北师大版数学选修4-2练习：(第5章)矩阵的特征值与特征向量(2)(含答案)

2015届高考数学总复习：矩阵与变换逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（含答案）选修4－2 矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)1. 若 x 2y 2－11＝x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy x ＋y ＝0.2. 用几何变换的观点，判断并求出矩阵01－10的逆矩阵．解：因为矩阵01－10表示的是绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所以它有逆变换，对应的逆矩阵为0－11 0.3. 已知矩阵A ＝12c 1的一个特征值为λ，10是A 的属于λ的特征向量，求矩阵A的逆矩阵A －1.解：∵ Aα＝λα，12c 110＝λ10，∴ 1＝λ，c ＝λ，解得?λ＝1，c ＝1.A ＝1211，则A －1＝1－10 1.4. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为1－3，属于特征值3的一个特征向量为11，求矩阵A . 解：设A ＝a b c d ，由题知a b cd 1－3＝－1 3，a b c d 11＝311.即a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0，所以A ＝??2130. 5. 已知二阶矩阵A 有两个特征值1、2，求矩阵A 的特征多项式.解：由特征多项式的定义知，特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式．因此不妨设f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因为1，2是A 的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c ＝0的根．由根与系数的关系知：b ＝－3，c ＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2.6. 矩阵M ＝3652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝65，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e 2＝1－1.对向量α＝38，计算M 3α.解：令α＝m e 1＋n e 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以a ＝e 1－3e 2.M 3α＝M 3(e 1－3e 2)＝M 3e 1－3(M 3e 2)＝λ31e 1－3(λ32e 2)＝8365－3×(－3)3 1－1＝3 1532 479 ,M 3α＝3 1532 479.7. 求下列矩阵的特征值和特征向量．(1) M ＝??6244； (2) M ＝?2541. 解：(1) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝λ－6－2－4λ－4＝(λ－8)(λ－2)，令f(λ)＝0得λ1＝2，λ2＝8.λ1＝2对应的一个特征向量为1－2，λ2＝－8对应的一个特征向量为11.(2) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝λ－2－5－4λ－1＝(λ＋3)·(λ－6)，令f(λ)＝0得λ1＝－3，λ2＝6.λ1＝－3对应的一个特征向量为－1 1，λ2＝6对应的一个特征向量为541.8. 利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝5241，N ＝5－8. 解：设M －1＝x y z w ， 5241????x y z w ＝ 5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w ＝1001， 5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解得x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53，所以M－1＝?－132343－53. 可得X ＝M－1N ＝－132343－535－8＝－720. 所以原方程的解为－720. 9. 已知矩阵M ＝10012，N ＝12001，试求曲线y ＝cosx 在矩阵M －1N 变换下的函数解析式．解：由M －1＝1002，得M －1N ＝??100212001＝12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，x y→x′y′＝12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cosx 在矩阵M －1N 的变换下的解析式为y ＝2cos2x.10. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换．求：(1) 直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2) M 的特征值与特征向量．。

高中数学A 选修4选修42第五章矩阵的特征值与特征向量2特征向量在生态模型中的简单应. 试题 2019.091,在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c aC b c o s )2(c o s -=（1）求∠B 的大小；（2）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.2,某项赛事，需要进行综合素质测试，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目以供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目.测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； （2）求某选手至少抽到一道体育类题目的概率.3,已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x，则A B 等于 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210|y y B.{}10|<<y y C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121|y yD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|y y4,设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过点（ ） A.1(,1)2 B.1(1,)2 C.(1,0) D.(0,1)5,已知{}n a 为等差数列，若11101,a a <-且它的前n 项和n S 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n =（ ） A ．11 B ．19 C ．20 D ．216,直线l 过点0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条7,过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )。

第五章 矩阵的特征值与特征向量 同步练习(一)1、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6261的特征值是( ) A 、3,221-=-=λλ B 、3,221-==λλC 、3,221=-=λλD 、3,221==λλ2、零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件3、给定矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32313132M 及向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=56α，对任意的向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x ，则=M n 。

4、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2152的特征值是 。

5、已知矩阵A 有特征值81=λ及对应特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111e ，并有特征值22=λ及对应向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212e ，则矩阵A= 。

6、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001M ，则_______3120=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M 。

7、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值为_____________。

8、求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32521M 的特征值和特征向量。

9、给定矩阵M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1652及向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=92α， (1)求M 的特征值及对应的特征向量；(2)确定实数a,b 使向量可表示为21e b e a +=α；(3)利用(2)中表达式间接计算ααn M M ,3。

10、对下列兔子、狐狐狸模型进行分析：①)1(9.015.02.03.11111≥⎩⎨⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n②)1(1.12.01.01.11111≥⎩⎨⎧+=+=----n F R F F R R n n n n n n(1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值；(2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量'e :(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100000F R β,分别把第n 年种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n F R β表示为和'的线性组合,即'+=b a n β； (4)利用(3)中表达式分析当n 越来越大时, n β的变化趋势。

综合学习与测试(四)1. 向量d c b a （左）乘向量q p的法则是（）A ．dp cp bp ap q p d c b aB ．dqcp bqap q p d c b a C ．dq cp bq ap q p d c b a D ．dqbp cqap q p d c b a 2. 点通过矩阵210011M 和310012M 的变换效果相当于另一变换是（）A ．210031B ．210061 C ．610021 D ．610013. 关于矩阵乘法下列说法中正确的是（）A ．不满足交换律，但满足消去律B ．不满足交换律和消去律C ．满足交换律不满足消去律D ．满足交换律和消去律4. 1110101120011101（）A ．4321 B ．4231 C ．4132 D ．12435. 下列说法中错误的是（）A ．反射变换，伸压变换，切变都是初等变换B ．若M ，N 互为逆矩阵，则MN=IC ．任何矩阵都有逆矩阵 D．反射变换矩阵都是自己的逆矩阵7. 给出下列命题：矩阵中的每一个数字都不能相等；二阶单位矩阵对应的行列式的值为1；矩阵的逆矩阵不能和原矩阵相等。

其中正确的命题有个。

8. 矩阵32521的特征值是。

9. 矩阵1002将曲线422y x 变成了什么图形？这个变换是什么变换？10. 求下列行列式的值：（1）d b ca2（2）420111. 已知ABC 的坐标分别为A （1，1），B （3，2），C （2，4），（1）写出直线AB 的向量方程及其坐标形式；（2）求出AB 边上的高。

12. 已知矩阵3212222111211n n n n na a a a a a a a a A ，定义其转置矩阵如下：n n n n n a a a a a a a a a A 3212221212111。

二价方阵与平面向量乘法 同步练习一、选择题1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是A 、),2()2,21(+∞⋃-B 、(2，+∞)C 、(21-，+∞)D 、(－∞，21-)2、设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列为与共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②|·|=||·||； ③2121y y x x =；④(a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(6π，2)平移后，它的一条对称轴是x=4π，则θ的一个可能的值是 A 、125πB 、3πC 、6π D 、12π4、ΔABC 中，若⋅=⋅，则ΔABC 必为A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰三角形 5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ΔABC 的关系是A 、P 在ΔABC 内部B 、P 在ΔABC 外部 C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上6、在边长为1的正三角形ABC 中，=，AB c =，CA b =，则⋅+⋅+⋅=A 、1.5B 、－1.5C 、0.5D 、－0.5 二、填空题1、已知=(cos θ，sin θ)，=(3，－1)，则|2－|的最大值为____________2、已知P(x ，y)是椭圆1422=+y x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若∠F 1PF 2为钝角，则x 的取值范围为________________3、设=(a,b)，=(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算“×”为×=(ac－bd ，ad+bc)，若已知=(1，2)，×=(－4，－3)，则=____________4、将圆x 2+y 2=2按=(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为____________ 三、解答题1、已知平面内三向量a 、b 、c 的模为1，它们相互之间的夹角为1200。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作矩阵变换的性质 同步练习一,选择题1, 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点2,以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10j 的 变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( ) A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛228 二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(βαM .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 . 6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 . 三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换 （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5） （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7） （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7） （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换O xyB(1,1) C(0,1)A(1,0)参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换.8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。

《线性代数》单元自测题答案第五章 方阵的特征值与特征向量一、 填空题：1．0； 2．36-； 3．6,111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 4.4-； 5.ξ1-p . 二、 单选题：1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5.D .三、计算题1．解：因A 的特征多项式22)1)(1()1)(1(0101010-+=--=---=-λλλλλλλλA E 所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000101020101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。

当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000101000101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，3k 不同时为０)。

2. 解 因A 的特征多项式)1()1()1)(1(32401022322-+=-+=+--+--=-λλλλλλλλA E所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000224000224321x x x 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征根121-==λλ的代数重数等于几何重数，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424020222321x x x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得4,,5-y 是A 的特征根，于是有 05242424254=----=--x A E ， 解得4=x . 从而有 )4()5(1242424212+-=---=-λλλλλλA E ，故可得5=y .（2）当521==λλ时，解0)5(=-X A E ，得基础解系()()T T 101,02121-=-=ξξ.当43-=λ时，解0)4(=--X A E ，得基础解系()T 2123=ξ. 取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==210102211,,321ξξξP ， 则Λ=-AP P 1。

第5章 特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量练习5.11. 证明特征值与特征向量的性质3.设01()mm z a a z a z ϕ=+++ 是一个多项式. 又设0λ是矩阵A 的一个特征值, α是其对应的一个特征向量, 则00100()mm a a a ϕλλλ=+++ 是矩阵多项式01()m m A a E a A a A ϕ=+++ 的一个特征值, α仍是其对应的一个特征向量.证 由0A αλα=得01()m m A a a A a A ϕαααα=+++()()01000m m a a a λλαϕλα=+++=再由定义得证.2. 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122113221A的全部特征值与特征向量.解 由()()2()33A f E A λλλλ=-=-+得A 的特征值为3,3321-===λλλ（二重）.当31=λ时，解齐次方程组()03=-x A E 得基础解系T )1,1,1(1=α所以，属于31=λ的全部特征向量为11αk （01≠k ）.当332-==λλ时，解齐次方程组()03=--x A E 得基础解系T )1,2,1(2-=α所以，332-==λλ的全部特征向量为22αk （02≠k ）.3. 求平面旋转矩阵cos sin sin cos G θθθθ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值.解 由()2cos sin 2cos 1sin cos f E G λθθλλλθλθλθ--=-==-+-得矩阵G 的两个特征值为1cos λθθ=+，2cos λθθ=-4. 已知[]T1,1,1α=-是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A的一个特征向量. 试确定b a ,的值及特征向量α所对应的特征值.解 设α所对应的特征值为λ，则由λαα=A , 即0)(=-αλA E ，得21212120531530121120a ab b λλλλλλ---++=⎛⎫⎛⎫⎧⎪ ⎪⎪---=⇔-+-+=⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-+----=⎝⎭⎝⎭⎩0 解之得1,0,3-==-=λb a .5. 设3阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1321===λλλ, 与之对应的特征向量分别为[][][]T T T1232,1,1,2,1,2,3,0,1ααα=-=-=求矩阵A .解 由假设123123[,,][,2,3]A αααααα=矩阵],,[321ααα可逆，所以1123123[,2,3][,,]A αααααα-=249143120153143164--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=320361182636. 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-, 求行列式*1A A A --+. 解 记A 的特征值为1231,1,2λλλ==-=,则1232A λλλ==-，112A A A *--==-A*111123A A A A A A A A -----+=--+=-+故*1A A A --+的特征值为13,(1,2,3)i i i i μλλ-=-+=，计算得12312,2,2μμμ=-==所以*11232A A A μμμ--+==-7. 设2A A =, 证明A 的特征值只能是0或1. 解 设λ是A 的特征值，则2()ϕ=-A A A 有特征值2()(1)ϕλλλλλ=-=-由于()ϕ=A O ，故其特征值全为零，所以()(1)0ϕλλλ=-=，从而0=λ或1=λ.8. （1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；（2）设21,λλ为矩阵阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1ξ和2ξ, 证明2211ξξk k +（0,021≠≠k k ）不是A 的特征向量.证 （1）设A 的对应于特征向量α的特征值有1λ和2λ，即12,A A αλααλα==由此推出12()0λλα-=，由于0α≠，因此12λλ=.（2）（反证）假设2211ξξk k +是A 的特征向量，对应的特征值为μ，即()()11221122A k k k k ξξμξξ+=+由222111,ξλξξλξ==A A ，得()11221122111222A k k k A k A k k ξξξξλξλξ+=+=+()1122k k μξξ=+移项()()1112220k k λμξλμξ-+-=因{}12,ξξ线性无关，所以1122()0,()0k k λμλμ-=-=由0,021≠≠k k 得12λλμ==，这与21λλ≠矛盾.5.2 方阵的对角化练习5.21. 证明相似矩阵的性质1～7.性质1 相似关系是一种等价关系. 即具有： （1）自反性：~A A ；（2）对称性：~~A B B A ⇒； （3）传递性：~,~~A B B C A C ⇒. 证（1）由1E AE A -=，得~A A（2）设1P AP B -=，则1111()A PBPP BP ----==，~B A（3）设111122,P AP B P BP C --==，则112112P P AP P C --=，11212()()PP A P P C -=，~A C . 性质2 设B A ~, 又01()mm x a a x a x ϕ=+++ , 则()~()A B ϕϕ； 证 设1P AP B -=，则()112012()m m P A P P a E a A a A a A P ϕ--=++++1121012m m a E a P AP a P A P a P A P ---=++++ ()()2111012()mm a E a P AP a P AP a P AP B ϕ---=++++=性质3 设B A ~, 又A 可逆, 则B 可逆且11~--B A；证 设1P AP B -=，由于B 是可逆矩阵的乘积，所以B 可逆. 且()111PAP B ---=，111P A P B ---=，11~--B A性质4 设B A ~, 则()()A B f E A E B f λλλλ=-=-=；证 见正文.性质5 设B A ~, 则A 与B 的特征值相同； 证 由性质4即得证.性质6 设B A ~, 则B A =；证 由行列式等于所有特征值的乘积以及性质5即得证. 性质7 设B A ~, 则tr()tr()A B =.证 由迹等于所有特征值之和以及性质5即得证. 2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12yB 已知A 与B 相似，求y x ,. 解 由tr tr A B =和B A =得22122x y y +=+-⎧⎨-=-⎩解和0,1x y ==.3. 设3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ,（1）求可逆矩阵P 使得1-P AP 为对角矩阵； （2）计算106()f A A E =--A .解（1）易求得A 的特征值为1,2-，对应的特征向量分别为(1,2),(2,1)TT. 令1221P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11232121121222123P AP D ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）1061()()f A P D D E P -=--1061211112121(2)(2)1213⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211121279640121959216403213---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 设101121002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵； （2）计算k A ；（3）设向量0(5,3,3)Tα=, 计算0kA α. 解 （1）按对角化的方法易求得()132110,,011100P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，1001101111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭和1212Λ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP（2）由1Λ-=P AP 1Λ-⇒=A P P所以1111()()()k k ΛΛΛΛ----==A P P P P P P P P11020011021011110112221100211102kk kk k k k ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）（方法1）先按（2）先计算k A ，再计算kA α.k A αT (322,22,32)k k k =⨯++⨯.（方法2）先求α在基231,,ααα下的分解，然后再求αkA . 解α=Px 得1,2,3121===x x x所以α在基底231,,ααα下的分解为23123αααα++=则23123ααααk k k k A A A A ++=22331123αλαλαλk kk ++=23121223αααk k k +⨯+⨯=T (322,22,32)k k k =⨯++⨯5. 已知方阵1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与对角矩阵相似, 且2=λ是A 的二重特征值.（1）求x 与y 的值.（2）求可逆矩阵P 使AP P 1-为对角矩阵. 解 （1）111111222333000E A x y x y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)12,2r E A x y -=⇒==-（2）求另一个特征值3λ2332426A λλ==⨯⇒=解()20E A x -=得基础解系（见下面P 的前两列），解()60E A x -=得基础解系（见下面P 的第三列）.111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1226P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6. 设矩阵3221423A kk -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1）确定k 的值使A 可对角化.（2）当A 可对角化时, 求可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵. 解 （1）求A 的特征值232211)(1)423E A k k λλλλλλ---=+-=+--+(－1231,1λλλ==-=A 可对角化()10r E A k ⇔--=⇔=（2）方法同前111200021P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 1111P AP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题五1. 设23A A E O -+=，证明A 的特征值只能是1或2. 证 设λ是A 的特征值，则2()3A A E ϕ=-+A 有特征值2()31(1)(2)ϕλλλλλ=-+=--由于()ϕ=A O ，故()ϕA 的特征值全为零，所以()(1)(2)0ϕλλλ=--=从而1λ=或2λ=.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和都等于1，证明1λ=矩阵A 的特征值. 提求：(1,1,,1)Tα= ,A αα=. 证 设(1,1,,1)T α= ,A αα=.3. 证明n ()2n ≥阶Householder 矩阵2T H E uu =-（其中,1n T u R u u ∈=）有1n -个特征值1, 有一个特征值1-.提示：方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- , 直接验证i i H αα=. 又Hu u =-.证 方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- ,即0,(1,2,,1)T i u i n α==-于是()()22,(1,2,,1)T T i i i i i H E uu u u i n ααααα=-=-==-上式说明H 有1n -个特征值1. 又()()22T T Hu E uu u u u u u u =-=-=-上式说明H 有一个特征值1-. 综上，H 的特征值为111,1n n λλλ-==== .4. 设A 是n m ⨯矩阵, B 是m n ⨯矩阵, 证明AB 与BA 有相同的非零特征值. 特别地，如果m n =, 则AB 与BA 的特征值完全相同.证法1 由m n m n λλλ--=-E AB E BA （设m n ≥）立即得证.证法2 设λ是AB 的一个非零特征值，对应的特征向量为α，即λαα=)(AB用B 左乘上式得)())((αλαB B BA =只要再证明0≠αB ，上式说明λ也是BA 的特征值. 如果0=αB ，将其代入式λαα=)(AB 得左边()==AB α0，右边λ=≠α0（0,λ≠≠α0）矛盾. 因此0≠αB .同理，BA 的非零特征值也是AB 的特征值.5. 设A 与B 都是n 阶矩阵，()λϕ是B 的特征多项式，证明()A ϕ可逆的充要条件是矩阵A 和B 没有公共的特征值.证 设n λλλ,,,21 为B 的特征值，则()()()()n λλλλλλλϕ---= 21从而()()()12()n A A E A E A E ϕλλλ=---于是12()n A A E A E A E ϕλλλ=---因此()0||≠A ϕ⇔0||≠-A E i λ（n i ,,2,1 =）⇔n λλλ,,,21 不是A 的特征值⇔A 与B 没有公共的特征值.6. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b B 21 已知A 与B 相似. （1） 求b a ,；（2） 求可逆矩阵P ，使B AP P =-1.提示：A 与B 有相同的特征多项式，比较两个特征多项式的系数. 解 （1）分别求得A 与B 的特征多项式32()(tr )(4)A f E A A a A λλλλλ=-=-+---B E f B -=λλ)(32(tr )(2)B b B λλλ=-+--由)()(λλB A f f =得tr tr A B =，B A =，42a b --=-即2=-b a ，42a b --=-解得2,0-==b a（2） 由于A 与B 相似，所以A 的特征值与B 的特征值相同，就是B 的对角元2,2,1321-==-=λλλ再求出对应于这些特征值的特征向量分别为T T T )1,0,1(,)1,1,0(,)1,2,0(321-==-=ααα令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111012100,,321αααP则有B AP P =-1.7. 设A 是3阶方阵，x 是3维列向量，矩阵2,,P x Ax A x ⎡⎤=⎣⎦可逆，且x A Ax x A 2323-=求矩阵1B P AP -=.解()()2322,,,,32AP Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-()2000000,,103103012012x Ax A x P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1000103012P AP B -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭8. 设A 是3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+.（1）证明123,,ααα线性无关. （2）令[]123,,P ααα=，求1P AP -. 解（1）设1122330k k k ααα++=两边左乘A()11223230k k k αααα-+++=上面两式相减113220k k αα-=12,αα线性无关，130k k ==，代入前面式子20k =. 说明123,,ααα线性无关.（2）()()1231223,,,,AP A A A ααααααα==-+()123100100,,011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设212122221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1098()65A A A A ϕ=-+解 A 的特征值为1231,1,5λλλ=-==，对应的特征向量分别为1231111,1,1201ααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令123111[,,]111201P ααα--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则111213306222P ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1115P AP D --⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而()109810981()6565A A A A P D D D P ϕ-=-+=-+11222402240448P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10. 设,(2),0,0nR n αβαβ∈≥≠≠, TA αβ=. 证明当0Tβα≠时, A 可对角化；当0T βα=时, A 不可对角化.证 设0Tβα≠. 由ααβααβα)()(T T A ==知A 有特征值01≠=αβλT，对应的特征向量αξ=1.再设齐次方程组0=x T β的1-n 个线性无关解为n ξξ,,2 ，则T T ()()0i i i i ====A ξαβξαβξξ0说明A 有特征值02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξ,,2 .综上，A 的n 个特征值为01≠=αβλT，02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξξ,,,21 （它们线性无关）. 因此，A 可对角化. 相应的对角矩阵为T diag(0,,0,)βα设0Tβα=. 由2()()()T T T T A αβαβαβαβ===OA 的特征值全是零（n 重）. 但属于0λ=的线性无关的特征向量个数为()()1T n r A n r n n αβ-=-=-<所以A 不可对角化.11．求解微分方程组11212122d 51,(0)11d 62d 11,(0)0d 44x x x x t x x x x t⎧=--=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 解 写成矩阵形式5/61/2,1/41/4dxAx A dt --⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 1321,131/12P P AP D --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1y P x -=，dyDy dt =，3(0)1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1121122,t ty c e y c e--==由初值定出常数123,1c c ==1233213t t e x Py e --⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭/121/1229e 2e 3e 3e t t t t x x ----⎧=+⎨=-⎩12．在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后的农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为n x 和n y （1n n x y +=）.（1）求关系式11n n n n x x A y y ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中的矩阵A ；（2）设目前农村人口与城镇人口相等，即000.50.5x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解 （1）11pq A p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）由()()[]1(1)(1)1pqE A p q pqλλλλλ-+--==------+得A 的特征值为121,1p q r λλ==--=再求得对应的特征向量为121,1q p αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令11q P p -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1121P AP r λλ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是11A P P r -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11111111n n n q A P P r p r p q p q --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1nn nn q pr q qr p q p pr p qr ⎡⎤+-=⎢⎥+-+⎣⎦000.510.5n n n n n n n x x q pr q qr A y y p q p prp qr ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2()12()2()n n q p q r p q p q p r ⎡⎤+-=⎢⎥++-⎣⎦。