北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学检测题含答案

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R ，且a b ，则（A ）11ab（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5（B ）5（C ）10（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D 2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3.点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M在平面上的正投影，则记()Nf M .如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P .给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学 2020.01阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBACAABCBD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 11 1213 141516答案22(1,16)2-；0① ②③；2m >均可说明: 第（14）题写成[]1,16给3分；第（15）题第一空3分，第二空2分；第（16）题第一空写对一个得1分，全对得3分，第二空2分，答案不唯一，取值2m >均可. 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（17）解：（Ⅰ）1cos 231()sin 2222x f x x +=+- ----------------------------------4分31sin 2cos 222x x =+ πsin(2)6x =+. ----------------------------------5分因为sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，-----------6分 令πππ22π,2π()622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， ----------------------------------7分 得πππ,π()36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . ----------------------------------8分所以()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .-------------------9分 （Ⅱ）方法1：因为[0,]x m ∈，所以πππ2[,2]666x m +∈+. ----------------------------------10分 又因为[0,]x m ∈，()f x πsin(2)6x =+的最大值为1，所以ππ262m +≥. ----------------------------------11分解得π6m ≥. ----------------------------------12分所以m 的最小值为π6. ----------------------------------13分方法2：由（Ⅰ）知： 当且仅当π=π()6x k k +∈Z 时，()f x 取得最大值1.--------------------------11分 因为()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1，所以π6m ≥. ----------------------------------12分 所以m 的最小值为π6. ----------------------------------13分（18）解：（Ⅰ）在△VAB 中，M ，N 分别为VA ，VB 的中点，所以MN 为中位线.所以//MN AB .----------------------------------1分 又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以AB //平面CMN .------------------------3分 （Ⅱ）在等腰直角三角形△VAC 中，AC CV =,所以VC AC ⊥.----------------------------------4分 因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC .-------------------------5分 又因为AB ⊂平面ABC ，ABCVMNHyx z所以AB VC ⊥.-----------------------------------6分 （Ⅲ）在平面ABC 内过点C 做CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. ----------------------------------7分 如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.----------------------------------8分 则(0,0,0)C ，(0,0,2)V ，(1,1,0)B ，(1,0,1)M ，11(,,1)22N . (1,1,2)VB =-，(1,0,1)CM =，11(,,1)22CN =.设平面CMN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.CM CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ----------------------------------10分 即0,110.22x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1x =则1y =，1z =-,所以(1,1,1)=-n . ----------------------------------11分 直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin |cos ,|3||||VB VB VB θ⋅=<>==n n n . ----------------------------------13分所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为223. （19）解：（Ⅰ）方法1:A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;----------------------------------2分 B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.6920.60>,所以B 小区是优质小区;--------------------------------4分 C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.1720.60<,所以C 小区不是优质小区.------------------------------6分方法2:A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯= 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;---------------------------------2分B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.28T =⨯+⨯+⨯+⨯0.60.20.60.20.60.320.60.280.6>⨯+⨯+⨯+⨯=.B 小区是优质小区; -------------------------------4分C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.28T =⨯+⨯+⨯+⨯0.60.20.60.20.60.320.60.280.6<⨯+⨯+⨯+⨯=.C 小区不是优质小区. ---------------------------------6分 （在对A 、B 、C 小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个. --------------------------------7分依题意ξ的所有可能取值为0，1，2. --------------------------------8分26210C 151(0)C 453P ξ====； --------------------------------9分1146210C C 248(1)C 4515P ξ====； --------------------------------10分24210C 62(2)C 4515P ξ====. -------------------------------11分则ξ的分布列为：ξ0 12P13815215-------------------------------12分1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯=. -------------------------------13分（20）解：（Ⅰ）解：依题意，得222(0)2,3,2.a b a cac a b >>=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩--------------------------------3分 解得，2,1.a b =⎧⎨=⎩ ----------------------------------4分所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ----------------------------------5分（Ⅱ）设点00(,)Q x y ，依题意，点P 坐标为00(,)x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）,直线QA 的方程为00(2)2y y x x =-- ----------------------------------6分 令4x =，得0022y y x =-，即002(4,)2y N x -. --------------------------------7分 直线PA 的方程为00(2)2y y x x =-+ ，同理可得002(4,)2y M x +.--------8分 设B 为4x =与x 轴的交点.11||||||||22APQ AMN P Q M N S S OA y y AB y y ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-0000022112|2|2||2222y y y x x =⨯⨯+⨯⨯--+---------------10分0000112||2||||22y y x x =+⋅--+ 002042||2||||4y y x =+⋅-.----------------------------------11分又因为220044x y +=，00y ≠,所以002012||2||APQ AMN S S y y y ∆∆+=+⋅002=2||4||y y +≥. -----------13分 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4.----------14分（21）解：（Ⅰ）由已知得2()e (21)x f x ax ax '=++， ---------------------------------2分因为(0)1f = ，(0)1f ¢=， ---------------------------------4分 所以直线l 的方程为1y x =+. ---------------------------------5分 （Ⅱ）（i ）当01a <?时，2221(1)10ax ax a x a ++=++-≥，所以2()e (21)0x f x ax ax '=++≥（当且仅当1a =且1x =-时，等号成立）. 所以()f x 在R 上是单调递增函数. ---------------------------------6分 所以()f x 在R 上无极小值. ---------------------------------7分 （ii ）当1a >时,一元二次方程2210ax ax ++=的判别式4(1)0a a ∆=->，---------------------------------8分记12,x x 是方程的两个根，不妨设12x x <.则121220,10.x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩所以120x x <<. ---------------------------------9分 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：x1(,)x -?1x12(,)x x2x 2(,)x +?()f x '+0 -+()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2()f x . --------------------------------11分 又因为()f x 在2[,0]x 单调递增， ---------------------------------12分 所以2()(0)1f x f <=. ---------------------------------13分 所以()f x 的极小值为小于1.22. 解：（Ⅰ）由题知：1(33)(23)1m =+-+=; ---------------------------------1分 2(33)(31)2m =+-+=; ---------------------------------2分33m =. ---------------------------------3分 5A 的特征值为1. ---------------------------------4分（Ⅱ）||=i j m m -||i j x x -. ---------------------------------5分理由如下：由于[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥，可分下列两种情况讨论：○1当,{1,2,,1}i j n ∈+时，根据定义可知：212211()()i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++- 212211 =()()n n n n n i x x x x x x x ++++++-++++同理可得：212211=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++++++-++++所以i j i j m m x x -=-.所以||=||i j i j m m x x --. ---------------------------------7分○2当,{1,2,,21}i j n n n ∈+++时，同○1理可得： 212111()()i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++212111 =()()n n n n n i x x x x x x x ++-+++-+++-212111=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++-+++-+++-所以i j j i m m x x -=-.所以||=||i j i j m m x x --. ---------------------------------9分 综上有：||=i j m m -||i j x x -.（Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤，121||i j i j n x x ≤<≤+-∑=2122112(22)2022n n n n n nx n x x x x nx ++++-+++⋅---2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-，-------------------10分显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-，212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++121221()()n n n n x x x x x m ++≥++-+++=.当且仅当121n n x x ++=时取等号； 212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++ 221231()()n n n x x x x x m+++≥++-+++= 当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知121,n m m +的较小值为1n -， 所以212211()1n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-.当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有 212211()n n n n n x xx x x x n ++-+++-+++≥. --------------------------11分下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++.证明：(22)(1)()n k p kq n p q +-+-++ =(1)(1)n k p n k q +--+- (1)()n k p q =+--0≥.所以(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++. --------------------------12分因此121||i j i j n x x ≤<≤+-∑2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-212211(1)()n n n n n n x x x x x x ++-≥++++----(1)n n ≥+. --------------------------13分当0,1,1,121,k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121||i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值(1)n n +，符合题意.所以121||i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为(1)n n +.---------------------------------14分。

海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2xy = B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x =5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ） A ．3CD BC =B ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 ． 10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅= ．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅. （Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可） （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅， ∴()sin f x a b x k =⋅=+.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 3α==-，tan 4α=-. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+ 因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=. ∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+.存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。

北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数 学2020.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|12},{0,1,2}A x x B =−<<= ，则AB = ( )A. {0}B. {01}，C. {012}，，D. {1,012}−,, （2）不等式|1|2x −≤的解集是 ( )A. {|3}x x ≤B. {|13}x x ≤≤C.{|13}x x −≤≤D. {|33}x x −≤≤ （3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是增函数的是( )A. 1y x=B.2x y =C.y =D.ln y x = （4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 ( ) A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 （5）已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪−<⎩若关于x 的函数()y f x k =−有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ( ) A.(3,1)− B. (0,1) C. (]3,0− D. (0,)+∞（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是 ( ) A. 存在(1,2)a ∈满足()(1)f a f ≤ B. 存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥ C. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥ （8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 （参考数据lg 20.3010,lg30.477≈≈） ( )A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(1,2)−，则a 的值为__________.（10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x −<的解集为 . （11）已知(1,0)OA =，(1,2)AB =，(1,1)AC =−，则点B 的坐标为_________,CB 的坐标为_________. （12）函数2()2x f x x=−的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________. （13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________ _______________________________________________________.（14）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =−，其中[]a 表示不超过a 的最大整数.①则22()3f =_______;②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人. 基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查. 现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．（16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =−−.（Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）已知0a >，且()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP xOA yOB =+.（Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段B. 射线C. 直线D. 圆 ②在图2中作出图形G .(18)（本小题共10分）已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(Ⅰ)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(Ⅱ)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T . (参考数据:41.2 2.0736=)(Ⅲ)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1图2图附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ∈N +），寻找函数y =()f x 去拟合数据点集S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势. （Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号） A. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B. 存在数据点集S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集S 中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度δ”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集{}123,,P P P ，在如下的两种“偏置度δ”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为 ________；① 1112221=(,())(,())(,())(,())niiin n n i x y f x x yf x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑;②1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长） （Ⅲ）对于数据点集()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =−，用形如()f x ax b =+的函数去拟合.当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度δ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点_______.（填点的坐标）北京市海淀区2109-2020学年高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （10） ； （11）； （12）1 ；(,0)(1,)−∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 ； ..........2分； ..........4分(Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ； ..........7分(Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636−=种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件，则366()427P A == ..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =−−≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =−−开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =−−≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分 (Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=−>⎪⎩， ..........8分解得3a <−，所以a 的取值范围是{|3}a a <−. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+−=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分(Ⅲ) ① A ； ,..........10分 ②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为满足性质，所以对于任意的，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =−=−，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =−=−， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =−，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =−∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =−=−<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分(Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k −+=+=+∈N ，其中. 取[]1M Mk T T−=+>−即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=−，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T=−=−，，由111()()k k f f T TT −=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +−=−=−∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=−<. 所以，存在零点. 综上，存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。

北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.设集合A={x|x>0}，B={x|x2+2x−15<0,x∈Z}，则A∩B=()A. {1,2}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {1,2，3，4，5}2.不等式|3−x|<2的解集是()A. {x|x>5或x<1}B. {x|1<x<5}C. {x|−5<x<−1}D. {x|x>1}3.下列函数中，既为偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A. y=1xB. y=−x12C. y=x−2D. y=x24.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为31，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是()A. x=9B. y=8C. 乙得分的中位数为26D. 乙得分的方差小于甲得分的方差5.已知p：“a>100”，q：“log a10<12”，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)={2x,x≥2,(x−1)3,x<2,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (−1,1)B. (0,1)C. (0,1]D. (−1,0)>1的一个充分不必要条件是()7.xyA. x>yB. x>y>0C. x<yD. y<x<08.世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)()A. 1.5%B. 1.6%C. 1.7%D. 1.8%二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.若指数函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，则f(−1)的值为______．10.函数f(x)=√−1+lnx的定义域是____________．11.已知平面向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，则2a⃗+3b⃗ =______ ．12.已知函数f(x)=2x−3x，则函数f(x)的零点个数________．13.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图(如图).从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是__________米．14.已知f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(−2.5)=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.某校高一年级500名学生中，血型为O的有200人，血型为A的有125人，血型为B的有125人，血型为AB的有50人.为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应如何抽样？写出血型为AB的抽样过程．16.已知函数f(x)满足f(x+1)=x2−13f(3)．(1)求f(x)解析式；(2)当x∈(−2,−12)时，不等式f(a)+4a<(a+2)f(x2)恒成立，求a的取值范围．17.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x <1y的充要条件是xy>0．18.已知函数，g(x)=g(x+2)，且当x∈[−1,1]时，g(x)=|x|，当f(x)有3个零点时，求实数a的取值范围.(需要用作图来说明理由)19.设函数f(x)=31−x−1，函数g(x)=ax2+5x−2a．(1)求f(x)在[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|−5<x<3,x∈Z}={−4,−3,−2,−1,0，1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：∵|3−x|<2，∴−2<x−3<2，∴1<x<5，∴不等式|3−x|<2的解集是{x|1<x<5}．故选B．利用绝对值不等式的解法即可求得不等式|3−x|<2的解集．本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查幂函数的奇偶性与单调性.属于基础题．逐个判断即可得出答案．为奇函数，故不符合题意;【解答】解：对于A，y=1x对于B，y=−x12是非奇非偶函数，不符合题意;对于C，y=x−2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意;对于D，y=x2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意．故选C．4.答案：B解析：本题给出茎叶图和众数、中位数、平均数．着重考查了茎叶图的认识，以及中位数和极差的定义、求法等知识，属于基础题．解：∵甲得分的极差为31，最小值为8，∴最大值为31+8=39，即x=9，故A正确；∵乙得分的平均值为24，∴12+25+26+m+315=24，解得m=26，即y=6，故B错误；乙得分为：12，25，26，26，31，中位数和众数都为26，故C正确；乙数据分布相对甲数据集中，故乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确．故选B．5.答案：B解析：解：q：“log a10<12”，可得：10<√a，或0<a<1，解得a>100，或0<a<1，∴p是q的充分不必要条件．故选：B．q：“log a10<12”，可得：10<√a或0<a<1，解得a范围．即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查方程根的存在性及根的个数判断，数形结合是解决本题的强有力工具，属于中档题．数形结合：要使方程f(x)=k有两个不相等的实根，只需y=f(x)与y=k的图象有两个交点，作出函数f(x)={2x (x≥2)(x−1)3 (x<2)的图象，根据图象即可求得k的范围．解：函数f(x)={2x(x≥2)(x−1)3(x<2)的图象如下图所示：由图可得：当k∈(0,1)时，y=f(x)与y=k的图象有两个交点，即方程f(x)=k有两个不同的实根，故选B．7.答案：B解析：解：∵x>y>0⇒x y>1，xy>1⇒x>y>0或x<y<0，∴xy>1的一个充分不必要条件是x>y>0．故选：B．由x>y>0⇒x y>1，x y>1⇒x>y>0或x<y<0，知x y>1的一个充分不必要条件是x>y>0．本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．8.答案：C解析：解：假设每年人口平均增长率是x，∵世界人口在过去40年内翻了一番∴(1+x)40=2则40lg(1+x)=lg2lg(1+x)=0.301040≈0.0075∴x=1.7%，即每年人口平均增长率是1.7%，故选：C．假设每年人口平均增长率是x%，根据世界人口在过去40年内翻了一番，然后取对数求出所求即可．本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用取对数求值等有关问题，属于中档题．9.答案：12解析：本题考查指数函数的性质和函数图象恒过点问题，考查函数解析式，是基础题．先根据指数函数过点(3,8)，求出a的值，再代入计算即可．因为指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(3,8)，∴8=a3，解得a=2，∴f(x)=2x，∴f(−1)=2−1=1，2故答案为1．210.答案：[e,+∞)解析：本题考查函数的定义域，属于基础题．解：因为f(x)=√−1+lnx，所以−1+lnx≥0，即lnx≥1，所以x≥e所以定义域是[e,+∞)，故答案为[e,+∞).11.答案：(−4,−8)解析：解：因为平面向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，所以1×m−(−2)×2=0，m=−4，所以2a⃗+3b⃗ =2(1,2)+3(−2,−4)=(−4,−8)．故答案为：(−4,−8)．通过向量的平行，求出m，然后直接求解2a⃗+3b⃗ 即可．本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力．12.答案：2解析：本题考查函数值的求法及零点个数问题，比较基础．画出函数y=2x与函数y=3x的图象，即可确定出零点的个数．解：由已知函数f(x)=2x−3x，由于函数y=2x与函数y=3x有两个交点，函数f(x)的零点个数为2．故答案为2．13.答案：50解析：由频率分布直方图可得，当水位大于50米的频率为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米．14.答案：6解析：解：∵f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，∴f(−2.5)=([−2.5]+1)2+2=(−3+1)2+2=6．故答案为：6．由已知得f(−2.5)=([−2.5]+1)2+2=(−3+1)2+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：解：根据题意知用分层抽样方法抽样．∵40500=225，∴200×225=16，125×225=10，50×225=4．故O型血抽16人，A型血抽10人，B型血抽10人，AB型血抽4人．解析：由题意知从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用每一种血型的人数乘以概率得到每种血型所要抽取的人数，得到结果．16.答案：解：(1)令x=2，得f(3)=4−13f(3)，∴f(3)=3，令x+1=t，则x=t−1，∴f(t)=(t−1)2−1=t2−2t，∴f(x)=x2−2x．(2)由(1)知f(a)=a2−2a，即a2+2a<(a+2)f(x2).当a+2=0时，a2+2a<(a+2)f(x2)，显然不合题意．当a+2>0时，a2+2a<(a+2)f(x2)可转化为a<f(x2)=(x2−1)2−1．∵x∈(−2,−12)，∴x2∈(14,4)，∵f(x2)=(x2−1)2−1，∴当x2=1即x=−1时，f(x2)取得最小值−1．∴a<−1，∵a+2>0，∴−2<a<−1．当a+2<0时，a2+2a<(a+2)f(x2)可转化为a>f(x2).∵当x∈(−2,−12)时，f(x2)<8，∴a ≥8，又a <−2，不合题意．综上，a 的取值范围为(−2,−1)．解析：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出f(3)，通过换元求出函数的解析式即可；(2)通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质确定a 的范围即可．17.答案：证明：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y ．必要性：由1x <1y ，得1x −1y <0，即y−x xy <0． 因为x >y ，所以y −x <0，所以xy >0．所以1x <1y 的充要条件是xy >0．解析：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义即可证明．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．18.答案：解：由，g(x)=g(x +2)知函数g(x)的周期为2．函数有3个零点， 即在(0,+∞)上有三个不等实根， 设，g(x)=|x|， 则原问题等价于函数的图象与g(x)=|x|的图像有三个不同的交点． 当a >1时，在同一坐标系中作出，g(x)=|x|的图像，如图：所以，只需{ℎ(3)<1g(5)>1，即，解得3<a <5;当0<a <1时，显然不合题意．综上可知，实数a的取值范围为(3,5)．解析：本题考查函数的零点与方程根之间的关系，考查函数图像在解题中的应用，属中档题．函数有3个零点，即在(0,+∞)上有三个不等实根，设，g(x)=|x|，则原问题等价于函数的图象与g(x)=|x|的图像有三个不同的交点．分a>1，0<a<1两种情况，在同一坐标系中作出，g(x)=|x|的图像，结合计算求出实数a的取值范围．19.答案：解：(1)∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=0，f(x)max=f(0)=2，∴f(x)在[0,1]上的值域[0,2]…..(4分)(2)f(x)在[0,1]上的值域[0,2]，函数g(x)在[0,1]上的值域D，则[0,2]⊆D．①a=0，g(x)=5x，值域[0,5]，符合条件；…(6分)②a>0，对称轴x=−52a<0，∴函数g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)max=g(1)=5−a由5−a≥2，∴a≤3，∴0<a≤3…..(8分)③a<0，对称轴x=−52a>0当0<−52a < 1即a<−52时，最小值在x=0或x=1处取，不合题意当−52a ≥1即−52≤a<0时，函数g(x)在[0,1]上单调递增，不合题意….(12分)综上，a∈[0,3]…(13分)解析：(1)利用f(x)在[0,1]上单调递减，可求函数的值域；(2)对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。

海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1 C ．{}3 D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12- C ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x = 5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A ．CD =uu u r u rB ．0CA CE ⋅=u u r u u rC ．AB uu u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x c < D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++uu r uu r uu u r uu u r的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =r，写出一个与a r 共线的非零向量的坐标 ．10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=r r．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨． （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可）（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2l o gy x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r， ∴()sin f x a b x k =⋅=+r r.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos α==，tan α=. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=.∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。

北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog 2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数T ≠0，使得f （x ）=Tf （x +T ）对任意的x ∈R 成立，则称函数f （x ）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f （x ）=x ，g （x ）=sinπx 是否是Ω函数；（只需写出结论） （Ⅱ）说明：请在（i ）、（ii ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i ）计分（i ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是偶函数，则f （x ）是周期函数； （ii ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是奇函数，则f （x ）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a ＞1时，函数f （x ）=a x 一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V ，对于，∈V ，≠，定义V （，）=|x ∈V |x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V （，）中的三个元素； （2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V （，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．故选：C．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为c＜b ＜a．【解答】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320单位．【解答】解：由题意，令x=40，v=1010=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．故答案为：320．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴=0，解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g （x ）=f （x ）﹣2=x 2+c ﹣2， 若函数g （x ）有两个不同的零点， 则△=﹣4（c ﹣2）＞0， 解得：c ＜2；（Ⅲ）证明：函数f （x ）=x 2+c 的开口朝上， ∵|c 2+1|2﹣|c |2=c 4+c 2+1=（c 2+）2+＞0恒成立， 故|c 2+1|＞|c |，故不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=Asin （ωx +φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f （x ）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f （x）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f（x ）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x +），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ+≤2x +≤2kπ+，求得kπ+≤x ≤kπ+，可得函数f （x ）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k ∈Z ．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x +∈[，]，sin （2x +）∈[﹣，1]，f （x ）∈[﹣，2]，即函数f （x ）的值域为[﹣，2]．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f （x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由•=•，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由•=•，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=•c+•e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。

北京市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）已知，则函数的零点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）已知0<a<1,则方程的实根个数（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2019高一上·吉林月考) 若角是第四象限角，则是哪个象限角（）A . 第一象限角或第二象限角B . 第二象限角或第三象限角C . 第一象限角或第三象限角D . 第二象限角或第四象限角4. （2分）(2016·枣庄模拟) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= （弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A . 6平方米B . 9平方米C . 12平方米D . 15平方米5. （2分） (2017高一下·姚安期中) 若α是第一象限的角，则所在的象限是（）A . 第一象限B . 第一、二象限C . 第一、三象限D . 第一、四象限6. （2分）在ABC中，若，则ABC必是（）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2017高一下·菏泽期中) cos135°的值为（）A .B .C .D .8. （2分）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A . 向左平移单位B . 向右平移单位C . 向右平移单位D . 向左平移单位9. （2分）下列函数中最小正周期为的是（）A .B .C .D .10. （2分）下列函数中，在区间(0，)上为增函数且以为周期的函数是（）A .B .C .D .11. （2分）设函数，则下列结论正确的是（）A . f(x)的图像关于直线对称B . f(x)的图像关于点对称C . 把f(x)的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像D . f(x)的最小正周期是，且在[0，]上为增函数12. （5分） (2017高三上·太原期末) 将函数f（x）= sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·武汉期末) 函数的最大值是________，最小值是________.14. （1分） =________．15. （1分）函数的零点个数为________ ．16. （1分） (2015高一下·金华期中) 已知函数f（x）=x2+（m+2）x+（2m+5）（m≠0）的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知角α终边过直线l1：x﹣y=0和直线l2：2x+y﹣3=0的交点P．求sinα，cosα，tanα的值．18. （10分） (2018高一下·鹤壁期末) 已知， .（1）求的值；（2）求的值.19. （10分） (2019高一上·鹤岗期末) 已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.20. （10分） (2020高一上·铜仁期末) 已知函数 .（1）求的值；（2）当时，求的值域；（3）当时，求的单调递减区间.21. （5分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（x）=（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，试确定函数y=loga（x+1）在区间（0，3）上的值域．22. （10分） (2016高一上·天水期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。

北京市海淀区 2019-2020 学年上学期期末考试高一数学试题本试卷共 100分.考试时间 90分钟.三题号分数一二1516 17 18一.选择题：本大题共 8小题, 每小题 4分,共 32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集U{1,2,3,4},A {1,2},B {2,3},则 () B（ ）A UA.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4} 2.代数式s in120 cos210的值为（）3 43 3 D.1A.B.C.424,b 3.已知向量 (1,1), ( , 2), 若a 共线,则实数 的值为 （（））a b x x x2 A. 1 B.2 C.1或 2 D.1或21 4.函数 f (x)的定义域为 lgx 1A.(0,)B.(0,1) (1,) C.(1,)D.(0,10) (10,)5.如图所示,矩形 中, AB4, 点 E 为 AB 中点, C AB C D D 若 D E A C ,则| DE| （ ）B A5 E 2 3 C.3D.2 2A. B. 216.函数 ( ) f xl og 的零点所在的区间是 （ ） x 4x41 1A.(0, )B.( ,1)C.(1,2 )D.(2,4) 2 2π7.下列四个函数中，以π 为最小正周期，且在区间( ,π) 上为减函数的是（ ） 2A.y2|s inx | B.y s in2x C.y 2|cosx | D.y c os2x| x| a | x a |8.已知函数 f (x),则下列说法中正确的是 （ ）A.若a( ) 1 ，则 f x 恒成立 B.若 f (x) 1恒成立，则aC.若a0 ，则关于的方程 xf (x) a 有解(x) a 有解，则0 a 1D.若关于 的方程 f x二.填空题：本大题共 6小题, 每小题 4分,共 24分.把答案填在题中横线上. (1, 3),则9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点cos ____.10.比较大小：s in1cos1(用“ ”,“ ”或“ ”连接).B P11.已知函数 ( ) 1 3 , (,1) ,则 f 的值域为. f x x x (x) O1 4A12.如图，向量 BP 则____.x yBA,若OP x OA+yOB,13.已知sin t an 1，则cos____.π(x) [t ,t 1] (x) s in x，任取 t R ，记函数 , 上的最大值为 M 最小值为 m ，记14.已知函数 f 在区间 f 2 t t h(t) M m . 则关于函数h(t)有如下结论：tt(t ) ①函数h 为偶函数；2 (t ) ②函数h 的值域为[1 ,1]；2(t ) ③函数h 的周期为2 ；1 3 (t ) ④函数h 的单调增区间为 [2k ,2k ],k Z .22其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）三.解答题:本大题共 4小题,共 44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 10分）已知函数 f (x) x bx c ，其中 b ,c为常数.2 （Ⅰ）若函数 f （Ⅱ）若对任意 xR(x )在区间[1,)上单调，求 的取值范围； bf (1 x) f (1 x ) f (x)的图象经过点(c ,b )，，都有 成立，且函数求 的值. b ,c 16.（本小题满分 12 分）已知函数.)f (x) s in (2x 3 （Ⅰ）请用“五点法”画出函数 f (x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的 数值，再画图）；（Ⅱ）求函数 f (x)的单调递增区间；x [0, ] （Ⅲ）当 时，求函数 f (x)的最大值和最小值2及相应的 的值.xy1xO 117.（本小题满分 12 分）已知点 A(1,0),B (0,1)，点 P(x , y)y x 1上的一个动点. 为直线（Ⅰ）求证：APB 恒为锐角；（Ⅱ）若四边形 ABP Q 为菱形，求 B Q AQ 的值.18.（本小题满分 10 分）已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f (x)的图象连续不间断. 若函数 f (x) mR满足：对于给定的 （m0 m 1( )( ) ），存在 [0,1 ]，使得 ( ) ( )，则称 f x 具有性质 P m .x m f x f x m 且 0 0 0 1 1（Ⅰ）已知函数 ( ) ( )2， x [0,1]，判断 f (x) 是否具有性质 ( ) ，并说明理由；P f x x2 3 14x 1, 0 x , 431 4（Ⅱ）已知函数 ( ) 4 1, f x x, 若 f (x)具有性质 P(m)，求 的最大值； m x 43 4x 5, x 1. 4（Ⅲ）若函数 f(x )的定义域为[0,1]，且 f (x) 的图象连续不间断，又满足 f (0) f (1)，1N * k 2 且f (x) 求证：对任意k，函数 具有性质 ( ). P k北京市海淀区 2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共 8小题,每小题 4分,共 32分）题号 答案1 C2 A3 D4 D5 B6 C7 A8 D二、填空题（本大题共 4小题,每小题 4分） 三 、解答 题题 共 题,共 分) 1(2,1) 9． 10． 13． 11. (本大 6 小 80 212．1 21 514．③④215.（ 本满 分说明：14题答案如果只有③或④，则给 2分，错写的不给分小 题 10分）解：(I)因为函数 f (x) x 2 bx c ，b所以它的开口向上，对称轴方程为………………2分x 2 bb因为函数 f (x) 在区间[ ,) 上单调递增，所以 1，22所以 ………………………4分b 2 （Ⅱ）因为， f ( 1 x) f ( 1 x)所以函数 的对称轴方程为 ，所以b 2………………………6分 ………………………8分 ………………………10分f (x) x 1 又因为函数 的图象经过点 ，所以有 (c , b) c 2 2c c f (x) 2即 ，所以 或 c3c 2 0 2c 2 c 116．（本小题满分 12分）12x x (X )．填表：解：（I ） 令 X ，则 3 2 312x6 123632X22y1010………………………2分y1O1………………4分x（Ⅱ）令2k 2x 2k (k Z)………………………6分232x k12(k Z)解得k125[k ,k ](k Z)的单调增区间为s in(2x )所以函数y31212………………………8分（Ⅲ）因x[0,]为，所以，2x[0,](2x)[………………10分,]332333x 0y sin(2x )取得最小值所以当2x，即时，时，；332x y s in(2x )当2x，即取得最大值1……………………12分3212317.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点P(x,y)在直线y所以PA (1x,1x),PB (x,2x)，x 1上，所以点P(x,x 1)………………………1分123所以PA PB2x2x22(x x1)=2[(x)2]0………………………3分………………………4分224PA PB所以cos P A,PB|PA||PB|若A,P,B三点在一条直线上，则PA//PB，得到(x1)(x2)(x1)x0，方程无解，所以APB0…………………5分所以APB恒为锐角.………………………6分（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k。