2004南昌二中奥数班选拔考试数学试卷 人教社

江西省南昌市其次中学2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题理一、选择题：（每小题只有一个正确答案，每题5分，12小题，共计60分） 1．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( ) A ．将一枚匀称正方体骰子掷两次，所得点数之和 B ．某篮球运动员6次罚球中投进的球数 C ．电视机的运用寿命D ．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数2. 已知下表为x 与y 之间的一组数据，若y 与x 线性相关，则y 与x 的回来直线y bx a =+必过点( )x 0 1 2 3 y1357A ．(2,2)B ．(1.5,0)C ．(1,2)D ．(1.5,4)3. 有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为()E X （ ） A ．2B ．2.5C ． 3D ．3.54. 命题:p 若0<x ，则0)1ln(<+x ，q 是p 的逆命题，则（ ）A. p 真，q 真B.p 真，q 假C.p 假，q 真D.p 假，q 假5. 已知三个正态分布密度函数()()22212i i x i ix eμσϕπσ--=（, 1,2,3i =）的图象如图所示则（ ）A ．123123==μμμσσσ<>，B ．123123==μμμσσσ><，C ．123123μμμσσσ=<<=，D ．123123==μμμσσσ<<， 6. 把边长为a 的正△ABC 沿BC 边上的高线AD 折成060的二面角,则点A 到BC 的距离是 ( ) A. a B.a 26 C.a 33 D.a 4157. 下列命题:①在一个2×2列联表中,由计算得k 2=6.679,则有99%的把握确认这两类指标间有关联.②若二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式中全部项的系数之和为243，则绽开式中4x -的系数是40③随机变量X 听从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=>④若正数,x y 满意230x y +-=,则2x yxy+的最小值为3.其中正确命题的序号为( )A.①②③B.①③④C.②④D.③④8. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，依据阅历，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在其次个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在其次个路口也遇到红灯的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5 9. 已知0,0>>y x ，且211x y+=，若对随意的正数y x ,,不等式m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥4或m ≤－2B.m ≥2或m ≤－4C.－2<m <4D.－4<m <2 10.已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为334，则a 的值为（ ） A.3 B.332C.32D.2311.已知2()-11f x ax x a x =+-≤≤（）,且||1a ≤,则|()|f x 的最大值为( ) A.54B. 34C.3D.112.已知函数()2321f x x x =--+, ()()517g x x x =--，若对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是( )A ．(]0,2B ．(]2,3C ．[]3,6D ．[)4,+∞二、填空题（每小题5分，共计20分）13.出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.31则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为 . （用分数表示）14.半径为R 的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为________ 15.设|3||2|)(-+-=x x x f ，若不等式121()a a f x a+--≥对随意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.16. “杨辉三角”是我国数学史上的一个宏大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除全部为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.三．解答题（共计70分）17.(本大题满分10分) 已知n绽开式中的倒数第三项的系数为45， 求：（Ⅰ）含3x 的项；（Ⅱ）系数最大的项．18.(本大题满分10分)（Ⅰ）解不等式：|1||2|5x x ++-≥. （Ⅱ）己知,,x y z 均为正数.求证：111.x y z yz xz xy x y z++≥++19. (本大题满分12分) 时下，租车自驾游已经比较流行了．某租车点的收费标准为：不超过2天收费300元，超过2天的部分每天收费100元（不足1天按1天计算）．甲、乙两人要到该租车点租车自驾到某景区巡游，他们不超过2天还车的概率分别为13和12，2天以上且不超过3天还车的概率分别为12和13，两人租车都不会超过4天． （Ⅰ）求甲所付租车费比乙多的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.20. (本大题满分12分) 继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也起先亮相南昌市，一款共享汽车在南昌供应的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，依据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的状况如下：FEDCBA以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[]65,15分钟.（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是全部可选择的交通工具中的一次最优选择，设ξ是4次运用共享汽车中最优选择的次数，求ξ的分布列和期望.（Ⅱ）若李先生每天上、下班均运用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.21. (本大题满分12分) 如图，棱长为a 的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 上的点，且,3aBE BF ==将,AED DCF ∆∆沿,DE DF 折起，使得,A C 两点重合于P ，设EF 与BD 交于M 点，过点P 作PO BD ⊥于O 点．（Ⅰ）求证：PO BFDE ⊥平面；（Ⅱ）求直线MD 与平面PDF 所成角的正弦值．22. (本大题满分12分) 2024年起先，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采纳3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的爱好爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参与考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，MOFEDBP某中学从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，依据性别分层，采纳分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．（Ⅰ）学校安排在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课状况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必需选择一个科目且只能选择一个科目），下表是依据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并推断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（Ⅱ）在抽取到的女生中按（1）中的选课状况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附参考公式及数据:22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++, 其中n a b c d=+++。

2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______.2.设a-b=2+，b-c=2-，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为______.3.已知实数x1，x2满足-6x1+2=0和-6x2+2=0，求的值为______.4.如果一次函数y=mx+n与反比例函数的图象相交于点(,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.8.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____.二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种2.已知a、b、c均为正数，方程ax2+bx+c=0有实根，则方程acx2+b2x+ac=0( )(A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根3.当k取任何实数时，抛物线y=(x-k)2+k2的顶点所在曲线是( )(A)y=x2 (B)y=-x2(C)y=x2(x＞0) (D)y=-x2(x＞0)4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BC E都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC等于( )(A)8 (B)5 (C)3 (D)5.如图6，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的有( )①∠APB=∠EPC②∠APE=90°③P是BC的中点④BP:BC=2:3(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于( )(A)2(B)16 (C)6(D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积(S)填入下表：a2(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-1 2.15 3.16，2 4.(-1,-) 5.2 6.ab7.1:3 8.二、1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x2+bx+c=0，于是有：2+4=-，2×4=，∴. ①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax2-bx+c=0.于是-1+4=. ②由①，②知，△=b2-4ac=b2-4··(-b)=b2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax2+bx-c=0，则-1+4=-. ③由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529. ②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5. ③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=AD·OD=AD·OE=.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=BC·DM=×3×=.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.。

江西省南昌市2004年初中毕业暨中等学校招生考试数学试卷二．正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内。

1．计算（－２）３的值等于【】（A）－６（Ｂ）６（Ｃ）－８（Ｄ）８２．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ延长线上的一点，∠ＢＣＤ等于【】（Ａ）７２°（Ｂ）８２°（Ｃ）９８°（Ｄ）１２４°３．用代数式表示“2a 与3的差”为【】（A）2a－3 （Ｂ）3－2a （Ｃ）2(a－3) （Ｄ）2(3－a)４．如图，数轴上的点Ａ所表示的是实数a，则点Ａ到原点的距离是【】】那么物像长,】42计划平均每１７.先化简,再求值：［（x－y）2+(x+y)(x－y)］÷2x,其中x=3,y=－１.518．已知关于x 的方程x 2－2(m+1)x+m 2=0.(1)当m 取什么值时，原方程没有实数根；(2)对m 选取一个合适的非零整数．．．．，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和，四、（本大题共2小题，每小题分，区划16分）19，如图，∠PAQ 是直角，半径为5的⊙0与AP相切于点Ｔ，与AQ相交于两点B 、C 。

（1） BT 是否平分∠OBA ？证明你的结论；（2） 若已知AT=4，试求AB 的长。

20．如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、E Ｇ在同一直线上， 且AB=3 ，BC=1，连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R 。

（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长； （2） 观察图形，请你提出一个与点．．P ．相关．．的 问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）。

21．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？22．某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从初三（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）。

江西省南昌市第二中学2024届中考四模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．用加减法解方程组323415x y x y -=⎧⎨+=⎩①②时，如果消去y ，最简捷的方法是（ ） A ．①×4﹣②×3 B ．①×4+②×3 C ．②×2﹣① D ．②×2+①2．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于（ ）A ．9B ．7C ．﹣9D ．﹣7 3．如图1，点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿以的速度匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APD ∆的面积2()y cm 随运动时间()x s 变化而变化的函数关系图象，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．36B ．C ．32D ．4．下列说法：① ； ②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．π这个数是( )A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数 6．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的 距离为A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里7．点A （a ，3）与点B （4，b ）关于y 轴对称，则（a+b ）2017的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．720178．如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠∠=，添加以下条件之一，仍不能证明ABC ≌DEF 的是( )A ．E ABC ∠∠=B ．AB DE =C ．AB//DED ．DF//AC9．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数10．实数a 22(4)(11)a a -- ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC =2∠CAD ，则∠BAE =__________度．12．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和5，圆心距为d,若⊙O 1与⊙O 2相交，那么d 的取值范围是_________．13．若代数式4x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为_____．14．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .15．二次根式x 3-中，x 的取值范围是 ．16．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣5）x 2﹣2x+2=0有实根，则k 的取值范围为_____．17．二次根式2x -在实数范围内有意义，x 的取值范围是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数21y ax =+的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数.结合图象直接写出：当1y ＞2y ＞0时，x 的取值范围.19．（5分） “知识改变命运，科技繁荣祖国”．在举办一届全市科技运动会上．下图为某校2017年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 ；（2）并把条形统计图补充完整；（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年全市中小学参加航模比赛人数共有2500人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？20．（8分）如图，在Rt △ABC 中∠ABC=90°，AC 的垂直平分线交BC 于D 点，交AC 于E 点，OC=OD ． （1）若3sin 4A ，DC=4，求AB 的长； （2）连接BE ，若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的度数．21．（10分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？22．（10分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．求每个月生产成本的下降率；请你预测4月份该公司的生产成本．23．（12分）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD=∠ABC ，若AD=2，AB=6，求AC 的长．24．（14分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】试题解析：用加减法解方程组323415x yx y-=⎧⎨+=⎩①②时，如果消去y，最简捷的方法是②×2+①,故选D.2、C【解题分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．【题目详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．【题目点拨】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．3、C【解题分析】由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,根据矩形的面积公式可求出．【题目详解】由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,∴矩形ABCD的面积为4×8=32,故选:C.【题目点拨】本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解△ABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型．4、C【解题分析】根据平方根，数轴，有理数的分类逐一分析即可.【题目详解】①∵，∴是错误的；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③∵＝4，故-2是的平方根，故说法正确；④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；⑤两个无理数的和还是无理数，如和是错误的；⑥无理数都是无限小数，故说法正确；故正确的是②③④⑥共4个；故选C.【题目点拨】本题考查了有理数的分类，数轴及平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如等，也有π这样的数.5、D【解题分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．【题目详解】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．【题目点拨】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．6、D【解题分析】分析：依题意，知MN ＝40海里/小时×2小时＝80海里， ∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M ＝70°，∠N ＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN ＝70°．∴∠M ＝∠MPN ＝70°．∴NP ＝NM ＝80海里．故选D ．7、B【解题分析】根据关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．【题目详解】解：由题意，得a=-4，b=1．（a+b ）2017=（-1）2017=-1，故选B ．【题目点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，利用关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数得出a ，b 是解题关键． 8、B【解题分析】由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．【题目详解】A.添加E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故A 选项不符合题意．B.添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC ≌DEF ，故B 选项符合题意；C.添加AB//DE ，可得E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故C 选项不符合题意；D.添加DF//AC ，可得DFE ACB ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故D 选项不符合题意，故选B ．【题目点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9、C【解题分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【题目详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【题目点拨】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．10、C【解题分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【题目详解】解：根据数轴上点的位置得：5＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，则原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4+a﹣11＝2a﹣15，故选：C．【题目点拨】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、22.5°【解题分析】四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．12、3<d<7【解题分析】若两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：相交，则R-r<d<R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围．【题目详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为相交，∴圆心距O1O2的取值范围为5-2<d<2+5，即3<d<7.故答案为：3<d<7.【题目点拨】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握圆与圆的位置关系.13、x≤1【解题分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【题目详解】由题意可知：1﹣x≥0，∴x≤1故答案为：x≤1．【题目点拨】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可．14、36或5【解题分析】（3）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D 时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=36，得BE=3． 由翻折的性质，得B′E=BE=3，∴EG=AG ﹣AE=8﹣3=5，∴B′G=22'B E EG -=22135-=33，∴B′H=GH ﹣B′G=36﹣33=4，∴DB′=22'B H DH +=2248+=45；（3）当DB′=CD 时，则DB′=36（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；（3）当CB′=CD 时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E 、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为36或45．故答案为36或45．考点：3．翻折变换（折叠问题）；3．分类讨论．15、x 3≥．【解题分析】x 3-x 30x 3-≥⇒≥． 16、1152k k ≤≠且 【解题分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，且k-1≠0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【题目详解】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（k-1）=44-8k≥0，且k-1≠0，解得：k≤112且k≠1，故答案为k≤112且k≠1．【题目点拨】此题考查根的判别式问题，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17、x≤1【解题分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【题目详解】解：由题意得，1﹣x≥0，解得，x≤1，故答案为x≤1．【题目点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）y1=2x；y2=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1.【解题分析】（1）根据△AOB的面积可求AB，得A点坐标．从而易求两个函数的解析式；（2）求出C点坐标，在△ABC中运用三角函数可求∠ACO的度数；（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围．【题目详解】(1)∵△AOB的面积为1，并且点A在第一象限，∴k=2,∴y1=2x；∵点A的横坐标为1，∴A(1,2).把A(1,2)代入y 2=ax+1得，a=1.∴y 2=x+1.(2)令y 2=0，0=x+1，∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1，BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y 1>y 2>0时,0<x<1.在第三象限,当y 1>y 2>0时,−1<x<0(舍去).【题目点拨】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.19、（1）24，120°；（2）见解析；（3）1000人【解题分析】（1）由建模的人数除以占的百分比，求出调查的总人数即可，再算空模人数，即可知道空模所占百分比，从而算出对应的圆心角度数；（2）根据空模人数然后补全条形统计图；（3）根据随机取出人数获奖的人数比，即可得到结果．【题目详解】解：（1）该校参加航模比赛的总人数是6÷25%＝24（人），则参加空模人数为24﹣（6+4+6）＝8（人），∴空模所在扇形的圆心角的度数是360°×824＝120°， 故答案为：24，120°；（2）补全条形统计图如下：（3）估算今年参加航模比赛的获奖人数约是2500×3280＝1000（人）． 【题目点拨】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．20、（1）2；（2）30°【解题分析】（1）由于DE垂直平分AC，那么AE=EC，∠DEC=90°，而∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，易证，△ABC∽△DEC，∠A=∠CDE，于是sin∠CDE=sinA＝34，AB：AC=DE：DC，而DC=4，易求EC，利用勾股定理可求DE，易知AC=6，利用相似三角形中的比例线段可求AB；（2）连接OE，由于∠DEC=90°，那么∠EDC+∠C=90°，又BE是切线，那么∠BEO=90°，于是∠EOB+∠EBC=90°，而BE是直角三角形斜边上的中线，那么BE=CE，于是∠EBC=∠C，从而有∠EOB=∠EDC，又OE=OD，易证△DEO是等边三角形，那么∠EDC=60°，从而可求∠C．【题目详解】解：（1）∵AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，∴∠DEC=90°，AE=EC，∵∠ABC=90°，∠C=∠C，∴∠A=∠CDE，△ABC∽△DEC，∴sin∠CDE=3sin4A=，AB：AC=DE：DC，∵DC=4，∴ED=3，∴=，∴AC=6，∴AB：4，∴AB=2；（2）连接OE，∵∠DEC=90°，∴∠EDC+∠C=90°，∵BE是⊙O的切线，∴∠BEO=90°，∴∠EOB+∠EBC=90°，∵E 是AC 的中点，∠ABC=90°，∴BE=EC ，∴∠EBC=∠C ，∴∠EOB=∠EDC ，又∵OE=OD ，∴△DOE 是等边三角形，∴∠EDC=60°，∴∠C=30°．【题目点拨】考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质．解题的关键是连接OE ，构造直角三角形．21、（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【解题分析】分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意得：63600500.8400.755200x y x y +⎧⎨⨯+⨯⎩＝＝， 解得：40120x y ⎧⎨⎩＝＝． 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．22、（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解题分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【题目详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．23、【解题分析】试题分析：可证明△ACD ∽△ABC ，则AD AC AC AB=，即得出AC 2=AD•AB ，从而得出AC 的长． 试题解析：∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ． ∴AD AC AC AB =，∵AD=2，AB=6，∴26ACAC =．∴212AC =．∴AC=考点：相似三角形的判定与性质．24、赚了520元【解题分析】（1）设第一次购书的单价为x 元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x 的值即可得出答案；（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．【题目详解】（1）设第一次购书的单价为x 元，根据题意得：1200x+10＝1500(120)0x，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，答：第一次购书的进价是5元；（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），第二次购书为240+10＝250（本），第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），所以两次共赚钱480+40＝520（元），答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．【题目点拨】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。

2004年数学⼆试题分析、详解和评注数⼀⾄数四真题+详解2004年考硕数学（⼆）真题评注⼀. 填空题（本题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先⽤求极限的⽅法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n→∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =??=?≠??,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】（2）设函数()y x 由参数⽅程 333131x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数⽅程定义的曲线的凹凸性，先⽤由 ()()x x t y y t =??=?定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出⼆阶导数,再由 220d y dx < 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++, 222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '==-?= ? ?+++, 令220d ydx < ? 0t <.⼜ 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。

江西省南昌二中2024-2025学年高二数学上学期开学考试试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}220M x x x =--<， {}1N x y x ==-，则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥ 2． 若cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos2x =（ ） A ．12-B ．34- C.0 D ．123．已知实数,x y 满意()1xya aa >>，则下列关系式恒成立的是（ ）A.1111x y <++ B. sin sin x y > C. ()()22lg 1lg 1x y +>+ D. 33x y >4．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是（ ） A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+ C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c = D ．若//,//a b a c ，则//b c 5．已知,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A. 24 B. 32 C. 20 D . 28 6．在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 所对边的边长，若2cos sin 0cos sin C C B B+-=+，则a bc+的值是（ ） A. 21- B. 21+ C. 31+ D. 2 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且634S S =，则96S S =（ ） A.94 B.23 C.53D.4 8.已知函数在上的最大值为M ，最小值为m ，则A. 1B. 2C. 3D. 49．已知ABC ∆中， ,,A B C 的对边长度分别为,,a b c ，已知点O 为该三角形的外接圆圆心，点,,D E F 分别为边,,BC AC AB 的中点，则::OD OE OF =（ ） A. ::a b c B.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C10.若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ,且745()3n n S n n N T n *+=∈+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A.3B.4C.5D.611.已知是定义在R 上的奇函数，且当时，，则函数在区间上的全部零点之和为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 12.已知是数列的前n 项和，，且，若，其中，，则的最小值是（ ） A.B. 4C.D. 2024二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知点(1,1)(0,3)(3,4)A B C -、、，则向量AB 在AC 方向上的投影为_______． 14.设的三个内角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ，若A ，B ，C 依次成等差数列且，则实数k 的取值范围是_______．15．设二次函数()()2f x ax bx c a b c =++，，为常数.若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则222b ac +的最大值为__________． 16．给出下列结论：①,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >; ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③在数列{}n a 中,假如n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④O 是ABC ∆所在平面上肯定点，动点P 满意：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 肯定通过ABC ∆的内心；则上述结论中正确的有 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)已知全集，集合，，．（1）求；（2）若，求实数a 的取值范围．18．（本小题12分）设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求B ； （2）若为锐角三角形，求的取值范围．19．（本小题12分）设函数．（1）当时，若对于，有恒成立，求a 的取值范围；（2）已知，若对于一切实数x 恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．20．（本小题12分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==． （1）用, a b 表示OM ；（2） 已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OE pOA =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，假如是定值，求出这个定值.BF21．（本小题12分）已知数列满意：，2，3，（1）求证：数列是等比数列；（2）令2，3，，假如对随意，都有，求实数t的取值范围．22．（本小题12分）已知函数，，且函数是偶函数．（1）求的解析式；．（2）若不等式在上恒成立，求n 的取值范围；（3）若函数恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点高二文理分科考试数学试卷参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13. 2 14. 15. 222 16. ①④小题详解：1．A [)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=，选A .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDCBABDCDB2．C ()45sin 1863sin 18sin 63cos 18cos 63sin cos =-=-=x ， 故090cos 2cos == x ，故选C.3．D 因为1a >，所以x y >，因此33x y >，选D .4．D 由题意得，对于A 中，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()c b a ⋅⋅表示与a 共线的向量，所以不正确；对于B 中，0a b -=时，此时0a b +=，而20a b b -=>，所以不正确；对于C 中，若0a b a c ⋅=⋅=，而此时b 与c 不肯定是相等向量，所以不正确；对于D 中，因为a 、b 、c 是非零向量，若//,//a b a c ，则//b c 是正确，故选D . 5.C 因为,x y 均为正实数，所以()()()()][11224622462242022x y x y x y x x ⎡⎤⎡⎤+=+++-=++++-≥+-=⎣⎦⎢⎥++⎣⎦，选C. 6．B 在ABC ∆中，由2cos sin 0cos sin C C B B+-=+，依据两角和的正弦公式可得2244sin C sin B ππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得442C B πππ+=+=，解,42C B A ππ==∴=，所以由正弦定理可得21242242sinsina bcsinπππ+++==21=+，故选B. 7．A 因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以36396,,S S S S S --成等差数列，所以633962()S S S S S -=+-（1），∵634S S =，∴634S S =，设96Sx S =，则9634S xS xS ==，所以（1）式可化为333332(4)44S S S xS S -=+-，解得94x =.故选A ． 8.B 解：， 设，，为奇函数，，，，故选B ．9．D 在三角形AOD 中，同理，所以OD:OE:OF =： ：，由正弦定理，可得OD:OE:OF = cosA:cosB:cosC ，选D.10．C ()()1212112121214387191227222112n n n n n n n n n a a a a A n n n b b b b B n n n ----+++======+++++ 验证知，当n=1，2，3，5，11时nna b 为整数.11.D 解：有题意可得：，，函数的周期为4，，的图象关于对称．作出函数的图象如图所示，函数的零点即为图象与的图像的交点的横坐标， 四个交点分别关于点对称，则，故全部零点之和为8．选D ．12.B 解：由题意得，，，，，，，以上各式相加得，，，．又，，即，又，，当且仅当时等号成立，故选B ．13．2 由已知(1,2)AB =，(4,3)AC =，142310AB AC ⋅=⨯+⨯=，22435AC =+=，向量AB 在AC 方向上的投影为1025AB AC AC⋅==． 14.解：，且角A 、B 、C 成等差数列， ，解之得，，，，，，，，实数k 的取值范围是．15.222- 由题设可得()220ax b a x c b +-+-≥对一切实数恒成立， 取1x =可得0c a -≥且判别式对一切实数恒成立，即2244{0,0b a ac a c a +≤>-≥对一切实数恒成立，所以，令0c a t -=≥，则c a t =+代入（当且仅当2c a =取等号），故222b a c+的最大值是222-. 16．①④ ①中，依据三角形的性质可得A B a b >⇒>，再由正弦定理可得sin sin A B >，所以是正确的；②中，当等比数列{}n a 的公比为1q =-时，此时10n n a a ++=，此时数列{}1n n a a ++不是等比数列，所以是错误的；③中，由22n S n n =++，则此数列从其次项起先是一个公差为2的等差数列，所以是错误的；④中，O 是ABC ∆所在平面上肯定点，动点P 满意：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 为角A 的平分线，所以AP 肯定通过ABC ∆的内心，所以是正确的，故选①④． 17.解：全集，集合，，或，． 集，集合，，．，又，当即时，；当即时，要使，有，又，，的取值范围是．18．解： 1，由正弦定理可得：，，，，．2由题意，，可得，又为锐角三角形，，可得， ，可得，的取值范围是． 19. 解：依据题意知，对于，有恒成立， 即恒成立， 设，，所以，函数在区间上是单调递减的，，；由对于一切实数x 恒成立，可得 由存在，使得成立可得，故，，，则，，当且仅当时等号成立，故的最小值为．20．（1）设OM ma nb =+，则(1)AM OM OA ma nb a m a nb =-=+-=-+，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+． ∵A M D 、、三点共线，∴AM 与AD 共线，故存在实数t ，使得 AM t AD =，即1(1)()2m a nb t a b -+=-+，(1)2tm a nb ta b -+=-+，∴1,.2m t tn -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得12m n -=-，即21m n += ① ∵ 11()44CM OM OC ma nb a m a nb =-=+-=-+，14CB OB OC b a =-=-， 又C M 、、B 三点共线∴CM 与CB 共线， 同理可得 41m n += ② 联立①②，解得13, 77m n ==． 故1377OM a b =+． （2）137p q +=．∵1313()7777EM OM OE a b pOA p a b =-=+-=-+， EF OF OE qOB pOA pa qb =-=-=-+，又EM 与EF 共线，故存在实数k ，使得EM kEF =，即13()()77p a b k pa qb kpa kqb -+=-+=-+.1737p pk kq⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消去k 得1377p p q -=-⋅，整理得137p q +=．21.1证明：由题可知：，，可得即：，又所以数列是以为首项，以为公比的等比数列2解：由1可得，分 由可得由可得所以，故有最大值所以，对随意，都有，等价于对随意，都有成立 所以解得或，所以实数t 的范围是.22.解：，．是偶函数，，．，令，，不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，．令，，则，，令，则，方程可化为，即，也即．又偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，有一个根为2，．，解得或．由，得，由，得，零点为0，，。

江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14 D ．233．已知集合{}2210A x ax x =-+=只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．1或0B ．0C ．1D ．1或24．如图，将O e 沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心,O AB =O e 的半径长度为（ ）A ．2B ．4C ．D ．5．如图，ABCO Y 的顶点B 在双曲线8y x =上，顶点C 在双曲线k y x=上，BC 的中点P 恰好落在y 轴上，已知10OABC S =Y ，则k 的值为（ ）A ．−8B ．6-C ．4D ．−26．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()4,0，其对称轴为直线1x =，结合图象给出下列结论，①0abc >；②30a c +<：③0x >时，y 随x 的增大而增大；④若关于x 的一元二次方程25ax bx c a ++=-没有实数根，则102a <<；⑤对于任意实数m ，总有20am bm a b +--≥.其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是.8．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.9．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅I ，则a 的取值范围是． 10．圆锥侧面积为28πcm ，侧面展开扇形的半径为4cm ，圆锥的底面半径为cm. 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A B C ､､的坐标分别为()()1,11,3､､()3,3.若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是.三、解答题12．解下列方程和不等式：(1)228=0x x --(2)26560x x +->13．从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛.(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________；(2)任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.（用树状图或列表的方法求解） 14．晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯AB 的高度.在灯光下，当大华站在D 点处时，小明测得大华的影长DE 为3米；大华沿BD 方向行走5米到达G 点，此时又测得大华的影长GH 为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯AB 的高度.15．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：()()3322x y x y x xy y +=+-+；立方差公式：()()3322x y x y x xy y -=-++.根据材料和已学知识解决下列问题(1)因式分解：38a -；(2)先化简，再求值：22323242284x x x x xx x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中3x =. (3)利用材料因式分解：3234x x +-16．如图，已知()()4,,2,4A n B --是反比例函数k y x=的图象和一次函数y cx b =+的图象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集.17．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S ，排版矩形的长和宽分别为x ，y .(1)用x ，y 表示 S ;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.18．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，其实我们还可以将其进一步化)()22212111⨯⨯==-，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． (1)(2)的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值． (3)L 19．如图①，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，与y 轴交于点C .(1)求该抛物线的表达式；(2)若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接,,,CD BD BC AC .当BCD △的面积等于AOC △面积的2倍时，求点D 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使得CBP ACO ABC ∠+∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.。

2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p,q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a,a,b ，另一个三角形的边长分别为b,b,a ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则a b的值等于（ ）(A) 12(B) 12(C) 22+(D) 22 4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤ 6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46(D) 50D AB二．填空题1．计算2003+= . 2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BN NC= . 3．实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,，则a+b= .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试一． 已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数，求整数n 的值。

二．（A ） 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, 以两腰AB,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q 。

2004年全国初中数学竞赛试题及参考答案2004年全国初中数学竞赛试题（由网友Alpha提供一部分，余下系本人整理）（考试时间120分钟，满分140分）一、选择题（共5小题，每小题8分，满分40分）1，已知实数a不等于b且满足（a＋1）^2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)^2。

则b√（b/a）+a√（a/b）的值为（）A 23B -23C -2D -132，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A, ab=h^2 B, 1/a+1/b=1/hC，1/a^2+1/b^2=1/h^2 D, a^2+b^2=2h^23，一条抛物线y＝ax^2+bx+c顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a，b，c中为正数的（）A，只有a B ，只有b C，只有c D，只有a和b4，△ABC中，DE平行于AB平行于FG，且FG到DE，AB的距离比为1/2。

若△ABC 面积为32，△CDE面积为2，则△CFG面积S为（）。

A， 6 B, 8 C, 10 D, 125，如果x和y是非零实数，使得│x│＋y＝3，│x│y＋x^3＝0，那么x+y等于（）A， 3 B，√13 C，（1－√13）/2 D，4－√13二、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）6，如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝60°，则∠EDF＝（度）。

7，据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）E有T=kmn/d^2的关系（k为常数）。

现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间距离如图所示，且已知A、 B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间的每天的电话通话次数为次（用t表示）。

8，已知实数a，b，x，y满足a＋b＝x＋y＝2，ax+by＝5，则（a^2+b^2）xy+ab(x^2+y^2)= 。