【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业：2-1 函数及其表示]

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．(2013年高考江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，故此时不存在实数a 满足条件；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.答案：A3．(2014年浙江五校联考)若函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D.()0，＋∞解析：根据题意知log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0. 答案：A4．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解． 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.答案：D5．已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11D ．10解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C6．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足． 答案：B 二、填空题7．(2013年高考安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：设－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)8．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0，恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1) 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解析：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b ，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则有a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 令x ＝－x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， (x ≥0)，－1 (x <0)，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解析：当x ≥0时，g (x )＝x 2，f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1，f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1 (x ≥0)，－3 (x <0).∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧(2x －1)2， (x ≥12)，－1， (x <12).12．(能力提升)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝030k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0∴y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝260k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110b 2＝－2，∴y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ， x ∈[0，30]2， x ∈(30，40).110x －2， x ∈[40，60]。

2-1函数及其表示A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( )．A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝e x解析 由y ＝1x可得定义域是{x |x ＞0}．f (x )＝ln x 的定义域是{x |x ＞0}；f (x )＝1x 的定义域是{x |x ≠0}；f (x )＝|x |的定义域是x ∈R ；f (x )＝e x 定义域是x ∈R .故选A. 答案 A2．(★)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )．解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B【点评】 本题解题利用的是筛选法，即根据题设条件筛选出正确选项，这种方法在选择题中经常应用.3．(2010·陕西) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12B.45 C ．2 D ．9 解析 f (f (0))＝f (2)＝4＋2a 由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2. 答案 C4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝( )．A ．－13 B.13 C ．－23D.23解析 由图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1＜x ＜0)，x －1 (0＜x ＜1).∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13. 答案 B5．(2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2； 当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－34.答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．解析 f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，|2x －1|＋x ＋3≤5⇔|2x －1|≤2－x ⇔x －2≤2x －1≤2－x ⇔⎩⎨⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ，∴－1≤x ≤1.答案 6 －1≤x ≤17．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 解析 g (1)＝3 f [g (1)]＝1 g [f (1)]＝3g (2)＝2 f [g (2)]＝3 g [f (2)]＝1 g (3)＝1 f [g (3)]＝1 g [f (3)]＝3因此满足f (g (x ))>g (f (x ))的x ＝2. 答案 1 28．若函数f (x )＝ 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 ∵y ＝ 的定义域为R ， ∴对一切x ∈R 都有2x 2＋2ax －a ≥1恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a 2＋4a ≤0， ∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0] 三、解答题(共23分)9．(11分)求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg (4－x )x －3； (2)y ＝25－x 2－lg cos x ； (3)y ＝lg(x －1)＋lgx ＋1x －1＋19－x. 解 (1)⎩⎨⎧4－x ＞0x －3≠0，⇒x ＜4且x ≠3，故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)⎩⎨⎧25－x 2≥0，cos x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，故所求定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x ＋1x －1＞0，9－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞1，x ＞1，x ＜9或x ＜－1，解得1＜x ＜9.故该函数的定义域为(1,9)．10．(12分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝ 1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .解(1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1－2x －1≥0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}； (2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >32. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·济南模拟)如下图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )．解析 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D 选项符合条件． 答案 D2．(★)(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )． A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25D ．60,16解析 (回顾检验法)∵c A＝15，故A ＞4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，将c＝60，A ＝16代入解析式检验知正确．故选D. 答案 D【点评】 解决分段函数的关键在于“对号入座”，解出结果后代入对应解析式检验是否正确.二、填空题(每小题4分，共8分) 3．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________． 解析 据题意可得f [f (x )]＝11x ＋1＋1，若使函数有意义只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2，故函数的定义域为{x |x ≠－1且x ≠－2}． 答案 {x |x ≠－1，且x ≠－2}4．(2011·四川)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题： ①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析 对①，f (x )＝x 2，则f (－1)＝f (1)，此时－1≠1，则f (x )＝x 2不是单函数，①错；对②，当x 1，x 2∈A ，f (x 1)＝f (x 2)时有x 1＝x 2，与x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)互为逆否命题，②正确；对③，若b ∈B ，b 有两个原象时．不妨设为a 1，a 2可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f (x )＝x 2在R 上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确． 答案 ②③三、解答题(共22分)5．(10分)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1， x >0，2－x ， x <0，(1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式．解 (1)g (2)＝1，f [g (2)]＝f (1)＝0. f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f [g (x )]＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f [g (x )]＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.即f [g (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.g [f (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2，x <－1，或x >1，3－x 2，－1<x <1.6．(12分)(2012·唐山一中月考)已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3， 又f (x )＋g (x )为奇函数，∴a ＝1，c ＝3. ∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b 2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数， ∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．当－1＜－b2＜2，即－4＜b ＜2时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝3－b 24＝1，∴b ＝±2 2.∴b ＝－22，此时f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时，f (x )在[－1,2]上为增函数， ∴f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1. ∴b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3，或f (x )＝x 2＋3x ＋3.。

第 2章 第 1节学科王课时作业【考点排查表】考 查 考 点 及 难度及题号学科王错题记录学科王角度 基础 中档 稍难函数与映照 29的观点求函数的定 1 3,1113义域函数的表示 4,76,105,8,12方法一、选择题1．函数 y ＝x － 1＋ ln(2－ x)的定义域是 ()A ．[1，＋ ∞)B ．(－ ∞，2)C ． (1,2)D ． [1,2)【分析】要使函数存心义，只须x － 1≥0x ≥12－ x>0 ，即 ，x<2∴ 1≤x<2. 【答案】D2．以下各图形中，是函数图象的是()【分析】 由函数的观点知： D 正确．【答案】Dmx － 1的定义域为R ，则实数 m 的取值范围是3． (2012 瑞·安高三考试 )若函数 y ＝ mx2 ＋ 4mx ＋ 3()3A ． (0，4)B ． ( －∞， 0)∪ (0，＋ )C ． (－ ∞， 0]∪ [3，＋ ∞)D ．[0，3)44 【分析】 依题意，函数的定义域为 R ，即 mx2 ＋ 4mx ＋ 3≠0恒建立．①当 m ＝ 0 时，得 3≠0，故 m ＝ 0 合适，可清除A 、B.②当 m ≠0时， 16m2－ 12m<0 ，3 3得 0<m<，综上可知 0≤m< ，清除 C.44【答案】D14．已知函数 f(x) 的图象是两条线段 (如图，不含端点 )，则 f[f(3)]＝()11 A ．－3B.322 C ．－ 3D. 3x ＋ 1－ 1<x<0【分析】由图象知 f(x) ＝.x － 10<x<1∴ f( 1)＝1－ 1＝－ 2，3 33∴ f[f( 1 )] 22 13 ＝ f( － )＝－＋ 1 ＝ .3 33【答案】 B5． (2012 ·庆高考重 )设平面点集 A ＝x ， y|y －xy － 1≥0，xB ＝ {x ， y | x － 12＋}y － 1 2≤1，则 A ∩B 所表示的平面图形的面积为 ()33A. 4πB. 5π4πC. 7πD. 21y － x ≥0 y － x ≤0【分析】≥0可知1 或许 1 ，在同一坐标系中做出平面区 由 (y － x) y － xy － x ≥0y － x ≤0域如图：由图象可知 A ∩B 的地区为暗影部分，依据对称性可知，两部分暗影面积之和为圆面积的一π半，所以面积为，选 D.2【答案】Dx ＋ 2，x ≤0≥x2的解集为 ()6．已知函数，则不等式 f(x)f(x)＝－ x ＋ 2， x>0A ．[－1,1]B ． [ －2,2]C ． [－ 2,1]D ． [－ 1,2]【分析】当 x ≤0时，不等式 f(x)x ＋ 2≥ x2，所以－ 1≤x ≤0；≥x2化为 x ＋ 2≥x2，即x ≤0当 x>0 时，不等式 f(x)≥x2化为－ x ＋2≥x2，即 －x ＋ 2≥x2x>0，所以 0<x ≤1.综上可得不等式的解集为 [－ 1,1] ．【答案】A二、填空题1， x ＞ 01， x 为有理数7 ． (2012 ·建高考福 )设 f(x) ＝0， x ＝0，则 f(g( π的))值为， g(x) ＝x 为无理数－ 1， x ＜ m0，________ ．【分析】 π是无理数，所以 g( π)＝0， f(g( π＝)) f(0) ＝ 0.【答案】f 2 f 4 f 6 f 2 0068 ．假如 f(a ＋ b) ＝ f(a) f(b)· ，且 f(1) ＝ 2 ，则 f 1 ＋ f 3 ＋ f5 ＋ ＋ f2 005 ＋f 2 008 ＋f2 010＋f2 012 ＝ ________. f2 007 f2 009f2 011【分析】f(2) ＝ f(1)f(1) ＝22， f2＝2，f 1f(3) ＝ f(1)f(2) ＝ 23，f(4) ＝ f(2)f(2) ＝ 24，f4f2 012f 3 ＝ 2， f 2 011 ＝ 2. ∴原式＝ 2×1 006＝2 012. 【答案】 2 0129．映照 f ： {1,2,3} → {1,2,3,4}知足 f(x) ＝ x ，则这样的映照 f 共有 ________个．【分析】由映照的定义知，会合 {1,2,3} 的每一个元素在 f 的作用下都有独一的元素与之对应，且 f(x) ＝ x ，所以只有 f(1) ＝ 1， f(2) ＝ 2， f(3)＝ 3 一个映照切合条件． 【答案】 1三、解答题2x ＋ a ， x ＜1，10．已知实数 a ≠0，函数 f(x) ＝ － x － 2a ， x ≥1.若 f(1 －a)＝ f(1 ＋a)，求 a 的值．【解】(1)当 a ＜0 时， 1－ a ＞ 1,1＋ a ＜ 1，所以 f(1－ a)＝－ (1－ a)－ 2a ＝－ 1－ a ；f(1 ＋ a)＝ 2(1＋a)＋ a ＝ 3a ＋ 2.由于 f(1－ a)＝ f(1 ＋ a)，所以－ 1－ a ＝ 3a ＋2，3所以 a ＝－ 4.(2) 当 a ＞0 时， 1－ a ＜ 1,1＋ a ＞ 1，所以 f(1－ a)＝ 2(1－ a)＋ a ＝2－ a ； f(1 ＋ a)＝－ (1＋ a)－ 2a ＝－ 3a － 1. 由于 f(1－ a)＝ f(1 ＋ a)，3所以 2－ a ＝－ 3a － 1，所以 a ＝－ 2(舍去 )．3综上，知足条件的a ＝－ 4.11． (文)记 f(x) ＝ lg(2x － 3)的定义域为会合 2的定义域为会合N ，M ，函数 g(x)＝1－ x － 1求：(1) 会合 M 、N ；(2) 会合 M ∩ N 、 M ∪N.3【解】(1)M ＝ {x|2x － 3>0} ＝ {x|x> } ，2x － 3N ＝ {x|1 － x －1≥ 0}＝ {x| x － 1≥ 0}＝ {x|x≥3，或 x<1} ；3(2)M ∩N＝{x|x ≥ 3}， M ∪N ＝ {x|x<1 ，或 x> 2}( 理)记函数 f(x) ＝ x ＋ 3的定义域为 A ， g(x)＝ lg[(x －a － 1)(2a － x)](a<1) 的定义域为 B.2－x ＋ 1(1) 求 A ；(2) 若 B? A ，务实数 a 的取值范围．【解】 (1)2－ x ＋ 3 x － 1≥0，得 ≥0， x< －1 或 x ≥1，x ＋ 1 x ＋ 1 即 A ＝ (－∞，－ 1)∪ [1，＋ ∞)．(2) 由 (x － a － 1)(2a － x)>0 ，得 (x － a － 1)(x －2a)<0. ∵ a<1，∴ a ＋ 1>2a ，∴ B ＝ (2a ，a ＋ 1)．1 ∵ B ? A ，∴ 2a ≥1或 a ＋ 1≤－ 1，即 a ≥或 a ≤－2，2而 a<1，∴ 1≤ a<1或 a ≤－ 2，故当 B? A 时，实数 a 的取值范围是 (－ ∞，－ 2]∪ [1， 1)．2212．某摩托车生产公司上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元 / 辆，出厂价为 1.2 万元 /辆，年销售量为 1000 辆．今年度为适应市场需求，计划提升产品品位，适量增添投入成本．若每辆车投入成本增添的比率为 x(0＜x ＜ 1)，则出厂价相应提升的比率为 0.75x ，同时估计年销售量增添的比率为 0.6x ，已知年收益＝ (出厂价－投入成本 ) ×年销售量．(1) 写出今年度估计的年收益y 与投入成本增添的比率x 的关系式；(2) 为使今年度的年收益比上年度有所增添，问投入成本增添的比率 x 应在什么范围内？【解】(1)由题意，今年度每辆摩托车的成本为元 )，销售量为1＋ x(万元 )，而出厂价为1.2 ×(1＋ 0.75x)( 万1 000 ×(1＋ 0.6x)( 辆 )．故收益y ＝ [1.2 ×(1＋ 0.75x)－ 1×(1＋ x)] ×1000(1＋ 0.6x)(0 ＜ x ＜ 1)． 整理得 y ＝－ 60x2＋20x ＋ 200(0＜ x ＜ 1)．y －1.2－ 1× 1000＞ 0，(2) 要保证今年度的年收益比上年度有所增添，一定有0＜ x ＜1，则 －60x2＋ 20x ＞0，解得 0＜ x ＜1. 0＜ x ＜1.3∴投入成本增添的比率应在(0，13)范围内．四、选做题13． (文 )定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋ y)＝ f(x) ＋ f(y) ＋ 2xy(x ， y ∈ R) ，f(1) ＝ 2，则 f( － 3)等于 ( ) A ． 2 B ． 3C ．6D ．9 【分析】令 x ＝－ 3， y ＝ 1，则 f( －2) ＝f(1) ＋ f(－ 3)－ 6.又∵ f(1) ＝2，∴ f( － 3)＝ f( － 2)＋ 4.令 x ＝－ 2， y ＝ 1，则 f( －1)＝ f(1) ＋ f( － 2)－ 4. ∴ f( －2) ＝f( － 1)＋ 2.令 x ＝－ 1， y ＝ 1， f(0) ＝ f(－ 1)＋ f(1) －2，又 x ＝ y ＝ 0 时， f(0) ＝ 0，∴ f( － 1)＝0， ∴ f( －3) ＝f( － 2)＋ 4＝ f( －1)＋ 6＝ 6.应选 C.【答案】 C( 理)(2013 江·南十校联考 有 f(x1) ≤f(x2)，则称函数以下三个条件：) 函数 f(x) 的定义域为 D ，若关于随意 x1，x2∈ D ，当 x1＜ x2 时，都f(x) 在 D 上为非减函数．设函数 f(x) 在[0,1] 上为非减函数，且知足① f(0) ＝ 0；② f(1－ x)＋ f(x) ＝ 1；③ f x＝1f(x) ． 3 21 5则 f 3 ＋ f 12 的值为 ________．【分析】 由 f(0) ＝0 及 f(1－ x)＋ f(x) ＝ 1 得 f(1) ＝ 1，有 f1 1 1， f2 ＝ 1－f1 1 .3＝ f(1) ＝3 3 ＝222令 12，由 f(x) 为非减函数得 f 1 ≤ f(x) 2 3≤ x ≤3 ≤f33即当 12时，有 f(x)1，又 5∈ 1， 2，＝≤ x ≤2 123 333则 f 5＝ 1，故 f 1＋ f 5＝1.122312【答案】1。

课时作业(十三)1．函数f (x )＝x －4x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个答案 C解析 令f (x )＝0，解x －4x ＝0，即x 2－4＝0，且x ≠0，则x ＝±2.2．(2012·北京)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 因为y ＝x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12)x 在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x －(12)x 在定义域内有唯一零点，选B.3．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0,2]上( )A ．有两个零点B ．有三个零点C ．仅有一个零点D ．无零点 答案 C解析 由于f (x )＝x 3－x 2－x ＋1＝(x 2－1)(x －1)．令f (x )＝0，得x ＝－1,1.因此f (x )在[0,2]上仅有一个零点．4．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 借助余弦函数的图像求解．f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有π4，3π4，5π4，7π4，共4个根，故原函数有5个零点．5．(2014·唐山一中)“k>3”是“函数f(x)＝x－2，x∈[0，k]存在零点的”() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析若f(x)存在零点，则k≥2.6．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1] B．[1,2]C．[－2，－1] D．[－1,0]答案 D解析函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.7．函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点答案 B解析原函数f(x)＝x－cos x可理解为幂函数x 12与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且2π>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.8．方程2x－1＋x－5＝0的解所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析令f(x)＝2x－1＋x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴方程的解在(2,3)内．9．(2011·陕西)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．10．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 答案 A解析 只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．11．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D解析 由题意，得f (1e )·f (1)>0且f (1)·f (e)<0，又f ′(x )＝13－1x，当0<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(0,3)上单调递减．12．(2014·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析 设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.13．(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是________． 答案 1解析 f ′(x )＝2x ln2＋3x 2在(0,1)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又∵f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0，∴f (x )在区间(0,1)上存在一个零点．14．如果函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．答案 0，－12解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax (x ＋12)，则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12.15．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．答案 7解析 当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1，∵f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点．又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，∴f (x )在[0,6]上的与x 轴的交点个数为7.16．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点．答案 m ＝－2，零点是x ＝0解析 方法一：令2x ＝t ，则t >0，则g (t )＝t 2＋mt ＋1＝0仅有一正根，而g (0)＝1>0，故⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4＝0，－m 2>0.∴m ＝－2.方法二：令2x ＝t ，则t >0.原函数的零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根．∴t 2＋1＝－mt .∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)．有一个零点，即方程只有一根．∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时)，∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根．注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数．。

课时作业(十八)1．(2011·辽宁理)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)略 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎨⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则 g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 2．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．(其中，e 为自然对数的底数)．答案 (1)增区间(0，a )，减区间(a ，＋∞) (2)a ＝e 解析 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1， ①f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， ② 由①得a ≥e ；由②得a ≤e.因此a ＝e.故当e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立时，实数a 的值为e. 3．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 答案 (1)y ＝－6x ＋7 (2)2≤a ≤6 (3)m ＝h (4)＝－16ln2－24解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.4．(2014·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．答案(1)3x－3y－1＝0(2)减区间(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，增区间(1－m,1＋m)，极大值23m3＋m2－12，极小值－23m3＋m2－13(3)(23，＋∞)解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g(x)在x＝1＋m处取得极大值g(1＋m)＝f(1＋m)＋13，且g(1＋m)＝23m3＋m2.函数g(x)在x＝1－m处取得极小值g(1－m)＝f(1－m)＋13，且g(1－m)＝－23m3＋m2.根据三次函数的图像与性质，函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.5．(2014·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．答案 (1)23 (2)略 (3)a >ln2－1 解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.6．(2013·北京)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 答案 (1)a ＝0，b ＝1 (2)(1，＋∞)解析 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以函数f(f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．7．(2013·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．答案(1)a＝4，b＝2，c＝2，d＝2(2)[1，e2]解析(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k<e2，则－2<x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2)．从而当x>－2时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k>e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．。

课时作业(六)1．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)x D ．y ＝x ＋1x答案 A解析 ∵函数y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，y ′＝1x ＋2在(－2，＋∞)上大于0恒成立，(0，＋∞)⊆(－2，＋∞)．2．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A3．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a ，b ，若a ＋b >0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b ) 答案 A解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a . ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴选A. 4．函数f (x )＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减答案 B解析 f (x )可由－1x 沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示．5．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.6．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1.若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0.∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 答案 B10．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．答案 ②③11．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 12．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数图像如图.13．在给出的下列4个条件中，①⎩⎨⎧ 0<a <1，x ∈(－∞，0) ②⎩⎨⎧ 0<a <1，x ∈(0，＋∞) ③⎩⎨⎧ a >1，x ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧a >1，x ∈(0，＋∞)能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2)解析 当a >1且x 2－ax ＋12有最小值时，f (x )才有最小值log a 2－a 24，∴⎩⎨⎧a >1，Δ<0⇒1<a < 2.15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ≥0，－x ＋2，x <0，则满足不等式f (3－x 2)<f (2x )的x 的取值范围为________．答案 (－3,0)解析 作出f (x )图像如图．∵f (3－x 2)<f (2x )， ∴⎩⎨⎧3－x 2>2x ，2x <0. 解得－3<x <0. 16．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________． 答案 12解析 当x ＝0时，y ＝0. 当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x ， ∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12. 17．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)．∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知0<a≤1.。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

课时作业(四)一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠kπ，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．答案：D2．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3 解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1. 答案：B3．已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11 D ．10解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4 解析：(1)当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C5．(2013·重庆卷)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0x －2≠1，所以x >2且x ≠3，故选C.答案：C6．(2013·山东潍坊模拟)某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：由题意可得余数从7开始就应增加一名代表名额，故选B.答案：B 二、填空题7．(2013·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 3x ，x >0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝2－1＝12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f []f (1)>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3, f []f (1)＝f (3)＝32＋6a ，若f []f (1)>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．解析：由已知可得M ＝N ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 答案：4三、解答题10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有惟一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ， 又因方程有惟一解，故1－ba ＝0， 解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， 所以f (x )＝2xx ＋2.11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－1，x <0，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3，x <0.∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2， 当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2，x ≥12，－1，x <12.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． [热点预测]13．(1)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①(2)(2013·安阳模拟)函数y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )的定义域是________．解析：(1)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足．故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1所以定义域是 {x |－1≤x <1或1<x <2}．答案：(1)B (2){x |－1≤x <1或1<x <2}。