第4章第4节三角恒等变换-2021年新高考数学自主复习PPT课件

2021年新高考数学总复习讲义：三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.二倍角公式1）sin22sin cos ααα=;变形式1sin cos sin 22ααα．2）2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;变形式2cos21cos 2αα；21cos2sin 2xα． 3）22tan tan 21tan ααα=-．3.辅助角公式()22222222sin cos (sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++=++++，其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定． 4.化简中常用1的技巧“1”的代换221sin cos αα；212cos cos2αα，21cos2sin αα，1tan4π．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．（2018•新课标Ⅱ）若sinα=13，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．﹣79D ．﹣894．（2018•东莞市模拟）cos 2(x −π4)+sin 2(x +π4)=（ ）A ．1B ．1﹣cos2xC ．1+cos2xD ．1+sin2x5．（2018•绵阳模拟）若tan(α−π4)=2，则tan2α=（ ）A．﹣3B．3C．−34D．346．（2018•延边州模拟）已知sinα−cosα=43，则cos2(π4−α)=（）A．19B．29C．49D．597．（2018•佛山一模）已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=（）A．12B．13C．14D．158．（2018•开封三模）已知sin（π4+α）=35，则sin（3π4−α）=（）A．45B．−45C．35D．−359．（2018•全国一模）已知s in(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=（）A．13B．−13C．2√23D．−√2310．（2018•三模拟）已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ） A ．4√2−√59B ．4√2+√59C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5911．（2018•河南一模）log 2(cos 7π4)的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．√2212．（2018•淮南一模）设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ） A ．2α﹣β=π4B ．2α+β=π4C ．α﹣β=π4D ．α+β=π413．（2018•唐山二模）若x ∈[0，π]，则函数f （x ）=cosx ﹣sinx 的增区间为（ ） A ．[0，π4] B ．[π4，π] C ．[0，3π4]D ．[3π4，π]14．（2018•榆林二模）已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|＜π2，则sin2θ=（ ）A ．8√29B ．2√23C ．4√29D ．2√2915．（2018•四平模拟）已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形二．填空题（共7小题）16．（2018•兰州模拟）若s in(π4−α)=−25，则cos(π4+α)= ．17．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°= ．18．（2017秋•南阳期末）已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是 ．19．（2017•江苏）若tan （α﹣π4）=16．则tanα= ．20．（2017•上海模拟）已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α= ．21．（2017•江苏一模）已知sinα=3sin （α+π6），则tan （α+π12）= ．22．（2017•上海模拟）函数f(x)=sinx +√3⋅cosx ，若存在锐角θ满足f （θ）=2，则θ= ．三．解答题（共5小题）23．（2018•玉溪模拟）已知tan （α+π4）=﹣3，α∈（0，π2）．（1）求tanα的值；（2）求sin （2α﹣π3）的值．24．（2018•北京模拟）已知函数f （x ）=2√3sin （ax ﹣π4）cos （ax ﹣π4）+2cos 2（ax﹣π4）（a ＞0），且函数的最小正周期为π2． （Ⅱ）求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，π4]上的最大值和最小值．25．（2018•江苏模拟）已知三点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈（0，π）．若AC →⋅BC →=25，求（1）cosα+sinα的值；（2）sin(α+π6)的值．26．（2018•河南一模）△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知：（1﹣tanA ）（1﹣tanB ）=2． （1）求角C ；（2）若b=2√2，c=4，求△ABC 的面积S △AB C ．27．（2018•昌平区二模）已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及相应的x值．。

§4.4 简单的三角恒等变换 课标要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝____________________________.(2)公式C 2α：cos 2α＝______________________＝__________________＝________________.(3)公式T 2α：tan 2α＝________________.2．半角公式(不要求记忆) sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝±1＋cos α2；tan α2＝±1－cos α1＋cos α.符号由α2所在象限决定． 常用结论1．二倍角公式的变形公式(1)1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．( )(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(4)sin 2π12－cos 2π12＝32.( )2．(必修第一册P226T2改编)cos 15°等于( ) A.1＋cos 30°2 B.1－cos 30°2 C ．±1＋cos 30°2 D ．±1－cos 30°2 3．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )A ．－43 B.34 C ．－34 D.434．(必修第一册P223T2改编)若cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－74，则cos 2θ的值为________.题型一 三角函数式的化简例1 (1)1－sin 40°＋1－cos 40°2的化简结果为( ) A ．－sin 20°B ．－cos 20°C ．cos 20°D ．sin 20°(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝__________.积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算．典例 化简下列各式．(1)sin 54°－sin 18°＝__________；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝________________________.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)(2023·成都联考)已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，163cos 2θ2＝1＋cos 2θ，则tan θ等于( )A ．－53B ．－52C ．－355D ．－255(2)已知0<θ<π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________. 题型二 三角函数式的求值命题点1 给角求值例2 (2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为5－12≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t ＝5－12，则1－2sin 227°2t 4－t 2等于( ) A.5＋14 B.5－14C.12D.14命题点2 给值求值 例3 (2023·济宁模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6等于( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.13命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 跟踪训练2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π10＝－45，则sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π10＝________. (2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋3tan 80°＝1sin α，则α＝__________. 题型三 三角恒等变换的综合应用例5 (2023·广州模拟)若α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是( )A ．2α＋β＝5π2B ．2α－β＝3π4C ．α＋β＝7π4D ．α－β＝π2跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)已知π4<θ<π3，若a ＝tan θtan 2θ＋1，b ＝12－12cos 2θ，c ＝1cos θ－cos θ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c。