北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学 2020.01阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBACAABCBD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 11 1213 141516答案22(1,16)2-；0① ②③；2m >均可说明: 第（14）题写成[]1,16给3分；第（15）题第一空3分，第二空2分；第（16）题第一空写对一个得1分，全对得3分，第二空2分，答案不唯一，取值2m >均可. 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（17）解：（Ⅰ）1cos 231()sin 2222x f x x +=+- ----------------------------------4分31sin 2cos 222x x =+ πsin(2)6x =+. ----------------------------------5分因为sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，-----------6分 令πππ22π,2π()622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， ----------------------------------7分 得πππ,π()36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . ----------------------------------8分所以()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .-------------------9分 （Ⅱ）方法1：因为[0,]x m ∈，所以πππ2[,2]666x m +∈+. ----------------------------------10分 又因为[0,]x m ∈，()f x πsin(2)6x =+的最大值为1，所以ππ262m +≥. ----------------------------------11分解得π6m ≥. ----------------------------------12分所以m 的最小值为π6. ----------------------------------13分方法2：由（Ⅰ）知： 当且仅当π=π()6x k k +∈Z 时，()f x 取得最大值1.--------------------------11分 因为()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1，所以π6m ≥. ----------------------------------12分 所以m 的最小值为π6. ----------------------------------13分（18）解：（Ⅰ）在△VAB 中，M ，N 分别为VA ，VB 的中点，所以MN 为中位线.所以//MN AB .----------------------------------1分 又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以AB //平面CMN .------------------------3分 （Ⅱ）在等腰直角三角形△VAC 中，AC CV =,所以VC AC ⊥.----------------------------------4分 因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC .-------------------------5分 又因为AB ⊂平面ABC ，ABCVMNHyx z所以AB VC ⊥.-----------------------------------6分 （Ⅲ）在平面ABC 内过点C 做CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. ----------------------------------7分 如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.----------------------------------8分 则(0,0,0)C ，(0,0,2)V ，(1,1,0)B ，(1,0,1)M ，11(,,1)22N . (1,1,2)VB =-，(1,0,1)CM =，11(,,1)22CN =.设平面CMN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.CM CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ----------------------------------10分 即0,110.22x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1x =则1y =，1z =-,所以(1,1,1)=-n . ----------------------------------11分 直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin |cos ,|3||||VB VB VB θ⋅=<>==n n n . ----------------------------------13分所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为223. （19）解：（Ⅰ）方法1:A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;----------------------------------2分 B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.6920.60>,所以B 小区是优质小区;--------------------------------4分 C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.1720.60<,所以C 小区不是优质小区.------------------------------6分方法2:A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯= 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;---------------------------------2分B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.28T =⨯+⨯+⨯+⨯0.60.20.60.20.60.320.60.280.6>⨯+⨯+⨯+⨯=.B 小区是优质小区; -------------------------------4分C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.28T =⨯+⨯+⨯+⨯0.60.20.60.20.60.320.60.280.6<⨯+⨯+⨯+⨯=.C 小区不是优质小区. ---------------------------------6分 （在对A 、B 、C 小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个. --------------------------------7分依题意ξ的所有可能取值为0，1，2. --------------------------------8分26210C 151(0)C 453P ξ====； --------------------------------9分1146210C C 248(1)C 4515P ξ====； --------------------------------10分24210C 62(2)C 4515P ξ====. -------------------------------11分则ξ的分布列为：ξ0 12P13815215-------------------------------12分1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯=. -------------------------------13分（20）解：（Ⅰ）解：依题意，得222(0)2,3,2.a b a cac a b >>=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩--------------------------------3分 解得，2,1.a b =⎧⎨=⎩ ----------------------------------4分所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ----------------------------------5分（Ⅱ）设点00(,)Q x y ，依题意，点P 坐标为00(,)x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）,直线QA 的方程为00(2)2y y x x =-- ----------------------------------6分 令4x =，得0022y y x =-，即002(4,)2y N x -. --------------------------------7分 直线PA 的方程为00(2)2y y x x =-+ ，同理可得002(4,)2y M x +.--------8分 设B 为4x =与x 轴的交点.11||||||||22APQ AMN P Q M N S S OA y y AB y y ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-0000022112|2|2||2222y y y x x =⨯⨯+⨯⨯--+---------------10分0000112||2||||22y y x x =+⋅--+ 002042||2||||4y y x =+⋅-.----------------------------------11分又因为220044x y +=，00y ≠,所以002012||2||APQ AMN S S y y y ∆∆+=+⋅002=2||4||y y +≥. -----------13分 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4.----------14分（21）解：（Ⅰ）由已知得2()e (21)x f x ax ax '=++， ---------------------------------2分因为(0)1f = ，(0)1f ¢=， ---------------------------------4分 所以直线l 的方程为1y x =+. ---------------------------------5分 （Ⅱ）（i ）当01a <?时，2221(1)10ax ax a x a ++=++-≥，所以2()e (21)0x f x ax ax '=++≥（当且仅当1a =且1x =-时，等号成立）. 所以()f x 在R 上是单调递增函数. ---------------------------------6分 所以()f x 在R 上无极小值. ---------------------------------7分 （ii ）当1a >时,一元二次方程2210ax ax ++=的判别式4(1)0a a ∆=->，---------------------------------8分记12,x x 是方程的两个根，不妨设12x x <.则121220,10.x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩所以120x x <<. ---------------------------------9分 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：x1(,)x -?1x12(,)x x2x 2(,)x +?()f x '+0 -+()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2()f x . --------------------------------11分 又因为()f x 在2[,0]x 单调递增， ---------------------------------12分 所以2()(0)1f x f <=. ---------------------------------13分 所以()f x 的极小值为小于1.22. 解：（Ⅰ）由题知：1(33)(23)1m =+-+=; ---------------------------------1分 2(33)(31)2m =+-+=; ---------------------------------2分33m =. ---------------------------------3分 5A 的特征值为1. ---------------------------------4分（Ⅱ）||=i j m m -||i j x x -. ---------------------------------5分理由如下：由于[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥，可分下列两种情况讨论：○1当,{1,2,,1}i j n ∈+时，根据定义可知：212211()()i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++- 212211 =()()n n n n n i x x x x x x x ++++++-++++同理可得：212211=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++++++-++++所以i j i j m m x x -=-.所以||=||i j i j m m x x --. ---------------------------------7分○2当,{1,2,,21}i j n n n ∈+++时，同○1理可得： 212111()()i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++212111 =()()n n n n n i x x x x x x x ++-+++-+++-212111=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++-+++-+++-所以i j j i m m x x -=-.所以||=||i j i j m m x x --. ---------------------------------9分 综上有：||=i j m m -||i j x x -.（Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤，121||i j i j n x x ≤<≤+-∑=2122112(22)2022n n n n n nx n x x x x nx ++++-+++⋅---2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-，-------------------10分显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-，212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++121221()()n n n n x x x x x m ++≥++-+++=.当且仅当121n n x x ++=时取等号； 212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++ 221231()()n n n x x x x x m+++≥++-+++= 当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知121,n m m +的较小值为1n -， 所以212211()1n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-.当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有 212211()n n n n n x xx x x x n ++-+++-+++≥. --------------------------11分下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++.证明：(22)(1)()n k p kq n p q +-+-++ =(1)(1)n k p n k q +--+- (1)()n k p q =+--0≥.所以(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++. --------------------------12分因此121||i j i j n x x ≤<≤+-∑2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-212211(1)()n n n n n n x x x x x x ++-≥++++----(1)n n ≥+. --------------------------13分当0,1,1,121,k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121||i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值(1)n n +，符合题意.所以121||i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为(1)n n +.---------------------------------14分。

海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2xy = B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x =5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ） A ．3CD BC =B ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 ． 10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅= ．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅. （Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可） （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅， ∴()sin f x a b x k =⋅=+.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 3α==-，tan 4α=-. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+ 因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=. ∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+.存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。

北京市海淀区2019-2020学年高一年级第一学期期末调研数 学2020.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|12},{0,1,2}A x x B =−<<= ，则AB = ( )A. {0}B. {01}，C. {012}，，D. {1,012}−,, （2）不等式|1|2x −≤的解集是 ( )A. {|3}x x ≤B. {|13}x x ≤≤C.{|13}x x −≤≤D. {|33}x x −≤≤ （3）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是增函数的是( )A. 1y x=B.2x y =C.y =D.ln y x = （4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 ( ) A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 （5）已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪−<⎩若关于x 的函数()y f x k =−有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ( ) A.(3,1)− B. (0,1) C. (]3,0− D. (0,)+∞（7）“函数()f x 在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是 ( ) A. 存在(1,2)a ∈满足()(1)f a f ≤ B. 存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥ C. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b = D. 存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥ （8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等. 在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算. 现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为 （参考数据lg 20.3010,lg30.477≈≈） ( )A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(1,2)−，则a 的值为__________.（10）已知()lg f x x =，则()f x 的定义域为__________,不等式(1)0f x −<的解集为 . （11）已知(1,0)OA =，(1,2)AB =，(1,1)AC =−，则点B 的坐标为_________,CB 的坐标为_________. （12）函数2()2x f x x=−的零点个数为_______，不等式()0f x >的解集为_____________. （13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元. 由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________ _______________________________________________________.（14）对于正整数k ，设函数()[][]k f x kx k x =−，其中[]a 表示不超过a 的最大整数.①则22()3f =_______;②设函数24()()()g x f x f x =+，则在函数()g x 的值域中所含元素的个数是____________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)（本小题共11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人. 基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查. 现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．（16）（本小题共11分）已知函数2()23f x ax ax =−−.（Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）已知0a >，且()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ，求2212x x +的取值范围.(17)（本小题共12分）如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==. 设OP xOA yOB =+.（Ⅰ）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：_________________________________；（Ⅲ）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ，①图形G 是_________；A. 线段B. 射线C. 直线D. 圆 ②在图2中作出图形G .(18)（本小题共10分）已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(Ⅰ)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(Ⅱ)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T . (参考数据:41.2 2.0736=)(Ⅲ)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1图2图附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集{(,)|1,2,,}i i i S P x y i N ==（N ∈N +），寻找函数y =()f x 去拟合数据点集S ，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势. （Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号） A. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点 B. 存在数据点集S ，不存在函数使其图象经过每一个数据点C. 对于任意的数据点集S ，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D. 拟合函数的图象所经过的数据点集S 中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度δ”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况. 如图所示，对于数据点集{}123,,P P P ，在如下的两种“偏置度δ”的定义中，使得函数1()f x 的偏置度大于函数2()f x 的偏置度的序号为 ________；① 1112221=(,())(,())(,())(,())niiin n n i x y f x x yf x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑;②1112221=|(,())||(,())||(,())||(,())|ni i i n n n i x y f x x y f x x y f x x y f x δ=−=−+−++−∑.（其中|(,)|x y 代表向量w (,)x y =的模长） （Ⅲ）对于数据点集()()()(){}0,0,1,1,1,1,2,2S =−，用形如()f x ax b =+的函数去拟合.当拟合函数()f x ax b =+满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度δ”达到最小时，该拟合函数的图象必过点_______.（填点的坐标）北京市海淀区2109-2020学年高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （10） ； （11）； （12）1 ；(,0)(1,)−∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 ； ..........2分； ..........4分(Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ； ..........7分(Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636−=种，..........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件，则366()427P A == ..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =−−≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =−−开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =−−≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥ ...........7分 (Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=−>⎪⎩， ..........8分解得3a <−，所以a 的取值范围是{|3}a a <−. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+−=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). ..........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤ ； ...........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分(Ⅲ) ① A ； ,..........10分 ②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为满足性质，所以对于任意的，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =−=−，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =−=−， .........3分所以，1(4)()04f f +=. ............4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =−，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =−∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =−=−<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ...........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T . ............7分(Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为的零点； ...........8分 ② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k −+=+=+∈N ，其中. 取[]1M Mk T T−=+>−即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，存在零点. ...........9分③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T=−，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T=−=−，，由111()()k k f f T TT −=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +−=−=−∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=−<. 所以，存在零点. 综上，存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ...........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。

北京市海淀区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合U={1,2，3，4，5}，A={2,3，4}，B={1,2，5}，则A∩(∁U B)=()A. {3,4}B. {3}C. {4}D. {2,3，4}2.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,2)D. (2,0)3.已知圆O的方程为x2+y2−2x−3=0，则下列直线中与圆O相切的是()A. x+√3y+3=0B. x+√3y−3=0C. √3x+y+3=0D. √3x+y−3=04.已知a，b∈R，且a>b.则()A. a2>b2B. ab >1 C. lg(a−b)>0 D. (12)a<(12)b5.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 26.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 127.设α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α，则“α//β”是“l//β”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3√2，AD=√3，sin∠ABC=√33，则△ABC 的面积是()A. 9√22B. 15√22C. 6√2D. 12√29.log849log27=()A. 2B. 32C. 1 D. 2310.若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fα(M).如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点(与C、C1不重合)Q1=fγ[fβ(P)]，Q2=fβ[fγ(P)].给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是[12,√22)； ②存在点P 使得PQ 1//平面β；③存在点P 使得PQ 1⊥PQ 2．其中，所有正确结论的序号是 ( )A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 等差数列{a n }中，a 3=50，a 5=30，则a 7= ______ ．12. 已知复数z =1+2i i ，则|z|=_____。

海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1 C ．{}3 D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12- C ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x = 5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A ．CD =uu u r u rB ．0CA CE ⋅=u u r u u rC ．AB uu u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x c < D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++uu r uu r uu u r uu u r的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =r，写出一个与a r 共线的非零向量的坐标 ．10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=r r．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨． （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可）（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2l o gy x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r， ∴()sin f x a b x k =⋅=+r r.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos α==，tan α=. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=.∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R ，且a b ，则（A ）11a b（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5（B ）5（C ）10（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D ）2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年北京市海淀区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={n2|n∈Z}，B={n+12|n∈Z}，则下列图形中能表示A与B关系的是()A. B.C. D.2.命题p：∀x∈(0,+∞)，e x>x+1+12x2，则￢p为()A. ∀x∈(0,+∞)，e x≤x+1+12x2B. ∃x0∈(0,+∞),e x0<x0+1+12x02C. ∀x∈(0,+∞)，e x<x+1+12x2D. ∃x0∈(0,+∞),e x0≤x0+1+12x023.函数是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是A. B.C. D.4.某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取管理人员()A. 200人B. 30人C. 70人D. 40人5.下列四个命题中正确的是()A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|C. 若x>2，则函数y=x+1x有最小值2D. 若a<b<0，则a2<ab<b26.同时掷两个骰子，向上的点数不相同的概率为()A. 56B. 16C. 23D. 137.函数f(x)=√x −(14)x 的零点所在的区间为( )A. (0,14)B. (14,12)C. (12,1)D. (1,2)8.对于直线m ，n 和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是( )A. m ⊥n ，m//α，n//βB. m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂αC. m//n ，n ⊥β，m ⊂αD. m//n ，m ⊥α，n ⊥β9.已知正实数，且，则的最小值为( )A.B.C.D. 510. 出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km (不含3 km)；3 km 到7 km (不含7 km)按1.6元/ km 计价；7 km 以后按2.2元/ km 计价，到目的地结算时还需付1元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程12.2 km)，需付车费 ( )(精确到1元)A. 26元B. 27元C. 28元D. 25元二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 已知不等式ax 2+bx +2<0的解集是(1,2)，则a +b 的值为______． 12. 某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图).S 1、S 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S 1______S 2.(填“>”、“<”或“=”)13. 已知函数f(x)=2+log 3x ，x ∈[1,9]，函数y =[f(x)]2+f(x 2)的最大值为______ ． 14. 一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算输出口B ，执行的运算程序是： ①当从A 口输入自然数l 时，从B 口输出实数12，记为f(1)=12；②当从A 口输入自然数n(n ≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n −1)的n−1n+1倍．通过计算f(2)、f(3)、f(4)的值，归纳猜想出f(n)的表达式为______ ．15. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累计计算：全月应纳税所得额 税率%不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超过4500元至9000元的部分20%某人一月份应交纳此项税款300元，则他当月工资、薪金所得是 元． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16. 集合A ={y|y =√16−x 2}，B ={x|m ≤x <1+3m}． (1)当m =1时，求A ∩B ，∁R A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的范围．17. 已知函数f(x)对任意的a ，b ∈R ，都有f(a +b)=f(a)+f(b)，并且当x >0时，f(x)>0． (1)求证：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)=6，解关于m 的不等式f(3m 2−m −2)<3．18. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市A ，城市B 进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市A 比赛时，甲队胜乙队的概率为35，平乙队的概率为15；在城市B 比赛时，甲队胜乙队的概率为13，平乙队的概率为16，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(Ⅰ)求两场比赛甲队恰好负一场的概率； (Ⅱ)求两场比赛甲队得分X 的分布列．19. 已知二次函数的定义域为[−1,2]，(1)若，求函数的值域；(2)若 >0，且函数是[−1,2]上的单调函数，求的范围及此时函数的最值．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查集合的关系，考查Venn图，属于基础题．根据集合A，B所表达的意思，进行分析，进而可得结果．解：根据题意，由于集合A={n2|n∈Z}，B={n+12=12(2n+1)|n∈Z}，根据集合的元素n是整数集可知，集合A是12的整数倍，集合B是12的奇数倍，故B⫋A，故选A．2.答案：D解析：解：因为原命题为全称命题，所以其否定为特称命题；即：∃x0∈(0,+∞)，e0x≤x0+1+12⋅x02；故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，以及特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.答案：D解析：试题分析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)且f(0)=0，可变形为：f(−x)+ f(x)=0，f(−x)−f(x)=−2f(x)，f(x)⋅f(−x)≤0，而由f(0)=0，由知D不正确．故选D考点：函数奇偶性点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．4.答案：B解析：解：某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，应抽取管理人员：300×1501500=30(人)．故选：B．按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，利用分层抽样的性质能求出应抽取管理人员的数量．本题考查抽取的管理人员的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：A，均为正数，才能相乘，不正确；B，若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|，正确；C，若x>2，则函数y=x+1x 有最小值2+12=52，不正确；D，a=−2，b=−1时不成立．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：A解析：解：同时掷两个骰子，向上的点数共有36种不同情况，分别为：其中向上的点数相同的事件共有6种，故向上的点数相同的概率P=636=16，故向上的点数不相同的概率P=1−16=56，故选：A列举出所有情况，及出现相同点数的情况数，先求出向上点数相同的概率，进而利用对立事件概率减法公式，得到答案．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ．7.答案：B解析：解：根据题意可计算得f(0)=−1<0，f(14)=12−(14)14<0，f(12)=√12−(14)12>0，所以函数的零点所在区间为(14,12)， 故选：B ．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解． 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．8.答案：C解析：对于C 项：∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又m ⊂α，∴α⊥β．9.答案：A解析：试题分析：因为，正实数，且，所以，=，故选A 。

2020. 01本试卷共 4 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。

1,2,3, 4,5, 6 ， ，是U1,3,5, 6} 1,3,5} （A ） （B ） （C ）（2）抛物线 y24x 的焦点坐标为(0,1)（A ） （B ）（C ）（3）下列直线与圆( 1)( 1) 2 相切的是 x 2 y 2 （A ） （B ）（C ）（4）已知a,b Î R ，且 a，则1 11 1 （A ）Dab2 2331(x )3 的展开式中， x 的系数为5 x （A ）（6）已知平面向量a, b , c满足，则a b 的值为| || || |1，且 a b c 1 13 3 （B ）（D ）2222=m ，= （7）已知 , n ，则“ m n ”是“”∥ 的（B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△， A D B D C D的是S cos BADs in BAD（A ）（C ）2 （D ）2Sx（9）声音的等级 ( )（单位：dB ）与声音强度 （单位：W/m 2）满 足 f .x f x么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的681012（10）若点 N 为点 在平面 上的正投影，则记 Na.M - A B C D1 1 1 1A B C D 为 b ，平 面 AB C D 为g ，点 P 是棱C C 上一动点（与1 11= f [ f (P)] Q = f [ f (P)] ， .给出下C1gb2bg列三个结论：1 2①线段 P Q 长度的取值范围是[ , ) ；2 22 ②存在点 P 使得 P Q ∥平面 ；b 1 ^ P Q .1（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2020．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）12（10） (0,)+∞；{|12}x x << （11）(22)，；(03)， （12）1 ；(,0)(1,)-∞+∞（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入 （14） 1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） (Ⅰ) 由题意可得 1051343195a =⨯-=； ..........2分 901324195b =⨯-=； ..........4分 (Ⅱ) 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为441059012076⨯+⨯=； ..........7分 (Ⅲ) 如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0， 列举如下：..........9分共有76=42⨯种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636-=种，.........10分记“访谈学生中至少有一人选择‘同意’”为事件A ，则366()427P A ==..........11分（16） (Ⅰ) 当1a =时，由2()230f x x x =--≥解得{|31}x x x ≥或≤-. .........3分(Ⅱ) 当0a >时，二次函数2()23f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增， ...........5分 要使()0f x ≥在[3,)+∞上恒成立，只需(3)9630f a a =--≥， ...........6分 所以a 的取值范围是{|1}a a ≥..........7分(Ⅲ) 因为()0f x =有两个不相等的正．实数根12,x x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪⎨+=>⎪⎪=->⎪⎩， .........8分解得3a <-，所以a 的取值范围是{|3}a a <-. ..........9分 因为2221212126()24x x x x x x a+=+-=+， ..........10分 所以，2212x x +的取值范围是(2,4). .........11分（17） (Ⅰ)图中点P 即为所求. ...........4分(Ⅱ) x y =且0,0x y ≤≤； ..........7分 说明：如果丢掉了“0,0x y ≤≤”，(Ⅱ)给2分 (Ⅲ) ① A ； ,......................................................................................................................................10分②图中线段DE 即为所求. ...........12分（18） (Ⅰ) 因为()f x 满足性质(2)P ，所以对于任意的0x >，(2)()2f x f x =+恒成立. 又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=， ...........1分(4)(2)24f f =+=， ...........2分由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =-=-，由11()()+224f f =可得11()()2442f f =-=-， ........3分所以，1(4)()04f f +=. ...........4分(Ⅱ)若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =（或者1.2T T =）， 记 1.2()log g x x x =-，（或者设() 1.2(0,)x g x x x =-∈+∞，） .........5分显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =-=-<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >. ..........6分 因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数()f x 同时满足性质1()P T 和2()P T . ...........7分 (Ⅲ) ① 若(1)0f =，则1即为()f x 的零点； ...........8分② 若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k -+=+=+∈N ，其中.取[]1M Mk T T-=+>-即可使得()0k f T M kT =+>. 所以，()f x 存在零点. ...........9分 ③ 若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1()(1)f f T T =-，由211()()f f T T T =+，可得211()()(1)2f f T f T T T =-=-，，由111()()k k f f T TT -=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T+-=-=-∈N ，其中. 取[]1M M k T T =+>即可使得1()0k f M kT T=-<. 所以，()f x 存在零点.综上，()f x存在零点. ...........10分附加题：（本题满分5分. 所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）【答案】(Ⅰ) B、C ..........2分(Ⅱ) ①...........4分(Ⅲ)1(,1)2...........5分注：对于其它正确解法，相应给分.。

北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog 2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数T ≠0，使得f （x ）=Tf （x +T ）对任意的x ∈R 成立，则称函数f （x ）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f （x ）=x ，g （x ）=sinπx 是否是Ω函数；（只需写出结论） （Ⅱ）说明：请在（i ）、（ii ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i ）计分（i ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是偶函数，则f （x ）是周期函数； （ii ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是奇函数，则f （x ）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a ＞1时，函数f （x ）=a x 一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V ，对于，∈V ，≠，定义V （，）=|x ∈V |x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V （，）中的三个元素； （2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V （，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．故选：C．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为c＜b ＜a．【解答】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320单位．【解答】解：由题意，令x=40，v=1010=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．故答案为：320．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴=0，解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g （x ）=f （x ）﹣2=x 2+c ﹣2， 若函数g （x ）有两个不同的零点， 则△=﹣4（c ﹣2）＞0， 解得：c ＜2；（Ⅲ）证明：函数f （x ）=x 2+c 的开口朝上， ∵|c 2+1|2﹣|c |2=c 4+c 2+1=（c 2+）2+＞0恒成立， 故|c 2+1|＞|c |，故不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=Asin （ωx +φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f （x ）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f （x）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f（x ）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x +），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ+≤2x +≤2kπ+，求得kπ+≤x ≤kπ+，可得函数f （x ）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k ∈Z ．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x +∈[，]，sin （2x +）∈[﹣，1]，f （x ）∈[﹣，2]，即函数f （x ）的值域为[﹣，2]．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f （x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由•=•，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由•=•，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=•c+•e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。

北京市海淀区 2019-2020 学年上学期期末考试高一数学试题本试卷共 100分.考试时间 90分钟.三题号分数一二1516 17 18一.选择题：本大题共 8小题, 每小题 4分,共 32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集U{1,2,3,4},A {1,2},B {2,3},则 () B（ ）A UA.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4} 2.代数式s in120 cos210的值为（）3 43 3 D.1A.B.C.424,b 3.已知向量 (1,1), ( , 2), 若a 共线,则实数 的值为 （（））a b x x x2 A. 1 B.2 C.1或 2 D.1或21 4.函数 f (x)的定义域为 lgx 1A.(0,)B.(0,1) (1,) C.(1,)D.(0,10) (10,)5.如图所示,矩形 中, AB4, 点 E 为 AB 中点, C AB C D D 若 D E A C ,则| DE| （ ）B A5 E 2 3 C.3D.2 2A. B. 216.函数 ( ) f xl og 的零点所在的区间是 （ ） x 4x41 1A.(0, )B.( ,1)C.(1,2 )D.(2,4) 2 2π7.下列四个函数中，以π 为最小正周期，且在区间( ,π) 上为减函数的是（ ） 2A.y2|s inx | B.y s in2x C.y 2|cosx | D.y c os2x| x| a | x a |8.已知函数 f (x),则下列说法中正确的是 （ ）A.若a( ) 1 ，则 f x 恒成立 B.若 f (x) 1恒成立，则aC.若a0 ，则关于的方程 xf (x) a 有解(x) a 有解，则0 a 1D.若关于 的方程 f x二.填空题：本大题共 6小题, 每小题 4分,共 24分.把答案填在题中横线上. (1, 3),则9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点cos ____.10.比较大小：s in1cos1(用“ ”,“ ”或“ ”连接).B P11.已知函数 ( ) 1 3 , (,1) ,则 f 的值域为. f x x x (x) O1 4A12.如图，向量 BP 则____.x yBA,若OP x OA+yOB,13.已知sin t an 1，则cos____.π(x) [t ,t 1] (x) s in x，任取 t R ，记函数 , 上的最大值为 M 最小值为 m ，记14.已知函数 f 在区间 f 2 t t h(t) M m . 则关于函数h(t)有如下结论：tt(t ) ①函数h 为偶函数；2 (t ) ②函数h 的值域为[1 ,1]；2(t ) ③函数h 的周期为2 ；1 3 (t ) ④函数h 的单调增区间为 [2k ,2k ],k Z .22其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）三.解答题:本大题共 4小题,共 44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 10分）已知函数 f (x) x bx c ，其中 b ,c为常数.2 （Ⅰ）若函数 f （Ⅱ）若对任意 xR(x )在区间[1,)上单调，求 的取值范围； bf (1 x) f (1 x ) f (x)的图象经过点(c ,b )，，都有 成立，且函数求 的值. b ,c 16.（本小题满分 12 分）已知函数.)f (x) s in (2x 3 （Ⅰ）请用“五点法”画出函数 f (x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的 数值，再画图）；（Ⅱ）求函数 f (x)的单调递增区间；x [0, ] （Ⅲ）当 时，求函数 f (x)的最大值和最小值2及相应的 的值.xy1xO 117.（本小题满分 12 分）已知点 A(1,0),B (0,1)，点 P(x , y)y x 1上的一个动点. 为直线（Ⅰ）求证：APB 恒为锐角；（Ⅱ）若四边形 ABP Q 为菱形，求 B Q AQ 的值.18.（本小题满分 10 分）已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f (x)的图象连续不间断. 若函数 f (x) mR满足：对于给定的 （m0 m 1( )( ) ），存在 [0,1 ]，使得 ( ) ( )，则称 f x 具有性质 P m .x m f x f x m 且 0 0 0 1 1（Ⅰ）已知函数 ( ) ( )2， x [0,1]，判断 f (x) 是否具有性质 ( ) ，并说明理由；P f x x2 3 14x 1, 0 x , 431 4（Ⅱ）已知函数 ( ) 4 1, f x x, 若 f (x)具有性质 P(m)，求 的最大值； m x 43 4x 5, x 1. 4（Ⅲ）若函数 f(x )的定义域为[0,1]，且 f (x) 的图象连续不间断，又满足 f (0) f (1)，1N * k 2 且f (x) 求证：对任意k，函数 具有性质 ( ). P k北京市海淀区 2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共 8小题,每小题 4分,共 32分）题号 答案1 C2 A3 D4 D5 B6 C7 A8 D二、填空题（本大题共 4小题,每小题 4分） 三 、解答 题题 共 题,共 分) 1(2,1) 9． 10． 13． 11. (本大 6 小 80 212．1 21 514．③④215.（ 本满 分说明：14题答案如果只有③或④，则给 2分，错写的不给分小 题 10分）解：(I)因为函数 f (x) x 2 bx c ，b所以它的开口向上，对称轴方程为………………2分x 2 bb因为函数 f (x) 在区间[ ,) 上单调递增，所以 1，22所以 ………………………4分b 2 （Ⅱ）因为， f ( 1 x) f ( 1 x)所以函数 的对称轴方程为 ，所以b 2………………………6分 ………………………8分 ………………………10分f (x) x 1 又因为函数 的图象经过点 ，所以有 (c , b) c 2 2c c f (x) 2即 ，所以 或 c3c 2 0 2c 2 c 116．（本小题满分 12分）12x x (X )．填表：解：（I ） 令 X ，则 3 2 312x6 123632X22y1010………………………2分y1O1………………4分x（Ⅱ）令2k 2x 2k (k Z)………………………6分232x k12(k Z)解得k125[k ,k ](k Z)的单调增区间为s in(2x )所以函数y31212………………………8分（Ⅲ）因x[0,]为，所以，2x[0,](2x)[………………10分,]332333x 0y sin(2x )取得最小值所以当2x，即时，时，；332x y s in(2x )当2x，即取得最大值1……………………12分3212317.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点P(x,y)在直线y所以PA (1x,1x),PB (x,2x)，x 1上，所以点P(x,x 1)………………………1分123所以PA PB2x2x22(x x1)=2[(x)2]0………………………3分………………………4分224PA PB所以cos P A,PB|PA||PB|若A,P,B三点在一条直线上，则PA//PB，得到(x1)(x2)(x1)x0，方程无解，所以APB0…………………5分所以APB恒为锐角.………………………6分（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k。

2019北京海淀高一（上）期末数学2019.01学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A，{|02}B x x ，则A B( )（A ）{1}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{02}x x （2）已知向量(,6)m a，(1,3)b，且a b ，则m( )（A ）18（B ）2（C ）18（D ）2（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)上是增函数的是（）（A ）()2xf x （B ）3()f x x（C ）()lg f x x（D ）()sin f x x（4）命题2:2,10p xx，则p 是（）（A ）22,10x x （B ）22,10x x （C ）22,1xx（D ）22,1xx（5）已知3tan4，sin 0，则cos（）（A ）35（B ）35（C ）45（D ）45（6）若角的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（）（A ）sin（B ）cos（C ）tan（D ）sin(π)（7）为了得到函数πsin()3y x的图象，只需把函数sin y x 的图象上的所有点（）（A ）向左平移2π3个单位长度（B ）向左平移π3个单位长度（C ）向右平移π3个单位长度（D ）向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角的函数记为()f . 则下列关于函数()f 的说法正确的是（）（A ）()f 的定义域是π{|2π,}2k kZ （B ）()f 的图象的对称中心是π(π,0),2k kZ（C ）()f 的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k Z（D ）()f 对定义域内的均满足(π)()f f 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)a，(3,4)b，则a b ______；2ab______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A ，{3,5}B ，集合S 满足S A 1ì，SB A .则一个满足条件的集合S是 . （12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 3时，()f x x x =+，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为弧度；若点P 是AB 上的一个动点，则当OA OPOB OP 取得最大值时，,OA OP.（14）已知函数122,,()2,.x x a f x xa x a （Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ，都存在2(,)x a ，使得21()()f x f x .在①12；②12；③1；④2；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）TPyxO PBAO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共11分）已知函数π()2sin(2)3f x x. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T 的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x xbxc ，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x .（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出(3)cf 与(2)cf 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO ，2OA AD ，90D ，且1BOAD .-π611yxO。

北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3 D．y=lg||5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f （）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={|（﹣1）（﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（）=α，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（）=2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3 D．y=lg||【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；y=sin，∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=3定义域为R，f（﹣）=﹣f（），为奇函数；y=lg||的定义域为{|≠0}，且f（﹣）=f（），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（）的图象，设f（）=Asin（ω+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（）=2sin（2﹣），故可以把函数f（）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2+﹣）=2sin2的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sin函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c【解答】解：∵f（）=log2﹣（）在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数0是函数y=f（）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（）=sinω在区间上是增函数，由f（﹣）=sin（﹣ω）=﹣si nω=﹣f（），可得f（）为奇函数，则①函数f（）=sinω在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin，1），b=（1，），f（）=，∴f（）==sin+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于的方程f（）=1有解，即关于的方程sin=1﹣有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sin∈[﹣1，1]，∴当1﹣∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=2﹣4，∵函数g（）是奇函数，∴g（﹣）=﹣g（），假设＜0，则﹣＞0，则g（﹣）=f（﹣）=2+4，∴g（）=﹣2﹣4，∴g（）=，（i）g（）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）=f（）=2sin（2+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2π﹣≤2+≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（）在区间上的最小值为﹣2．当即=0时，f（）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f （）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（+T）=2+T=22T=f（）2T，故不是线周期函数对于②f（+T）=log2（+T）≠f（）+T，故不是线周期函数对于③f（+T）=[+T]=+T=f（）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意∈R，g（+T）=g（）+T恒成立．∵G（）=g（）﹣，∴G（+T）=g（+T）﹣（+T）=g（）+T﹣（+T）=g（）﹣=G（）．∴G（）=g（）﹣为周期函数．（Ⅲ）∵φ（）=sin+为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意∈R，sin（+T）+（+T）=sin++T．∴sin（+T）+T=sin+T．令=0，得sinT+T=T；令=π，得﹣sinT+T=T；①②两式相加，得2T=2T．∵T≠0，∴=1检验：当=1时，φ（）=sin+．存在非零常数2π，对任意∈R，φ（+2π）=sin（+2π）++2π=sin++2π=φ（）+2π，∴φ（）=sin+为线周期函数．综上，=1．。

北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}3D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2xy = B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x =5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ） A ．3CD BC =B ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 ． 10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅= ．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅. （Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13fk α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可） （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =，()1,b k =，()f x a b =⋅， ∴()sin f x a b x k =⋅=+.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 3α==-，tan 4α=-.16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=. ∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．()6223++ B ．()6225++C ．10D ．122．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin B =，574ABC S =△，则b =（ ） A.23B.27C.15D.143．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A.34k ≥或 4k ≤- B.34k ≥或 14k ≤- C.344k -≤≤D.344k ≤≤ 4．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.在生活中，我们也可以通过设计如下实验来估计π的值：在区间[1,1]-内随机抽取200个数，构成100个数对(,)x y ，其中以原点为圆心，1为半径的圆的内部的数对(,)x y 共有78个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A.257B.227C.7825D.72255．已知函数()sin f x x =和()22g x x π=-的定义域都是[],ππ-，则它们的图像围成的区域面积是（ ） A.πB.22π C.32πD.3π6．已知△ABC 的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2330aGA bGB cGC u u u v u u u v u u u v v++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A.1:1:1B.3:23:2C.3:2:1D.3:1:2 7．如果角的终边在第二象限，则下列结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．设函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数 B．()()f x g x 是奇函数 C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数9．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（） A ．7 B ．4C ．233D ．310．设函数，则是( )A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数 11．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.12πB.11πC.10πD.9π12．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A.22(2)(2)1x y ++-= B.22(2)(2)1x y -++= C.22(2)(2)1x y +++= D.22(2)(2)1x y -+-=二、填空题13．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．14．已知0a >，0b >，若()469log log log a b a b ==+，则ab=______． 15．数列的前项和，则的通项公式为__________．16．已知数列{}n a ，1011023a =，且()*1121n n n N a a +=+∈，则12a a -=________． 三、解答题17．已知奇函数()f x 的定义域为[-1,1]，当[1,0)x ∈-时，1()()2xf x =-。