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人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。
本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。
同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。
3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数图象的绘制和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。
六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。
让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。
同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。
操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。
26.1.2《反比例函数的图像和性质》教材分析众所周知，函数知识是中学代数的核心内容，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数之一，反比例函数这部分的体系和安排，基本上与一次函数部分相同，教学中要注意和一次函数，尤其是正比例函数对比，引导学生从函数的意义，自变量的取值范围，图象的形状等方面辨明相应的区别。
《反比例函数的图像和性质》在反比例函数这部分的第二小节，是在学生学习了反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的。
反比例函数图像与一次函数图像不同，研究方法更具有一般性和代表性。
《反比例函数的图像和性质》分两课时完成：第一课时，主要内容反比例函数的图像和性质；第二课时;反比例函数与一次函数的图像和性质对比，确定反比例函数的表达式，本课为第一课时主要内容为探究反比例函数的图像和性质。
学情分析此时学生已经学习了函数及其图像的初步知识，及系统的研究了一次函数和二次函数的概念，图像，性质以及简单应用。
学生研究函数的基本方法有一些初步的了解。
但是反比例函数图像分两支，与一次函数、二次函数图像有很大的差别，学生很容易走进误区。
教学目标分析知识与技能（1）进一步熟悉作函数图像的主要步骤和注意事项；（2）会用描点法画反比例函数图像；（3）理解反比例函数的图像与性质。
过程与方法(1)学生通过自己动手，列表，描点，连线，提高学生的作图能力；(2)通过观察反比例函数图像,分析、探究反比例函数的性质，培养学生探究、归纳及概括的能力。
体会数形结合思想和分类讨论思想。
情感与态度通过对本节课的学习，让学生感受双曲线对称美，有限和无限思想，激发他们对数学学习的兴趣；教学重、难点分析基于本节课的教学内容和教学目标，结合学生学情。
确定本节课的重难点如下：重点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
难点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
教法学法分析学法：学生已经研究了一次函数、二次函数，对研究函数的图像和性质的思想方法有所了解，学生可以通过类比的方法学习，实现知识的迁移。
反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质1．下列四个点中，在反比例函数y ＝－6x的图象上的是( A )A ．(3，－2)B ．(3，2)C ．(2，3)D ．(－2，－3)2．当x >0时，函数y ＝－5x的图象在( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3. 已知点P (1，－3)在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上，则k 的值是( B )A ．3B ．－3 C.13 D ．－134.已知两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)在反比例函数y ＝3x的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是( A )A ．0＜y 1＜y 2B ．0＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜05. 如图26－1－1，点B 在反比例函数y ＝2x(x >0)的图象上，横坐标为1，过B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为( B )图26－1－1A ．1B ．2C ．3D ．46. 请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：__答案不唯一，如y ＝－1x__．7．点(2，y 1)，(3，y 2)在函数y ＝－2x的图象上，则y 1__<__y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．8．若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为__(1，－2)__．9．如图26－1－2，已知A 点是反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上一点，AB ⊥y 轴于B ，且△ABO 的面积为3，则k 的值为__6__．图26－1－210. 在平面直角坐标系中，O 是原点，A 是x 轴上一点，将射线OA 绕点O 旋转，使点A 与双曲线y ＝3x上的点B 重合．若点B 的纵坐标是1，则点A 的横坐标是__2或－2__． 解： 如图所示，∵点A 与双曲线y ＝3x上的点B 重合，点B 的纵坐标是1，∴点B 的横坐标是3， ∴OB ＝12＋（3）2＝2，∵A 点可能在x 轴的正半轴也可能在负半轴， ∴A 点坐标为(2，0)，(－2，0)． 故答案为2或－2.11.已知反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A (2，3)．(1)求这个函数的解析式；(2)判断点B (－1，6)，C (3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；(3)当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．解：(1)∵反比例函数y ＝kx的图象经过点A (2，3)，把点A 的坐标(2，3)代入解析式，得3＝k2，解得k ＝6.∴这个函数解析式为y ＝6x.(2)分别把点B ，C 的坐标代入y ＝6x，可知点B 的坐标不满足函数解析式，点C 的坐标满足函数解析式， ∴点B 不在这个函数的图象上，点C 在这个函数的图象上． (3)∵当x ＝－3时，y ＝－2，当x ＝－1时，y ＝－6， 又由k ＞0知，在x ＜0时，y 随x 的增大而减小， ∴当－3＜x ＜－1时，－6＜y ＜－2.12. 如图26－1－3，Rt △ABC 的斜边AC 的两个顶点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，点B 在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AB 与x 轴平行，BC ＝2，点A 的坐标为(1，3)．(1)求C 点的坐标；(2)求点B 所在函数图象的解析式．图26－1－3解：(1)把点A (1，3)代入反比例函数y ＝k 1x得k 1＝1×3＝3， 所以过A 点与C 点的反比例函数解析式为y ＝3x，∵BC ＝2，AB 与x 轴平行，BC 平行于y 轴， ∴B 点的纵坐标为3，C 点的纵坐标为1， 把y ＝1代入y ＝3x得x ＝3，∴C 点坐标为(3，1)； (2)∵BC 平行于y 轴，BC ＝2∴B 点横坐标为3 ∴B 点坐标为(3，3)， 把B (3，3)代入反比例函数y ＝k 2x得k 2＝3×3＝9， 所以点B 所在函数图象的解析式为y ＝9x.13.如图26－1－4，等边三角形ABC 放置在平面直角坐标系中，已知A (0，0)、B (6，0)，反比例函数的图象经过点C .图26－1－4(1)求点C 的坐标及反比例函数的解析式．(2)将等边△ABC 向上平移n 个单位，使点B 恰好落在双曲线上，求n 的值。
解：(1)过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H . ∴AH ＝12AB ＝3，∴CH ＝AC 2－AH 2＝33， ∴C (3，33)．设反比例函数的解析式为y ＝k x， ∴k ＝xy ＝93，即y ＝93x；(2)∵将等边△ABC 向上平移n 个单位，使点B 恰好落在双曲线上， ∴设此时的点B 坐标为(6，n )，∴6n ＝93，解得n ＝323.14．如图26－1－5，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝kx(x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D .(1)求k 的值；(2)若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．图26－1－5解：(1)依题意知2＝4m，解得m ＝2，∴A (2，2)，代入y ＝kx －k 得2＝2k －k ，解得k ＝2，所以一次函数的解析式为y ＝2x －2.则k ＝2. (2)依题意，S △PAB ＝12×PC ×4＝4，∴PC ＝2，∴P 1(－1，0)，P 2(3，0)．∴ S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2；（x ＞1）2－2x ；（0＜x ＜1）15.(1)先求解下列两题：①如图①，点B ，D 在射线AM 上，点C ，E 在射线AN 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，已知∠EDM ＝84°，求∠A 的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC ＝2，点D 在AC 上，且横坐标为1，若反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过点B ，D ，求k 的值．(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．图26－1－6解：(1)①∵AB ＝BC ＝CD ＝ED ，∴∠A ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠BDC ，∠ECD ＝∠CED而∠A ＋∠BCA ＝∠CBD ，∠A ＋∠CDB ＝∠ECD ，∠A ＋∠CED ＝∠EDM 设∠A ＝x ，则可得x ＋3x ＝84°，则x ＝21°，即∠A ＝21°②点B 在反比例函数图象上，设点B (3，k 3)，∵BC ＝2，∴C (3，k3＋2)∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，∴D (1，k3＋2)∵点D 也在反比例函数图象上 ∴k3＋2＝k ，解得k ＝3. (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法。
(开放题)第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 [见B 本P62]1.已知点A (1，y 1)、B (2，y 2)、C (－3，y 3)都在反比例函数y ＝6x的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( D ) A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 2＜y 1【解析】 方法一：分别把各点代入反比例函数y ＝6x求出y 1、y 2、y 3的值，再比较出其大小即可．方法二：根据反比例函数的图象和性质比较．解：方法一：∵点A (1，y 1)、B (2，y 2)、C (－3，y 3)都在反比例函数图象上，∴y 1＝61＝6；y 2＝62＝3；y 3＝6－3＝－2，∵6＞3＞－2，∴y 1＞y 2＞y 3.故选D.方法二：反比例函数y ＝6x的图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．A (1，y 1)、B (2，y 2)在第一象限，因为1<2，所以y 1>y 2，又C (－3，y 3)在第三象限，所以y 3<0，则有y 1>y 2>y 3，故选D.2. 若函数y ＝m ＋2x的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是( A ) A ．m <－2 B ．m <0 C ．m >－2 D ．m >03. 如图26－1－7，函数y 1＝k 1x与y 2＝k 2x 的图象相交于点A (1，2)和点B ，当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围是( C ) A ．x ＞1 B ．－1＜x ＜0C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜－1或0＜x ＜1图26－1－7图26－1－84．若反比例函数y ＝kx的图象过点(－2，1)，则一次函数y ＝kx －k的图象过( A )A ．第一、二、四象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、三象限5. 如图26－1－8，正比例函数y 1与反比例函数y 2相交于点E (－1，2)，若y 1＞y 2＞0，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )6. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数y ＝6x的图象交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，那么(x 2－x 1)(y 2－y 1)的值为__24__．7. 汽车匀速行驶在相距S 千米的甲、乙两地之间，图26－1－9是行驶时间t (h)与行驶速度v (km/h)函数图象的一部分．图26－1－9(1)求行驶时间t (h)与行驶速度v (km/h)之间的函数关系。
(2)若该函数图象的两个端点为A (40，1)和B (m ，0.5)．求这个函数的解析式和m 的值；(3)若规定在该段公路上汽车的行驶速度不得超过50 km/h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 解：(1)把(40，1)代入t ＝k v，得k ＝40，∴行驶时间t (h)与行驶速度v (km/h)之间的函数关系式是t ＝40v，故答案为t ＝40v.(2)由(1)得出：函数的解析式为t ＝40v，把(m ，0.5)代入t ＝40v ，0.5＝40m，解得：m ＝80；(3)把v ＝50代入t ＝40v，得t ＝0.8，答：汽车通过该路段最少需要0.8小时．8．已知反比例函数y ＝k －1x(k 为常数，k ≠1)(1)其图象与正比例函数y ＝x 的图象的一个交点为P 。
若点P 的纵坐标是2，求k 的值；(2)若在其图象的每一支上，y 随x 的增大而减少，求k 的取值范围； (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当y 1>y 2时，试比较x 1与x 2的大小．解：(1)由题意，设点P 的坐标为(m ，2)． ∵点P 在正比例函数y ＝x 的图象上， ∴2＝m ，即 m ＝2. ∴点P 的坐标为(2，2)．∵点P 在反比例函数y ＝k －1x的图象上，∴2＝k －12，解得k ＝5.(2)∵在反比例函数y ＝k －1x 图象的一支上，y 随x 的增大而减小，∴k －1>0，解得k >1.(3)∵反比例函数y ＝k －1x图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上y 随x 的增大而增大．∵点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的第二象限的图象上，且y 1>y 2，所以x 1>x 2.9．已知k 1<0<k 2，则函数y ＝k 1x －1和y ＝k 2x的图象大致是( A )10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－1－10所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为( B )图26－1－1011．已知正比例函数y ＝ax 与反比例函数y ＝bx 的图象有一个公共点A (1，2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图26－1－11第11题答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ，所以y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，所以y ＝2x.(2)画草图如下：由图象可知：当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．12. 如图26－1－12，函数y 1＝－x ＋4的图象与函数y 2＝k 2x(x >0)的图象交于A (a ，1)，B (1，b )两点．(1)求函数y 2＝k 2x的表达式；(2)观察图象，比较当x >0时，y 1与y 2的大小．图26－1－12第12题答图解：(1)把点A 坐标代入y 1＝－x ＋4，得a ＝3，∴k 2＝3.∴y 2＝3x.(2)由图象可知，当0<x <1或x >3时，y 1<y 2，当x ＝1或x ＝3时，y 1＝y 2，当1<x <3时，y 1>y 2.13．如图26－1－13，一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)与反比例函数y ＝m x(m ≠0)的图象有公共点A (1，2)．直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B ，C .图26－1－13(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．解：(1)将A (1，2)代入一次函数解析式得：k ＋1＝2，即k ＝1， ∴一次函数解析式为y ＝x ＋1；将A (1，2)代入反比例函数解析式得： m ＝2， ∴反比例解析式为y ＝2x；(2)设一次函数与x 轴交于D 点，令y ＝0，求出x ＝－1，即OD ＝1， ∴A (1，2)， ∴AE ＝2，OE ＝1， ∵N (3，0)，∴则B 点横坐标为3，将x ＝3代入一次函数得：y ＝4，将x ＝3代入反比例解析式得：y ＝23，∴B (3，4)，即ON ＝3，BN ＝4，C (3，23)，即CN ＝23，则S △ABC ＝S △BDN －S △ADE －S 梯形AECN ＝12×4×4－12×2×2－12×(23＋2)×2＝103.。
