数学高考细心锻练习题

3.数 列1．在等差数列{a n }中，a 1＝－2，a 12＝20.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a1＋a2＋…＋an n，求数列{3b n }的前n 项和S n . 解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a1＋a2＋…＋an n＝n －3，令c n ＝，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c1()1－qn 1－q ＝3n －118(n ∈N *)． 2．已知数列{a n }满足a 1＝12，1an ＋1＝1an＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 2＋a 23＋…＋a 2n <12. (1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1an ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *)． (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＝14·1n2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 2＋a 23＋…＋a 2n <14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 2＋a 23＋…＋a 2n <12. 3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1.(1)求b 1，b 14，b 61；(2)求数列{b n }的前200项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81， ∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项； 当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项； 当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项． ∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，其中S n 为{a n }的前n 项和(n ∈N *)．(1)求S 1，S 2及数列{S n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(－1)n S n ，且{b n }的前n 项和为T n ，求证：当n ≥2时，13≤|T n |≤79. (1)解 数列{a n }满足S n ＝2a n ＋1，则S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，即3S n ＝2S n ＋1，所以Sn ＋1Sn ＝32， 所以S 2＝32，S 1＝a 1＝1， 即数列{S n }是以1为首项，以32为公比的等比数列． 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(n ∈N *)． (2)证明 在数列{b n }中，b n ＝(－1)n S n ＝－1×(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，{b n }的前n 项和的绝对值 |T n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋49＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋49＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 而当n ≥2时，1－23≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋49＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋49＝79，即13≤|T n |≤79. 5．设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝2an a2n ＋1(a >0且a ≠1，n ∈N *)． (1)证明：当n ≥2时，a n <a n ＋1<1；(2)若b ∈(a 2,1)，求证：当整数k ≥(b －a 2)(b ＋1)a 2(1－b )＋1时，a k ＋1>b . 证明 (1)由a n ＋1＝2an a2n ＋1知，a n 与a 1的符号相同， 而a 1＝a >0，所以a n >0，所以a n ＋1＝2an ＋1an≤1， 当且仅当a n ＝1时，a n ＋1＝1，下面用数学归纳法证明：①因为a >0且a ≠1，所以a 2<1，a3a2＝2a22＋1>1，即有a 2<a 3<1； ②假设当n ＝k 时，有a k <a k ＋1<1(k ≥2)，则a k ＋2＝2ak ＋1a2k ＋1＋1＝2ak ＋1＋1ak ＋1<1， 且ak ＋2ak ＋1＝2a2k ＋1＋1>1，即a k ＋1<a k ＋2<1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上，对任意n ≥2，均有a n <a n ＋1<1成立．(2)若a k ≥b ，则由(1)知当k ≥2时，1>a k ＋1>a k ≥b ；若a k <b ，由0<x <1及二项式定理知(1＋x )n ＝1＋C1n x ＋…＋Cn n x n ≥1＋nx ， 而a 2k ＋1<b 2＋1<b ＋1，且a 2<a 3<…<a k <b <1，所以a k ＋1＝a 2·a3a2·a4a3·…·ak ＋1ak ＝a 2·2k －1(1＋a 22)(1＋a 23)…(1＋a 2k )>a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋b2k －1>a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋b k －1＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－b 1＋b k －1≥a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1－b 1＋b (k －1). 因为k ≥(b －a 2)(b ＋1)a 2(1－b )＋1， 所以1－b 1＋b (k －1)＋1≥b －a2a2＋1＝b a2， 所以a k ＋1>b .6．已知数列{a n }满足a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋2上．数列{b n }满足b 1＝2，bn ＋1an ＋1＝1a1＋1a2＋…＋1an. (1)求b 2的值；(2)求证数列{a n ＋1}为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(3)求证：2－12·3n －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1bn <3316. (1)解 由已知得a 2＝3a 1＋2＝8，所以b2a2＝1a1，b28＝12， 解得b 2＝4.(2)解 由条件得a n ＋1＝3a n ＋2，则an ＋1＋1an ＋1＝3an ＋3an ＋1＝3， 所以数列{a n ＋1}是以3为公比的等比数列．a n ＋1＝(a 1＋1)·3n －1＝3n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－1.(3)证明 由题设bn ＋1an ＋1＝1a1＋1a2＋…＋1an，① 知bn an ＝1a1＋1a2＋…＋1an －1(n ≥2)，② ①－②得bn ＋1an ＋1－bn an ＝1an， 则bn ＋1an ＋1＝1＋bn an ，即1＋bn bn ＋1＝an an ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，2－12×1＝32，1＋1b1＝32<3316， 所以原不等式成立；当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1bn ＝1＋b1b1·1＋b2b2·…·1＋bn bn ＝1b1·1＋b1b2·1＋b2b3·…·1＋bn －1bn ·(1＋b n )＝12×34×a2a3·…·an －1an ·(1＋b n ) ＝38×8an ·(1＋b n )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋bn an ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1an ＋bn an ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1＋1a2＋…＋1an －1＋1an ， 先证明不等式左边，因为1an ＝13n －1>13n， 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1＋1a2＋…＋1an ≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1＋132＋133＋…＋13n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13＝2－12·3n －1. 再证明不等式右边，当n ≥2时，1an ＝13n －1＝19·3n －2－1≤18·3n －2， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1＋1a2＋…＋1an ≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a1＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13n －2 ＝3⎝⎛⎭⎪⎫12＋18·1－13n －11－13＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋316⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1<3316. 所以2－12·3n －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1bn <3316成立． 综上所述，不等式成立．。

课时作业(十六) 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式[练基础]1．直线3 x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直2．已知三角形的三个顶点A (2，4)，B (3，－6)，C (5，2)，则过A 点的中线长为( )A ．10B ．210C ．112D ．3103．已知直线l 1：2x －y －2＝0与直线l 2：3x ＋y －8＝0的交点为A ，则点A 与点B (2，3)间的距离为( )A ．13B ．22C ．2D ．14．若三条直线2x ＋ky ＋8＝0，x －y －1＝0和2x －y ＝0交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．3D ．125．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2，3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0，1)6．过两条直线l 1：x ＋y －2＝0与l 2：3x －y －4＝0的交点，且斜率为－2的直线l 的方程为________．7．已知点A (－25 ，3)，在y 轴上有一点B ，且|AB |＝35 ，则点B 的坐标为________．8．设直线l 1：3x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋3y ＋2＝0相交于一点A .(1)求点A 的坐标；(2)求经过点A ，且垂直于直线l 1的直线l 的方程．[提能力]9．已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2 ＋ （x －1）2＋y 2 ，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4D ．210．(多选)已知平面上三条直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x －1＝0，l 3：x ＋ky ＝0不能构成三角形，则实数k 的值可以为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．111．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2，3)，则过两点Q (a 1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．12．直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．[培优生]13．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是()A．2 B．22C．23D．4。

小题提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1－b ii (b ∈R )的实部和虚部相等，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B.复数z ＝1－b i i ＝i ＋b－1＝－b －i ，因为复数z 的实部和虚部相等，所以b ＝1.2．已知集合A ＝{x |x 2＞1}，B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．4解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，A ∩B ＝{－2，2}，A ∩B 中有2个元素，故选A.3．已知角α，β满足tan αtan β＝13，若cos(α－β)＝45，则cos(α＋β)的值为( )A.15 B ．23C.25D ．35解析：选C.解法一：由tan αtan β＝13，cos(α－β)＝45得，⎩⎨⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎨⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.解法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ①，由cos(α－β)＝45得，cos αcosβ＋sin αsin β＝45 ②，由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x225＋x 2＝13，解得x ＝25，故cos(α＋β)＝25. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选D.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，可知当x ＞0时，f (x )＞2，当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤12，2，故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，排除选项A 、B 、C ，故选D.5．已知直线m ，平面α，β，p ：“直线m 与平面α，β所成的角相同”，q ：“α∥β”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若“直线m 与平面α，β所成的角相同”，以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1为例，面对角线A 1D 与底面ABCD 及侧面ABB 1A 1所成的角均为45°，但底面ABCD ⊥侧面ABB 1A 1，所以充分性不成立；必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线m 与平面α，β所成的角相同”，所以必要性成立．故p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．9，2B ．10，2C ．9，12D ．9，－1解析：选D.当n ＝1时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；当n ＝2时，a ＝1－1a ＝1－112＝－1；当n＝3时，a ＝1－1a ＝1－1－1＝2；当n ＝4时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；….则a 的取值是周期为3的一组数，则由循环语句，当n ＝8时，a ＝－1，则n ＝9，跳出循环，执行输出，故选D.7．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋43y ＝－3的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．内切D ．相交解析：选D.圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆C 2：x 2＋(y ＋23)2＝9，则C 1(2，－1)，圆C1的半径r1为2；C2(0，－23)，圆C2的半径r2为3.两圆的圆心距d＝22＋（23－1）2＝17－43∈(r2－r1，r2＋r1)，所以两圆的位置关系是相交．故选D.8．已知各项均为正的等比数列{a n}，公比为q，前n项和为S n，则“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件通解：选A.因为等比数列{a n}的各项均为正，所以a1＞0.若q＞1，则S2＋2S6－3S4＝a1（1－q2）1－q ＋2a1（1－q6）1－q－3a1（1－q4）1－q＝a1q2（1＋2q4－3q2）q－1＝a1q2（2q2－1）（q2－1）q－1＞0，所以S2＋2S6＞3S4.而当q＝1时，S2＋2S6＞3S4也成立．所以“q ＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.优解：因为等比数列{a n}的各项均为正，所以q＞0，S2＞0.令S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－1)＞0，所以q＞22.所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.9．已知函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋b(a，b∈R)，则下列图象一定不能表示f(x)的图象的是()解析：选D.结合选项，令b＝0，f(x)＝ax3＋ax2＋x，则f′(x)＝3ax2＋2ax＋1，分三种情况讨论：当a＝0时，f′(x)＝1，f(x)单调递增；当a＜0时，方程3ax2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3a＞0，此时f(x)不可能单调递减；当a＞0时，函数f′(x)＝3ax2＋2ax＋1不可能恒小于0，即函数f(x)不可能在R上单调递减，结合各选项，知f(x)的图象不可能为D中图象，故选D.10．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体积是()A.233＋23πB ．233＋163πC ．4＋163πD ．43＋23π解析：选D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为1的半球，其直观图如图1所示．图1在棱长为2的正方体中画出符合三视图的三棱锥A -BEF ，顶点A ，B ，E ，F 分别是正方体棱的中点．解法一：如图2，取EF 的中点C ，连接AC ，BC ，则EF ⊥AC ，EF ⊥BC ，所以EF ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×2＝2，三棱锥A -BEF 的体积V 1＝13×S △ABC ×EF＝43.半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图2解法二：如图3，C ，D 分别为正方体两棱的中点，连接CD ，G 为CD 的中点，连接EG ，FG ，过CD ，EF 作截面EFDC ，则正方体和三棱锥A -BEF 都被一分为二，因为S △EFG ＝12×2×2＝2，所以三棱锥A -BEF 的体积V 1＝2×13×S △EFG ×AG ＝43，半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图311．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43 B ．34C.53D ．45解析：选A.如图1，由已知条件得，△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a ，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a＋a ＝8，b 2＋a 2－8a ＝0，得(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝ba ＋1，则k 表示点(a ，b )与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知k max ＝43.故选A.12．已知函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )－f (－x )＝0，f (x ＋2)－f (－x )＝0，当x ∈[ 0，1]时，f (x )＝x 12·g (x )＝4x －2x －2是定义域为R 的函数．给出以下四个命题：①存在实数a ，使得关于x 的方程|g (x )|＝a 有两个不相等的实根； ②存在x 0∈[0，1]，使得g (－x 0)＝－g (x 0)；③当x ∈(－∞，2]时，关于x 的方程f [g (x )]＝0有7个实根； ④关于x 的方程g [f (x )]＝0有1个实根． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为f (x )＝f (－x )，f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，也是周期函数，其最小正周期T ＝2.结合已知条件画出函数f (x )的图象，如图所示．图1命题①是真命题．当a ＝1时，4x －2x －2＝±1，所以4x －2x －3＝0或4x －2x －1＝0，解得2x ＝1±132或2x ＝1±52，又2x ＞0，所以x ＝log 21＋132或x ＝log 21＋52，符合题意，所以命题①是真命题．命题②是假命题．解方程4－x －2－x －2＝－(4x －2x －2)，整理得(2x ＋2－x )2－(2x ＋2－x )－6＝0，所以(2x ＋2－x －3)(2x ＋2－x ＋2)＝0，因为2x ＋2－x ＞0，所以2x ＋2－x －3＝0，所以(2x )2－3×2x ＋1＝0，解得2x ＝3±52.由x 0∈[0，1]，得2x 0∈[1，2]，而3±52∉[1，2]，所以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在x 0，使得g (－x 0)＝－g (x 0)，命题②是假命题．命题③是真命题．设t ＝2x ，由x ∈(－∞，2]，得t ∈(0，4]．构造函数φ(t )＝t 2－t －2(4≥t ＞0)，则g (x )＝φ(t )，函数φ(t )的图象如图2所示．图2易得φ(t )∈⎣⎡⎦⎤－94，10，结合函数f (x )的图象可知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－94，10上有零点－2，0，2，4，6，8，10，当g (x )分别等于－2，0，2，4，6，8，10时，都只有一个实根．所以方程f [g (x )]＝0在(－∞，2]上有7个实根，命题③是真命题．命题④是假命题．函数g (x )只有唯一零点x ＝1，所以f (x )＝1，结合f (x )的图象可知，当f (x )＝1时，x ＝2k ＋1，k ∈Z ，所以方程g [f (x )]＝0有无数个实根，且x ＝2k ＋1，k ∈Z ，命题④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．某校共有学生2 400人，高一学生有800人，现对学生活动情况进行抽样调查，用分层抽样的方法从所有学生中抽取120人，则从高一年级学生中应抽取________人．解析：由题意得，抽取的比例为120，因为从所有学生中抽取120人，所以从高一年级学生中应抽取的人数为800×120＝40.答案：4014．已知向量a ＝(1，m )，|b |＝1，|a ＋b |＝7，且向量a ，b 的夹角是60°，则m ＝________． 解析：由|a ＋b |＝7，得|a |2＋2a·b ＋|b |2＝|a |2＋|a |＋1＝7，解得|a |＝2，所以m 2＋1＝2，故m ＝±3.答案：±315．已知在等差数列{a n }中，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 13＝91，若S ka k＝6，则正整数k ＝________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 13＝91，得13a 1＋13×（13－1）2d ＝91，根据a 1＝1，得d ＝1，所以a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k ＝k ＋12＝6，所以k ＝11.解法二：在等差数列{a n }中，S 13＝91，根据等差数列的性质，可得13a 7＝91，即a 7＝7，又a 1＝1，所以可得公差d ＝1，即a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k ＝k ＋12＝6，所以k＝11.答案：1116．如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD 测量塔高，当在升降机底部C 时，测得点A 的仰角为45°、点B 的仰角为60°；当升降机上升10米至D 时，测得点A 的仰角为30°，则塔高AB 为________米．解析：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝120°，得∠DAC ＝15°，又CD ＝10，由正弦定理CD sin 15°＝AC sin 120°，得AC ＝53sin 15°.又在△ACB 中，∠ACB ＝60°－45°＝15°，∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin 30°＝AB sin 15°，得AB ＝AC sin 15°sin 30°＝2×53sin 15°·sin 15°＝10 3.答案：10 3。

Ⅰ：高考客观题(12＋4)·提速练(一)限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x |x ＋3＜2x 2}，N ＝{x |－2≤x ＜1}，则M ∩N ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，1 B.⎣⎡⎭⎫－2，－32 C ．[－2，－1)D ．[－2,3)解析：C [解法一 由x ＋3＜2x 2，得2x 2－x －3＞0，即(x ＋1)(2x －3)＞0，得x ＜－1或x ＞32.所以M ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.又N ＝[－2,1)，所以M ∩N ＝[－2，－1)．故选C. 解法二 因为1∉N ，所以排除D 项；因为0＋3＜2×02不成立，所以0∉M ，所以排除A 项；因为－32＋3＜2×⎝⎛⎭⎫－322成立，所以－32∈M ，又－32∈N ，所以－32∈M ∩N ，故排除B.综上，选C.]2．已知复数z ＝(a 2－3a ＋2)＋(a 2－a )i(a ∈R )为纯虚数，则z1＋3i ＝( )A.35＋15iB.35－15i C ．3－iD ．3＋i解析：A [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a 2－a ≠0，解得a ＝2，所以z ＝2i ，故z 1＋3i ＝2i1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝6＋2i 10＝35＋15i.故选A.]3.2019年全国两会(即中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议)于3月份在北京召开．代表们提交的议案都是经过多次修改．为了解代表们的议案修改次数，某调查机构采用随机抽样的方法抽取了120份议案进行调查，并进行了统计，将议案的修改次数分为6组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]，得到如图所示的频率分布直方图．则这120份议案中修改次数不低于15次的份数为( )A ．40B ．60C ．80D ．100解析：B [由频率分布直方图可知，议案修改次数不低于15次的频率为(0.06＋0.03＋0.01)×5＝0.5，所以这120份议案中修改次数不低于15次的份数为120×0.5＝60.故选B.]4．已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转π4后经过点P (2，1)，则cos 2α＝( ) A.23B ．－223C ．－23D.223解析：D [由题意，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后所得角为α＋π4.因为|OP |＝(2)2＋12＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13＝33，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23＝63.故cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×33×63＝223.故选D.] 5．(多选题)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2 C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：CD [本题考查利用函数的单调性比较大小．已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴⎝⎛⎭⎫π3e >1，πe >3e ，故A 错误；∵0<3π<1,1>e －2>0，∴⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，∴3e －2π>3πe －2，故B 错误；∵π>3，∴log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.]6.如图是以AB 为直径的半圆，且AB ＝8，半径OB 的垂直平分线与圆弧交于点P ，PQ →＋DQ →＝0，则AQ →·BQ →＝( )A ．9B ．15C ．－9D ．－15解析：C [通解 连接OP ，由已知，得OD ＝DB ＝14AB ＝2，所以DP ＝OP 2－OD 2＝42－22＝2 3.由PQ →＋DQ →＝0可得Q 为线段PD 的中点，故DQ ＝12DP ＝ 3.因为AQ →＝AD →＋DQ →，BQ →＝BD →＋DQ →，所以AQ →·BQ →＝(AD →＋DQ →)·(BD →＋DQ →)＝AD →·BD →＋AD →·DQ →＋DQ →·BD →＋DQ →·DQ →＝6×2cos π＋0＋0＋(3)2＝－9.优解 以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－4,0)，B (4,0)，由PQ →＋DQ →＝0，设Q (2，m )，则有P (2,2m )，22＋(2m )2＝42，m 2＝3，又AQ →＝(6，m )，BQ →＝(－2，m )，所以AQ →·BQ →＝(6，m )·(－2，m )＝－12＋m 2＝－9.]7．函数f (x )＝cos (πx )e x －e－x 的大致图象有( )解析：C [由e x －e －x ≠0，解得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除B 项．因为f (－x )＝cos[π(－x )]e －x －e －(－x )＝cos (πx )－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (1)＝cos πe 1－e －1＝－1e 1－e－1＜0，故排除A 项．设g (x )＝e x －e －x ，显然该函数单调递增，故当x ＞0时，g (x )＞g (0)＝0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，y ＝cos(πx )＞0，故f (x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，32时，y ＝cos(πx )＜0，故f (x )＜0，所以排除D 项．综上，选C.]8．已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，－12，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后所得函数g (x )的图象关于原点对称，则ω的最小值是( )A.52 B ．2 C ．3D.83解析：A [由已知得f (x )＝sin(ωx ＋φ)，f (0)＝－12，得sin φ＝－12，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6.将该函数图象向右平移π3个单位长度后得函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx －⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6的图象．由已知得函数g (x )为奇函数，所以ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，解得ω＝3k －12(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ω的最小值为52.]9．(2020·重庆市模拟)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于16＋163，则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3解析：D [由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， ∵该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图， ∴该四棱锥的底面边长为AB ＝2R ， 则有(2R )2＋4×12×2R ×⎝⎛⎭⎫22R 2＋R 2＝16＋163， 解得R ＝22，∴球O 的体积是43πR 3＝6423π.故选D.]10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b ＜4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则△ABC 的面积为( )A ．10 3B ．6 3C ．5 3D ．2 3解析：B [∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b ＜4，∴b ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.]11．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交双曲线的左支于点M ，交双曲线的右支于点N ，且MF 2⊥NF 2，|MF 2|＝|NF 2|，则该双曲线的离心率是( )A. 3B. 2C. 5D.2＋1解析：A [由题意可设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，由点M 在双曲线的左支上，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ，所以|MF 1|＝m －2a .由点N 在双曲线的右支上，得|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以|NF 1|＝m ＋2a .因为MF 2⊥NF 2，所以|MN |＝2m ，由|NF 1|＝|MF 1|＋|MN |，得m ＋2a ＝m －2a ＋2m ，所以m ＝22a .解法一 如图，在△MF 1F 2中，|MF 1|＝m －2a ＝(22－2)a ，|MF 2|＝m ＝22a .易知|F 1F 2|＝2c ，∠F 1MF 2＝135°，所以由余弦定理得4c 2＝8a 2＋(22－2)2a 2－2×22a ×(22－2)a ×cos 135°，得c 2＝3a 2，所以e ＝c a＝ 3.故选A.解法二 在△NF 1F 2中，|NF 1|＝m ＋2a ＝(22＋2)a ，|NF 2|＝22a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1NF 2＝45°，所以由余弦定理得4c 2＝8a 2＋(22＋2)2a 2－2×22a ×(22＋2)a ×cos 45°，得c 2＝3a 2，所以e ＝ca＝ 3.故选A.]12．已知函数f (x )＝1＋ln xe x，若方程[f (x )]2＋(1－a )f (x )－a ＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eB ．(－∞，－1)∪(]－1，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eC ．(－∞，0]D ．(－∞，－1)∪(－1,0]解析：B [设t ＝f (x )，则方程为t 2＋(1－a )t －a ＝0，即(t －a )(t ＋1)＝0，解得t ＝a 或t ＝－1.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ·e x －e x (1＋ln x )(e x )2＝1x －1－ln x e x .设g (x )＝1x －1－ln x ，显然该函数在(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，且当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0.如图，作出函数f (x )的大致图象．作出直线y ＝t ，由图可知当t ＞1e 时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象没有交点；当t ＝1e 或t ≤0时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象只有一个交点；当0＜t ＜1e 时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象有两个交点．所以方程f (x )＝－1只有一个解，若a ＝－1，则原方程有两个相同的实数根，不符合题意，则a ≠－1，故由题意可得方程f (x )＝a 只有一个解，所以a ＝1e或a ≤0，且a ≠－1，故实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e .]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二项式⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中所有项的系数之和为132，则展开式中x 的系数为____．解析：根据题意，令x ＝1，得⎝⎛⎭⎫1－12n ＝132，即⎝⎛⎭⎫12n ＝132，解得n ＝5，故展开式的通项公式为C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫－12r x 10－3r .令10－3r ＝1，得r ＝3，则展开式中x 的系数为C 35×⎝⎛⎭⎫－123＝－54. 答案：－5414．已知P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －25y ＋8＝0上一动点，P 关于y 轴的对称点为M ，关于直线y ＝x 的对称点为N ，则|MN |的取值范围是________．解析：由题可得，圆C ：(x ＋2)2＋(y －5)2＝1，圆心为C (－2，5)，半径r ＝1.设P (x ，y )，则M (－x ，y )，N (y ，x )．|MN |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2·x 2＋y 2＝2|OP |，易知|OC |－r ≤|OP |≤|OC |＋r ，|OC |＝3，所以2≤|OP |≤4,22≤|MN |≤42，所以|MN |的取值范围是[22，42]．答案：[22，42] 15.如图，四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的底面是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，DD 1＝AB ＝2A 1B 1，则异面直线AD 1与BC 1所成角的余弦值为________．解析：设AB 的中点为E ，连接ED 1，则易知BE ∥C 1D 1，BE ＝C 1D 1，∴四边形EBC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥ED 1，∴∠AD 1E 为异面直线AD 1与BC 1所成的角．∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ⊥AD ，∵DD 1⊥底面ABCD ，∴BA ⊥DD 1，∴BA ⊥平面AA 1D 1D ，∴BA ⊥AD 1，△AED 1是直角三角形．设DD 1＝AB ＝2A 1B 1＝2a ，则AD 1＝AD 2＋DD 21＝(2a )2＋(2a )2＝22a ，ED 1＝AD 21＋AE 2＝(22a )2＋a 2＝3a ，∴cos ∠AD 1E ＝AD 1ED 1＝223.答案：22316．(2019·北京市顺义区第二次统考)已知拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点和双曲线x 2－y 23＝1右焦点F 2重合，则拋物线的方程为____________；P 为拋物线和双曲线的一个公共点，则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为________．解析：易知双曲线x 2－y 23＝1的右焦点F 2的坐标为(2,0)，左焦点F 1的坐标为(－2,0)，则拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，则p2＝2，解得p ＝4，所以拋物线的方程为y 2＝8x .设点P 的坐标为(x 0，y 0)，易知x 0＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x 2－y 23＝1得3x 2－8x －3＝0，解得x 0＝3，则P (3,26)或P (3，－26)，则点P 与双曲线左焦点F 1(－2,0)之间的距离为[3－(－2)]2＋(±26)2＝7. 答案：y 2＝8x ；7高考客观题(12＋4)·提速练(二) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则A ∪B 的子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：D [由题意知A ∪B ＝{－1,0,2}，所以A ∪B 的子集个数为23＝8.故选D.] 2．已知复数z ＝21－i＋2i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：A [z ＝21－i ＋2i 3＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1＋i －2i ＝1－i ，∴z ＝1＋i ，∴复数z 在复平面内对应点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选A.]4．(2019·湖南永州一模)已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0.其中一定正确的结论是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①③D ．①②④解析：C [设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋5a 3＝S 8，所以a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，a 1＝－9d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，所以a 10＝0，故①一定正确．S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－9nd ＋n (n －1)d 2＝d 2(n 2－19n )，所以S 7＝S 12，故③一定正确．显然②与④不一定正确．故选C.]5．已知△ABC 中，E 为中线BD 的中点，AE →＝xBC →＋yBA →，则3x ＋y ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：A [依题意可得，AE →＝BE →－BA →＝12BD →－BA →＝14(BC →＋BA →)－BA →＝14BC →－34BA →，所以x ＝14，y ＝－34，所以3x ＋y ＝0.故选A.] 6．(2019·厦门市一模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125解析：D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p 1＝35，∴3次恰有2次抽到黄球的概率是：P ＝C 23⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫1－35＝54125.故选D.] 7．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若平行四边形ABCD 的面积为323，则函数f (x )的图象在y 轴右侧且离y 轴最近的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝23B ．x ＝43C ．x ＝2D ．x ＝83解析：A [设函数f (x )的最小正周期为T .因为平行四边形ABCD 的面积为323，结合三角函数图象可知2×23×T ＝323，得T ＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3，令π4x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝23＋4k ，k ∈Z .故选A.] 8.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )A ．24－3πB ．24－πC ．24＋πD ．24＋5π解析：B [由题意知该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的18球后的剩余部分，则其表面积S ＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.]9．(多选题)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：AC [本题考查导数的运算法则．若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求，故选AC.]10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，且c ＝2，sin C ＝35，则△ABC 的面积为( )A ．3 B.23 C ．3或13D ．6或23解析：C [由a cos A ＝b cos B 得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，又sin C ＝35，∴△ABC 只能是等腰三角形．当C 为锐角时，∵sin C ＝35，∴cos C ＝45，∴sin C 2＝1010＝c 2a ＝c2b ，由c ＝2得b ＝a ＝10，∴△ABC 中AB 边上的高为3，∴△ABC 的面积为12×2×3＝3.当C 为钝角时，∵sin C ＝35，∴cos C ＝－45，∴sin C 2＝31010＝c 2a ＝c2b ，由c ＝2得b ＝a ＝103，∴△ABC 中AB 边上的高为13，∴△ABC 的面积为12×2×13＝13.综上，△ABC 的面积为3或13.故选C.]11．已知P 为双曲线y 23－x 2＝1上一点，若以OP (O 为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A.52 B ．2 C.32D ．1解析：C [由题意知，双曲线y 23－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，O ，P ，A ，B 四点共圆，设该圆的半径为R ，易知∠AOB ＝π3，可得|AB |sin π3＝2R ，故|AB |＝3R ，故要求|AB |的最小值，只需求R 的最小值即可，显然当点P 位于双曲线的顶点时，|OP |最小，即R 最小，且R min ＝|OP |2＝32，故|AB |min ＝3R min ＝32.故选C.] 12．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ＋2cos x ，其中e 为自然对数的底数，则对任意a ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．f (a 2＋1)≥f (2a )B ．f (a 2＋1)≤f (2a )C ．f (a 2＋1)≥f (a ＋1)D ．f (a 2＋1)≤f (a )解析：A [本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及导数与函数的关系，考查考生转化问题的能力和计算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．依题意可知，f (x )＝e x ＋e－x＋2cos x ＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，f ′(x )＝e x －e －x －2sin x ，且f ′(0)＝0，令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0恒成立，所以f ′(x )＝e x －e －x －2sin x 在[0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )是偶函数，(a 2＋1)2－4a 2＝(a 2－1)2≥0，所以f (a 2＋1)≥f (2a )，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：通解：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.又∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.优解：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 答案：1214．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.解析：∵a 3·a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，因此q 2＝2，由于q ＞0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：2215．已知三棱锥S ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥S ABC 的外接球的表面积为________．解析：将三棱锥S ABC 放在长方体中(图略)，易知三棱锥S ABC 所在长方体的外接球，即为三棱锥S ABC 的外接球，所以三棱锥S ABC 的外接球的直径2R ＝AB 2＋SC 2＝10，即三棱锥S ABC 的外接球的半径R ＝5，所以三棱锥S ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝100π.答案：100π16．已知拋物线C ：y 2＝2px 的焦点是F ，过F 且斜率为1的直线l 1与拋物线交于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向直线l 2：x ＝－4作垂线，垂足分别是D ，C ，若四边形ABCD 的周长为36＋82，则拋物线的标准方程为________．解析：易知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线l 1的方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .∵|AD |＝x 1＋4，|BC |＝x 2＋4，∴|AD |＋|BC |＝x 1＋x 2＋8＝3p ＋8.又|CD |＝|AB |sin 45°＝4p ·22＝22p ，且四边形ABCD 的周长为36＋82，∴4p ＋3p ＋8＋22p ＝36＋82，∴p ＝4，故拋物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x高考客观题(12＋4)·提速练(三) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x ＋1)}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．(－1,2)D ．(－2，－1)解析：C [由x ＋1＞0，得x ＞－1，∴A ＝(－1，＋∞)， B ＝{x ||x |＜2}＝(－2,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)．故选C.]2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：A [解法一 z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，z 2＝(1－i)2＝－2i.解法二 (z i)2＝(1＋i)2，－z 2＝2i ，z 2＝－2i.故选A.]4．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝x －2D ．y ＝log 3(－x )解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝x －2＝1x 2是增函数，不满足条件；选项D ，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]5．(2019·龙岩市模拟)党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年至2016年4年间，累计脱贫5 564万人，2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3 000户家庭的2017年的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万的家庭大约为( )A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户解析：A [由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3 000＝900.故选A.]6．(2019·贵州贵阳适应性考试)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .其中是真命题的序号是( ) A ．①④ B ．①② C ．②③④D ．④解析：D [对于①，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故命题①是假命题；对于②，分别在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，故命题②是假命题；对于③，直线m 与n 可能异面，故命题③是假命题；对于④，由面面平行的性质定理知命题④是真命题．故选D.也可在判断出命题①②是假命题之后直接排除A ，B ，C ，从而选D.]7．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：B [因为f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x ，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增．]8．《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．一丈二尺五寸解析：A [设晷长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝135，a 13＝15，则135＋12d ＝15，解得d ＝－10.∴a 14＝135－10×13＝5，∴夏至之后的节气(小暑)的晷长是5寸．故选A.] 9．已知函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ＋12(x ∈R )，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π2B ．函数f (x )的图象关于y 轴对称C ．点⎝⎛⎭⎫π6，0为函数f (x )图象的一个对称中心D ．函数f (x )的最大值为12解析：D [函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ＋12＝32⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3－1＋cos 2x 2＋12 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，由ω＝2知，f (x )的最小正周期为π，A 错误； ∵f (0)＝12sin π6＝14不是最值，∴f (x )的图象不关于y 轴对称，B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝12sin π2＝12≠0，∴点⎝⎛⎭⎫π6，0不是函数f (x )图象的一个对称中心，C 错误； ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴f (x )的最大值是12，D 正确．故选D.]10．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量前三位是江苏、山东、浙江； ④2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位． A ．①② B ．②③④ C ．②④D ．①③④解析：B [总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法①错误；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，说法②正确；去年同期的GDP 总量前三位是江苏，山东，浙江，说法③正确；2016年的GDP 总量计算为： 浙江：4 632.11＋3.3%，江苏： 6 653.21＋10.2%，河南：4 067.41＋6.6%，山东：6 469.31＋7%，辽宁：2 642.21＋9.6%，据此可知，2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位，说法④正确．]11．过双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12解析：D [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F 2(c,0)，因为曲线C 1，C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以OM 为△F 1F 2N 的中位线，即OM ∥NF 2，且|OM |＝12|NF 2|，因为|OM |＝a ，所以|NF 2|＝2a ，因为OM ⊥NF 1，所以NF 2⊥NF 1，又|F 1F 2|＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，过点F 1作x 轴的垂线，则由拋物线的定义得x ＋c ＝2a ，即x ＝2a －c ， 过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，则在Rt △NPF 1中，由勾股定理，得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，即e 2－e －1＝0，且e ＞1，解得e ＝1＋52.故选D.]12．以区间(0，m )内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m 为分母的分数组成集合A 1，其所有元素之和为a 1；以区间(0，m 2)内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m 2为分母组成不属于A 1的分数集合A 2，其所有元素之和为a 2……以此类推，以区间(0，m n )内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m n 为分母组成不属于集合A 1，A 2，…，A n －1的分数集合A n ，其所有元素之和为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝( )A.m n ＋12B.m n －12C.m n 2D.n 2解析：B [由题意得a 1＝1m ＋2m ＋…＋m －1m ，a 2＝1m 2＋2m 2＋…＋m 2－1m 2－a 1，a 3＝1m 3＋2m 3＋…＋m 3－1m3－a 2－a 1，所以a n ＝1m n ＋2m n ＋…＋m n －1mn －a n －1－a n －2－…－a 2－a 1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1m n ＋2m n ＋…＋m n －1m n ＝1m n [1＋2＋…＋(m n－1)]＝1m n ·(m n －1)(1＋m n －1)2＝m n －12.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·信阳市质检)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0相交于A ，B 两点，且|AB →|＝15，则CA →·CB →＝________.解析：圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0⇔(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，|AB |＝2|AD |＝2|AC |·sin ∠CAD ， ∴15＝2×5×sin ∠CAD ，∴∠CAD ＝30°， ∴∠ACB ＝120°，则CA →·CB →＝5×5×cos 120°＝－52.答案：－5214．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是________．(用数字作答)解析：由题意得任取两球有C 26种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为6C 26＝25，故4人中有3人中奖的概率为C 34⎝⎛⎭⎫253×35＝96625. 答案：9662515．甲、乙两人玩报数游戏，其规则是：两人从1开始轮流连续报数，每人每次最少报2个，最多可以报5个(如第一个人先报“1,2”，则另一个人可以有“3,4”“3,4,5”“3,4,5,6”“3,4,5,6,7”“3,4,5,6,7,8”五种报数方法)．抢先报到“110”的人获胜．如果从甲开始，那么甲要想必胜，第一次报的数应该是________．解析：因为110＝7×15＋5，所以只要甲先报“1,2,3,4,5”，之后不管乙报几个数，甲报的数的个数与乙报的数的个数的和为7即可保证甲必胜．所以甲要想必胜，第一次报的数应该是1,2,3,4,5. 答案：1,2,3,4,516．(双空填空题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0.若f (x )≤1，则实数x 的取值范围是________；若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：本题考查利用数形结合思想研究函数的零点．当x ≥0时，f (x )≤1即－x 2＋2x ≤1，即(x －1)2≥0，则x ≥0成立；当x <0时，f (x )≤1即－2x ≤1，解得－12≤x <0.综上，实数x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.由题意，方程f (x )－kx ＝3即f (x )＝kx ＋3有三个相异的实根，则函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋3的图象有三个不同的交点．作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．由题意知直线y ＝kx ＋3和y ＝－2x (x <0)的图象必有一个交点，所以－2<k <0，则y ＝kx ＋3与y ＝－x 2＋2x (x ≥0)的图象必有两个交点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y ＝－x 2＋2x (x ≥0)，整理得x 2＋(k －2)x ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－12>0，2－k >0，解得k <2－2 3.所以实数k 的取值范围是(－2,2－23)．答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ (－2,2－23) 高考客观题(12＋4)·提速练(四) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}，则A ∩B 的元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1解析：A [A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}， 则A ∩B ＝{－1,2}，含有2个元素，故选A.]2．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A ．2B ．1C ．0D.12解析：C [因为2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－12.所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.故选C.]3．已知a ＞b ，则“c ≥0”是“ac ＞bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：B [当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＞b ＝1，c ＝0时，ac ＞bc 不成立，所以充分性不成立，当⎩⎪⎨⎪⎧ac ＞bc ，a ＞b 时，c ＞0成立，c ≥0也成立，所以必要性成立，所以“c ≥0”是“ac ＞bc ”的必要不充分条件．]4．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将其图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，故选B.] 5．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：C [(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.]6.(2019·辽宁丹东测试)图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S ＝S (a )(a ≥0)是图中阴影部分介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分的面积，则函数S (a )的图像大致为( )解析：C [根据图形可知在[0,1]上面积增长的速度变慢，在图像上反映出切线的斜率在变小，可排除A ，B ；在[1,2]上面积增长速度恒定，在[2,3]上面积增长速度恒定，而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度，可排除D ，故选C.]7．设A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( ) A ．－2AD →B ．2AD →C ．－3AD →D ．3AD →解析：C [因为A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)， 所以AB →＝(1,2)，AC →＝(－1,4)，AD →＝(0，－2)， 所以AB →＋AC →＝(0,6)＝－3(0，－2)＝－3AD →，故选C.]8．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20D ．22解析：D [设等差数列的公差为d (d ＞0)，则由(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )－(a 1＋5d )2＝0，得(a 1＋5d )(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×2＝22，故选D.]9．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N ，连接MF 2，NF 2，若MF 2→·NF 2→＝0，|MF 2→|＝|NF 2→|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：B [由MF 2→·NF 2→＝0，知MF 2→⊥NF 2→.又|MF 2→|＝|NF 2→|，则|MF 2→|＝|NF 2→|＝22|MN →|，且∠F 1NF 2＝45°.由双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 2→|－|MF 1→|＝2a |NF 1→|－|NF 2→|＝2a ，两式相加，得|MF 2→|－|NF 2→|＋|MN →|＝4a ，即|MN →|＝4a ，则|NF 2→|＝22a ，所以|NF 1→|＝2a ＋|NF 2→|＝(2＋22)a .在△NF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2→|2＝|NF 1→|2＋|NF 2|2－2|NF 1→|·|NF 2→|cos ∠F 1NF 2，即4c 2＝(22a )2＋(2＋22)2a 2－2×22a ×(2＋22)a ×22，整理，得c 2＝3a 2，所以e 2＝3，即e ＝3，故选B.] 10．(2019·福州市质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：C [设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.]11．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 将△ABC 折成直二面角B －AD －C ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：C [如图，连接BC ，设四面体ACBD 外接球的球心为O ，AB 的中点为M ，连接MD ，OM ，OD ，∵AD ⊥BD ，∴△ABD 外接圆的圆心为AB 的中点M .∵二面角B －AD －C 为直二面角，且平面ABD ∩平面ACD ＝AD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面ABD ，易知OM ⊥平面ABD ，∴OM ∥CD ，OM ⊥MD .连接OC ，在直角梯形OMDC 中，易得CD ＝2OM .设该外接球的半径为R ，则R 2＝MD 2＋OM 2＝MD 2＋⎝⎛⎭⎫12CD 2＝54，∴该外接球的表面积为4πR 2＝5π，故选C.]12．已知x ∈(0,2)，关于x 的不等式x e x ＜1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，e ＋1)B ．[0,2e －1)C ．[0，e)D ．[0，e －1)解析：D [依题意，k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)都成立， 所以k ≥0，因为x e x ＜1k ＋2x －x 2，所以k ＜e x x＋x 2－2x ，令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，f ′(x )＝e x (x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x x 2＋2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数递增， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数递减， 所以f (x )的最小值为f (1)＝e －1， 所以0≤k ＜e －1，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为________．解析：由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C 34·C 13·C 24·A 22＝144，故所求概率p ＝144256＝916. 答案：91614．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：f (x )＝ax ln x ＋b 的导数为f ′(x )＝a (1＋ln x )， 由f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＝0， 易知f (1)＝2，即b ＝2， f ′(1)＝2，即a ＝2，则a ＋b ＝4. 答案：415．在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P .上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/时．解析：P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，∠APB ＝60°，∠APC ＝30°，P A ＝1(千米)，AC ＝33千米，AB ＝3千米 从而BC ＝303(千米)， 于是速度v ＝BC ÷16＝230(千米/时)．答案：23016．已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b 的最小值等于________．解析：作出函数f (x )的草图，如图所示，若f (a )＝f (b )，a ＞b ＞0， 则0＜b ＜1，a ＞1，则f (a )＝|lg a |＝lg a ，f (b )＝|lg b |＝－lg b ，因为f (a )＝f (b )， 所以lg a ＝－lg b ， 即lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0， 解得ab ＝1. 因为a ＞b ＞0， 所以a －b ＞0，所以a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝22，当且仅当a －b ＝2a －b ，即a －b ＝2时取等号．故a 2＋b 2a －b 的最小值等于2 2. 答案：2 2Ⅱ：高考中档大题·满分练(一) 限时45分钟 满分46分解答题(本大题共4小题，共46分)1．(12分)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.2．(12分)(2019·谓南市一模)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x . (1)写出f (x )的最小正周期，并求f (x )的最小值；(2)已知a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b ＝53，cos A ＝35且f (B )＝1，求边a 的长．解：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x ＝3sin x cos π3＋3cos x sin π3－cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π，当x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－2π3＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；(2)△ABC 中，b ＝53，cos A ＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45；又f (B )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，∴B ＋π6＝π2，解得B ＝π3，∴a sin A ＝b sin B ，a 45＝53sin π3，解得a ＝8. 3．(12分)如图1，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥DC ，PB ＝3，DC ＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△P AD 沿AD 折起，构成如图2所示的四棱锥P －ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求二面角M －AC －B 的余弦值． 解：(1)证明，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ，所以△ABN ∽△CDN ，所以BN ND ＝BACD ＝2，因为PM ＝12MB ，所以BN ND ＝BMMP＝2，所以在△BPD 中，MN ∥PD ， 又PD ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC . 所以PD ∥平面MAC .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以P A ，AD ，AB 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AD →，AB →，AP →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为AP ＝AD ＝1，AB ＝2，且PM ＝12MB ，所以A (0,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫0，23，23，C (1，1,0)， 所以AP →＝(0,0,1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，23，23，AC →＝(1,1,0)，因为P A ⊥平面ABCD ， 所以n 1＝AP →＝(0,0,1)为平面ABC 的一个法向量． 设平面MAC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧23y ＋23z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，所以n 2＝(1，－1,1)为平面MAC 的一个法向量． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×3＝33，所以二面角M －AC －B 的余弦值为33. 4．(12分)随着大数据统计的广泛应用，给人们的出行带来了越来越多的方便．郭叔一家计划在8月11日至8月20日暑假期间游览上海Disney 主题公园．通过上网搜索旅游局的统计数据，该Disney 主题公园在此期间“浏览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%～60%为一般，60%以上为拥挤)情况如图所示．郭叔预计随机在8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．(1)求郭叔连续两天都遇上拥挤的概率．(2)设X 是郭叔游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望．(3)由图判断从哪天开始连续三天浏览舒适度的方差最大？(直接写出结论不要求证明，计算)．解：设A i 表示事件“郭叔8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(i ＝1,2，…，9)．根据题意，P (A i )＝19.(1)设B 为事件“郭叔连续两天都遇上拥挤”， 则B ＝A 4∪A 7.所以P (B )＝P (A 4∪A 7)＝P (A 4)＋P (A 7)＝29.(2)由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝P (A 4∪A 7∪A 8)＝P (A 4)＋P (A 7)＋P (A 8)＝13，P (X ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 9)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 9)＝49，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝29.所以X 的分布列为故X 的期望E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.(3)由图可知，8月12,8月13,8月14连续三天游览舒适度的方差最大．高考中档大题·满分练(二) 限时45分钟 满分46分解答题(本大题共4小题，共46分)1．(12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋ 3.(1)求A 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①， ∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②， 又sin 2A ＝2sin A cos A ③，cos 2A ＝2cos 2A －1 ④，将①②③④代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，。

课时作业(十二) 圆与圆的位置关系[练基础]1．圆x 2＋y 2＝9和圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．若圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( )A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定3．圆x 2＋y 2－6x ＝0和圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0交于A ，B 两点，则两圆公共弦的弦长|AB |为( ) A.9105 B.91010C.7105D.710104．圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．90°5．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝06．[多选题]若圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0的交点为A ，B ，则( )A ．公共弦AB 所在直线方程为x ＋y －3＝0 B ．线段AB 中垂线方程为x －y ＋1＝0C ．公共弦AB 的长为2 2D ．在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 17．若圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝m (m >0)与圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0有3条公切线，则m ＝________.8．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是________．9．已知两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．10．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．[提能力]11．[多选题]已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD．y1＋y2＝2b12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4 B．4 2C．8 D．8 213．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．14．在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．15．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[培优生]16．[多选题]如图，已知A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下述正确的是()A．曲线W与x轴围成区域的面积等于2πB．曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)C.CB所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1D.CB与BA的公切线方程为x＋y＝2＋1。

10＋7满分练(2)1．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．(－3,0) B ．(－3，－1) C ．(－3，－1] D ．(－3,3)答案 C解析 因为A ＝{x |－3<x <3}，∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．2．函数y ＝e x(e 是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－x －1 D ．y ＝－x ＋1答案 B解析 y ′＝e x ，则函数在点(0,1)处的切线斜率为1，则切线方程为y ＝x ＋1，故选B. 3．设α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由m ⊂α，m ∥β得不出α∥β，也可能α与β相交；反之，若α∥β，m ⊂α，则有m ∥β.故“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故选B.4．某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是( )A ．π B.4π3 C.7π3 D.8π3答案 A解析 由三视图知该几何体的下部分是圆锥，上部分是14个球，所以该几何体的体积V ＝13π×12×2＋14×4π3×13＝π，故选A.5．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＋1≥0，x ＋y ≤2，x －2y ≤2，若z ＝mx ＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数m 的值为( ) A ．1或－2 B ．1或－12C ．－1或－2D ．－2或－12答案 A解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝mx ＋y 与直线x ＋y ＝2或x －12y ＋1＝0平行时，目标函数取得最大值的最优解不唯一，所以m ＝1或m ＝－2，故选A.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为π2B ．直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增 D ．将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x答案 D解析 A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2，又π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得 φ＝－2π3 ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数的周期为π；当x ＝－π12时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数图象的对称轴；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确，故选D.7．能推断出函数y ＝f (x )在R 上为增函数的是( ) A ．若m ，n ∈R 且m <n ，则f (3m)<f (3n)B ．若m ，n ∈R 且m <n ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12nC ．若m ，n ∈R 且m <n ，则f (m 2)<f (n 2) D ．若m ，n ∈R 且m <n ，则f (m 3)<f (n 3) 答案 D解析 对于选项A ，若m ，n ∈R 且m <n ，则3m<3n，且3m>0,3n>0，又因为f (3m)<f (3n)，所以只能推出函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故A 选项错误；对于选项B ，若m ，n ∈R且m <n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12m >⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12m >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n >0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以只能推出函数y＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，故B 选项错误；对于选项C ，若m ，n ∈R 且m <n ，无法判断m 2与n 2的大小关系，所以无法推出函数y ＝f (x )的单调性，故C 选项错误；对于选项D ，若m ，n ∈R 且m <n ，则m 3<n 3，m 3∈R ，n 3∈R ，又因为f (m 3)<f (n 3)，所以函数y ＝f (x )在R 上为增函数，故选D.8．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是直线x ＝a2上一点，△F 1PF 2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ＝58，则双曲线E 的离心率为( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 答案 B解析 由题意知∠PF 1F 2＝θ或∠PF 2F 1＝θ，设直线x ＝a 2与x 轴的交点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，因为△F 1PF 2是顶角为θ的等腰三角形，cos θ＝58，若∠PF 1F 2＝θ，则有|F 1F 2|＝|PF 1|＝2c ，在Rt△PDF 1中，|DF 1|＝|PF 1|·cos θ，即c ＋a 2＝2c ×58，所以离心率e ＝ca ＝2；若∠PF 2F 1＝θ，则有|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c ，在Rt△PDF 2中，|DF 2|＝|PF 2|cos θ，即c －a 2＝2c ×58，不合题意．综上，双曲线E 的离心率为2.9．已知单位向量a ，b 满足|2a －b |＝2，若存在向量c ，使得(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，62＋1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62＋1D.[]6－1，6＋1答案 C解析 方法一 因为|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝2，所以可知2a 在b 上的投影为12.不妨设b＝(1,0)，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，152，即a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，154.设c ＝(x ，y )，因为(c －2a )·(c －b )＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －152y ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1542＝1，它表示一个以⎝ ⎛⎭⎪⎫34，154为圆心，1为半径的圆，而|c |＝x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点的距离，所以其最大值为916＋1516＋1＝62＋1，其最小值为916＋1516－1＝62－1，所以|c |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62＋1，故选C. 方法二 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OA ′—→＝2a ，因为|2a －b |＝2，所以△OA ′B 是等腰三角形．因为(c －2a )·(c －b )＝0，(c －2a )⊥(c －b )，即A ′C ⊥BC ，所以△A ′BC 是直角三角形，所以点C 在以A ′B 为直径，1为半径的圆上，取A ′B 的中点M ，因为cos∠A ′BO ＝OB 2＋(BA ′)2－(OA ′)22·OB ·BA ′＝14，所以OM 2＝OB 2＋BM 2－2·OB ·BM cos∠A ′BO ＝1＋1－2×1×1×14＝32，即OM ＝62.所以|c |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62＋1，故选C.10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BE ＝EC＝22，AE 交BD 于点O ，沿对角线BD 将△ABD 折起．在折起过程中，设∠AOE ＝θ，直线AC 与平面BCD 所成的角为α，若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α的取值范围是( )A.(0,1]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 C.(0，2] D.⎝⎛⎦⎥⎤1，22 答案 A解析 由题意可知点E 为BC 的中点，且AO ⊥BD ，OE ⊥BD ，则点A 在平面BCD 上的投影在直线OE 上，记为H ，如图所示，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为点F ，延长OE 至点M ，使OM ＝FC ，则四边形OMCF 为矩形，所以α＝∠ACH ，又AB ＝1，BE ＝22，所以AE ＝62，BO ＝33，AO ＝63，故在△AOM 中，AH ＝AO ·sin θ＝63·sin θ，HO ＝AO ·cos θ＝63·cos θ，在矩形OMCF 中，CM ＝33，MH ＝OM －OH ＝63－63·cos θ，CH 2＝CM 2＋MH 2＝13＋23(1－cos θ)2，在Rt△ACH 中 ，tan 2α＝AH 2CH 2＝23sin 2θ13＋23(1－cos θ)2＝－1＋5－4cos θ2cos 2θ－4cos θ＋3.令t ＝5－4cos θ，由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2得t ∈(1,5)，tan 2α＝f (t )＝－1＋8t ＋9t－2，由f (t )在t ∈(1,3]上单调递增，在t ∈[3,5)上单调递减，得0＝f (1)<tan 2α≤f (3)＝1，所以tan α的取值范围是(0,1]，故选A.11．已知随机变量X 的分布列如表所示，则a ＝________，D (X )＝________.X 1 2 3P2515a答案 25 45解析 由离散型随机变量的分布列知，25＋15＋a ＝1，解得a ＝25，所以E (X )＝1×25＋2×15＋3×25＝2，D (X )＝25×(1－2)2＋15×(2－2)2＋25×(3－2)2＝45.12．已知复数z 满足2z ＋i＝1－i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的实部是_____，|z |＝_____. 答案 1 1解析 方法一 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，z ≠－i ，则2a ＋(b ＋1)i ＝2a －2(b ＋1)ia 2＋(b ＋1)2＝1－i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧2a a 2＋(b ＋1)2＝1，2(b ＋1)a 2＋(b ＋1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，故复数z ＝1，其实部是1，|z |＝1. 方法二 由2z ＋i ＝1－i ，得z ＝21－i－i ＝1＋i －i ＝1，则复数z 的实部是1，|z |＝1. 13．设(x 2＋x ＋1)(x －1)4＝x 6＋a 1x 5＋…＋a 5x ＋a 6，则a 6＝________，a 1＝________. 答案 1 －3解析 方法一 (x －1)4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4x4－k·(－1)k ，所以(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式的常数项a 6＝1×(－1)4＝1.含x 5的项为x 2·[C 14x 3·(－1)1]＋x ·[C 04x 4·(－1)0]＝－3x 5，所以a 1＝－3.方法二 (x 2＋x ＋1)(x －1)4＝(x 3－1)(x －1)3，令x ＝0，所以常数项a 6＝1，含x 5的项为x 3·[C 13x 2·(－1)1]＝－3x 5，a 1＝－3.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 13＝91，若S k a k＝6，则a n ＝________，正整数k ＝________. 答案 n 11解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 13＝91，得13a 1＋13×(13－1)2d ＝91，又a 1＝1，得d ＝1，所以a n ＝n (n ∈N *)，S n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，所以a k ＝k ，S k ＝k (k ＋1)2.由S k a k ＝k ＋12＝6，得k ＝11.方法二 在等差数列{a n }中，因为S 13＝91，所以根据等差数列的性质，可得13a 7＝91，即a 7＝7，由a 1＝1，a 7＝7，所以可得公差d ＝1，即a n ＝n (n ∈N *)，S n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，所以a k ＝k ，S k ＝k (k ＋1)2，因为S k a k ＝k ＋12＝6，所以k ＝11.15．节目单上有10个位置，现有A ，B ，C 3个节目，要求每个节目前后都有空位且A 节目必须在B ，C 节目之间，则不同的节目排法有________种． 答案 40解析 除A ，B ，C 3个节目外，还有7个位置，共可形成6个空，3个节目从6个空中选3个位置放入有C 36种方法，又A 在中间，所以B ，C 有A 22种方法，所以总的排法有C 36A 22＝40(种)． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若b cos C ＋c cos B ＝6－b ，且c sinA ＝3a cos C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案934解析 由b cos C ＋c cos B ＝6－b ， 并结合余弦定理得a ＋b ＝6. 又由c sin A ＝3a cos C ，并结合正弦定理得sin C sin A ＝3sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴sin C ＝3cos C ， ∴tan C ＝3，∴C ＝π3，sin C ＝32，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝934，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，即△ABC 面积的最大值为934.17．已知非负实数x ，y 满足2x 2＋4xy ＋2y 2＋x 2y 2＝9，则22(x ＋y )＋xy 的最大值为_____． 答案 42＋1解析 由2x 2＋4xy ＋2y 2＋x 2y 2＝9，得2(x ＋y )2＋x 2y 2＝9，令⎩⎪⎨⎪⎧u ＝x ＋y ，v ＝xy ，即x ，y 为方程t 2－ut ＋v ＝0(t 为自变量)的两个根，则Δ＝u 2－4v ≥0，则有u 292＋v 29＝1.22(x ＋y )＋xy ＝22u ＋v ，以u 为横坐标，v 为纵坐标建立平面直角坐标系，设z ＝22u ＋v ，则u ，v 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧u 2－4v ≥0，u 292＋v29＝1(u ≥0，v ≥0)，作出可行域(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧u 2－4v ＝0，u 292＋v29＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝2，v ＝1(负值舍去)，且在点(2,1)处，椭圆u 292＋v 29＝1的切线斜率为－4<－22，所以当直线z ＝22u ＋v 经过点(2,1)时，z 取得最大值42＋1，所以22(x ＋y )＋xy 的最大值为42＋1.。

小题提速练(九)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝4＋3i i ，i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－4i －3B ．－4i ＋3C ．4i ＋3D ．4i －3解析：选B.z ＝4＋3i i ＝（4＋3i ）（－i ）－i 2＝－4i ＋3. 2．命题“∃x ∈R ，(1－3x )2－6≥0”的否定是( )A ．“∃x ∈R ，(1－3x )2－6≤0”B ．“∃x ∈R ，(1－3x )2－6＜0”C ．“∀x ∈R ，(1－3x )2－6≤0”D ．“∀x ∈R ，(1－3x )2－6＜0”解析：选D.由于特称命题的否定是全称命题，因此命题“∃x ∈R ，(1－3x )2－6≥0”的否定是“∀x ∈R ，(1－3x )2－6＜0”．故选D.3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2≤4}，Z 为整数集，则下列结论错误的是( )A ．A ⊆BB ．A ∩Z ＝{－1，0，1，2}C ．A ⊆ZD ．B ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}解析：选C.由题意得，集合B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以B ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，又集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ⊆B ，A ∩Z ＝{－1，0，1，2}，显然A ⃘Z ，故C 选项错误，选C.4．如图，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE ，CG ，现将一把芝麻随机撒在该图形中，则芝麻落在阴影部分的概率是( )A.310B ．35 C.320 D ．38解析：选A.设图中阴影部分的面积是S ，则S ＝S 正方形ABFG ＋S △BCE －S △AGC ，∵S 正方形ABFG＝a 2，S △BCE ＝12×2a ×2a ＝2a 2，S △AGC ＝12(a ＋2a )×a ＝32a 2，∴S ＝32a 2，又整体区域的面积为5a 2，∴芝麻落在阴影部分的概率是32a 25a 2＝310，故选A.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B ．x 2－y 23＝1 C.x 29－y 23＝1 D ．x 223－y 232＝1 解析：选B.由题意得，b a ＝tan 60°＝3，因为双曲线C 过点(2，3)，所以（2）2a 2－（3）2b 2＝1，联立，得⎩⎨⎧b a ＝3，2a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.故选B.6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．24＋πB ．24＋(2－1)πC ．20＋(2－1)πD ．20＋π解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆锥后所得的几何体，正方体的侧面积为4×2×2＝16，正方体的一个底面面积为2×2＝4，一个底面截去一个圆后剩余部分的面积为4－π，圆锥的底面半径为1，高为1，母线长为12＋12＝2，侧面积为π×1×2＝2π，所以该几何体的表面积为16＋4＋4－π＋2π＝24＋(2－1)π，故选B.7．已知函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)，则下列关系正确的是( )A ．f (－3)＜f (－2)B ．f (10)＜f (11)C ．f (－3)＞f (－2)D ．f (log 328)＜f (3log 34)解析：选A.由x 2－2x －3＝(x －3)(x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞3.y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．∵－3＜－2＜－1，∴f (－3)＜f (－2)，选项A 正确，选项C 错误；∵3＜10＜11，∴f (10)＞f (11)，选项B 错误；∵3＜log 328＜3log 34，∴f (log 328)＞f (3log 34)，选项D 错误．故选A.8．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1、CBB 1C 1都是矩形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝4，∠ABC ＝60°，D 为BC 的中点，则四面体ADC 1A 1的体积为( )A.433B ．233 C.223 D ．239 解析：选B.由侧面ABB 1A 1、CBB 1C 1都是矩形，得BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，又AB 、BC 是底面ABC 内的两条相交直线，所以BB 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，又AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是边长为2的等边三角形，则点B 到平面AA 1C 1的距离等于正三角形ABC 的高3，又D 为BC 的中点，则点D 到平面AA 1C 1的距离为32，则四面体ADC 1A 1的体积VD -AA 1C 1＝13×12×2×4×32＝233. 9．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )－2e x ＋1e x ＋1，则f (2 020)＋f (－2 020)＝( ) A ．0B ．2C ．－2D ．－3 解析：选 D.令g (x )＝ln(1＋4x 2－2x )，h (x )＝－2e x ＋1e x ＋1，则f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＝ln 11＋4x 2＋2x，g (x )＋g (－x )＝0，x ∈R .又h (x )＝－2e x ＋1e x ＋1＝－2（e x ＋1）－1e x ＋1＝－2＋1e x ＋1，所以h (x )＋h (－x )＝－2＋1e x ＋1－2＋1e －x ＋1＝－4＋1e x ＋1＋e x1＋e x＝－3，所以f (2 020)＋f (－2 020)＝g (2 020)＋h (2 020)＋g (－2 020)＋h (－2 020)＝－3. 10．在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝2，P 为△ABC 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC→的最小值是( )A ．－1B ．－12C ．0D ．1 解析：选B.解法一：设O 是线段AB 的中点，M 是线段CO 的中点，则P A →＋PB →＝2PO →，则(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2·14[(PO →＋PC →)2－(PO →－PC →)2]＝2PM →2－12CO →2，又OC ＝12AB ＝1，则(P A →＋PB →)·PC →＝2PM →2－12CO →2＝2PM →2－12≥－12，当且仅当P 是斜边中线OC 的中点时取等号．解法二：由AC ⊥BC ，AB ＝2知，可以以AB 边所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，可设C (cos θ，sin θ)，P (x ，y )，则P A →＝(－1－x ，－y )，PB →＝(1－x ，－y )，PC →＝(cos θ－x ，sin θ－y )，∴(P A →＋PB →)·PC →＝(－2x ，－2y )·(cos θ－x ，sin θ－y )＝2x 2－2x cos θ＋2y 2－2y sin θ＝2⎝⎛⎭⎫x －12cos θ2＋2⎝⎛⎭⎫y －12sin θ2－12(cos 2θ＋sin 2θ)＝2⎝⎛⎭⎫x －12cos θ2＋2⎝⎛⎭⎫y －12sin θ2－12≥－12，当且仅当x ＝12cos θ，y ＝12sin θ，即P 为OC 的中点时取等号． 11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若AB →·BF 2→＝0，且∠F 1AF 2＝150°，则e 2＝( )A ．7－2 3B ．7－ 3C ．7＋ 3D ．7＋2 3 解析：选A.因为AB →·BF 2→＝0，所以AB ⊥BF 2.设|BF 2|＝m ，则|BF 1|＝m ＋2a .因为∠F 1AF 2＝150°，所以∠BAF 2＝30°，所以|AF 2|＝2m ，|AB |＝3m ，所以|AF 1|＝2m －2a ，则|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝m ＋2a －2m ＋2a ＝4a －m ＝3m ，即m ＝4a 3＋1＝2(3－1)a .所以|BF 1|＝m ＋2a ＝23a .在△BF 1F 2中，有|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 2＝12a 2＋4(3－1)2a 2，所以e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝3＋(3－1)2＝7－2 3.12．已知数列{a n }满足a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)，且a 1＝1，a 2＝4，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2n ＋m ·2n ≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－32，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选C.由a n ＋2＝3a n ＋1－2a n 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3×1，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3×1＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．∴S n ＝3(1＋2＋22＋…＋2n －1)－2n ＝3·1－2n1－2－2n ＝3·2n －2n －3，由S n ＋2n ＋m ·2n ≥0，得3·2n －2n －3＋2n ＋m ·2n ≥0，∴3·2n －3＋m ·2n ≥0，即m ≥－3＋32n ，∵12n ≤12，∴m ≥－3＋32＝－32，故m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋7)＝f (5－x )，且当x ∈[0，6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0，2 020])，则a 的最大值是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x －5)＝f (5－x )．又f (x ＋7)＝f (5－x )，所以f (x ＋7)＝f (x －5)，即f (x ＋12)＝f (x )，所以f (x )是周期为12的周期函数．因为当x ∈[0，6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，所以f (5)＝1，所以f (－5)＝1.从而f (2 009)＝f (5＋12×167)＝f (5)＝1，f (2 011)＝f (－5＋12×168)＝f (－5)＝1.所以满足f (a )＝1(a ∈[0，2 020])的a 的最大值是2 011.答案：2 01114．已知离心率为22的椭圆C ：x 22＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)与y 轴的正半轴交于点A ，P 为椭圆C 上任意一点，则|P A |的最大值为________．解析：由已知得a ＝2，离心率e ＝c a ＝c 2＝22，则c ＝1，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，A (0，1)，设P (x ，y )，由两点间的距离公式得|P A |＝x 2＋（y －1）2＝2－2y 2＋y 2－2y ＋1＝ 4－（y ＋1）2，由于|y |≤1，因而y ＝－1时|P A |取得最大值2.答案：215．将函数f (x )＝sin(x ＋φ)cos(x ＋φ)－cos 2(x ＋φ)(φ＞0)的图象向右平移π3个单位长度，所得函数图象刚好经过坐标原点，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝sin(x ＋φ)cos(x ＋φ)－cos 2(x ＋φ)＝12sin(2x ＋2φ)－1＋cos （2x ＋2φ）2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π4－12，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋2φ－π4－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－11π12－12的图象．由题意，函数y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－11π12－12的图象经过坐标原点，所以0＝22sin ⎝⎛⎭⎫2φ－11π12－12，则sin ⎝⎛⎭⎫2φ－11π12＝22，得2φ－11π12＝2k π＋π4(k ∈Z )或2φ－11π12＝2k π＋3π4(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π12(k ∈Z )或φ＝k π＋5π6(k ∈Z )．又φ＞0，故φ的最小值为7π12. 答案：7π1216．某酒厂生产浓香型、老字号两种白酒，若每吨浓香型白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨老字号白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨．销售每吨浓香型白酒可获得利润5万元，销售每吨老字号白酒可获得利润4万元．该酒厂在一个生产周期内乙醇的总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨．那么该酒厂在一个生产周期内可获得的最大利润是________万元．解析：设该酒厂在一个生产周期内生产浓香型白酒x 吨，老字号白酒y 吨，该酒厂在一个生产周期内可获得的利润为z 万元，则z ＝5x ＋4y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.6x ＋0.4y ≤3.4，0.4x ＋0.6y ≤3.6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤17，2x ＋3y ≤18，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤17，2x ＋3y ≤18表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线5x ＋4y ＝0，平移该直线，易知在点P 处直线的纵截距最大，即在点P 处z 取得最大值，联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝17，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.所以P (3，4)，所以z max ＝5×3＋4×4＝31(万元)，故该酒厂在一个生产周期内可获得的最大利润为31万元．答案：31。

刷题增分练 9 导数与函数的单调性、极值、最值刷题增分练⑨ 小题基础练提分快 一、选择题1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是( )A ．25，－2B ．50,14C ．50，－2D ．50，－14 答案：C解析：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0,2]时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．[2019·沈阳监测]设函数f (x )＝x e x ＋1，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案：D解析：由题意得，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x ＝－1为f (x )的极小值点，故选D.3．[2019·焦作模拟]设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案：B 解析：由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)·ln x .由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2>0，ln x <0或⎩⎨⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选B. 4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案：D解析：不存在选项D 的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是y ＝f ′(x )的图象，则f ′(x )≥0，f (x )是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是y ＝f ′(x )的图象，则f ′(x )≤0，f (x )是减函数，也与图象不符，故选D.5．函数f (x )＝e 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －6在[0,2π]上( ) A ．先减后增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．单调递增 答案：D解析：因为f (x )＝e 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －6，所以f (x )＝e 2x ＋2cos x －6.所以可得f ′(x )＝2e 2x －2sin x ＝2(e 2x －sin x )，又x ∈[0,2π]，所以f ′(x )＝2(e 2x －sin x )≥2(1－sin x )≥0，据此可得，f (x )在[0,2π]上单调递增．故选D.6．已知函数f (x )的定义域为(x 1，x 2)，导函数f ′(x )在(x 1，x 2)内的图象如图所示，则函数f (x )在(x 1，x 2)内极值点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：A解析：由f ′(x )的图象可知，其与x 轴有4个交点，但是只有2个满足由正变负或由负变正的条件，所以f (x )在(x 1，x 2)内极值点的个数为2.故选A.7．[2019·吉林模拟]函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2C ．0 D.12e答案：A解析：易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0,2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得1<x ≤2，所以函数y ＝xe x 在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是y |x ＝1＝1e ，故选A.8．[2017·全国卷Ⅱ理，11]若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案：A解析：f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0， 即(4－2a －4＋a －1)·e －3＝0，得a ＝－1. ∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1. 由f ′(x )>0，得x <－2或x >1；由f ′(x )<0，得－2<x <1. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1. 二、非选择题9．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．答案：12解析：易知函数f (x )＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，令f ′(x )<0，得0<x <1，令f ′(x )>0得x >1，故函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为f (1)＝12.10．[2019·无锡模拟]若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞解析：由题意知，y ′＝3x 2＋2x ＋m .若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，则对于方程3x 2＋2x ＋m ＝0，Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 11．[2019·河南南阳一中模拟]已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)解析：函数求导可得f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x(x >0)，令f ′(x )＝2x 2－5x ＋2x >0，即(2x －1)(x －2)>0，解得x >2或0<x <12，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)． 12．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．答案：－332解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵ cos x ＋1≥0，∴ 当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴ 当cos x ＝12，f (x )有最小值． 又f (x )＝2sin x ＋sin2x ＝2sin x (1＋cos x )，∴ 当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.刷题课时增分练⑨ 综合提能力 课时练 赢高分一、选择题1．[2019·太原模拟]函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值 答案：C解析：由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误，选C.2．[2019·江西临川一中模拟]若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)答案：C解析：由题意知x >0，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则方程1＋ax ＝0在x >0上有解，即x ＝－a ，所以a <0.故选C.3．[2019·河南漯河模拟]正项等比数列{a n }中的a 2，a 4 034是函数f (x )＝13x 3－mx 2＋x ＋1(m <－1)的极值点，则ln a 2 018的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．与m 的值有关 答案：C解析：函数f (x )＝13x 3－mx 2＋x ＋1(m <－1)的导数为f ′(x )＝x 2－2mx ＋1(m <－1)，由题意a 2，a 4 034是函数f (x )的极值点，所以a 2·a 4 034＝1，则a 2 018＝1(负值舍去)，则ln a 2 018＝0.故选C.4．[2016·四川卷]已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2 答案：D解析：根据导数求解．由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴ 当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴ f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴ f (x )在x ＝2处取得极小值，∴ a ＝2.5．[2019·合肥调研]若函数f (x )＝2x 2＋ln x －ax 在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，4)D ．(－∞，4] 答案：D解析：由已知得f ′(x )＝4x ＋1x －a (x >0)，因为函数f (x )是定义域上的单调递增函数，所以当x >0时，4x ＋1x －a ≥0恒成立．因为当x >0时，函数g (x )＝4x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝12时取等号，所以g (x )∈[4，＋∞)，所以a ≤4，即实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D. 6．[2019·广东广州海珠区质检]已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0,1) C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12答案：A解析：∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，∴f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点．令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1x .设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，∴g (x )max ＝g (1)＝1，∴0<2a <1，∴0<a <12.故选A.7．[2019·河南鹤壁高级中学基础训练]若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43 B.32b －23C ．0D ．b 2－16b 3 答案：A解析：由题意得f ′(x )＝(x －b )(x －2)．因为f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3<b <1.由f ′(x )>0，解得x >2或x <b ；由f ′(x )<0，解得b <x <2.所以f (x )的极小值f (2)＝2b －43.故选A.8．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内无极值，则正整数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：由题意知，y ′＝3x 2－2a ，因为a >0，令y ′＝0，即3x 2－2a ＝0，解得x ＝±6a 3，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－6a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫6a3，＋∞时，y ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 3，6a 3时，y ′<0.所以y ＝x 3－2ax ＋a 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－6a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－6a 3，6a 3，当x ＝－6a 3时原函数取得极大值，当x ＝6a 3时，原函数取得极小值，要满足原函数在(0,1)内无极值，需满足6a3≥1，解得a ≥32.所以正整数a 的最小值为2，故选B.二、非选择题9．[2019·河北大名月考]若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上为单调函数，则k 的取值范围是________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：在区间(1，＋∞)上，0<1x <1，f ′(x )＝k －1x .当函数f (x )＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上为单调增函数时，k ≥1x 恒成立，则k ≥1；当函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上为单调减函数时，k ≤1x 恒成立，则k ≤0，所以k ≥1或k ≤0.10．[2019·贵州遵义四中月考]已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋(1－a 2)x 在(0,1)内存在最小值，则a 的取值范围为________．答案：(－2，－1)∪(1,2)解析：由题知f ′(x )＝x 2＋2x ＋(1－a 2)，令f ′(x )＝0可得x ＝a －1或x ＝－a －1.当a ＝0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，f (x )在R 上单调递增，在(0,1)内不存在最小值；当a >0时，f (x )在(－∞，－a －1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(－a －1，a －1)上单调递减，根据题意此时0<a －1<1，得到1<a <2；当a <0时，f (x )在(－a －1，＋∞)和(－∞，a －1)上单调递增，在(a －1，－a －1)上单调递减，根据题意此时0<－a －1<1，得到－2<a <－1.综上，a 的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)．11．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.。