【附15套精选模拟试卷】广东实验中学2020届高三下学期第二次阶段考试数学(理)试卷含解析

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（ ）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（ ）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（ ）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（ ）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（ ）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（ ）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（ ）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（ ）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是 ．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则 ．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有 对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品 旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。

2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则的取值范围为A. B. C. D.3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺4.在中，已知，，且AB边上的高为，则A. B. C. D.5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.8.已知四边形ABCD中，，，，，E在CB的延长线上，且，则A. 1B. 2C.D.9.的展开式中，的系数为A. 120B. 480C. 240D. 32010.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则A. 2B.C.D. 412.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B.C. D. ，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.已知，则______．15.从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有______对．16.如图，直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆交于C，D两点，若，设直线l的斜率为k，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式；若是等比数列，且，求数列的前n项和．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：其，中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X 的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为．求椭圆C的方程；已知O是坐标原点，向量过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．若点满足，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若函数的极小值为，求a的值；若，证明：当时，成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：因为复数，所以，由于，即，则的取值范围为，故选：A．根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．3.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：如图，在中，，，且AB边上的高CD为，，，由余弦定理可得，由正弦定理，可得．故选：B．由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为h，由，得．∽，，即，得，该圆锥的体积为．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集．7.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．8.答案：A解析：解：在中，由余弦定理有，，，易知，又，，故，．故选：A．先由余弦定理求得，再根据题设条件求得，而展开，利用数量积公式化简求解即可．本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：C．把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项，求出项的系数．本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：B解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故选：B．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．12.答案：D解析：解：因为．令，则，所以当时，，即在R上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除A，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除BC，故选：D．求导，构造辅助函数，则，当时，可知在R上单调递增，，即可判断在上为增函数，在上为减函数，由，即可证明，当时，有唯一的零点；然后验证时，函数的零点的个数，判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题．13.答案：6解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：，则．故答案为：由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．15.答案：48解析：解：根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对．故答案为：48根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为，进而可得共有对对角线所成角为，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16.答案：解析：解：由题意圆的圆心为抛物线的焦点F，再由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：，，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，由抛物线的性质可得：弦长，由题意可得为的直径2，所以，而，所以可得：，因为，所以，代入直线AB中可得，即，将A点坐标代入抛物线的方程，整理可得，解得，因为，所以，故答案为：．由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得为圆的直径，求出的值，再由题意可得的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值．本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题．17.答案：解：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，即，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．由题意，设等比数列的公比为q，则，故，．由知，，且，则，所以：，，得：，，，所以．解析：直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为，估计旧设备所生产的产品的优质品率为．补充完整的列联表如下所示，非优质品优质品合计新设备产品 30 70 100旧设备产品 45 55 100合计 75 125 200，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望．解析：由频数分布表可知，将的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将的频率组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；先填写列联表，再根据的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，，，平面PAC，平面PAC，．，O是AC的中点，．平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；解：由知，平面ABCD，．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，．四边形ABCD是菱形，，与都是等边三角形．．0，，0，，0，，，，，．，，即，得．，．设平面PAE的法向量为，由，取，得；设平面PEC的一个法向量为，由，取，得．设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面PAC，得到再由进一步得到平面ABCD；由知，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，由列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：依据题意得，所以，所以，因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：．联立，解得，，所以椭圆C的方程为：．由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：，联立，消去y并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．解析：根据题意可得方程组联立，解得b，a，进而得出椭圆C的方程．设直线l的方程为：，设，，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得，，因为，得，当时，，当时，，，因为，所以，代入化简得化简，利用基本不等式可得出答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解：函数的定义域是R，，时，对恒成立，在R递减，函数无极值，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，时，取极小值，，即，令，则，，，在递增，，；，，，令，，令，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递增，时，取极小值，又，，存在使得，在递增，在递减，在递增，，，时，，即，令，，则对于恒成立，在递增，，即当时，，时，，，故时，成立．解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到，令，根据函数的单调性求出a的值即可；令，求出，令，，求出，从而证明结论．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

广东省实验中学2020届高三年级第二次阶段考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1．己知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若i ii z +-=+11)1(，则z 的虚部为( ) A ．21B ．21-C ．i 21D ．i 21-2．在ABC ∆中，点N M ,满足,2MC AM =.NC BN =若,AC y AB x MN +=则=+y x （ ） A ．31B ．21C ．21-D ．41 3．“0<λ”是“数列*),2}({2N n n n a a n n ∈-=λ为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．己知),(x f )(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ， =+)1()1(g f （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．35．4)1)(2(x x x-+的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．126．己知43)2sin(=+βα，,31cos =ββα,为锐角，则)sin(βα+的值为( )A ．122273-B ．121423-C ．122273+D ．121423+7．安排,,,,,,F E D C B A 共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到 义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法 共有( ) A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种 8．若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且2,,-b a 这三个数可适当 排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．如图，正三棱柱111C B A ABC -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，N M ,分别是线段1BB 和 线段1CC 上的动点（含端点），且满足.1N C BM =当N M ,运动时，下列 结论不正确的是（ ） A ．平面⊥DMN 平面11B BCC B ．三棱锥DMN A -1的体积为定值 C ．DMN ∆可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为⎥⎦⎤⎝⎛4,0π10．己知B A ,是单位圆O 上的两点（O 为圆心），,120=∠AOB点是线段AB 上不与B A 、重合的动点，MN 是圆O 的一条直径，则CM ·CN 的取值范围是( ) A ．)0,43[-B ．)1,1[-C ．)1,21[-D ．)0,1[-11．设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by x C α的左、右焦点分别为,,21F F c F F 221=，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为,A 己知,23,⎪⎭⎫⎝⎛a c Q ,22A F Q F >点P 是双曲线C 右支 上的动点，且21123F F PQ PF >+恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,210 B ．⎪⎭⎫⎝⎛67,1C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210,67D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210,1 12．若函数0(log )(>=a x x f a 且1=/a ）的定义域与值域都是),](,[n m n m <则a 的取值范围是 A ．),1(+∞B ．),(+∞eC ．),1(eD ．),1(1ee第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数,43cos 3)3sin(cos )(2+-+⋅=x x x x f π]4,4[ππ-∈x 的最小值为 . 14．己知数列}{n a 的前项和为,n S ,12141--=+n S a n n 11=a 且*,N n ∈则=n a .15．己知向量),2,1(=a )3,2(-=b ，),5,4(=c 若c b a ⊥+)(λ，则实数=λ . 16．在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，ABC ∆的面积,2=S 且满足 ),cos 1(cos A b B a +=则))((a b c b a c -+-+的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足对任意的*,N n ∈都有,0>n a 且.)(22133231n n a a a a a a +++=+++(1)求21,a a 的值；(2)求数列}{n a 的通项公式n a ;(3)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n a a 的前n 项和为n S ，不等式)1(log 31a S a n ->对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，31=BB ，,101=AB .601=∠CBB(1)求证：平面⊥ABC 平面;11B BCC (2)求二面角C AB B --1的正弦值.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 以)0,1(1-F ，)0,1(2F 为焦点，且离心率⋅=22e (1)求椭圆C 的方程;(2)过点2,0(M ),斜率为k 的直线1l 与椭圆C 有两个不同的交点P 、,Q 求k 的取值范围； (3)设椭圆C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在直线1l ,满足(2)中的条件且使得向量OQ OP +与AB 垂直？如果存在，求出1l 的方程；如果不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付己成为主要支付方式之一，为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额 大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)己知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生 中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 21．（本小题满分12分） 己知),,0(3ln 2)(2R m x mx x e x x f x∈>--=(1)若)(x f 在1=x 处的切线与直线03=+ey x 垂直，求xe x xf xg 2)()(-=的极值；(2)若1)(≥x f 对任意的正实数x 恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y mm x 612612(m 为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1)3cos(=+πθρ(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)己知点)0,2(M ,若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求MQMP 11+的值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 己知z y x ,,是正数．(1)若1<xy ,证明：xyz y z z x 4||||>+⋅+; (2)若,31=++z y x xyz 求xz yz xy 222⋅⋅的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题1～12 AAACC DCDCA BD 二、填空题 13．21-14．12-n 15．2- 16．)8,828(- 三、解答题 17．（本小题12分）解：(1)当1=n 时，有,2131a a =由于,0>n a 所以11=a当2=n 时，有,)(2213231a a a a +=+由于,0>n a 所以2,=a ——2分(2)由于22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ①则有21213133231)(++++++=++++n n n n a a a a a a a a ② ②－①得：),(22112131n n n n a a a a a a ++++=+++ 由于0>n a 所以：)(221121n n n a a a a a ++++=++ ③ ——3分 同样有)2(),(21212≥++++=-n a a a a a n n n ④ ③－④得：n n n n a a a a +=-++1221 ——4分所以)2(11≥=-+n a a n n因为当1=n 时，11212=-=-a a ——5分所以}{n a 是以11=a 为首项，以1为公差的等差数列，.n a n = ——6分 （备注：没有检验当1=n 时，11212=-=-a a ，扣1分） （3）因为)211(21)2(112+-=+=+n n n n a a n n ——7分所以21153423111111++-+++++=n n n n n a a a a a a a a a a S)211111151314121311(21+-++--++-+-+-=n nn n)2111(2143)2111211(21+++-=+-+-+=n n n n ——9分因为,0)3)(1(11>++=-+n n S S n n 所以数列}{n S 是递增数列 ——10分所以311=≥S S n ，要使不等式)1(log 31a S a n ->对任意的正整数n 恒成立。

广东省广州市广东实验中学2025届下学期高三数学试题第二次阶段检测试题考试试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 2．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >4．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．45．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-6．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π7．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-9．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．210．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户11．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝12．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积S =a =2b =，则sin A 等于（ ）ABCD ．1120或1136二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A ．60B ．80C ．150D ．3602．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．n αβ=I ，m α⊂，//m β//m n ⇒ B ．αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥n β⇒⊥ C ．m n ⊥，m α⊂，n β⊂αβ⇒⊥ D ．//m α，n ⊂α，//m n ⇒4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)5．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ， 34349x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≤- B ．46a -≤≤C ．4a ≤-或6a ≥D ．6a ≥6．已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．43-B．54-C．35-D．53-7．某快递公司的四个快递点,,,A B C D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种8．已知复数23(13)izi+=-，z是z的共轭复数，则•z z=A．14B．12C．1 D．29．已知数列n a｛｝是等差数列，12a=，其中公差0d≠.若5a是3a和8a的等比中项，则18S=( ) A．398 B．388 C．189 D．19910．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．836πB．16833πC．3236π+D2s gLπ11．假设有两个分类变量X和Y的22⨯列联表如下：注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a ck n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++.对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ） A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ．35,25a c ==D ．30,30a c ==12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝1﹣x2，x∈[﹣1，1]}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．∅2．若复数z满足（3﹣4i）z＝5（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．1B．﹣C．D．﹣13．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A．f（x）＝x4B．f（x）＝tan x+2（﹣＜x＜）C．f（x）＝cos x﹣1D．f（x）＝|2x﹣3|5．已知角α顶点为原点，始边与x轴非负半轴重合，点P（﹣，1）在终边上，则cos （α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A．32B．40C．D．7．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率，那么|AB|＝（）A．2B．C．D．8．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．39．对一个各边不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色．则不同的染色方法共有（）种．A．24B．30C．36D．12010．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．12．设在R上可导的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）﹣f（﹣x）＝x3，并且在（﹣∞，0）上有f′（x）＜x2，实数a满足f（6﹣a）﹣f（a）≥﹣a3+3a2﹣18a+36，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[4，+∞]D．（﹣∞，4]二、填空题13．命题“∀x＞1，都有x2+1＞2”的否定是．14．设x，y满足约束条件：，则z＝x﹣10y的取值范围是．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．16．将正三棱锥P﹣ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P﹣ABC﹣Q，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有．①PQ⊥平面ABC；②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PA；④若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1＝1，b2＝2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．19．如图，已知A（﹣1，0），B（1，0）Q、G分别为△ABC的外心、重心，QG∥AB．（1）求点C的轨迹E的方程．（2）是否存在过P（0，1）的直线L交曲线E与M，N两点且满足，若存在求出L的方程，若不存在请说明理由．20．已知函数f（x）＝xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sin x．21．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（Ⅲ）假定1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m，若∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立．（1）求m的取值范围；（2）求证：log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{y|y＝1﹣x2，x∈[﹣1，1]}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝[0，1]，B＝[﹣2，+∞），∴A∩B＝[0，1]．故选：A．2．若复数z满足（3﹣4i）z＝5（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．1B．﹣C．D．﹣1【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（3﹣4i）z＝5（1﹣i），得z＝＝．∴z的虚部为．故选：C．3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．4．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A．f（x）＝x4B．f（x）＝tan x+2（﹣＜x＜）C．f（x）＝cos x﹣1D．f（x）＝|2x﹣3|【分析】求出函数的值域，即可判断选项的正误；解：f（x）＝x4不是单调函数，y≥0，不能用二分法求零点，f（x）＝tan x+2是单调函数，y∈R，能用二分法求零点．f（x）＝cos x﹣1不是单调函数，y≤0，不能用二分法求零点．f（x）＝|2x﹣3|，不是单调函数y≥0，不能用二分法求零点．故选：B．5．已知角α顶点为原点，始边与x轴非负半轴重合，点P（﹣，1）在终边上，则cos （α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意求出cosα＝，sinα＝，利用两角和与差公式展开代入即可．解：根据题意，cosα＝，sinα＝，则cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝＝﹣，故选：B．6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A．32B．40C．D．【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成．故：，由于，所以：．故：．故选：C．7．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率，那么|AB|＝（）A．2B．C．D．【分析】分别求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立可得A，B的坐标，再由双曲线的离心率公式，以及a，b，c的关系式可得a，b的关系，即可得到所求|AB|．解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣，双曲线＝1的两条渐近线为y＝±x，可得A（﹣，），B（（﹣，﹣），由e＝＝＝，可得＝，则|AB|＝2•＝2，故选：A．8．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．3【分析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时的值，判断③正确．解：由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程，知②正确；由回归直线方程知，当x＝7时，计算得＝13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．故选：D．9．对一个各边不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色．则不同的染色方法共有（）种．A．24B．30C．36D．120【分析】根据题意，分析可得：最短边选取一种颜色有3种情况．如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况．如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况，这时最后两个边有3种颜色．根据计数原理得到结果．解：最短边选取一种颜色有3种情况．如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况．如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况；这时最后两个边有3种颜色．∴方法共有3（2×2+2×3）＝30种．故选：B．10．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】根据函数y＝cos x的单调递增区间，结合函数在（，π）上单调递增，得出关于ω的不等式（组），从而求出ω的取值范围．解：∵函数y＝cos x的单调递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z；∴﹣π+2kπ≤ωx+≤2kπ，k∈Z；解得：+≤x≤﹣（k∈Z），∵函数f（x）＝cos（ωx+）在（，π）上单调递增，∴（，π）⊆[+，﹣]（k∈Z），解得4k﹣≤ω≤2k﹣；又∵4k﹣﹣（2k﹣）≤0，且4k﹣＞0，∴k＝1，∴ω∈[，]．故选：D．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．【分析】由两定点A，B满足＝＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解：由两定点A，B满足＝＝2，＝﹣，则||2＝（﹣）2＝﹣2•+＝4，则||＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选：D．12．设在R上可导的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）﹣f（﹣x）＝x3，并且在（﹣∞，0）上有f′（x）＜x2，实数a满足f（6﹣a）﹣f（a）≥﹣a3+3a2﹣18a+36，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[4，+∞]D．（﹣∞，4]【分析】依题意，构造函数，可知函数g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，进而题设不等式等价于g（6﹣a）≥g（a），即|6﹣a|≥|a|，解出即可求得实数a的取值范围．解：设，则，故在区间（﹣∞，0）上单调递减，又，故函数g（x）为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，而，故原不等式等价于g（6﹣a）≥g（a），即|6﹣a|≥|a|，解得a≤3．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x＞1，都有x2+1＞2”的否定是∃x＞1，有x2+1≤2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，进行判断即可．解：全称命题的否定是特称命题，得命题的否定是：∃x＞1，有x2+1≤2，故答案为：∃x＞1，有x2+1≤214．设x，y满足约束条件：，则z＝x﹣10y的取值范围是[﹣19，3]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可解：由z＝x﹣10y得y＝x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，过点A（3，0）时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大为z＝3﹣0＝3，由图象可知当直线y＝x﹣z，过点B时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（1，2），代入目标函数z＝x﹣10y，得z＝1﹣10×2＝﹣19，故﹣19≤z≤3，故答案为：[﹣19，3]．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0，可得出cos A的值，然后利用余弦定理表示出cos A，根据cos A的值，得出bc＝b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sin A的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解：由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2r sin C＝2sin C，b＝2r sin B＝2sin B，∵tan A＝，tan B＝，∴＝＝＝，∴sin A cos B＝cos A（2sin C﹣sin B）＝2sin C cos A﹣sin B cos A，即sin A cos B+cos A sin B＝sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，∵sin C≠0，∴cos A＝，即A＝，∴cos A＝＝，∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2r sin A）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），∴△ABC面积为S＝bc sin A≤×3×＝，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．16．将正三棱锥P﹣ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P﹣ABC﹣Q，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有①④．①PQ⊥平面ABC；②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PA；④若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．【分析】①②由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC．故①正确，当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确，进而求解．解：①由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC．故①正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径与等边三角形ABC 外接圆的半径相等，可设为R，则AB＝2R×＝，所以AB＝，故③不正确；由③推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，故④正确，故答案为：①④．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1＝1，b2＝2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．解：（1）差数列{a n}满足，可得a1+a2＝4，a1+a2+a2+a3＝12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d＝4，4a1+4d＝12，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由题意可得c1＝a＝a1＝1，c2＝a＝a2＝3，可得数列{c n}的公比为3，c n＝3n﹣1，由c n＝a＝2b n﹣1，可得b n＝（1+3n﹣1），{b n}的前n项和T n＝（1+3+…+3n﹣1）+n＝•+n＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出＝（0，1，1），＝（2，0，0），由＝0，能证明BE⊥DC．（Ⅱ）由＝（0，1，1），能求出BE的长．（Ⅲ）由BF⊥AC，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），＝（0，1，1），＝（2，0，0），∴＝0，∴BE⊥DC．（Ⅱ）解：∵＝（0，1，1），∴BE的长为||＝＝．（Ⅲ）解：∵，＝（2，2，0），由点F在棱PC上，设＝＝（﹣2λ，﹣2λ，2λ），0≤λ≤1，∴＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），∵BF⊥AC，∴＝2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，解得，设平面FBA的法向量为，则，取c＝1，得＝（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量＝（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角满足：cosα＝＝，∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值为．19．如图，已知A（﹣1，0），B（1，0）Q、G分别为△ABC的外心、重心，QG∥AB．（1）求点C的轨迹E的方程．（2）是否存在过P（0，1）的直线L交曲线E与M，N两点且满足，若存在求出L的方程，若不存在请说明理由．【分析】（1）设出G的坐标，椭圆向量相等，转化求解轨迹方程即可．（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量关系，转化求解即可．解：（1）设C（x，y）（y≠0）．则，由于QG∥AB则，由①，故轨迹E的方程为．（2）当L与y轴重合时不符合条件．假设存在直线L：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2）联立，则有（3+k2）+2kx﹣2＝0，，由于则有x1＝﹣2x2，即，＝由于则有k2＝1即k＝±1，则直线L过（﹣1，0），或（1，0），轨迹E的方程为．所以直线L不存在．20．已知函数f（x）＝xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sin x．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）＝0有唯一解x＝x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min＝a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sin x．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sin x．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．解：（1）f（x）＝xe x﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）＝0有唯一解x＝x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a＝0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min＝a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）＝lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max＝h（1）＝0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt＝t﹣1⇒t＝1，从而有．故满足条件的实数为a＝1．②证明：由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sin x．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sin x．当x＞1时，恒有2sin x≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）＝x2﹣x+2﹣2sin x，则g'（x）＝2x﹣1﹣2cos x，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）＝2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sin x．故x2e x＞（x+2）lnx+2sin x．21．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（Ⅲ）假定1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．【分析】（Ⅰ）可先考虑任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可．解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．任务能被完成的概率为1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）（Ⅱ）X的取值为1，2，3P（X＝1）＝q1P（X＝2）＝（1﹣q1）q2P（X＝3）＝（1﹣q1）（1﹣q2）EX＝q1+2（1﹣q1）q2+3（1﹣q1）（1﹣q2）＝3﹣2q1﹣q2+q1q2（Ⅲ）EX＝3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q1，若交换前两个人的派出顺序，则变为3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q2，由此可见，当q1＞q2时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX可写为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q2，交换后个人的派出顺序则变为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q3，当q2＞q3时交换后个人的派出顺序可增大均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意写出A的参数方程，把两式移项平方作和得答案；（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，画出图形，应用点到直线的距离公式求解．解：（1）设A（x，y），又A点的直角坐标为，∴，把两式移项平方作和得：；（2）由，得，即，如图，要使曲线C上存在四个点到直线的距离为1，则圆C的圆心C（）到直线的距离小于1．即＜1，解得0＜m＜4．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m，若∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立．（1）求m的取值范围；（2）求证：log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）．【分析】（1）由∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立，可得m+≥x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，求出右边的最大值，即可求m的取值范围；（2）利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：∵∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立，∴m+≥x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，令g（x）＝x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则g（x）在（﹣∞，3）上是增函数，（3，+∞）上是减函数，g（x）max＝g（3）＝2，∴m+≥2，∴m＞0；（2）证明：m＞0，可得m+3＞m+2＞m+1＞1，则lg（m+3）＞lg（m+2）＞lg（m+1）＞lg1＝0，∵lg（m+1）lg（m+3）＜＝＜lg2（m+2），∴，∴log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）．。

广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题文本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B． C． D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.绝密★启用前2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（1）因为，所以．………………………………………………1分化简得．………………………………………………2分即．………………………………………………………………………3分因在中，，则．……………………………4分从而．…………………………………………………………………………… 5分由正弦定理，得．所以． (6)分（2）由（1）知，且，所以．……………………………………………………7分因为，所以．……………………………………9分即．所以．……………………………………………………………………………………………10分所以．所以△的面积为． (12)分18．（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．…………………………………1分因为为的中点，所以．……………2分在△中，，为的中点，所以．………………………………………3分因为，所以平面．………4分因为平面，所以．………………………………………………………………5分（2）解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………6分在△中，，，，因为，所以．……………………………………………………………7分【6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】由（1）有，且，平面，平面，所以平面．…………………………………………………………………………………8分在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．…………………………………………………………………9分在△中，，，所以．………………………………………………………10分设点到平面的距离为，因为，即．……………………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．………………………………………6分过点作于点．…………………………7分由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．…………………………………8分在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………9分在△中，，，，因为，所以．…………………………………………………………10分【9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】在△中，根据等面积关系得．…………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．…………………………………2分（ⅱ）…………3分…………………………………4分．…………………………………………………………………………5分因为，，所以． (6)分由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强． (7)分（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】……………………………10分所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．……………………………………11分所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．………………………………12分【结论没写%扣1分】20．解：（1）设，，则点的坐标为．因为，所以，………………………………………………………………………1分即 (2)分因为点在抛物线上，所以，即．………………………………………………………………………3分所以点的轨迹的方程为．…………………………………………………………………4分（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………5分设点，则．………………………………………………………6分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………7分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………8分如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．…………………………9分因为．所以．………………………………………………………………10分即，解得或．……………………………………………………………11分故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分解法2：直线与曲线的交点坐标为，，若取，则，与直线的交点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为．该圆与轴的交点坐标为和．所以符合题意的定点只能是或．…………………………………………………6分设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………7分设点，则．………………………………………………………8分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………9分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………10分若点满足要求，则满足．因为．……11分所以点满足题意．同理可证点也满足题意．故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分21．（1）解：当时，，函数的定义域为，…………………………………………………………………………1分且．……………………………………………………………………………2分设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………………3分所以当时，（当且仅当时取等号）．…………………………………4分即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点. ………………………………………………5分因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．…………………………………………………6分（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分当时，，………………………………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分即当时，所以在上单调递增．……………………………………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分证法2：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．……………………………………………8分可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分则．所以，即在定义域上单调递增．…………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分解法2：因为直线的参数方程为（为参数），则有……………………………………………………………2分所以直线的直角坐标方程为．………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分因为，可设该方程的两个根为，，则，．……………………………………………………7分所以．…………………………………………………………8分整理得，故．…………………………………………………………………………………9分因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分②当时，直线的方程为．所以，………………………………………………………………8分整理得．解得．………………………………………………………………………………………………9分综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分23．（1）解：当时，由，得．…………………………………………1分当时，，解得．当时，，解得．…………………………………………………………4分综上可知，不等式的解集为．……………………………………5分（2）解法1：由，得．则．…………………………………………………………………………………6分令，则问题等价于因为……………………………………………………………………9分．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分解法2：因为，………………………………………………6分即，则．……………………………………………7分所以，…………………………………………8分当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分所以．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分。

2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东高三二模理科第1题5分已知集合A={x|(x−√7)(x+3)<0}，B={x|−2<x<2√2}，则A∩B=（）．A. {x|−3<x<2√2}B. {x|−3<x<√7}C. {x|−2<x<√7}D. {x|−2<x<2√2}2、【来源】 2020年广东高三二模理科第2题5分已知复数z=i(a−i)（i为虚数单位，a∈R），若1<a<2，则|z|的取值范围为（）．A. (√2,√5)B. (√2,2)C. (2,√5)D. (1,2)3、【来源】 2020年广东高三二模理科第3题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考文科第6题5分2019~2020学年6月辽宁沈阳沈北新区东北育才双语学校高一下学期周测B卷第8题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考理科第6题5分2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三四模理科第4题5分《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺4、【来源】 2020年广东高三二模理科第4题5分在△ABC中，已知∠A=45°，AB=6√2，且AB边上的高为2√2，则sin⁡C=（）．A. √1010B. 3√1010C. √105D. 2√1055、【来源】 2020年广东高三二模理科第5题5分一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为（）．A. 2√3ππB. 2√33πC. 4√33πD. 8√336、【来源】 2020年广东高三二模理科第6题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x−1)>0的解集为（）．A. (−3,3)B. (−∞,−2)∪(1,4)C. (−∞,−4)∪(−1,2)D. (−∞,−3)∪(0,3)7、【来源】 2020年广东高三二模理科第7题5分2020年广东高三二模文科第8题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若FA →⋅FB →=0，则该双曲线的离心率为（ ）．A. √5B. 2C. √3D. √28、【来源】 2020年广东高三二模理科第8题5分已知四边形ABCD 中，AD//BC ，∠A =30°，AB =2√3，AD =5，E 在CB 的延长线上，且AE =BE ，则AE →⋅DB →=（ ）．A. 1B. 2C. 12D. √39、【来源】 2020年广东高三二模理科第9题5分(x +y +2)6的展开式中，xy 3的系数为（ ）．A. 120B. 480C. 240D. 32010、【来源】 2020年广东高三二模理科第10题5分2020年广东高三二模文科第10题5分把函数f(x)=2sin⁡x 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，关于g(x)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最小值为√3；④函数g(x)在[0,π]上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 111、【来源】 2020年广东高三二模理科第11题5分如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1−CDE外接球的体积为8√23π，则a=（）．A. 2B. √2C. 2√2D. 412、【来源】 2020年广东高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=12ax2+cos⁡x−1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为（）．A. (−∞,0)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,0)∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东高三二模理科第13题5分若x，y满足约束条件{x+y−3⩽0x−y−3⩽0x+1⩾0，则z=y−2x的最大值是．14、【来源】 2020年广东高三二模理科第14题5分已知cos⁡(α+π12)=35，则sin⁡(2α+2π3)=．15、【来源】 2020年广东高三二模理科第15题5分从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有对．16、【来源】 2020年广东高三二模理科第16题5分如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x−1)2+y2=1交于C，D两点，若2∣AC∣=∣BD∣，设直线l的斜率为k，则k2=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东高三二模理科第17题12分已知数列{a n}和{b n}满足a n⋅b n+1−a n+1⋅b n−2a n⋅a n+1=0，且a1=1，b1=1，．设c n=b n an(1) 求数列{c n}的通项公式．(2) 若{a n}是等比数列，且a2=3，求数列{b n}的前n项和S n．18、【来源】 2020年广东高三二模理科第18题12分为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图如图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1) 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2) 优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d．(3) 用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望．19、【来源】 2020年广东高三二模理科第19题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，BD ⊥PA ．E 是BC 上一点，且EC =3BE ．设AC ∩BD =O ．(1) 证明：PO ⊥平面ABCD ．(2) 若∠BAD =60°，PA ⊥PE ，求二面角A −PE −C 的余弦值．20、【来源】 2020年广东高三二模理科第20题12分2020年四川成都高新区成都石室天府中学高三零模文科第20题已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 已知O 是坐标原点，向量m →=(1,1)，过点(2,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点Q (x,y )满足OQ →⋅m →=1，OM →+ON →=λOQ →，求λ的最小值．21、【来源】 2020年广东高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ae x −ex −a （a <e ），其中e 为自然对数的底数．(1) 若函数f(x)的极小值为−1，求a 的值．(2) 若a =1，证明：当x ⩾0时，f(x)+2x −xln⁡(x +1)⩾0成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东高三二模理科第22题10分2020年广东高三二模文科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x 212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos⁡(θ−π4)=a(a>0)．(1) 求直线l的直角坐标方程．(2) 已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线l于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东高三二模理科第23题10分2020年广东高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1) 解不等式：f(x)⩽6．(2) 若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2⩾493．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】6;;14 、【答案】−72515 、【答案】48;16 、【答案】12√2+16;17 、【答案】 (1) c n=2n−1．;(2) S n=(n−1)×3n+1．;18 、【答案】 (1) 70%，55%．;(2)有95%的把握认为产品质量高与新设备有关．;(3) X的分布列为E(X)=2.1．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√15．5;+y2=1．20 、【答案】 (1) x22;(2) 2−√6．;21 、【答案】 (1) 1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x+y−a=0．;(2) 2．;23 、【答案】 (1) {x|−4⩽x⩽2}．;(2) 证明见解析．;。