名同学中挑选身高相差不多的40名同学参加比赛.为此收集到这63名同学的身高(单位:cm)如下:

158 158 160 168 159 159 151 158 159

168 158 154 158 154 169 158 158 158

159 167 170 153 160 160 159 159 160

149 163 163 162 172 161 153 156 162

162 163 157 162 162 161 157 157 164

155 156 165 166 156 154 166 164 165

156 157 153 165 159 157 155 164 156

选择身高在哪个范围的同学参加呢?

[处理方式] 教师提出问题,学生独立思考,在独立思考的基础上,学生分组交流,并汇总解决问题的不同方法,教师应当注意学生提出的方案是否合理.

[设计意图] 直方图是学生接触的一种新的统计图,从学生熟悉的问题情境入手,学生可以用不同的方法选出符合要求的队员,在此基础上再引出利用频数分 3 布表确定人选的方法,有利于学生对统计知识的系统学习,进而为下面的活动奠定基础.

[过渡语] 在导入二中,为了使选取的参赛选手身高比较整齐,需要知道数据(身高)的分布情况,即在哪些身高范围的同学比较多,而哪些身高范围的同学比较少.通过什么办法来整理这些身高数据呢?

1.计算最大值与最小值的差

在上面导入二的数据中,最小值是149,最大值是172,最大值与最小值的差是23,说明身高的变化范围是23.

[设计意图] 上述数据实际是为后面的组距和组数的确定提供基本依据,可以暂时不向学生介绍为什么求这个最大值与最小值的差.

2.决定组距和组数

出示问题:

(1)什么叫做组距?

把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距.

(2)组距的大小有哪两种形式?

(等距分组和不等距分组)

(3)如果进行等距分组,确定组距为3,怎样对前面表格中的数据进行分组?

(第一步确定组数:由于==7,所以要将数据分成8组:149≤x<152,152≤x<155,…,170≤x<173.这里组数和组距分别为8和3) 4 [设计意图] 确定组距和组数是本课时学习的一个难点,也是进行科学统计关键的一个环节,因此细化为几个问题,引导学生逐一进行讨论.

3.列频数分布表

问题

(1)什么是频数?

对落在各个小组内的数据进行累计,得到各个小组内的数据的个数叫做频数.

(2)整理、分析频数分布表.

身高分组 划记 频数

149≤x<152 2

152≤x<155 正 6

155≤x<158 正正 12

158≤x<161 正正正 19

161≤x<164 正正 10

164≤x<167 正 8

167≤x<170 4

170≤x<173 2

合计 63 63

从表中可以看出,身高在155≤x<158,158≤x<161,161≤x<164三个组的人数最多,一共有12+19+10=41(人).因此可以从身高在155 cm至164 cm(不含164 cm)的同学中挑选参加比赛的同学.

(3)上面对数据进行分组时,组距取3,把数据分成8组.如果组距取2或4,那么数据分成几个组?这样能否选出需要的40名同学呢? 5 (如果组距取2或4,则需要划分12组或6组,同样可以选出需要的40名同学)

[设计意图] 掌握用频数分布表描述数据的方法,进一步体会表格在整理、描述数据中的作用.通过解决问题的具体过程掌握用频数分布表描述数据的一般步骤,会列频数分布表.在具体的情境中感知组距、组数、频数等概念,有利于学生更好地理解它们在统计中的作用,体会它们的意义.

[知识拓展] (1)组数与组距的确定:将一批数据分组,一般数据越多,分的组也越多,当数据在100以内时,按数据的多少,常分成5~12组,在分组时,要灵活确定组距,使所分组数合适,一般组数为的整数部分+1.

(2)各小组的频数之和等于数据总数,频数与数据总数的比叫做频率,频率反映了频数的大小在总数中所占的份量,频率之和等于1.

(3)为了使数据“不重不漏”,分组时常采用“下限不在内”的原则,如50.5~55.5包含50.5但不包含55.5.

4.画频数分布直方图

[过渡语] 前面我们对63名学生的身高做了数据的整理,并且也列出了频数分布表,现在我们利用频数分布表画出相应的频数分布直方图.

教师绘制直方图,并向学生讲解:

(1)以横轴表示身高,纵轴表示频数与组距的比值.如图所示:

(2)小长方形面积的意义. 6 从上图中可以看出:小长方形面积=组距×=频数,因此小长方形的面积就是反映数据落在各个小组内的频数的大小.

(3)用等距分组时,由于小长方形的面积就是该组的频数,因此在画频数分布直方图时,小长方形的高完全可以用频数来代替.(参考教材147页图10.2 - 2.)

(教材P148例)为了考察某种大麦穗长的分布情况,在一块试验田里抽取了100根麦穗,量得它们的长度如下表(单位:cm):

6.5

6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6

5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8

6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5

6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4

6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4

6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6

5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0

5.5 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7

5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0

6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3

列出样本的频数分布表,画出频数分布直方图.

〔解析〕 列出样本的频数分布表,首先必须找到样本中麦穗长度的最大值和最小值,计算出最大值与最小值的差.然后根据情况确定组距和组数,据此列出频数分布表,画出频数分布直方图.

解:(1)计算最大值与最小值的差.

在样本数据中,最大值是7.4,最小值是4.0,它们的差是7.4- 4.0=3.4.

(2)决定组距与组数.

在本例中,最大值与最小值的差是3.4.如果取组距为0.3,那么由于=11,可分成12组,组数适合.于是取组距为0.3,组数为12.

(3)列频数分布表. 7 分组 划记 频数

4.0≤x<4.3 1

4.3≤x<4.6 1

4.6≤x<4.9 2

4.9≤x<5.2 正 5

5.2≤x<5.5 正正 11

5.5≤x<5.8 正正正 15

5.8≤x<6.1 正正正正正 28

6.1≤x<6.4 正正 13

6.4≤x<6.7 正正 11

6.7≤x<7.0 正正 10

7.0≤x<7.3 2

7.3≤x<7.6 1

合计 100

追问:在列频数分布表时,在分组、划记、计算频数的过程中要注意什么?

(4)画频数分布直方图.

追问:频数分布直方图是否还有另外一种画法?

(另外一种画法是纵轴根据频数与组距的比值画)

从表和图看到,麦穗长度大部分落在5.2 cm至7.0 cm之间,其他范围较少.长度在5.8≤x<6.1范围内的麦穗根数最多,有28根,而长度在4.0≤x<4.3,4.3≤x<4.6,4.6≤x<4.9,7.0≤x<7.3,7.3≤x<7.6范围内的麦穗根数很少,总共只有7根. 8 [知识拓展] 频数分布直方图和条形图的区别与联系:条形图和频数分布直方图都是用来描述数据的,这是它们的相同之处,但它们的侧重点不同,条形图突出各项目的具体的数据,侧重比较各项目数据之间的差别,而频数分布直方图侧重表示各组频数的分布情况,用于判别各组之间的频数差别.从图表上看,条形图横轴上的数据是孤立的,而直方图上,横轴上的数据是连续的;条形图中,各长方形几乎是分开的,而频数分布直方图中,各长方形是靠在一起的.

制作频数分布直方图的一般步骤:

(1)计算出数据中的最大值与最小值的差;

(2)确定组距与组数,一般100以内的数据分成5~12组;

(3)决定分点:常使分点的小数点比数据多一位小数,并且把每一组的起点稍微减少一点(也可把两组共有的数据统一归到前一组或后一组);

(4)列频数分布表,用划记法对数据进行频数累计;

(5)画出频数分布直方图.

1.频数分布直方图中,与小长方形的高成正比的是 ( )

A.组数 B.频数

C.组矩 D.数据总数

2.如图所示的是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值),则捐款人数最多的一组是 ( )