自然数平方的倒数求和公式

第２８卷　第４期　２００２年１０月　曲阜师范　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｕｆｕ　大学学报　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．４　Ｏｃｔ．２００２　

欧拉与自然数平方倒数和　

汪晓勤　

（作者：男，３６岁，博士，副教授；华东师范大学数学系，２０００６２，上海市）　

摘要：自然数平方倒数和是１７世纪下半叶的著名数学难题之一，它困惑着欧洲当时一流的数学家．欧　

拉凭借类比思维方法，出人意料地解决了这个难题．该文对欧拉的几种鲜为人知的方法——幂级数法和“吉　拉尔一牛顿公式”在作了考察和分析．　关键词：欧拉；平方倒数和；伯努利数　

中图分类号：０１１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—５３３７（２０ｏ２）０４—００２９—０５　

平方倒数求和最早出现于１７世纪意大利数学　

家蒙哥利（Ｍｅｎｇｏｌｉ　Ｐ，１６２６～１６８６）的＜算术求和新　

法）（Ｎｏｖａｅ　ｑｕａｄｒａｔｕｒａｅ　ａｒｉｔｈｍｅｆｉｃａｅ，１６５０）．无穷级数　

１　（２）＝　专　（１）　ｌ　Ｚ　是书中所论形数倒数求和问题中的一个特殊情形．　

在发表于１６８９年的论文“具有有限和的无穷级　

数的算术命题”中，瑞士著名数学家雅各・伯努利　

（Ｊａｃｏｂ　Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１６５４～１７０５）部分重复了蒙哥利的　

无穷级数工作，在论文最后，伯努利称，尽管级数　

＋号＋　１＋　＋１＋…　

的求和问题易如反掌，但奇怪的是，（１）式的和却难以　

求出．他说：“如果有谁解决了这个迄今让我们束手　

无策的难题，并告知我们，我们将十分感激他．”－１　Ｊ　

实际上，当时欧洲的一流数学家，如约翰・伯努　

利（Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ　Ｊ，１６６７～１７４８）及其子丹尼尔・伯努利　

（Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ　Ｄ，１７００～１７８２）、哥德巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ　Ｃ，　

１６９０～１７６４）、莱布尼茨（Ｌｅｉｂｎｉｚ　Ｇ　Ｗ，１６４６～　

１７１６）、棣莫佛（Ｍｏｉｖｒｅ　Ａ　Ｄｅ，１６６７～１７５４）、斯特林　

- 1 - 自然数平方倒数和

在数学中，自然数平方倒数和是一个经典的问题。这个问题的解法可以追溯到古希腊时期，由数学家欧拉提出。这个问题的解法涉及到无穷级数和极限的概念，是数学分析中的一道经典题目。本文将深入探讨自然数平方倒数和的计算方法和相关的数学概念。

自然数平方倒数和的定义

自然数平方倒数和指的是自然数的平方倒数之和，即：

$$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$$

其中，$sum$表示求和符号，$n$表示自然数，$n^2$表示自然数的平方，$frac{1}{n^2}$表示自然数的平方的倒数。

计算自然数平方倒数和的方法

计算自然数平方倒数和的方法有多种，其中比较常用的方法是使用欧拉公式：

$$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}=frac{pi^2}{6}$$

欧拉公式是一种使用级数和无穷乘积来表示数学常数的方法。在欧拉公式中，$pi$表示圆周率，$frac{pi^2}{6}$表示自然数平方倒数和的值。

欧拉公式的证明过程比较复杂，需要使用一些高等数学知识。这里就不展开讲解了。有兴趣的读者可以自行查阅相关的数学书籍。

除了欧拉公式，还有一些其他的方法可以用来计算自然数平方倒数和。比如，可以使用复合辛普森公式或者复合梯形公式进行数值积分，从而得到自然数平方倒数和的近似值。这些方法的优缺点各不相 - 2 - 同，读者可以根据自己的需求选择合适的方法。

自然数平方倒数和的性质

自然数平方倒数和具有一些有趣的性质，下面介绍其中的一部分。

1. 自然数平方倒数和是一个无理数。

证明：假设自然数平方倒数和为有理数，即：

$$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}=frac{a}{b}$$

其中，$a$和$b$为正整数。

※自然数之和公式的推导

法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：

由 1 + 2 + … + n-1 + n

n + n-1 + … + 2 + 1

（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）

可知

上面这种加法叫“倒序相加法”

※等差数列求和公式的推导

一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即

1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：

①

②

由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

=

=

=

=

这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

连续自然数平方求和公式

我们要找出一个公式，这个公式可以用来求出一系列连续自然数的平方的总和。

假设我们有一个连续的自然数序列，从 n 开始，到 n+k-1 结束。

我们要计算这些数的平方和。

每一个数的平方是 (n + i)^2，其中 i 是从 0 到 k-1 的整数。

所以，连续自然数平方的总和是：

(n + 0)^2 + (n + 1)^2 + ... + (n + k - 1)^2

我们可以使用数学公式来简化这个求和过程。

连续自然数平方和的公式是：

(n + k - 1)^3 - n^3 + 3n(n + k - 1)

现在我们有了公式，我们可以使用它来计算任何连续自然数平方的和。

连续自然数平方和的公式为：-n**3 + 3*n*(k + n - 1) + (k + n - 1)**3

所以，给定任何起始自然数 n 和连续的个数 k，我们都可以使用这个公式来计算连续自然数平方的总和。