线性代数漏题精简版

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

一、填空题1. 四阶行列式44det ij a 的展开式中23413412a a a a 应带_______（正、负）号； 2. 四阶行列式44det ij a 的展开式中13413422a a a a 应带_______（正、负）号； 3. 四阶行列式44det ij a的展开式中14423321a a a a 应带_______（正、负）号；4. 排列(1)21n n ……的逆序数为 ；5. 二阶行列式12023k ，则k ；6. 设5160M，0222N则行列式2M N __________； 7. 设3275A，则行列式*2A A ________； 8.设15141312A，则其伴随矩阵*A __________； 9. 设2175A，则行列式3A A ________； 10.设5421A，则其伴随矩阵*A __________； 11.设0421A，则其伴随矩阵1A __________； 12. 1ABCD =_____________________；13. 11ABC D=_____________________； 14. 1T AB CD （）=_____________________；15. 若,ABC E 且15A ，3C ，则______B ；16. 若,E AB 且15A，则______B ；17. 若AB=E,且2A 则 B __________ ； 18. 若A 是2阶方阵且3A ，则2______A ； 19. 若M 是4阶方阵，且12 M ，则2______M ；20. 若A 是3阶方阵，且2A ，则15______A （）；21. 若A 是5阶方阵，且5A ，则 T5______A ；22. 设1231011,1,0011，则123,, 之间线性 ________（相关/无关）；23. 设1231011,1,0011，则123,, 之间线性 ____ ____（相关/无关）；24. 设1232111,2,1112，则123,, 之间线性 ____ ____（相关/无关）；25. 已知向量组1=a （3,1,),2(4,,0)a ，3(1,0,)a 则当a 时，123,, 线性相关；26. 已知(1,3,7,-2)T，(1,0,2,-3)T ，未知向量x 满足+3x ，则x ；27. 非齐次线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是 ； 28. 非齐次线性方程组 AX b 无解的充分必要条件是 ；29.n 元齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是 ；30. 41101；31. 设矩阵A= 4321，P=1011，则AP T =____________ ； 32. 设1401A ，0316B，则22A B （）__________； 33. 设1421A，2316B，则AB BA __________； 34. 设100110101A ，100010002B，则2A B ；35. 设3457M，则1M ；36. 设2468M，则 15M ; 37. 111213212223313233=10a a a a a a a a a ，则11121113212221233132313322=2a a a a a a a a a a a a __________；38. 非齐次线性方程组12235x x 的通解 ；39.已知行列式0123111110,22331223 则01230123223311111223114411111223；40.计算行列式1110011001ab c d.二、选择题1. n 阶行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系是( )；A ．A (1)M j iij ijB ．A (1)M i jji ij C ．M A ij ij D ．M A ij ij2. 设111213212223313233222a a a A a a a a a a，111213313233212223222B 222222a a a a a a a a a，若A m ，则B ( )； A ．8m B ．2 m C ．4mD ．8m3. 设,A B 均为n 阶方阵,则有（ ）；A ． TT T A B A B B ．AB BAC ．A B B AD ．A B A B4. 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB O ，则A 和B 的秩( )；A ．必有一个等于0B ．都小于nC ．一个小于n，另一个等于nD ．都等于n 5. 设方阵A 满足22A A E O ，则必有( ) ．A ．A EB ．12A E AC ．A ED ．12A A E6. 行列式D 的值为零的充分条件是( )；A ．D 的所有元素非零B ．D 的任意两行元素之间不成比例C ．D 的任意两行元素之间不相等 D ．D 的任意两行元素之间成比例 7. 已知A 和B 是n 阶可逆矩阵，且实数0k ，下列说法正确的是( )；A ． =kk k AB A B B ．=A A C ． 111=kA k A D ． 22=A B A B A B 8. 已知矩阵A 可逆，且=AX B 可逆，则=X ( )；A ．1AB B ．1BAC ．B AD ．1AB9. 已知1= (1, 1,－1)T ，2= (1, 1, 1)T ，则下列向量中能由1 和2 线性表示的是( )； A ．(1, 0, 0)T B ．(0, 1, 0)T C ．(1, 1, 0)T D ．(1, 0, 1)T 10. 当=t ( )时，向量组1= (－1, 2, 3)T ，2= (1, 0, 1)T ，3= (2, t , 0)T 的秩为2． A ．1 B ．－1 C ．2D ．－211．设矩阵 d b a 04=32c b a ，则（ ） (A) a=3,b=-1,c=1,d=3 (B) a=-1,b=3,c=1,d=3 (C) a=3,b=-1,c=0,d=3(D) a=-1,b=3,c=0,d=312．设A 为3阶矩阵，P =100210001,则用P 左乘A ，相当于将A ( )(A) 第1行的2倍加到第2行 (B) 第1列的2倍加到第2列(C) 第2行的2倍加到第1行 (D) 第2列的2倍加到第1列13. 矩阵A 的秩为r ，则（ ）成立;（A ）A 中所有子式都不为零 （B ）A 中存在不等于零的r 阶子式（C ）A 中所有的r 阶子式都不为零 （D ）A 中存在不等于零的r+1阶子式 14. 已知1(1,1,1)T ，2(1,1,1)T ，则下列向量中能由12, 线性表示的是（ ）（A ）(1,0,0)T ; (B) (1,1,0)T ; (C) (0,1,0)T ; (D) (0,1,0)T15. 当 t （ ）时，向量组1123，2101 ，320t 的秩为2(A) 1 ； (B) 1； (C) 2；(D) 216. 设,A B 均为n 阶方阵,则有（ ）；A ． AB BA O B ． 22A B A B A BC ．AB B AD ．0AB BA17. 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB E ，则A 和B 的秩( )；A ．必有一个等于1B ．都小于nC ．一个小于n，另一个等于nD ．都等于n18. 12{,,} 线性相关，23{,,} 线性无关，则 ( ) ．A ． 可以由23{,,} 线性表示B ． 可以由12{,} 线性表示C ． 123{,,} 线性相关D ．123{,,} 线性无关19. 下列说法中正确的是：A ．若A 2=O,则A=O .B ．若AB=O,则A=O 或B=O .C ．若AB=BA,则(A+B)2=A 2+2AB+B 2. D.若AB=BA,AC=CA,则ABC=ACB.20. 若22,A A O 且20,A E 则AA ．0B ．2C ．不等于0 D.不能确定21. 若向量组123{,,} 线性无关，则下列向量组123{,,} 线性无关的是 ( )A.112223331,, B ．1123221333122,2,2C.112223331,,D ．112322133123,,322. 若向量组1234{,,,} 线性无关，则下列向量组1234{,,,} 线性无关的是 ( )A.112223334441,,, B ．1132243314422,2,2,2 C.112223334441,,,D ．11232234313441242,2,2,2三、计算题1. 计算行列式2111131111411115D 的值.2. 计算下列行列式的值.311113111131111311001210013100143 计算行列式2932548315070000534134430D 的值.4. 设211110101A ，110101011B ，求 22A B ，32A B ，22A B .5. 设103113A, 3213B , 求T A A B . 6. 解矩阵方程142031121101X。

线性代数一、填空1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112,1101B A ，则=AB .2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6， 24，则D = _______.3. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 _____，设A *为A 的伴随矩阵，则1A -= ______.4. 若n 阶矩阵满足2240A A E --=,则1A -= __________.5. ()121,2,3,4_______,34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()121,2,3,4_______34⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.6. 已知,A B 为n 阶矩阵, 2A =, 3B =-, 则1T A B -= .7. 设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 . 8.8. 设A 三阶矩阵，若A =3，则1A -= , A * = .9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则{}12,,,n r ααα= .10.行列式4100031000210001的值为 .11.设,a b 为实数，则当a = 且b = 时，10100--a b b a =0.12.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 .13.已知向量组()T13,2,1=α,()()T3T 25,4,3,4,3,2==αα,则该向量组的秩()123,,r ααα= .14.A 为n 阶方阵，且d A =，则k A ⋅= .15.设A 是三阶可逆矩阵，且1121021003A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*__________A =.16.已知向量TT ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,31,31,0,21,21βα，则βα,的夹角是 .17. 已知()1,0,2,2Tα=，则α的模||||_______α=.18.行列式21064153247308021的值为 .19.已知3阶方阵A 的三个特征值为1,2-,3, 则=-1A .20.二次型222(,,)222f x y z x y z xy yz =+-+-对应的矩阵为________.21.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 .22.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= .23.向量(1,0,0,1)T α= (0,1,1,0)T β=-，则2αβ+= .24. 设n 阶方阵A 满足2290A A E +-=,则1__________A -=.25. 已知向量组()()TTa 6,6,3,2,,121-=-=αα线性相关，则a =__________26. 已知11250303121α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则向量α=__________.27.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 .28. 已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= _____.29. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A ，则=-1A .30. 用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 .31. 设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ= .32. 向量组12,,,γααα⋅⋅⋅可由向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性表示且12,,,γααα⋅⋅⋅线性无关, 则r ____s .(填,,,≤≥<>)33. 如果线性方程组Ax b =有解则必有()r A _____(,)r A b .34. 已知A 是三阶方阵，2A =, 则()12_________A -=.35. 行列式1111141111311112的值为 .36. 二次型()2221231231223134444f x ,x ,x x x x x x x x x x =++---对应的矩阵为.37. 当a = 时, ()1,0,0,1T与(),1,5,3Ta 的内积为5.38. 若12,αα线性无关，而123,,ααα线性相关，则向量组123,2,3ααα的极大线性 无关组为 .39. 已知1121,0110A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=AB .40. 设1111121113111031A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭,则=)(A r . 41. 若111111022,110110X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭则X = .42. 若3=λ是方阵A 的一个特征值，则3A 必有一个特征值为__________.43.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆；当a = 时，2)(=A r .44.在3ℜ中，向量()T4,3,2=α在基()T0,0,11=ε，()T0,1,02=ε，()T1,0,03=ε下的坐标为_____________.45.设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则=A .46.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+++003203243143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系是 .47.已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.48. 11101-⎛⎫⎪⎝⎭= .49.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值 为 .50. 如果12,αα都是齐次线性方程组n n A x O ⨯=的解，且12αα≠，则=⨯n n A . 51. 向量组()()()1231,0,0,1,3,0,1,2,1TTTααα==-=-线性 （填相关或无关） 52. 设1λ和2λ是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值，()11,1,3Tη=和 ()24,5,Ta η=依次是A 的属于特征值1λ和2λ的特征向量，则实数a =_____.53. 如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a . 54.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A .55.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= . 56．已知3阶方阵A 的三个特征值为321,,λλλ，若,3,2,3621===λλA 则 ________3=λ.57.设线性方程组123110110110a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的基础解系含有2个解向量，则=a .58. 设A ，B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 59. 设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A .60. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .61. 设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ . 62. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A .63. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a . 64. 非齐次线性方程组m n A xb ⨯=有唯一解的充要条件是_________.65. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组 的解空间维数为___________.66. 设A 为三阶可逆阵，1100210321A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A *= .67. 若A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件 是 .68. 已知行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A . 69. 若()1,,1Tk α=与()1,2,1Tβ=-正交，则=k .70. 11135692536⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.71. 设111111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，123124B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭.则2A B += .72. 设向量()2,3,5-与向量()4,6,a -线性相关，则a = .73. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的2个不同的解，则它的通解为 .74. 设A 是m n ⨯矩阵，A 的秩为()r n <，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解 系中含有解的个数为 .75. 设向量,αβ的模依次为2和3，则向量αβ+与αβ-的内积(),αβαβ+-= .76. 设3阶矩阵A 的行列式A =8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值 为 .77. 设矩阵010********A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，已知212α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .78. 若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = . 79.A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= .80.已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = .81.已知,,,312,321βααββαT T B A ==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=则=10A ，=10B .82.设三阶方阵A 的行列式*,2A A =为其伴随矩阵,则=*A ， =--*143A A .83.三阶方阵A 与对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ200090001相似, 则=A .84.设,A B 均为n 阶矩阵，且B 为可逆矩阵，若AB B =,则A = . 85.当k 时，向量组()()()k ,5,3,6,3,2,3,2,1321=--=-=ααα线性无关. 86.设,A B 均为n 阶矩阵,22()()A B A B A B -=+-成立的充分必要条件是 .87.已知33⨯A 的特征值为1，2，5，E A B 3-=，则B 的特征值是 ， B = .88.矩阵的不同特征值对应的特征向量必 .89.已知n 阶矩阵A 各行元素之和为0，则90.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400014015A ，则1-A ＝ .二、单项选择题1.设A 是n 阶方阵，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则A （ ）. A) 必为0 B) 必不为0 C) 必为1 D) 可取任何值2.已知矩阵满足23A A =，则A 的特征值是（ ）.A)λ=1 B)λ=0 C)λ=3或λ=0 D)λ=3和λ=0 3.假设C B A ,,都为n 阶方阵，下列等式不一定成立的是（ ）． A)A B B A +=+ B)BA AB = C ）()()BC A C AB = D)()()AB B A 22= 4.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组( ). A)有解 B)没解 C)只有零解 D)有非0解5.矩阵1010001000011000011001011⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩为( ).A)5 B)4 C)3 D)2 6.下列各式中( )的值为0.A)行列式D 中有两列对应元素之和为0 B)D 中对角线上元素全为0 C)D 中有两行含有相同的公因子D)D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 7. 矩阵A 可逆，且O AB =，则（ ）．A ）矩阵OB = B ）矩阵O B ≠C ）矩阵I B =D ）B 无法确定 8.向量组()11,1,1α=,()20,2,5α=, ()31,3,6α=是（ ）.A)线性相关 B)线性无关 C)0321=++ααα D)02321=++ααα 9.若A 为三阶方阵，且20,20,340A E A E A E +=+=-=，则A =（ ）. A)8 B)8-C)34D)34-10.设A 为n 阶矩阵, 如果()1-=n A r , 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系所 含向量的个数是( ).A ）0B ） 1C ） 2D ）n 11.设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）.A)0=A 或0=B B)0=+B A C ）0=A 或0=B D)0=+B A 12.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ）. A) A E = B)B E = C ）A B = D)AB BA = 13. 关于正交矩阵的性质，叙述错误的是（ ）. A ）若A 是正交矩阵，则1-A 也是正交矩阵 B ）若A 和B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵 C ）若A 和B 都是正交矩阵，则B A +也是正交矩阵 D ）若A 是正交矩阵，则1=A 或1-14.设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）. A)A 的列向量线性无关 B)A 的列向量线性相关 C ）A 的行向量线性无关 D)A 的行向量线性相关 15.n 阶矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是（ ）. A) A 的秩小于n B) 0A ≠C) A 的特征值都等于零 D) A 的特征值都不等于零 16.设行列式11122122a a m a a =，13112321a a n a a =，则行列式111213212223a a a a a a +=+（ ）.A ）m+nB ）-(m+n)C ） n -mD ）m -n17.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则1A -等于（ ）.A ）13120000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B ）12131000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ）131********⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ）12130000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 18. 对于一个给定向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（ ）． A ）极大线性无关组一定线性无关B ）一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价C ）极大线性无关组中所含向量个数就是向量组的秩D ）极大线性无关组一定是唯一的19.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A 的伴随矩阵A *中位于（1，2）的元素是（ ）. A ）–6 B ）6 C ）2 D ）–220.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB AC =，则必有（ ）.A) 0A =B) B C ≠时0A = C) 0A ≠时B C =D) 0A ≠时B C = 21.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（T A ）等于（ ）.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 22.设两个向量组12,,,s ααα和12,,,s βββ均线性相关，则（ ）.A ）有不全为0的数12,,,s λλλ，使11220s s λαλαλα+++=和 11220s s λβλβλβ+++= B)有不全为0的数12,,,s λλλ，使111222()()()0s s s λαβλαβλαβ++++++= C)有不全为0的数12,,,s λλλ，使111222()()()0s s s λαβλαβλαβ-+-++-= D)有不全为0的数12,,,s λλλ和不全为0的数12,,,s μμμ，使 11220s s λαλαλα+++=和11220s s μβμβμβ+++= 23.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）.A)所有r -1阶子式都不为0B)所有r -1阶子式全为0 C)至少有一个r 阶子式不等于0D)所有r 阶子式都不为0 24.设A 是n 阶方阵，且AC AB =，则由（ ）可得出C B =．A ）O A ≠B ）O A ≠C ）()r A n <D ）A 为任意n 阶方阵.25.设Ax b =是非齐次线性方程组，12,ηη是其任意2个解，则下列结论错误的是 ( ）.A) 12ηη+是0Ax =的一个解B) 121122ηη+是Ax b =的一个解 C) 12ηη-是0Ax =的一个解 D) 122ηη-是Ax b =的一个解26.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A) ()r A n < B) ()1r A n =- C)0A = D)方程组0Ax =只有零解27.设A 是一个(3)n ≥阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）.A)如存在数λ和向量α使A αλα=，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B)如存在数λ和非零向量α，使()0E A λα-=,则λ是A 的特征值C)A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D)如123,,λλλ是A 的3个互不相同的特征值，123,,ααα依次是A 的属于123,,λλλ的特征向量，则123,,ααα有可能线性相关28.设A,B 为n 阶矩阵，且A,B 相似，则（ ）．A ）E A EB λλ-=- B ）A,B 有相同的特征值和特征向量C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵D ）对任意常数t ，tE A -与tE B -相似29.设0λ是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ）.A) 3k ≤ B) 3k < C) 3k = D) 3k >30.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）.A) 2A 必为1B) A 必为1 C) 1T A A -= D) A 的行（列）向量组是正交单位向量组31.要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ ）满足即可．A)A 中有r 阶子式不为0； B) A 中任何1+r 阶子式为0C)A 中不为0的子式的阶数小于等于rD) A 中不为0的子式的最高阶数等于r33.n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ ）.A)矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 B)矩阵A 有n 个特征值C)矩阵A 的行列式0A ≠ D)矩阵A 的特征方程没有重根34. 若21,ηη为非齐次线性方程组β=Ax 的解，则（ ）仍必为β=Ax 的解．A ）21ηη+B ）()121ηηη+-cC ）21ηη-D ）1ηc （c 为任意常数）35.向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（ ）.A)s r = B)s r ≤ C)r s ≤ D)r s <36.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.A)()()r B r A ≤ B)()()r B r A < C)()()r B r A = D)()()r B r A ≥37.二次型212312(,,)()f x x x x x =+的矩阵为（ ）.A) 1201⎛⎫ ⎪⎝⎭ B) 120010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C) 100000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D)38.设阶矩阵A 的行列式等于D ，则()kA *等于（ ）.A)*kA B)*A k n C) *-A k n 1 D) *A39.设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是（ ）.A)AC AB = 则 C B = B) 0=AB ,则0=A 或0=BC) T T T B A AB =)( D) 22))((B A B A B A -=-+40.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A )1或2B )－1或－2C )1或－2D )－1或2.41.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ）.A )5B )-5C )-3D )342.设B A ,均为n 阶矩阵，下列运算规则正确的是（ ）.A) ()2222B AB A B A ++=+ B) ()T T TA B AB = C) BA AB = D) ()()22B A B A B A -=-+43.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） .A )0=+B AB )））B r A r ((=C )O A =或O B =D )0=A 或0=B44.设12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程 组解的是（ ）.A)21+ββ B) 121(32)5ββ+ C) 121(2)2ββ+ D) 12ββ- 45.下列矩阵为正交矩阵的是（ ）.A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110110001B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22121212231 C ）1221⎫⎪-⎭ D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011 46.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ）.A)A E = B)B E = C)A B = D)AB BA =47.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（ ）.A)A =0 B) B ≠C 时A=0 C) A ≠0时B=C D) |A|≠0时B=C48.对于齐次线性方程组O Ax =，若向量21,ηη都为方程组的解，则（ ）不是 方程组的解.A ）21ηη+B ）21ηη⋅TC ）21ηη-D ）1ηc （c 为任意常数）49.设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条 件是( ) .A)A 的行向量组线性无关 B)A 的列向量组线性无关C)A 的行向量组线性相关 D)A 的列向量组线性相关50.设向量()()()T T T k ,2,1,5,1,2,2,0,321-=--=-=βαα，则k =（ ）时，β才 能由21,αα线性表示．A ）2-B ）4-C ）6-D ）8-51.对于一个向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（ ）.A ）含非零向量的向量组一定存在极大线性无关组B ）一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价C ）若一个向量组线性无关，则其极大线性无关组就是向量组本身D ）极大线性无关组一定是唯一的52.若1x 是方程Ax b =的解，2x 是方程0Ax =的解，则（ ）是方程Ax b =的 解（c R ∈）A) 12x cx + B) 12cx cx + C) 12cx cx - D) 12cx x +53.n 维向量组m ,,,ααα 21线性无关的充分必要条件为（ ）.A) m ααα,,,21 均不为零向量 B)m ααα,,,21 中任意两个不成比例C) m ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示；D) 以上均不对.54．设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）.A)所有r -1阶子式都不为0 B)所有r -1阶子式全为0C)至少有一个r 阶子式不等于0 D)所有r 阶子式都不为055.设n 阶方阵A 是奇异阵，则A 中( ).A ）必有一列元素为0B ）必有两列元素对应成比例C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合D ）任意一列向量是其余列向量的线性组合56.若n 阶矩阵A 的秩为3n -（4≥n ），则A 的伴随矩阵*A 的秩为( ).A ）n-2B ）0C ）1D ）不确定57.设0α是非齐次方程组Ax b =的一个解，r ααα,,,21 是 0Ax =的基础解 系，则( ) .A) 01,,,r ααα线性相关 B ）01,,,r ααα线性无关.C ）01,,,r ααα的线性组合是Ax b =的解 D ）01,,,r ααα的线性组合是0Ax =的解 58.n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是( ) .A)矩阵A 有n 个特征值 B ）矩阵A 的行列式0≠AC ）矩阵A 有n 个线性无关的特征向量D ）矩阵A 的秩为n59．12021k k -≠-的充要条件是（ ）. A) 1k ≠ B ） 3k ≠ C ） 1k ≠-,且3k ≠ D ）1k ≠-或3k ≠ 60. ,,A B C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）.A)AB BA = B ）0AB =,则0A =或0B =C ）22()()A B A B A B -+=-D ）AC BC =且C 可逆,则A B =61. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）. A) 0A ≠ B ）10A -≠ C ）()r A n = D ）A 的行向量组线性相关62. 向量组 12,,,s ααα的秩为r,则下述说法不正确的是（ ）. A) 12,,,s ααα中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 B ）12,,,s ααα中任何r 个向量的线性无关部分组与12,,,s ααα可互相线性 表示C ）12,,,s ααα中r 个向量的部分组皆线性无关 D ）12,,,s ααα中任意r+1个向量的部分组皆线性相关63.向量组12,,,r ααα线性无关的充要条件是( ) . A)向量组中不含0向量 B)向量组的秩等于它所含向量的个数C)向量组中任意r-1个向量无关D)向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出64.向量组12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表出，且12,,,t βββ线性无关，则s 与t 的关系为( ) .A) s t = B) s t > C) s t < D) s t ≥65.若两个向量组等价，则这两个向量组具有性质（ ）.A ）秩相等B ）极大无关组中向量相同C ）向量都相同D ）向量个数相等66.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ( ) .A)有解 B)无解 C)只有零解 D)有非零解67.当k =( )时，()2,1,0,3与()1,1,1,k -的内积为2. A)-1 B)1 C)23 D)32 68.已知A 2=A ，则A 的特征值是( ) .A)0λ= B)1λ= C)0λ=或1λ= D)0λ=和1λ= 69.1111111111111111b aa +-+的值为( ) .A)1 B)0 C) a D) 2a b -70.设B A ,均为n 阶矩阵, 满足0=AB , 则（ ）.A) 0==B A B) 0=+B A C) 0=A 或0=B D) 0=+B A71.已知行列式052231521=-a，则=a （ ）.A)2 B)3 C)2- D)3-72.已知A 为n m ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，C 为m p ⨯矩阵，则下列运算不可行的 是（ ）.A)()C AB T + B)ABC C)()A BC T- D)T AC 73.已知A 为n 阶方阵，为k 常数，则=kA （ ）. A)A k B)A k C)nA k D)A k n74.若向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 3α线性无关，则有（ ）.A)c b a == B)0==c b C)0=c D)0≠c75.若非齐次线性方程组b Ax =所对应的齐次线性方程组有无穷多解，则b Ax = 有（ ）.A)无穷多解 B)可能有唯一解 C)有可能无解 D)以上均不对76.设方阵A 与B 相似，则有（ ）.A)存在可逆阵P ，使得B AP P T = B)存在可逆阵P 、Q ，使得B PAQ =C)存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 D)存在正交阵P ，使得B AP P T =77.设A 为4阶矩阵且2-=A ，则=A A （ ）.A)4 B)52 C)52- D)878.设,A B 为n 阶矩阵，O A ≠且0AB =AB=O ，则（ ）.A) 0B = B) 00==A B 或C) 0BA = D) ()222B A B A +=-79.下列矩阵中, （ ）是正交矩阵.A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221 B)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321 C)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 80.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+004231x x x x 的基础解系含（ ）个线性无关的解向量.A) 1 B) 2 C) 3 D) 481.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1，2，3，则=x （ ）.A) 3 B) 4 C) 1- D) 582.下列矩阵为初等矩阵的是（ ）.A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002010100 B ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010100001 C ） ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000210001 D ） 100030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 83.设m n ⨯矩阵A 的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则矩阵PAQ 的秩为（ ）.A) r B)1r + C ） m D ）n84.设A 与B 分别代表一非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若方程组无 解，则（ ）.A) ()()r A r B = B ）()2()r A r B +=C ）()()r A r B >D ）()1()r A r B +=85.向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩为（ ）.A) 1 B) 2 C) 3 D) 486.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13210131131001X ，则X =（ ）. A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3921 B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2139 C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0956 D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0699 87.设n 阶矩阵A 的秩为r ，则有（ ）成立. A)0≠A B)0=A C) r n > D) n r ≤88.向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ ）.A) 0s > B)它有一个部分向量组线性无关C) 1s > D)它的所有部分向量组线性无关。

线性代数参考题一一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 写出4阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。

2. 行列式01112222=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。

3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。

4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。

5.设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。

6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-α51,则=α_________。

7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为___________。

8.由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。

9. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。

10. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。

二. (8分)计算2n 阶行列式d cdc dc b a ba ba D n 0002=三. (8分)解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X求?=X四. (10分)设向量组A:()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型323121232221222222x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关,证明:n ββ,,1 线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i均不可逆.则A 可否对角化? 线性代数参考题二填空题(每小题3分,满分30分) 1． 设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2． 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)3．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031xA 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x4．()814370122222632144-==⨯ij a A 设,又ij A 是ij a 的代数余子式,则=+++44434241A A A A5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6．设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则t 的取值区间为7．设A 是n阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9．设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则 b AX =的一般解=ξ .10．已知向量组[][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的 秩为2,则=t二．(8分)计算n 阶行列式ba a a ab a a a a b a D n nn n ---=212121三．(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X四．(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆。