二元函数的最值问题
二元函数的最值问题 因在高中数学教学的过程中经常会遇到求二元函数的最值问题，现对此类问题做简单研究，并做如下总结： 一、消元法 例1、已知12,0,0=+≥≥y x y x ，求232y x +的最小值 解： 21 0021≤≤?≥-=y y x ()243321232222+-=+-=+y y y y y x ()43 221441332min 2=+?-?=+∴y x 变式1、若R y x ∈,，则此题还可用判别式法 令223232y t x y x t -=?+= 024324322=-+-?=+-∴t y y y y t ()021216≥--=?t ()32 3232 min 2=+∴≥∴y x t 练习1、已知R y x ∈,，02322=-+-y xy x ，求y x +的最大值。（ 111102） 二、基本不等式 例2、已知40,0=+>>n m n m 且，求n m 1 1+的最小值 解： ()n m n m n m +??? ??+=+1 14111 ??? ??+++=1141n m m n ()12241 =+≥ 当且仅当2==n m 时，取“=”
例3、已知y x y x +=+求,222的最大值 法一（链接不等式） 22 222=+≤+y x y x 当且仅当1==y x 时，取“=” 法二（参数方程） 设?????==θ θsin 2cos 2y x ， 则 θθsin 2cos 2+=+y x ?? ? ??+=4sin 2πθ ()4,2max π θ==+∴此时y x 法三（数形结合） 令y x z +=，则z x y +-= 当直线与圆相切时，圆心到次直线的距离222±=∴== z z d ()2max =+∴y x 练习2、已知xy y x y x =+>>2,0,0且，求y x 2+的最小值。（9） 三、参数方程 例4、已知R y x ∈,，且满足64222=++y xy x ，求224y x z +=的范围 解： ()12663222=??? ??+??? ??+∴=++y y x y y x 令?????-==θ θθcos 2sin 6cos 2x y ??? ??++=+=∴32c o s 48422πθy x z []12,4∈∴z
二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函 数的极值与最值 在数学中，二元函数是指具有两个自变量的函数。对于二元函数，我们常常需要求解其极值与最值，以确定函数的最优解或者关键点。在这篇文章中，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值问题。 一、定义与概念 在开始讨论二元函数的极值与最值之前，我们先来回顾一下相关的定义与概念。 1. 极值：对于一个函数f(x, y)，如果存在一个点P(x0, y0)，使得在点P的某个邻域内，f(x, y)的值不小于（或不大于）任意其他点处的函数值，那么点P即为f(x, y)的极值点。 2. 最大值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不大于一个确定的常数M，那么M即为f(x, y)的最大值。 3. 最小值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不小于一个确定的常数m，那么m即为f(x, y)的最小值。 二、偏导数的定义与计算
在求解二元函数的极值与最值问题时，我们可以使用偏导数的概念 与方法。偏导数是多元函数的导数在某一变量上的投影，可以用来衡 量函数在某一方向上的变化率。 对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以通过以下方式计算： 1. 对于x的偏导数∂f/∂x表示在y值固定的情况下，函数f关于x的 变化率。 2. 对于y的偏导数∂f/∂y表示在x值固定的情况下，函数f关于y的 变化率。 根据偏导数的定义，我们可以通过计算∂f/∂x和∂f/∂y来找到函数的 极值与最值。 三、求解二元函数的极值与最值 接下来，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值。 1. 求解极值：为了求解二元函数的极值，我们需要先求出偏导数 ∂f/∂x和∂f/∂y的值。然后，我们将偏导数的值置为零，并求解方程组， 得到极值点的坐标。最后，我们将这些点代入原函数，求出相应的函 数值，并比较大小，得出极值。 2. 求解最值：求解二元函数的最值也可以通过偏导数的方法来实现。首先，我们需要求出函数在定义域上的所有极值点。然后，将极值点 代入原函数，得到相应的函数值。最大值即为其中的最大值，最小值 即为其中的最小值。
二元函数的最值与极值
二元函数的最值与极值 二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。最值是函数在给 定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取 得的最大值或最小值。本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念 及其求解方法。 一、二元函数最值的定义和求解方法 1. 最大值与最小值的定义 在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*, y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。类似地，最小值为 f(x*, y*)≤f(x, y)。 2. 常用求解方法 求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。通过确定函数 的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。 边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上 的值，包括端点和可能的不可导点。最值往往出现在函数在 D 的边界上。 极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数 为零的临界点，即潜在的极值点。通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法 1. 极值的定义 在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。 2. 常用求解方法 求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。 一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其 等于零，求解得到潜在的临界点。通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。 二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值 点的位置。 三、实例分析 考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数 的最值和极值。 1. 最值的求解 该函数的定义域为整个平面 R^2。通过对函数进行求导，并令导数 等于零，我们可以得到二元函数的临界点为 P(1, 3)。同时，我们可以
二元函数求极值例题
二元函数求极值例题 二元函数求极值 一、概述 二元函数是指由两个变量（x和y）组成的函数，它们之间具有某 种关系，可以记为f (x, y)=0。求二元函数极值问题是众多数学问题 中常见的一类特殊求解问题，它即是求解函数在定义域内的最大值或 最小值，而其处理方法即是求解函数某一特定点的一阶求导数为0的 条件。 求二元函数极值问题即是要求解一个函数在给定的定义域内取得最 值的解。求解过程要求解函数的某一特定点的一阶求导数为0的条件。只有当函数达到最值时，函数的一阶求导函数才会等于0。 二、极值条件 求二元函数极值的条件其实可以用函数一阶求导数等于0来表示， 这也就是我们常说的“导数等于零”，用数学语言描述就是： 设二元函数f (x, y)=0，当f (x, y)取得极值时，其一阶求导数 必须满足： ∂f/∂x=0； ∂f/∂y=0。 此外，要求二元函数取得极值，通常还包括函数的二阶求导数满足 如下条件： ∂2f/∂x2≤0； ∂2f/∂y2≤0。
对于泰勒级数展开结果，只需要检查最高阶的两项，即可满足以上 所有极值条件。 三、极值求解 1、关键在于“导数等于0”： 要求二元函数取得极值，关键在于求解“导数等于0”所涉及的两 个变量：x和y。也就是说，只需满足上述条件，即可求解得到函数的 极值。 例1：求极值：z=2x^2+y^2-4x+3y； 解：①∂z/∂x=4x-4=0，又∂z/∂y=2y+3=0； ②解得：x=1，y=-3，代入原函数即得定点(1，-3)； ③求函数值：z|(1，-3)=2*1^2+(-3)^2-4*1+3*(-3)=2-9-4+9=-2； ④综上，函数z在(1，-3)处取极值-2。 2、求（最小）极值的关键：要求二阶求导数≤0 当满足以上求导数等于0的条件后，要求二元函数取得最小极值时，还需要满足函数的二阶求导数的条件： ∂2f/∂x2≤0； ∂2f/∂y2≤0。 只有满足此条件，才能确定函数取得极值，并按满足条件的程度降 低函数极值，即找出最小极值。 例2：求极值：z=x^2+y^2； 解：①∂z/∂x=2x=0，又∂z/∂y=2y=0； ②解得：x=0，y=0，代入原函数即得定点(0，0)； ③求函数值：z|(0，0)=0^2+0^2=0；
求二元一次函数最值公式
求二元一次函数最值公式 二元一次函数的定义是，存在一组数据，满足两个特定变量的组合，使得函数具有相对稳定的性质。与函数定义息息相关的，便是求二元一次函数最值公式，因为只有在确定最值公式的前提下，兼顾函数定义的性质才得以实现。 其实，求二元一次函数最值的关键，在于其一般方程的解析解，因为这是最值的求解过程所由最基础的数学方法。二元一次函数可以用一元二次方程的形式来表示，它有如下的一般形式： y=ax+b 当a≠0时，解析解可以表示为： x=-b/a 当b≠0时，解析解可以表示为： y=-a/b 当a=b=0时，解析解可以表示为： 任意 从上述形式中可以得出，无论a=b=0，还是a≠0，当满足上述条件时，其一般方程的解析解便是求二元一次函数最值的关键。 既然知道求最值的关键点，那么本题的答案便是： 假设函数f(x,y)为ax+by+c=0的二元一次函数，则函数最值的公式为： 若a≠0且b≠0，则最值公式为： 最值的取值范围是∞～∞
若a=0，则最值公式为： 最值的取值范围是-∞～+∞ 若b=0，则最值公式为： 最值的取值范围是-∞～+∞ 需要注意的是，当a和b同时不为零时，函数f(x,y)没有最值，只有当a或b等于零时，函数f(x,y)才有最值。 另外，求二元一次函数最值的公式也可以通过高等数学的单调性定理来求解，即：在有界的区域内，函数导数符号的不变性，其解析解方法与一般方程相同，若满足求解条件，在有界的区域内，函数单调递增（函数导数大于零），则函数绝对值最小值出现在两端；函数单调递减（函数导数小于零），则函数绝对值最大值出现在两端。 总结： 因此，求二元一次函数最值的公式可以通过一般方程及单调性定理的方式求解。关于最值的取值范围，当a≠0且b≠0时，最值的取值范围是∞～∞；若a=0，则最值的取值范围是-∞～+∞；若b=0，则最值的取值范围也是-∞～+∞。
二元函数的极值和最值
二元函数的极值和最值 二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。 一、定义 首先，我们需要了解极值和最值的定义。极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。 在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。 考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。 二、求解方法
我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数： ∂z/∂x=2x ∂z/∂y=2y 求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。 举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到： 2x=0 2y=0 由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。 若f(x0,y0)满足： ① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点； ② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点； ③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。 同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到： ∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。 3. 拓展方法
高中数学二元函数最值问题求解方法浅析-最新教育文档
高中数学二元函数最值问题求解方法浅析-最新教育文档 高中数学二元函数最值问题求解方法浅析 我们把形如z=f（x，y）的函数称为二元函数。其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。 求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元――将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。 同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义――利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。 此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想。 下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。 1. 配方法 利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分 析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。 例1：求二元函数Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。 分析：原式配方得：Z=（x2+y2-2）2+（y+1）2+10，当且仅当 x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，Z的最小值是10 例2：已知X∈R ，y ∈R，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。
二元二次函数求最值公式
二元二次函数求最值公式 在数学中，二元二次函数是一类包含两个自变量和二次项的函数。求解二元二次函数的最值是数学中的常见问题之一，它在许多实际问题中具有重要的应用。本文将介绍二元二次函数的最值求解方法及相关公式。 一、基本概念 1. 二元二次函数的定义 二元二次函数可以表示为以下形式： f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f 其中a、b、c、d、e、f都是实数，x和y是变量。 2. 最值的定义 在二元二次函数中，最值是指函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。 •最大值：如果对于定义域内任意的(x,y)，都有 $f(x, y) \\leq f(x_0, y_0)$，那么(x0,y0)是函数的最大值点，f(x0,y0)是最大值。 •最小值：如果对于定义域内任意的(x,y)，都有 $f(x, y) \\geq f(x_0, y_0)$，那么(x0,y0)是函数的最小值点，f(x0,y0)是最小值。 二、二元二次函数的最值求解 1. 寻找最值的一般步骤 对于二元二次函数求最值的一般步骤如下： 1.确定函数的定义域。二元二次函数通常定义在平面上的一个区域内。 2.求取一阶偏导数。分别对x和y求偏导数，令其等于0，得到关于x 和y的方程组。 3.解方程组。求解方程组，得到一组或多组解。 4.求取二阶偏导数。对x和y再次求导，得到二阶偏导数。 5.判定是否为最值。对于每组解，将其代入二阶偏导数中，判断其正负 性，即可判定是否为最值点。 2. 求取最值的公式 在求解二元二次函数的最值时，可以利用以下公式： 1.最值点的横坐标：最值点的横坐标可以通过以下公式计算：
$$ x = \\frac{-d + \\sqrt{d^2 - 4ae}}{2a} $$ 其中d2−4ae是判别式，用于判断最值点的数量。 2.最值点的纵坐标：将横坐标代入二元二次函数中，可以得到最值点的 纵坐标。 3.最值点的判定：对于二元二次函数，最大值点和最小值点可以通过二 阶偏导数的符号进行判定。 •当二阶偏导数满足 $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2} > 0$ 且$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2} > 0$ 时，最值为最小值。 •当二阶偏导数满足 $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2} < 0$ 且$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2} < 0$ 时，最值为最大值。 三、示例 为了更好地理解二元二次函数的最值求解方法，我们举一个示例： 考虑函数f(x,y)=2x2+3y2−4xy+4x+6y+1，我们来求其最值。 首先，计算一阶偏导数： $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 4x - 4y + 4$ $\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 6y - 4x + 6$ 令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，解方 程组得到(1,1)。 接下来，计算二阶偏导数： $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial x^2} = 4$ $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial y^2} = 6$ 最值点(1,1)满足 $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial x^2} > 0$ 且 $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial y^2} > 0$，因此是最小值点。 将(1,1)代入函数f(x,y)，得到最小值为4。 四、结论 二元二次函数求最值是数学中的重要问题，通过求取一阶偏导数和二阶偏导数，并利用相应的公式，可以求得函数的最值点和最值。最大值点和最小值点的判定依赖于二阶偏导数的符号。理解二元二次函数的最值求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧 极值一般分为无条件极值和条件极值两类。 无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题； 条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。 一、求解无条件极值的常用方法 1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型 定理1(充分条件)设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x(x0, y0)=0, f y(x0, y0)=0, 令 f xx(x0, y0)=A, f xy(x0, y0)=B, f yy(x0, y0)=C, 则f (x, y)在(x0, y0)处是否取得极值的条件如下： (1) AC-B2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值； (2) AC-B2<0时没有极值； (3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值。 极值的求法： 第一步解方程组f x(x, y)=0, f y(x, y)=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。 第二步对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值A、B和C。 第三步定出AC-B2的符号, 按定理1的结论判定f(x0, y0)是否是极值、是极大值还是极小值。 应注意的几个问题： ⑴对于二元函数z=f(x, y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法,但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论； ⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。 例1求函数2 222() ()x y z x y e -+=+的极值。 解 令222222() 22()2(1)02(1)0 x y x y z x x y e x z y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪ ⎨∂⎪=--=∂⎪⎩ 得驻点(0,0)及22 1.x y += 又由22222222()2[2(13)4(1)]x y z y x x x y e x -+∂=-----∂ 22222()4(2)x y z xy x y e x y -+∂=---∂∂ 22222222() 2[2(13)4(1)]x y z x y y x y e y -+∂=-----∂ 22(0,0)2,z A x ∂==∂2(0,0)0,z B x y ∂==∂∂22 (0,0) 2z C y ∂==∂ 240, 0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。 由于222212 1 4,x y z A x e x -+=∂==-∂ 22211 4,x y z B xye x y -+=∂= =-∂∂ 222212 1 4x y z C y e y -+=∂==-∂ 20B AC ∆=-=，此时有通常的方法无法判定。 令22(0)x y t t +=≥，则t z te -=，由 (1)0t dz e t dt -=-=
多元函数求极限方法
多元函数求极限方法 多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。 一、直接代入法 直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。 例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到： f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1 因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。 二、夹逼定理
夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。 夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。 例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得： g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2) h(x,y) = 1 显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。因此，我们可以将f(x,y)表示为： h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) 当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。因此，根
计算二元二次多项式的最值
计算二元二次多项式的最值 在数学中，二元二次多项式是指具有两个变量的二次方程。计算二元二次多项式的最值是一个重要的问题，它在求解最优化问题、优化设计和经济学等领域具有广泛的应用。 我们来介绍一下二元二次多项式的一般形式。一个二元二次多项式可以表示为： f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f 其中，a、b、c、d、e、f为常数，x和y为变量。为了计算这个二元二次多项式的最值，我们需要确定这个函数的极值点。 为了找到极值点，我们可以使用求导的方法。对于一个二元函数，我们需要对两个变量进行求导。首先，我们对x求偏导数，将y视为常数，得到： f'(x) = 2ax + cy + d 然后，我们对y求偏导数，将x视为常数，得到： f'(y) = 2by + cx + e 接下来，我们需要解这个方程组，即求解f'(x) = 0和f'(y) = 0。通过解这个方程组，我们可以得到极值点的x和y坐标。
解得x = (ce - bd) / (bc - ac) 解得y = (cd - ae) / (bc - ac) 这两个坐标就是二元二次多项式的极值点。 接下来，我们需要判断这个极值点是极大值还是极小值。为了做出判断，我们需要计算二元二次多项式的二阶导数。 对f'(x)求x的导数，得到： f''(x) = 2a 然后，对f'(y)求y的导数，得到： f''(y) = 2b 根据二阶导数的符号，我们可以判断极值点的性质。如果f''(x) > 0且f''(y) > 0，那么极值点为极小值点；如果f''(x) < 0且f''(y) < 0，那么极值点为极大值点。 通过上述计算过程，我们可以得到二元二次多项式的最值。首先，我们求解极值点的坐标，然后判断这些极值点的性质，即可确定最值点是极大值还是极小值。 需要注意的是，这个计算过程是基于二元二次多项式的函数形式的。对于具体的问题，我们需要根据实际情况来确定这个函数的系数和
