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（试卷A ）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a a a a3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A ，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA)(B *A k n)(C*-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
河南农业大学2008-2009学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷(A)一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（ ）1、()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅． （ ）2、方程z =表示一个开口向上的锥面．（ ）3、曲面(,)z f x y =在点000(,,)x y z 处的法向量为{}0000(,),(,),1x y f x y f x y ．（ ）4、极限3(,)(0,0)lim x y x y x y→+不存在．（ ）5、若二元函数在某点可微，则函数在该点的偏导数连续． （ ）6、若在区域D 上(,)0f x y ≤，则(,)0Df x y d σ≤⎰⎰．（ ）7、设C 为x 轴上从(1,0)A 到(1,0)B -的有向直线段，则d d 0Cy x x y +=⎰．（ ）8、设C 为圆周221x y +=，定向为正向，记C 所围平面区域为D ，则2222222222220()()C Dxdy ydx y x y x d x y x y x y σ⎛⎫---=-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰． （ ）9、若正项级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 无界，则该级数发散．（ ）10、级数11)2n n ∞=-∑收敛．二、填空题（每空2分，共计20分）1、设{}1,1,2=a，{}4,1,b λ=-，且a b ⊥，则=λ _________.院、系 班级 姓名 学号 座号密 封 线2、通过z 轴和点(1,1,2)--的平面方程为_______ .3、200tan()lim x y xy y →→= _________．4、2(,)f x y x y =+在点0(1,1)P 沿向量{}2,2-方向的方向导数为___________．5、若22:4D x y +≤，则二重积分2Dx ydxdy =⎰⎰___________． 6、交换积分次序0(,)a a dy f x y dx -=⎰⎰______ ．7、设C 为圆周222x y R +=，则222()Cx y ds +=⎰________________.8、设S为上半球面z =，则曲面积分SdS =⎰⎰________________.9、级数1(1)(23)nn n x n ∞=--∑的收敛区间为 ． 10、设函数()f x 以2π为周期，在[,)ππ-上定义10()10x x f x x x ππ--≤<⎧=⎨+≤<⎩，则其傅里叶级数在x π=收敛于________________.三、计算题（每题10分，共计60分）1、设22w x y =+，x st =，cos y s t =，求10s t w s==∂∂，10s t w t==∂∂.2、计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域.3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由2221(0)xy z z ++=≥与z =的空间区域．4、确定λ的值，使曲线积分212(4)d (62)d Cx xy x x y y y λλ-++-⎰在xoy 平面上与路径无关．当起点为(0,0)，终点为(3,1)时，求此曲线积分的值．院、系 班级 姓名 学号 座号密 封 线5、计算曲面积分d d d d d d SI x y z y z x z x y =--+⎰⎰，其中S 是曲面221z x y =++被平面5z =所截下的部分，取下侧.6、将函数21()43f x x x =++展开成x 的幂级数.。
河南科技大学线性代数试题总汇线性代数历年试题及参考答案河南科技大学2000 年-2004 年- 1 -1999 级线性代数试题一、判断题（共24 分）1 若A，B 均为n 阶方阵，则必有（1）AB＝BA （2）|AB|＝|BA| （3）|AB|＝|A|＋|B| （4）TT（5）22BABA（6）R（AB）＝R（BA）（7）若A 2＝0，则A ＝0 （8）若ATA＝0，则A＝0 2（8 分）若 A 是mn 矩阵，且m≠n，则（1）当A 的列向量组线性无关时，A 的行向量组也线性无关（2）当RAn 时，齐次线性方程组AX＝0 只有零解（3）当RAn 时，非齐次线性方程组AX＝b，有唯一解（4）当RAm 时，非齐次线性方程组AX＝b，有无穷多解3（8 分）若A 是实对称矩阵，则（1）A 的特征值全为实数（2）A 为正定矩阵的充要条件是 A 的特征值全为正（3）若|A|＞0，则 A 为正定的（4）在二次型f＝X TAX 中，若经实满秩线性变换X＝CY，可将f 化为标准形则全为A 的特征值221nykykf Lnk,21L二、填空题（19 分）1 （4 分）设且A＋2B＝C，vxCyvuBxA43,,70则x_____, y______, u_____, v_______2 （6 分）若A 为四阶方阵，且|A|＝3，A ＊为A 的伴随矩阵，则|－2A|＝＿＿，|A －1 |＝＿＿，|A ＊|＝＿＿ 3 （3 分）方阵的特征值为＿＿，＿＿，＿＿4024 （4 分）已知四元非线性方程组的系数矩阵A 的秩为3，- 2 -是它的三个解向量，且321,，则对应齐次方程组AX＝0 的TT5,432,4,2基础解系是＿＿＿＿，AX＝b 的通解是＿＿＿5 二次型所对应的矩阵是＿＿3212321 xxxf 三、（10 分）1、计算03212 、已知A 求及1041A8四、（10 分）设，且，求B32五、（15 分）验证二次型的特征值为4，9，0，3231212321 65xxxf 求一个正交变换，将此二次型化为标准形。
河南农业大学2015-2016学年第一学期 《线性代数》考试试卷（A 卷）一．判断题（每小题2分，共计20分） （ ）1. 交换行列式任意两列的位置不改变行列式的值. （）2. 设B A ,均为n 阶方阵，O A ≠且O AB =，则O B =. （ ）3. 设B A ,均为n 阶方阵，0≠A 且O AB =，则0=B . （ ）4. 若43A 为4行3列的矩阵，且3)(=A r ，则43A 的列向量组一定线性无关，行向量组一定线性相关. （ ）5. 齐次线性方程组的基础解系不是惟一的. （ ）6. 初等矩阵都是可逆的且其逆矩阵也是同类型的初等矩阵. （ ）7. s ααα,,,21 中任意一个向量都不是其余向量的线性组合是该向量组线性无关的充要条件． （ ）8. 方阵的同一个特征值所对应的特征向量一定线性相关. （ ）9. 若n 阶方阵B A ,有相同的特征值，则B A ,一定相似. （ ）10. 若Q 是正交矩阵，则T Q 也是正交矩阵． 二．填空题（每空2分，共计20分） 1. 已知n 阶矩阵B A ,，则化简=+---)2()(222B AB A B A . 2. 设A 为3阶矩阵，特征值是3,2,1，则=-*A ． 3. 已知2是可逆矩阵A 的特征值，则 是1)2(-A 的一个特征值．院、系 班级姓名 学号 课头号 座号密封线4. 设321,,ηηη均是四元非齐次线性方程组b AX =的解，若3)()(==A r A r ，且T )1,1,1,1(1=η,T )5,4,3,2(32=+ηη，则该方程组的通解为5. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002,21B b a A ，且A 与B 相似，则_______________,==b a . 6. 设n 阶单位矩阵E 的特征值为 ,特征向量是 .7. 设)1,1,1(),1,2,1(21-=-=αα，则=-2123αα ，21αα与 （填：是或不是）正交.三．计算题（每题8分，共计48分）1．计算行列式2123113401022011------=D ．2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，求1)(--A E .3．求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．4.讨论a 的取值，确定⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a A 111111的秩)(A r ．5．求向量组)6,4,2,2(),1,2,0,3(),4,2,3,1(),3,0,1,2(4321-=-=-=-=αααα的一个极大线性无关组，并把其余向量用所求的极大线性无关组线性表示．6．设3阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1630310104A ，若存在3阶可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1， （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求矩阵P 和Λ， 使Λ~A ．四．证明题（每小题6分，共12分）1. 设n 阶方阵A 满足：O E A A =--22，证明：E A 2+可逆，并求出1)2(-+E A ．2.设21,ξξ分别为A 对应于特征值)(,2121λλλλ≠的特征向量，证明：21ξξ+不是A 的特征向量．。
河南农业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》（工科）试卷（A）一、判断题（每小题2分，共20分）（）1.平面的法向量不唯一.（）2.向量→→⨯ba与二向量→a及→b的位置关系是垂直的.（）3.若),(yxfz=在点),(yxP处的两个偏导数存在，则),(yxf函数必在该点连续.（）4.沿梯度方向时，方向导数取得最大值.（）5.二重积分σdyxfD⎰⎰),(表示以),(y x fz=为顶，D为底，以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面的曲顶柱体的体积．（）6.曲线积分⎰+Ldyxxydx2与路径无关．（）7.闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(yxP在D上具有一阶连续偏导数，则D LPdxdy Pdyx∂=∂⎰⎰⎰.（）8.若级数1nnu∞=∑收敛，1nnv∞=∑发散，则级数∑∞=+1)(nnnvu可能发散，也可能收敛.（）9.设L为圆周221x y+=，则2Ldsπ=⎰.（）10.若幂级数nnna x∞=∑在点1-处收敛，则该级数的收敛半径1≥r.二、填空题（每空2分，共20分）1. xoz坐标面上的直线5z x=绕ox轴旋转而成的旋转曲面方程为.2．曲面222231x y z+-=在点)1,1,1(-处的法线方程.．系班级姓名学号课头号座号密封线3．__________42lim0=+-→→xy xy y x .4．交换积分次序⎰⎰---=22111),(y y dx y x f dy ____________________________.5．函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿点P 到点)1,2(-Q 的方向导数为_______.6．级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________.7．设D 表示整个xOy 平面，则⎰⎰=--Dy xdxdy e 22__________________.8．设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑⎰⎰＝___________________.9．由2x y =与1=y 所围成的均匀薄片（面密度为μ）对直线1-=y 的转动惯量为 .10．设()f x 是以4为周期的周期函数，在)2,2[-上定义为1,20(),02x f x x x -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在点1=x 处收敛于________________.三．计算题（每题10分，共60分）1. 计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域．2．设⎩⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z 求 dx dz dx dy ,．3．求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域．4．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分．密 封 线5．计算曲线积分222(cos 2sin )(sin 2)x x Lx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰，其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x ．6．设)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，求向量b a,的夹角．。
2014~2015学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶可逆矩阵，2A =，*A 为矩阵A 的伴随矩阵，则*A A =．解析：由于3-122,|2A A A*===，则3*5||232A A A A *=⨯==注释本题知识点：（1）1;n A A-*=（2）;AA A A A E **==（3）.n A A λλ=答案：322.设四元非齐次方程组=Ax b 的系数矩阵A 的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且1212210⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭ηη，30211⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭η，则方程组=Ax b 的通解为．解析：由于(A)3R =，未知数的个数为4n =，则齐次方程的基础解系有(A)1n R -=个向量。
已知123,,ηηη是=Ax b 的三个解向量，则1212(2)2,A A A b -=-=ηηηη3A b=η123[(2)]0A --=ηηη所以，即123(2)--ξηηη所以=是非齐次方程的基础解系，方程组=Ax b 的通解为1233x k[(2)]=--+ηηηη注释本题知识点：(1)如果,(A)r m n A R ⨯=，则齐次方程的基础解系有n r -个向量；(2)如果齐次方程组的基础解系为12,,,n r ξξξ- ，非齐次方程组的特解为*η，则非齐次方程的通解为1122*n r n r x k k k ξξξη--=++++ 。
(3)如果12,ηη是非齐次方程组的解，则12ηη-是其次方程组的解。
答案：1002,0111k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为任意实数.3.设向量组123,,ααα线性无关，11222331232,3,βααβααβααα=+=+=-+，则向量组123,,βββ是线性（相关、无关）的．解析：方法一，定义法计算；方法二，123123201(,,)(,,)111031βββααα⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭令123B (,,)βββ=，123(,,)A ααα=，201111031K ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则B AK =；又因为0K ≠，所以(A)R(B)=R .又因为向量组123,,ααα线性无关，则(A)R(B)3==R .所以向量组123,,βββ是线性无关.注释本题知识点：(1)如果11220m m x x x βββ+++= 有非零解（仅有零解），向量组12,,,m βββ 是线性相关（无关）；(2)如果12(,,,)(m)或m R m βββ<= ，向量组12,,,m βββ 是线性相关（无关）。
线内不要答题☆河南城建学院2014—2015学年第一学期期末考试《线性代数》试题（A卷）本套试卷共 3 页一填空题(每题3分，共15分)1．设637471113A=-,则A中元素23a的代数余子式等于___；2.排列7682314的逆序数为；3.设矩阵()(),ij ijm n p qA aB b⨯⨯==, 则AB有意义的条件是；4.设1212,,1034B C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且有ABC E=,则1_______A-=;5.设,A B为6阶方阵, 1,2A B==-，求12T A B-=；二选择题(每题3分，共15分)1.已知111222333a b ca b c ma b c=≠，则111122223333232323a b c ca b c ca b c c++=+（）。
A. 2m;B.3m;C.6m;D.12m2.向量组12,,sαααL线性相关且秩为r，则（）。
A. r s=B. r s<C.r s>D.s r≤3.,A B均为n阶矩阵，下列命题正确的是（）A.()2222A B A AB B+=++； B.()()22A B A B A B+-=-;C. ()()2A E A E A E-=+-; D.()333AB A B=4.矩阵2301031542071054A-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭的秩()R A为( )。
A. 1B. 2C. 3D. 05.若BA,为)2(≥nn阶方阵,则下列各式正确的是( ).A.BABA+=+ B.TTT BAAB=)(C.BAAB= D.BAAB=三计算题(共50分)1. 计算矩阵方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1131122141X☆☆密封线内不要答题☆☆2求行列式xaaaxaaaxDnΛΛΛΛΛΛΛ=．3设线性方程组为123412341234123430235132713x x x xx x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪-+-=⎩ｃ问c,b各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解?有解时写出方程组的通解。
一道线性代数试题的探究王建平;张香伟【摘要】以一道典型的线性代数试题为例,深入挖掘与试题相关概念的丰富内涵,巧妙解析各知识点之间内在的联系和综合运用.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】5页(P122-126)【关键词】特征值;特征向量;伴随矩阵;线性相关;线性无关;正交变换【作者】王建平;张香伟【作者单位】河南农业大学信息与管理科学学院,郑州450046;郑州师范学院数学与统计学院,郑州450044【正文语种】中文【中图分类】O151.24线性代数中关于特征量和特征值的问题，解决问题的思路和方法很多，初学者往往因不擅于从题目所给的条件中恰当地提取多种有价值的信息，深入挖掘题目的内涵和知识点之间广泛的联系，造成解题思路不畅.下面撷取一道线性代数试题予以说明.原题[1](2003年考研数学三) 设二次型其中b>0，二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12，试求：(i)a,b的值；(ii)利用正交变换将二次型f化为标准型，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵. 此题的解题思路是常规解法：因为矩阵的特征值之和等于主对角元素之和，特征值的积等于矩阵的行列式，利用上述关系可确定a和b.也可以直接写出特征方程，利用二次方程的根与系数的关系来求a和b，化二次型为标准形按通常的正交变换法进行即可.改编题设矩阵A为三阶实对称矩阵，|A|=-12，A的主对角线元素之和为1，向量α=(1,0,-2)T为齐次线性方程组(A*-4E)X=0的解向量.试求：(i)矩阵A；(ii)齐次线性方程组(A*+6E)X=0的通解；(iii)求正交变换X=QY，化二次型f=XTAX为标准型；(iv)若向量β=(5,2,10)T，求Anβ.此题看似简单，但内涵极为丰富，若勤思善想，深挖广拓，进行多角度的探究，就能以小见大，实现做一题而通一片，从而开发学生的思维的广度与深度，增强学生的灵活变通的能力.本文通过对该题的深入的剖析，着力提高学生分析问题与解决问题的能力.分析问题(ii),(iii),(iv)都与矩阵A有着千丝万缕的联系，若能先求出矩阵A，即可按常规解题思路分别予以解答.因此，解题的关键在于能否顺利地求解问题(1).因为A为三阶实对称矩阵，所以矩阵A必可以对角化，即存在一个满秩矩阵P，使得(这里Λ为对角矩阵，其主对角线上的元素即为矩阵A的特征值)，则有若令P=(α1,α2,α3)，则有即从而得到这说明λ1,λ2,λ3为A的特征值，而α1,α2,α3为A的3个线性无关的特征向量.从P-1AP=Λ中可知A=PΛP-1，因此欲求A，必须首先设法找到A所有的特征值和特征向量.由于A的行列式等于其所有特征值的乘积，则可得到条件若能考虑到A的所有特征值之和等于矩阵A的迹[2]，则可得到第二个条件但两个方程，三个未知量是无法求出定解的.如果能设法先确定一个特征值，即可峰回路转.重新梳理题设条件，发现还有一个题设尚未被充分利用，其中是否蕴涵了关于某个特征值的信息呢？考虑到条件“向量α=(1,0,-2)T为齐次线性方程组(A*-4E)X=0的解向量”，则易知即上式表明向量α为伴随矩阵A*的对应于特征值4的特征向量.若考虑到(i)因|A|=-12，则A为满秩矩阵；(ii)满秩矩阵的的特征值一定不为零；(iii)若λ为矩阵A的特征值，向量α为矩阵A对应于特征值λ的特征向量，则为矩阵A*的特征值，同时α也为矩阵A*的对应于特征值的特征向量[3].从而必有向量α1=α为矩阵A的对应于特征值λ1=-3的特征向量，此时可得则(1)式和(2)式化为易知λ2=λ3=2.从而Λ=diag(-3,2,2).从A=PΛP-1可知，为求矩阵A只需求出满秩矩阵P.由于P的列向量组α1,α2,α3恰为A的3个线性无关的特征向量，只要找到其余两个向量α2,α3即可.联想到实对称矩阵的性质(i)k重特征值对应的特征向量必有k个；(ii)实对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量相互正交[4].则知α2,α3作为A的对应于特征值λ2=λ3=2的特征向量，应该均与A的对应于特征值λ1=-3的特征向量α1正交.即有可见α2,α3即为方程X=0的解向量.解方程得其基础解系为令因为列向量组α1,α2,α3恰为矩阵A的3个线性无关的特征向量，所以向量组α1,α2,α3必线性无关，则矩阵P为满秩矩阵，由初等列变换法易求得则由矩阵的乘法运算可得对于第二个问题，若按照通常的思路可能会由A先求其伴随矩阵A*，然后再去求解齐次线性方程组(A*+6E)X=0，但常规思路往往会伴随着计算量的剧增，稍不留神则可导致整个结果的计算错误.若能抛开上述思路，换个角度去观察和分析：若齐次线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，则方程组仅有零解，那么这个问题就毫无意义.只有当其行列式为零时，该方程才会有非零解，此时才有讨论其通解的必要.那么当=0时，因其为3阶行列式，稍加变形可得由特征值的概念可知-6为A*的特征值，则方程组(A*+6E)X=0的基础解系即为A*对应于特征值-6的特征向量，由A与A*的特征值和特征向量之间的关系，可知(A*+6E)X=0的基础解系也应该为矩阵A的对应于特征值λ2=λ3=2的特征向量，也就是说该方程的基础解系恰为α2,α3，从而其通解为ξ=k1α2+k2α3(k1,k2为任意常数).对于第三个问题，因为A为三阶实对称矩阵，所以不仅存在一个满秩矩阵P，使得P-1AP=Λ，而且一定存在一个正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ.又因Q为正交矩阵的充要条件是其列向量组为标准正交向量组，则可考虑将向量组α1,α2,α3标准正交化.由于α1已经与α2,α3均正交，则只需对α2,α3正交化即可(因为一般情况下α2,α3作为方程组的基础解系一定是线性无关但不一定满足正交性)，由前文知α2,α3恰好正交，故只需对α1,α2,α3进行单位化即可：令，可得令Q=(β1,β2,β3)，则Q即为所求正交矩阵，且正交变换X=QY，可使此时二次型.对于最后一个问题，有的同学会这样考虑：因为存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ，可知矩阵A=PΛP-1，由相似矩阵的性质可得然后再计算出Anβ，此种解法思路很容易想到，但多次计算矩阵的乘法运算会十分繁琐.如能考虑到线性无关向量组的性质：(i)n+1个n维向量必然线性相关；(ii)若向量组α1,α2,…,αn线性无关，而向量组α1,α2,…,αn,β线性相关，则向量β必可由向量组α1,α2,…,αn惟一线性表出.这里因3维向量组α1,α2,α3为线性无关，所以在向量组α1,α2,α3,β中，β必可以由α1,α2,α3惟一线性表示，即存在一组常数k1,k2,k3，使得即则有因为αi为A的属于特征值λi的特征向量，则αi也必为An的属于特征值的特征向量[5]，即从而故只需求出常数k1,k2,k3即可.解非齐次线性方程组(7)，因为P满秩，所以从而代入(9)式，原题求解完毕.纵观此题，知识点之间纵横交织，内涵非常丰富，具有极高的灵活变通性和数学的美感.通过对其深入的分析和挖掘，拓宽了解题的思路，有效地将相关的基础知识点关联在一起，活化了数学的思维，并提高了发散性的思维能力，能够起到促进学生数学思想方法的灵活掌握和创造性的运用，尤其是可以增强学生综合分析解决问题的能力.这样的试题剖析对训练学生的思维会有较大的启发.既能加深对一些重要理论知识的理解，又揭示了知识点间的相互关联，这就需要教师能够在教学中抓住知识点以及它们之间本质的内在联系，不仅教会学生理论，更应教授给学生思维的方法.【相关文献】[1]陈仲.硕士研究生入学考试历年试题解析[M].北京：学苑出版社，2004：127.[2]胡永谟.实对称矩阵的迹的几点性质[J].工科数学，1997，13 (4)：137-139.[3]戴立辉，刘龙章.伴随矩阵的性质[J].工科数学，1997，13(3)：89-92.[4]徐涛，刘合龙.关于实对称矩阵的基本定理[J].大学数学，2013，29(6)：51-54.[5]梁保松.线性代数[M].中国农业出版社，2008：141.。
