直线的斜率讲解

直线的斜率及其计算方法直线斜率是解析几何中一个重要的概念，用于描述直线的陡峭程度。

在数学和物理学中，我们经常需要计算直线的斜率，以便更好地理解线性关系和直线的特性。

本文将介绍直线斜率的概念以及几种常见的计算方法。

一、直线斜率的定义直线斜率是指直线与x轴正向所成角的正切值。

这一定义描述了直线的陡峭程度，可以帮助我们比较不同直线的斜率大小。

二、直线斜率的计算方法直线的斜率可以通过以下几种方法进行计算：1. 利用两点坐标计算法：如果我们已知直线上两个点的坐标，可以使用如下公式计算斜率：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是直线上两个点的坐标。

2. 利用点斜式计算法：如果我们已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可以使用点斜式进行计算。

点斜式表达式为：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)是直线上已知点的坐标，k是直线的斜率。

3. 利用截距式计算法：如果我们已知直线与y轴的截距和斜率，可以使用截距式进行计算。

截距式表达式为：y = kx + b其中，k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。

三、直线斜率的特性通过计算直线斜率，我们可以了解直线的以下特性：1. 正斜率和负斜率：斜率大于零时，直线向上倾斜；斜率小于零时，直线向下倾斜。

斜率为零时，直线平行于x轴。

2. 与x轴平行和垂直：斜率为零时，直线与x轴平行；斜率不存在时，直线与x轴垂直。

3. 相等斜率：当两条直线的斜率相等时，它们是平行的；当两条直线的斜率互为倒数时，它们是垂直的。

四、直线斜率的应用直线斜率在数学和物理学中有广泛的应用，如下列几个方面：1. 几何性质：直线斜率可以帮助我们判断直线的陡峭程度和与其他直线的相对位置关系。

2. 斜率描绘：斜率可以用来绘制函数图像，帮助我们更好地理解函数的性质。

3. 匀速运动：在物理学中，直线斜率可以用来描述物体的运动速度和加速度。

4. 统计学：直线斜率可以被用来描述数据集的趋势和相关性。

直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。

概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。

3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。

例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。

解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。

点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。

例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。

解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。

点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。

2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。

二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。

直线的倾斜角与斜率【学习目标】1. 了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2. 理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3. 已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4. 掌握经过两点P(x1, y1)和P,(x2, y2)的直线的斜率公式：k = y2一％ ( %式x2)；X2 — x〔5. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为：•，则〉叫做直线的倾斜角•规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0： _〉180 . 要点诠释：1. 要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②X轴正向；③小于180的角.2. 从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角3•倾斜角:的范围是0：_〉<180'.当】-0时，直线与x轴平行或与x轴重合.4. 直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应5. 已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1 .定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan> . 要点诠释：(1) 当直线丨与x轴平行或重合时，=0°, k=tan0 ° =0；(2) 直线l与x轴垂直时，二=90°, k不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角［一定存在，但是斜率k不一定存在.2 .直线的倾斜角与斜率k之间的关系由斜率的定义可知，当:-在(0,90)范围内时，直线的斜率大于零；当 :在(90,180)范围内时，直线的斜率小于零；当〉=0时，直线的斜率为零；当〉=90时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜角(90‘除外)为一一对应关系，且在0,90°)和(90 ,180)范围内分别与倾斜角的变化方向一致，倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在0,90或(90,80)范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.要点三、斜率公式已知点RX，%)、F2(x2,y2)，且RP?与x轴不垂直，过两点F1(x1,y1)、F2(x2,y2)的直线的斜率公式k _y2 _y i .X2 -X i要点诠释：1. 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当X1=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角? =90°,直线与x轴垂直；(2) k与P i、P2的顺序无关，即y i, y2和x i，X2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4) 当y i=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角:-=0°，直线与x轴平行或重合；(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1) 由R、R＞点的坐标求k的值；(2) 已知k及x i, y i, x2, y2中的三个量可求第四个量；(3) 已知k及R、P,的横坐标(或纵坐标)可求| RP2 | ；(4) 证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线l i,l2的斜率分别为k i,k2.若I i〃l2，则l i与12的倾斜角：i与〉2相等•由〉i=＞：可得tan：、二tan〉2，即k i二k2.因此，若l i〃12，则匕=k2.反之，若k^ k2，则l i//l2.要点诠释：1. 公式l i 〃丨2 k i = k2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为k i, k2 •，②l i与丨2不重合；2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，^与l2的倾斜角都是90，则l i //l2.要点五、两直线垂直的条件设两条直线l i」2的斜率分别为k i,k2.若l i — l2，则k i k^-i.要点诠释：i.公式l i - l2= k i k^-i成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1 •设直线丨过原点，其倾斜角为「，将直线丨绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l i的倾斜角为( )A •:- +45°B. ： -135°C. 135°- :■D. 当0°w : V 180° 时，为:-+45°，当135°w : V 180°时，为：-135°- 1【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0 ° , 180°),因此，只有当:-+45 °€ [0 ° , 180°),即当0° V 135° 时，h的倾斜角才是:-+45 °,而当135 °W V 180 °时，I1的倾斜角为:--135 ° .故应选D .【总结升华】(1)倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；② x轴的正方向；③小于平角的正角.(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.举一反三：【变式1】下列说法中，正确的是( )A .直线的倾斜角为二，则此直线的斜率为tan_：iB. 直线的斜率为tan'，则此直线的倾斜角为 vC. 若直线的倾斜角为.：:，则sin二＞0D .任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系.对于A ,当〉=90°时，直线的斜率不存在，••• A错；对于B ,虽然直线的斜率为tanr，但只有当二€ [0° , 180°)时，二才是此直线的倾斜角，• B错；对于C,当直线平行于x轴时，〉=0°，而sin0° =0, • C错.•••应选D.【高清课堂：直线的倾斜角与斜率381490例2】例2 .如图所示，直线l1的倾斜角=30，直线l1与l2垂直，求l1, l2的斜率.【解析】由图形可知，〉2*90，则k1, k2可求.直线l1的斜率k, = tan〉1= tan 30 二T直线l2的倾斜角>2=90 ° +30° =120 ° ,•直线l2的斜率k2=ta n120 ° =ta n(180 ° —60° )= —tan60°所以直线的斜率为cos -：s又因为3 cos 二、■■■■/3，即--k AB =k BC,2 -1 _ 2a -1a-5 一4 一5A , B, C三点共线=A , B, C中任意两点-、、3.【总结升华】(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线11与|2的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180° —:• )= —tan〉是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切.熟记30°, 45°, 60°角的正切值可快速求解.举一反三：【变式1】直线xcos—/3y • 2 =0的倾斜角的范围是A .-, 三B. 0, 匚二IL6 2 2 6. IL 6 _ 65 二二5 二C. 0,D. ,1 6」：6 6」【答案】B【解析】由直线xcoS'f ' 3y • 2 = 0 ,设直线的倾斜角为所以叫。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解第二章直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（ ） A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒ B ．若k 是直线的斜率，则R k ∈C ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．（2022·全国·高二专题练习）下列四个命题中，正确的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（ ）A0B ．0C．题型二：直线的斜率4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（ ）A．．5．（2022·福建宁德·高二期末）若直线经过两点)(,2A m ，)(1,1B 且倾斜角为45°，则m 的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．32-6．20my ++=的倾斜角为23π，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2022·全国·高二专题练习）直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为（ ） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．（2022·全国·高二专题练习）设直线l 的斜率为k ，且1k ≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭题型四：与斜率公式有关的问题10．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．34k ≤或2k ≥B ．1k <C ．12k <<D ．324k <<11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为23π，则m =（ ）A ．13B ．1C ．32D ．－112．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）过两点()222,3A m m +-、()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为45，则m 的值为（ ） A ．2-或1-B ．1-C ．12D ．2-题型五：斜率公式的应用13．（2022·全国·高二）已知正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B ，顶点C 在第一象限，若点(),P x y 是ABC 内部及其边界上一点，则1yx +的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．23D14．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,1A -，()3,B m ，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（ ） A ．{}60150αα︒≤≤︒B ．{060αα︒≤≤︒或}150180α︒≤<︒C ．{6090αα︒≤<︒或90150}α︒<≤︒D ．{6090αα︒≤<︒或150180}α︒≤<︒15．（2020·湖北·宜城市第三高级中学高二期中）已知点()23A -，，()32B --，，直线l 方程为10kx y k +--=，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为（ ） A ．34k ≤-或4k ≥B ．4k ≤或34k ≥C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤-题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-17．（2022·全国·高二专题练习）设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤18．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高二课时练习）将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l 的斜率是（ ） A ．32-B ．4C ．1D ．1220．（2022·全国·高二课时练习）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<l 的倾斜角α的取值范围为（ ）A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭21．（2022·全国·高二课时练习）设P 为x 轴上的一点，(2,1),(7,5)A B -，若直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，则点P 的坐标为（ ）A ．(10)-，B ．()3,0-C ．(20)，D ．(4,0) 22．（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦23．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．(,1]-∞-C ．()1,1-D ．[1,)+∞24．（2022·江苏·高二）已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤25．（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α B ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C ．平行于x 轴的直线的倾斜角为180D ．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为9026．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)A a 和点(2,1)B -，分别求出满足下列条件的a 的取值或取值范围. (1)直线l 的倾斜角为直角； (2)直线l 的倾斜角为锐角； (3)直线l 的倾斜角为钝角.【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高二专题练习）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -， 过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．(2,3)-B ．(2,0)(0,3)-⋃C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对28．（2022·江苏·高二课时练习）已知点Q (－2，0)，A (1，B (1，P为动点．当点P 在线段AB 上运动时，求直线PQ 的倾斜角的取值范围．29．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知动直线:20l x my +-=的倾斜角的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1-B ．1,⎛- ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．( 30．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知直线1l 的斜率为1，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，则直线2l 的斜率为（ ）A ．－1B ．．131．（2022·全国·高二课时练习）直线m 过点()(00O A ，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（ ）A ．．-C ．2D ．-232．（2022·全国·高二专题练习）已知直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B．60°C．120°D．150°33．（2022·辽宁大连·高二期末）若直线l 经过()0,0O ，(A 两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π34．（2022·青海海东·高二期末（理））已知直线l 经过(A -，(3,B -两点，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．30°B．60°C．120°D．150°35．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭36．（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线l 过点()0,1P -且斜率为k ，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．[]1,1-二、多选题37．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ38．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的有（ ） A ．两条相交直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦B ．若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为1-D ．若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α-=+ 39．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是( )A ．向量(m =-在直线l 上，则直线l 的倾斜角为56πB ．若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角为4πθ-C ．若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，则代数式32y x ++的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则()12sin 1θθ-=是12l l ⊥的充要条件40．（2022·江苏·高二）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ） A ．45α+B ．45α-C ．135α-D ．135α-41．（2021·广东·江门市第二中学高二阶段练习）已知()1,2A -，()2,1B ，若直线l 恒过点()0,1-且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值可能是（ ） A ．12-B ．2-C ．0D ．242．（2021·广东·深圳实验学校高二阶段练习）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角，则斜率k 的取值范围是([),1,-∞⋃+∞D ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α43．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤44．（2021·江苏·高二专题练习）已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 可能取值是（ ） A ．1-B ．1C ．14D ．4-三、填空题45．（2022·全国·高二课时练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率为______．（写出任意一条边所在直线的斜率即可） 46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<<，则k 的取值范围为______.47．（2022·全国·高二专题练习）()P x y ，在线段AB 上运动，已知()()2452A B -，，，，则11y x ++的取值范围是_______. 48．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过(3,1),(4,21)++A m B m 两点且倾斜角为5π6，则m 的值为_____.49．（2022·江苏·高二专题练习）若点(,)M x y 在一次函数28y x =-+的图像上，当[]2,5x ∈时，则211y x ++的取值范围是______． 50．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．51．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点()2,A a ､()1,21B a a ++､()4,1C a --在同一条直线上，则实数a 的值为___________.四、解答题52．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点()1,1A -，()1,1B ，()1C ． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为ABC 的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围．53．（2022·江苏·高二）已知直线l ：()120kx y k k -++=∈R ，()3,1P -，()3,3Q -，若直线l 与线段PQ 恒有公共点，求k 的取值范围.54．（2022·江苏·高二课时练习）（1）当m 为何值时，经过两点,6A m ，1,3B m 的直线的斜率是12？（2）当m 为何值时，经过两点(),2A m ，(),21B m m ---的直线的倾斜角是60°？ （3）当m 为何值时，经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角？55．（2022·江苏·高二单元测试）已知两点()()1,2,,3A B m -，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围【答案详解】1．D 【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论． 【详解】解：对于A ：α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒，故A 正确； 对于B ：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B 正确；对于C 、D ：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C 正确；D 错误． 故选：D2．B 【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，所以A 、C 均错误；B 正确；若直线的斜率4tan 3k π=3π，所以D 错误；故选：B3．A 【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =120°. 要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°， 只需直线2l 的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0故选：A4．Bα，将直线绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率为tan(90)α+，化简求值即可得到答案.【详解】由30x =α，则tan α=将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，则sin(90)cos 1tan(90)cos(90)sin tan αααααα++===-=+-故新直线的斜率是故选：B.5．A 【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】因直线的倾斜角为45，则此直线的斜率tan 451k ==， 而直线过点(,2),(1,1)A m B ，因此，2111k m -==-，解得2m =， 所以m 的值为2. 故选：A6．A 【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.20my ++=的斜率为2tan 13m π=⇒=. 故选：A.7．D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线sin 10x y α-+=的倾斜角为θ，可得[]tan sin 1,1θα=∈-，所以θ的取值范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D8．A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线l 的斜率为k ，且1k <≤，tan 1α≤，因为[0,π)α∈， 2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.9．B 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l 的方程为sin 10x α+-=， 所以y x =+ 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B10．A 【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：直线PA 的斜率31221PA k -==-，直线PB 的斜率213314PB k --==--， 因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象可得直线l 的斜率k 的取值范围是34k ≤或2k ≥． 故选：A ．11．A 【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m . 【详解】因为直线l 的倾斜角为23π，所以斜率2tan33k π==-33m=-13m =.故选：A12．D 【解析】利用斜率公式可得出关于实数m 的等式与不等式，由此可解得实数m 的值.【详解】由斜率公式可得22223121210AB m m k m m m m ⎧--==⎪+-⎨⎪+-≠⎩，即22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.故选：D.13．B 【分析】确定C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B 且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为(132)，1yx +可看作ABC 内部及其边界上一点与点()1,0-的连线斜率， 当P 运动到点()1,3B 时，直线的斜率最大，故1y x +的最大值为33112=+故选：B.14．B 【分析】根据斜率的公式结合m 的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.【详解】根据题意，直线AB 的斜率1132m k m +==+-， 由331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得k 的取值范围为33⎡⎢⎣，即tan α的取值范围为33⎡⎢⎣． 又0180α︒≤<︒，则060α︒≤≤︒或150180α︒≤<︒． 故选：B ．15．A 【解析】直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出,PA PB 的斜率，从而得出直线l 的斜率的取值范围【详解】解：因为直线l 方程为10kx y k +--=，可化为(1)10k x y -+-=， 所以直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，如图所示， 则直线PA 的斜率为31421PA k --==--， 直线PB 的斜率为213314PB k --==--，则直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围为4k ≤-或34k ≥， 故选：A16．A 【分析】画出图象，对a 进行分类讨论，结合图象求得a 的取值范围. 【详解】直线20x ay +-=过点()2,0C ， 画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-， 由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意， 当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a-， 根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A17．A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交， 则34k ≥或4k ≤-， 故选：A18．A 【分析】分别求出,PB PA k k ，即可得到答案. 【详解】直线:12l yk x 经过定点()1,2P -.因为()()2,3,2,1A B --，所以()()()321215,21213PA PB k k -----====----, 所以要使直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，只需：PB PA k k k <<，即153k -<<.所以k 的取值范围是1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A19．A 【分析】设直线l 上任意一点()00,P x y ，再根据题意可得()2002,3P x y +-也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点()00,P x y ，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()1002,P x y +，再沿y 轴负方向平移3个单位，则1P 点移动后为()2002,3Px y +-． ∵2,P P 都在直线l 上，∴直线l 的斜率00003322k y y x x --=-+-=．故选：A ．20．D 【分析】根据tan k α=，利用斜率的范围，求角的范围.【详解】直线l 的倾斜角为α，则[)0,a π∈，由13k -≤<1tan 3α-≤<∴30,,34a πππ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．故选：D ．21．B 【分析】设(,0)P x ，根据直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，列出方程，即可求得答案.【详解】设(,0)P x ，而(2,1),(7,5)A B -，则12PA k x =--，57PB k x=-， ∵直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍， ∴15227x x=⨯---，解得3x =-，即点P 的坐标为()3,0-， 故选：B ．22．C 【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C23．A 【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【详解】如图所示，直线PA的斜率为21110PAk-+==--，直线PB的斜率为11120PBk+==-．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率[1,1]k∈-．故选：A．24．B【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围. 【详解】如下图示，当直线l过A时，31421k--==--，当直线l过B时，211314k-==---，由图知：4k≤-或14k≥-.故选：B25．D 【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】对于A ，当π2α=时，直线的斜率不存在，故A 不正确；对于B ，当π4α=-时，斜率为1-，倾斜角为3π4α≠，故B 不正确； 对于C ，平行于x 轴的直线的倾斜角为0，故C 不正确； 对于D ，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的. 故选：D 26．(1)a ＝1； (2)()1,+∞； (3)(),1-∞.【分析】（1）解方程2a ＝2即得解； （2）解不等式201a >-即得解； （3）解不等式201a <-即得解. （1）解：当直线l 的倾斜角为直角时，2a ＝2，解得a ＝1. （2）解：当1a ≠时，直线l 的斜率()312221k a a --==--. 令201a >-，则1a >，所以直线l 的倾斜角为锐角时，a 的取值范围为()1,+∞. （3）解：当1a ≠时，令201a <-，则1a <，所以直线l 的倾斜角为钝角时，a 的取值范围为(),1-∞. 27．C 【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，进而求解即可【详解】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥ 或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞， 故选：C ．28．[0°， 30°]∪[150°， 180°)．【分析】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M ，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M .当点P 在线段AM (含端点)上时，因为30AQM ∠=︒，所以0°≤α≤30°；当点P 在线段BM (含端点B 但不含端点M )上时，因为30BQM ∠=︒，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为[0°， 30°]∪[150°， 180°)． 29．B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得113m<-<m 的范围. 【详解】由题设知：直线斜率范围为3)，即113m <-<31m -<<故选：B.30．C 【分析】根据直线1l 的斜率求出其倾斜角可求得答案. 【详解】设直线1l 的倾斜角为α，所以tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，因为直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°， 所以直线2l 的倾斜角为30， 则直线2l 的斜率为3tan 303=31．B 【分析】由倾斜角和斜率的定义得tan OA k α=，tan 2k α=，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，tan OA k α='m 的倾斜角为2α，故22tan tan 21tan1k ααα====---故选：B32．B 【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的斜率k =l 的倾斜角90α≠，于是得[)tan 0,ααπ∈，解得60α=， 所以直线l 的倾斜角为60. 故选：B33．B 【分析】根据直线上两点求出斜率，从而可得倾斜角.【详解】解：由直线l 经过()0,0O ，(A 两点，得直线的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为3π. 故选：B.34．C 【详解】设直线l 的倾斜角为α，由题意可得直线l 的斜率k ==tan α=∵)0,180α⎡∈⎣，∴直线l 的倾斜角为120︒，35．D 【分析】求出直线20ax y ++=经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D36．D 【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点， 则直线l 的斜率满足PA PB k k k ≤≤， 因为1,1PA PB k k =-=， 所以k 的取值范围为[]1,1-. 故选：D37．ACD 【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan 33k π==3π，故D 错误；故选：ACD38．ABD 【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A ：两条相交直线时，其所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故A 正确； 对于B ：若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-，故B 正确；对于C ：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C 不正确；对于D ：设直线11y k x b =+的倾斜角为1θ，直线22y k x b =+的倾斜角为2θ， 则1122tan ,tan k k θθ==，所以()1221121212tan tan tan tan 1+tan tan 1k kk k θθαθθθθ--=-==+，故D 正确，故答案为：ABD.39．AC 【分析】A ：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B ：当θ＜4π时，4πθ-＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C ：3(3)2(2)y y x x +--=+--可看作(x ，y )与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D ：两直线垂直，则122πθθ-=，据此即可判断．【详解】①向量()3,3m =-在直线l 上，则直线l 的斜率为33-，故直线倾斜角为56π，故A 正确；②若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则4π≤θ＜π时，直线1l 的倾斜角为4πθ-；当0≤θ＜4π时，直线1l 的倾斜角为π＋(4πθ-)＝34πθ+；故B 错误； ③若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，设A (－1，4)，B (1，2)， 则代数式3(3)2(2)y y x x +--=+--表示线段AB 上任意一点(x ，y )和点C (－2，－3)连线的斜率，由图可知，[]3(3),2(2)BC AC y y k k x x +--=∈=+--5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； ④若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则10θπ≤<，20θπ≤<，20πθ-<-≤， ∴12πθθπ-<-<，则()1212sin 12πθθθθ-=⇒-=12l l ⇒⊥；当12l l ⊥时，121222ππθθθθ-=⇒-=±；故()12sin 1θθ-=是12l l ⊥充分不必要条件，故D 错误﹒ 故选：AC ﹒40．AC 【分析】分别在0135α≤<和135180α<<求得旋转后倾斜角即可. 【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-. 故选：AC.41．AC 【分析】设(0,1)P -，求出,AP BP k k ，由数形结合求解即可. 【详解】设(0,1)P -, 则121(1)1,10120AP BP k k -+--==-==--， 如图，由图可知，当11k -≤≤时，直线l 与线段AB 相交， 故选：AC42．ABD 【分析】利用正切函数的图象判断选项AC 的真假； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； 举反例说明选项D 错误.【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C. 若直线倾斜角243，，则斜率k 的取值范围是([),31,-∞⋃+∞，所以该选项正确； D. 若直线的斜率为7tan 3π，则但是直线的倾斜角为不是73π，而是3π，所以该选项错误. 故选：ABD43．AB 【分析】由题可得PM k k ≤或PN k k ≥，即可求出. 【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--， 直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥． 故选：AB ．44．AC 【分析】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，利用斜率计算公式可得AP k 和AQ k ，由直线20ax y ++=与线段PQ 相交，利用斜率关系即可求出a 的范围，进而结合选项即可求出结果.【详解】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，斜率为a -，321202AP k -+==--，22433AQ k +==，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，由图象可知，1423a--， 则4132a-，符合条件的为选项AC ．故选：AC ．45．－2(答案不唯一)【分析】根据图形结合斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式，求出正方形某边的斜率即可.【详解】由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形OABC ，其中对角线OB 所在直线的斜率为3．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 3θ=，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OC 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 451tan 451tan tan 452OA k θθθ-︒=-︒==+︒，()tan tan 45tan 4521tan tan 45OC k θθθ+︒=+︒==--︒，故答案为：－2（答案不唯一）．46．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】分4590α<<、90α=、90135α<<三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得k 的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当4590α<<时，()tan 1,k α=∈+∞； 当90α=时，k 不存在；当90135α<<时，()tan ,1k α=∈-∞-. 综上，k 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞. 故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.47．15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率， 因为4(1)52(1)1,2(1)35(1)6AC BC k k -----====----- 所以由图可知11y x ++的取值范围是15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦48．3,A B 两点求得得斜率与倾斜角的正切值5tan π6相等可求得m .【详解】因直线AB 的倾斜角为5π6，则其斜率53tan π6==k又由(3,1)+A m ，42()1B m +,， 则AB 的斜率(21)(1)43+-+==-m m k m ，则有3m = 故答案为：349．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，再由211y x ++的几何意义，即线段AB 上的动点M 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍求解；【详解】解：如图，函数28y x =-+，[]2,5x ∈表示线段AB 其中(5,2)A -，(2,4)B ，1221211y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=++的几何意义为线段AB 上的动点(),M x y 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍，1212514PAk -+==-+，1432212PB k +==+，∴1342PM k -≤≤∴211y x ++的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦50．①②③【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误； 对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误. 故答案为：①②③.51．12-或5【分析】根据斜率相等可求出结果.【详解】因为142AC a a k --=--216a -=，所以该直线斜率存在， 又211121AB a a a k a a +-+==+--，根据题意得21161a a a -+=-，解得12a =-或5a =. 故答案为：12-或5.52．(1)0AB k =，BC k AC k =，直线AB 的倾斜角为0，直线BC 的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．(2),63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可. （1）由斜率公式，得1101(1)AB k -==--，311321BC k +-==-，31132(1)3AC k +-==--，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0, ，所以直线AB 的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π． （2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时CD k 由AC k 增大到BC k ，所以CD k 的取值范围为3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即直线CD 的倾斜角的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．53．(]2,2,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先判断直线l 所过定点，再数形结合求k 的取值范围【详解】()12012kx y k y k x -++=⇒-=+故直线过定点()2,1T - 如下图所示：()112235TPk --==---，()13223TQk -==---- 若直线l 与线段恒有公共点，则TQ k k ≤或TP k k ≥即(]2,2,5k ∞∞⎡⎫∈--⋃-+⎪⎢⎣⎭54．（1）2-；（23(31)+（3）2m <或3m >．【分析】（1）由斜率公式计算斜率后可得；（2）由斜率公式计算斜率，由斜率等于tan 60︒可得； （3）由斜率公式计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系可得． 【详解】（1）由题意36121m m-=+，2m =-； （2）由题意221tan 60m m m ++=︒+，解得3(31)m +=； （3）由题意3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．55．(1)答案见解析(2)2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分斜率存在和不存在两种情况求解即可，（2）利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 (1)当1m =-时，直线AB 的斜率不存在， 当1m ≠-时，直线AB 的斜率321(1)1k m m -==--+，(2)当1m =-时，2πα=，当1m ≠-时，11k m =+，因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1m ≠-，所以1m ≤+≤10m +≠，所以11m ≤+11m ≥+tan α≤tan α， 所以2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

直线的倾斜角、斜率和直线方程1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为[)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 注意：直线的斜率tan k α=（2πα≠）关于倾斜角α的函数的图像4、直线方程直线方程的五种形式注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（斜率k 存在时）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

注意：经过任意两个不同点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示x5、直线与直线的位置关系：平面内两条直线的位置关系有三种 、 和 （1）．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定（2）、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．6、点到直线的距离、直线与直线的距离（1）、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）、两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =（3）、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式是 。

直线方程式的斜率公式直线是几何学中最基本的图形之一，它可以用方程式表示。

直线方程式的斜率公式是一种能够计算直线斜率的方法。

在解决几何学和代数学问题时，直线方程式的斜率公式具有重要的应用价值。

斜率的定义在开始理解直线方程式的斜率公式之前，我们先来了解一下斜率的定义。

在坐标平面上，斜率（slope）是指直线的倾斜程度或者说是直线上两点之间垂直距离和水平距离的比值。

斜率通常用字母m表示，可以通过如下公式计算：斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点的坐标。

直线方程式的斜率公式直线方程式可以有多种形式，其中最常见的两种是一般式和斜截式。

一般式一般式直线方程可以写为Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 是常数。

为了计算斜率，我们需要将一般式方程转换为斜截式方程。

斜截式斜截式方程可以写为y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。

斜截式方程提供了更直观的直线表示方法，斜率可以直接从方程中读取。

斜截式方程是我们计算直线斜率的起点。

但是，在某些情况下，我们可能只有一般式方程。

为了计算斜率，我们首先需要将一般式方程转换为斜截式方程。

从一般式方程计算斜率要将一般式方程转换为斜截式方程，我们需要遵循以下步骤：1.将一般式方程移项，将其变为Ax + By = -C的形式。

确保 x 和 y 的系数为整数。

2.将方程两边同时除以 B，得到y = -A/B * x - C/B的形式。

3.根据斜率公式，我们可以得到直线的斜率为-A/B。

因此，我们将一般式方程转换为斜截式方程后，斜率就可以直接读取。

举例说明让我们通过一个实际的例子来说明如何计算直线方程的斜率。

假设我们有一条直线，其一般式方程为2x + 3y = 6。

现在我们将其转换为斜截式方程，并计算斜率。

首先，我们将方程进行移项，得到2x + 3y = 6。

将方程两边同时除以 3，得到(2/3)x + y = 2。

第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --= ； 三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k =2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 截距式方程为1=+by a x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax .3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=;③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=;④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线023tan =++y x π的倾斜角α是 A.3π B. 6π C. 32π D. 3π- 点拨:转化为: 已知),0[,3tan tan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大; ②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3k θ=，故：k ≤≤当03k ≤≤时，直线的倾斜角α满足：06πα≤≤当0k ≤<时，直线的倾斜角α满足56παπ≤< 所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x 且，当1)(0><x f x 时，，方程 a ax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C（3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。