高一数学不等式期末复习题1-3

高一数学不等式测试题1. 不等式的基本性质题目：请证明对于任意实数a、b、c，不等式\( a < b \) 时，\( a + c < b + c \) 成立。

2. 解一元一次不等式题目：解不等式 \( 5x - 3 > 2x + 7 \)。

3. 解绝对值不等式题目：解绝对值不等式 \( |x - 4| < 3 \)。

4. 解二次不等式题目：解不等式 \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)。

5. 不等式与函数题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求函数值大于0的x的取值范围。

6. 不等式组的解集题目：解不等式组 \( \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x - 7 < 0 \end{cases} \)。

7. 不等式的变换题目：将不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 转化为标准形式，并找出其解集。

8. 不等式的应用题目：一个矩形的长为 \( 2x + 3 \)，宽为 \( x - 1 \)，当x取何值时，矩形的面积最大？9. 不等式与数列题目：若数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} \leq 2a_n \) 对所有正整数 n 成立，证明数列 \( \{a_n\} \) 是递增的。

10. 不等式的证明题目：证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，不等式\( \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \) 成立。

11. 不等式与几何题目：在三角形ABC中，如果 \( a + b > c \)，证明三角形ABC 是锐角三角形。

12. 不等式的综合应用题目：若 \( x, y \) 为正实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求\( x^2y + xy^2 \) 的最大值。

13. 不等式的解法题目：解不等式 \( \frac{2x}{x^2 - 1} < 1 \)。

高一数学基本不等式试题答案及解析1.下列各函数中，最小值为的是（）A．B．，C．D．【答案】D【解析】A．可取时，的最小值不可能是2；B．，，当时，的最小值不可能是2；C．由，的最小值大于2；D．由，当且仅当即时等号成立，的最小值为2．故选D．【考点】均值不等式的应用．2.设且,则的最小值为________．【答案】4【解析】由，当且仅当时等号成立．故答案为4．【考点】均值不等式的应用．3.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得.【考点】基本不等式的应用.4.当时，函数的最小值为 .【答案】6【解析】由于，所以函数【考点】基本不等式的应用.5.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 .【答案】【解析】由得，则圆心坐标为，∵直线平分圆的周长，即直线过圆心，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式.6.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________【答案】18【解析】∵，∠BAC=30°，∴，∴=4，∴==1，由知，=，∴=1-=，∴= =≥=18.【考点】平面向量数量积；三角形面积公式；新概念理解；基本不等式7.若正数,满足,则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由已知得，所以时等号成立）。

【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等8.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1．【考点】基本不等式．9.设实数满足：,则取得最小值时，．【答案】121【解析】∵，∴，上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．【考点】1、基本不等式；2、不等式的放缩．10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。

ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。

如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

高一数学不等式测试题及答案高一数学期末复习开始了，不等式知识点复习的如何了?做一份习题检测下吧!下面店铺为大家整理高一数学不等式测试题，希望对大家有所帮助!高一数学不等式测试题高一数学不等式测试题参考答案高一数学不等式知识点1.不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

2.不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1) a>bb<a (对称性)(2) a>b, b>ca>c (传递性)(3) a>ba+c>b+c (c∈R)(4) c>0时，a>bac>bcc<0时，a>bac<bc。

运算性质有：(1) a>b, c>da+c>b+d。

(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。

(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。

(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

高一数学不等式试题1.设则xy的最大值为 ( )A．2B．4C．D．【答案】A【解析】略2.设，且，则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由题意，，又，则，所以，则，，由且，可得，故3.已知变量，满足则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是．【考点】线性规划4.设满足约束条件，则的最大值为（）A．-8B．3C．5D．7【答案】D【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7【考点】线性规划5.已知实数x、y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．>C．D．【答案】D【解析】，是减函数，所以当时，，所以当时，只有成立，而当时，不能确定与的大小，以及与的大小．【考点】不等式的性质6.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，恒成立，当，解得，所以【考点】含参不等式恒成立问题7.若实数，满足，则的取值范围是（用区间表示）【答案】【解析】且，设，，则，所以且，所以且．所以的取值范围是．【考点】1．基本不等式；2．三角换元求取值范围．8.设的最小值为_________．【答案】【解析】正数满足，，当且仅当时取等号，所以所求的最小值为。

【考点】基本不等式9.下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是A．（1，+∞）B．（0,1）C．（-1,0）D．（-∞，-1）【答案】D【解析】当时，不等式为显然无解，当时，不等式为，即，所以不等式解集为（-∞，-1），故选择D【考点】解不等式10.解关于的不等式：【答案】详见解析【解析】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为，第二步，，，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．试题解析：原不等式可化为：，（1）当－1＜a＜0时，，所以x＞－或x＜1。

高一数学基本不等式试题答案及解析1.若实数、分别满足，，则的值为 .【答案】.【解析】由题意实数、分别满足，知，、可以看成是一元二次方程的两个实数根，然后再根据韦达定理可得：，. 由这两个式子可知实数、均为负数，所以化简原式即可得到：.【考点】一元二次方程根与系数之间的关系.2.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得.【考点】基本不等式的应用.3.正数、满足，那么的最小值等于___________.【答案】.【解析】由基本不等式，可知，又∵，∴，又∵，，∴可解得，当且仅当时，“=”成立，∴的最小值为.【考点】基本不等式求最值.4.若，则函数有（）A．最小值1B．最大值1C．最大值D．最小值【答案】C【解析】因为，所以=，即最大值.故答案为：C.【考点】基本不等式.5.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数．根据基本不等式有,因为恒成立,所以,消掉,解得．所以．【考点】不等式恒成立;基本不等式．6.若正数,满足,则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由已知得，所以时等号成立）。

【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等7.已知正数满足，则的最小值为．【答案】【解析】.【考点】基本不等式.8.若正数x，y满足，则的最小值是_____．【答案】5【解析】把化简得：，∴.【考点】基本不等式.9.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1．【考点】基本不等式．10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。

c>bc c.若。

＞b，则。

＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。

＞b，则。

2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。

＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。

÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。

在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。

期末复习卷2（不等式）一、单选题1.(2021河南高二期末)设a=x2-2x+2,b=1-x,则实数a与b的大小关系为()A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关2.不等式2+x-x2<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.(2021福建泉州高一期末)若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-12≤x≤-13,则a=()A.-6B.-5C.65D.64.(2021安徽黄山高一期末)下列不等式正确的是()A.若a<b,则a2<b2B.若a>b,则ac>bcC.若a>b>0,c>d>0,e>f>0,则ace>bdfD.若a>b>c>0,d>e>f>0,则>>5.已知>0，则=2−4r1的最小值为()A.−2B.12C.1D.26.(2021云南高三期末)如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是()A.14B.12C.1D.27.(2021湖北高三一模)已知正数a,b是关于x的函数y=x2-(m2+4)x+m的两个零点,则1+1的最小值为()A.2B.22C.4D.428.设>0，>0，+=1，则下列说法错误的是．()A.B的最大值为14B.2+2的最小值为12C.4+1的最小值为9D.+的最小值为2二、多选题9.若1<1<0,则下列说法正确的是()A.a<bB.a>bC.a2<b2D.ab<b210.(2021湖北高三月考)若非零实数a,b满足a>b,则下列结论正确的是()A.a+b≥2BB.a2+b2>2abC.|a+b|<2(2+2)D.(a+b)1+1>411.(2020广东高一期中)已知y=ax2+bx+c,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},下列说法正确的是()A.a>0B.a+b+c=0C.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是x13<x<1D.如果am2+bm+c>0,则a(m+2)2+b(m+2)+c<012.已知正数，，则下列不等式中恒成立的是()A.+≥22B.(+p(1+1)≥4 C.≥2B D.2B r>B三、填空题13.(2021山东日照高一期末)不等式-1>0的解集为.14.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.15.(2021上海黄浦格致中学高一期末)定义区间[a,b](a<b)的长度为b-a,若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集的区间长度为2,则实数m的值为.16.某校要建一个面积为200 2的长方形花园，并且在四周要修建出宽为2 和4 的小路(如图所示).要使得花园和小路占地总面积最小，则花园的长应为；最小面积为2．四、解答题17.(10分)解下列不等式：(1)2+3−22>0．(2)o3−p≤o+2)−1．(3)2−2+3>0．18.(12分)(2021吉林高一期末)已知x>0,y>0,且x+4y=40.(1)求xy的最大值;(2)求1+1的最小值.19.(12分)(2021云南昆明高二期末)已知函数y=x+1-1(x≠1).(1)解不等式(x-1)x+1-1>3;(2)当x>1时,求x+1-1的最小值.20.(12分)如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形生态种植园.设生态种植园的长为B，宽为B．(1)若生态种植园面积为722，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为30，求1+2的最小值．21.(12分)(2021山东济宁高一期末)设函数y=ax2+(b-2)x+3.(1)若不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为(-1,1),求实数a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在x∈R,使ax2+(b-2)x+3>4成立,求实数a的取值范围.22.(12分)(2021云南曲靖第二中学高一期末)设y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.期末复习卷2（不等式）参考答案1a-b=x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以a>b.故选A.2x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.3不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-12≤x≤-13,∴-12,-13为方程ax2+bx-1=0的两个根,∴根据根与系数的关系可得-12×-13=-1,解得a=-6.故选A.4A,若a=-3,b=2,则a2>b2,错误;对于B,若c=0,则ac=bc,错误;对于C,若a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性质可得ace>bdf,正确;对于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,则===1,错误.故选C.5.【答案】A解：>0，则=2−4r1=+1−4≥4=−2，当且仅当=1，即=1时，等号成立，则=2−4r1的最小值为−2．故选A．6x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥12,当且仅当x=y=1时,等号成立.因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为12.故选B.7,正数a,b是关于x的方程x2-(m2+4)x+m=0的两根,可得a+b=m2+4,ab=m>0,则1+1=r B=m+4≥4,当且仅当m=4,即m=2时等号成立.经检验知当m=2时,方程x2-(m2+4)x+m=0有两个正实数解.所以1+1的最小值为4.故选C.8.【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：对，因为正实数，满足+=1，所以1=+≥2B，当且仅当==12时等号成立，所以B≤14，当且仅当==12时等号成立，故B有最大值14，故A 正确;对，因为(+p2=2+2+2B=1，所以2+2=1−2B≥1−2×112，当且仅当==12时等号成立，所以2+2有最小值12，故B正确．对，利用基本不等式，有4+1=+=4++5=9=1=，即=23=13时等号成立，故4+1有最小值9，故C正确；对，由题意，得(+p2=++2B=1+2B≤1+=2，故+≤2，当且仅当==12时等号成立，即+有最大值2，故D错误．故选D．9.答案BCD解析因为1<1<0,故a<0,b<0,b<a,即b<a<0,故B正确,A错误.对于C,a2-b2=(a-b)(a+b),而a+b<0,a-b>0,故a2-b2<0,即a2<b2,故C正确.对于D,ab-b2=b(a-b)<0,故ab<b2,故D正确.故选BCD.10.答案BC解析对于A,若a,b均为负数,则不等式显然不成立,故A错误;对于B,显然成立,故B正确;对于C,在a2+b2>2ab两边同时加上a2+b2,得2(a2+b2)>(a+b)2,则|a+b|<2(2+2)成立,故C正确;对于D,取a=2,b=-1,则(a+b)1+1=(2-1)×12+1-1=-12<4,则(a+b)1+1>4不成立,故D错误.故选BC.11.答案BCD解析对于A,ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},则a<0,故A不正确;对于B,由题意知x=1是方程ax2+bx+c=0的一个实数根,故a+b+c=0,故B正确;对于C,由题意知x=1和x=3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,则由根与系数的关系得=-4,=3,则不等式cx2+bx+a>0变为x2+x+1<0,即3x2-4x+1<0,解不等式得x的取值范围为x13<x<1,故C正确;对于D,如果am2+bm+c>0,则1<m<3,故3<m+2<5,则a(m+2)2+b(m+2)+c<0,故D正确.故选BCD.12.【答案】ABC【解析】解：因为，均为正数，所以++1B≥2B+1B≥22，当且仅当==22时，等号成立，A正确;因为，均为正数，所以(+p(1+1)=++2≥2·+2=4，当且仅当=时，等号成立，B正确;因为，均为正数，所以2+2≥2B>0，∴2+2B≥2B，当且仅当=时，等号成立，C正确;因为，均为正数，所以+≥2B，∴2B r≤1，所以2B r≤B，当且仅当=时，等号成立，不正确．故选ABC．13.(2021山东日照高一期末)不等式-1>0的解集为.答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析由-1>0,解得x<0或x>1,即原不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).14.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12+12+8r的最小值为.答案4解析∵ab=1,∴b=1.∴12+12+8r=12+2+8r1=121++8r1.令1+a=t>0,则原式=2+8≥22·8=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1+a=4.15.(2021上海黄浦格致中学高一期末)定义区间[a,b](a<b)的长度为b-a,若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集的区间长度为2,则实数m的值为.答案3解析设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,则x1+x2=4,x1x2=m,∴|x1-x2|=(1+2)2-412=16-4=2,解得m=3.16.某校要建一个面积为200 2的长方形花园，并且在四周要修建出宽为2 和4 的小路(如图所示).要使得花园和小路占地总面积最小，则花园的长应为；最小面积为2．【答案】20,392解：设花园的长为B，则花园的宽为200，又设花园占地面积为B2，依题意，得=(+ 8)(200+4)=232+4(+400)⩾232+4×2b400=392，当且仅当=400，即=20时取“=”．所以花园的长为20，宽为10时，占地总面积最小为392 2．故答案为20；392．17.(10分)解下列不等式：(1)2+3−22>0．(2)o3−p≤o+2)−1．(3)2−2+3>0．【答案】解：(1)原不等式可化为22−3−2<0，所以(2+1)(−2)<0，故原不等式的解集是{U−12< <2}．(2)原不等式可化为22−−1≥0．所以(2+1)(−1)≥0，故原不等式的解集为{U≤−12或≥1}．(3)由2−2+3=(−1)2+2>0对任意的∈恒成立，故原不等式的解集是．18.(12分)(2021吉林高一期末)已知x>0,y>0,且x+4y=40.(1)求xy的最大值;(2)求1+1的最小值.解(1)因为x>0,y>0,所以40=x+4y≥24B=4B(当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立).所以xy≤100,因此xy的最大值为100.(2)因为x+4y=40,即140(x+4y)=1,所以1+1=140(x+4y)1+1=1405+4+≥1405+24·=940当且仅当x=2y,即x=403,y=203时,等号成立.所以1+1的最小值为940.19.(12分)(2021云南昆明高二期末)已知函数y=x+1-1(x≠1).(1)解不等式(x-1)x+1-1>3;(2)当x>1时,求x+1-1的最小值.解(1)由(x-1)x+1-1>3,得x2-x-2>0.又x≠1,所以解得x>2或x<-1,即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞). (2)当x>1时,x-1>0,y=x+1-1=x-1+1-1+1≥2+1=3,当且仅当x-1=1-1,即x=2或x=0(舍)时,等号成立.所以x+1-1的最小值是3.20.(12分)如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形生态种植园.设生态种植园的长为B，宽为B．(1)若生态种植园面积为722，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为30，求1+2的最小值．【答案】解：(1)由已知可得B=72，其中>0，>0，篱笆总长为(+2p．又因为+2≥22B=24，当且仅当=2，即=12，=6时等号成立．所以当=12，=6时，可使所用篱笆总长最小．(2)由已知得+2=30，>0，>0，又因为(1+2)(+2p=5+2+2≥5+=9，所以1+2≥310，当且仅当2=2，即=，即=10，=10时等号成立．所以1+2的最小值是310．21.(12分)(2021山东济宁高一期末)设函数y=ax2+(b-2)x+3.(1)若不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为(-1,1),求实数a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在x∈R,使ax2+(b-2)x+3>4成立,求实数a的取值范围.由题意可知,方程ax2+(b-2)x+3=0的两根是-1,1,=0,1,解得=-3,=2.(2)存在x∈R,使ax2+(b-2)x-1>0成立,将b=-a-1代入上式可得ax2-(a+3)x-1>0成立.当a≥0时,显然存在x∈R使得上式成立;当a<0时,需使方程ax2-(a+3)x-1=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a+3)2+4a>0,即a2+10a+9>0,解得a<-9或-1<a<0.综上可知,a的取值范围是(-∞,-9)∪(-1,+∞).22.(12分)(2021云南曲靖第二中学高一期末)设y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.由题意,不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2对于一切实数x恒成立,等价于x2-(a-1)x+a≥0对于一切实数x恒成立.所以Δ=(a-1)2-4a≤0,解得3-22≤a≤3+22.故实数a的取值范围为[3-22,3+22].(2)不等式x2-(a-1)x+a-2<0,即[x-(a-2)](x-1)<0.当a-2>1,即a>3时,不等式的解集为{x|1<x<a-2};当a-2=1,即a=3时,不等式的解集为⌀;当a-2<1,即a<3时,不等式的解集为{x|a-2<x<1}.综上所述,当a<3时,不等式的解集为{x|a-2<x<1};当a=3时,不等式的解集为⌀;当a>3时,不等式的解集为{x|1<x<a-2}.。

高一数学不等式复习题一．选择题（共23小题）1．已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2 2．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则+的最小值是（）A．4B．6C．8D．23．已知x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．12C．16D．204．已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（）A．4B．C．D．5．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．26．已知m，n＞0，+＝3，则m+n的最小值为（）A．3B．9C．6D．47．若直线ax﹣by﹣1＝0（a，b＞0）过点（2，﹣1），则的最小值为（）A．B．8C．D．8．若正数x，y满足2x+y＝1，则+的最小值为（）A．4B．3+2C．8D．99．关于x的不等式（x﹣1）（x+1）≤0的解集是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[﹣1，1] 10．关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是（）A．B．C．D．11．一元二次不等式（3﹣2x）（x+1）＜0的解集是（）A．B．C．D．12．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）13．不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．﹣3＜x＜114．不等式x2≤3x的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．（0，3）D．（﹣∞，3）15．关于x的不等式﹣x2+4x+5＞0的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）16．若关于x的一元二次不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）17．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集是（）A．{x|x＞6或x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜6}C．{x|x＞1或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜1} 18．不等式x2＞8的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）19．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．1420．若集合A＝{x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5} 21．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为则a+b等于（）A．﹣18B．8C．﹣13D．122．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥}23．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）二．解答题（共17小题）24．已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，．（Ⅰ）求f（5）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式．25．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝|x|+1．（1）求f（﹣1）的值；（2）当x＜0时，求f（x）的解析式．26．设f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x（1+）+1，求f（x）表达式．27．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）＝x2﹣4x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）根据图象写出f（x）的单调减区间和值域．28．关于x的不等式：x2﹣（a+1）x+a＜0，a∈R．（1）当a＝1时，解这个不等式；（2）当a≠1时，解这个不等式．29．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．30．已知a＞0，b＞0，+＝2，求2a+8b的最小值．31．已知不等式ax2+3x﹣2＜0（a≠0）．（1）当a＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a的值．32．已知二次函数f（x）＝mx2﹣mx﹣6．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．33．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+2（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）≥﹣1的解集为R，求实数a的取值范围．34．已知函数f（x）＝x2+bx+3，且不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．（1）求实数b的值；（2）求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；35．若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0．36．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0，k≠0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣，1），求k的值．（Ⅱ）若不等式的解集为R，求k的取值范围．37．（1）已知2＜x＜3＜y＜4，求各自的取值范围．（2）若关于x的不等式ax2﹣x+b＞0的解集为，求不等式bx2+ax﹣1≤0的解集．38．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．39．已知关于x的不等式ax2﹣5x+2＜0，a∈R．（1）当a＝2时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞}，求实数a的值．40．解下列不等式：（1）x（7﹣x）≥12；（2）x2＞2（x﹣1）．一．选择题（共23小题）1．已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．2．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则+的最小值是（）A．4B．6C．8D．2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，+＝＝2＝4，当且仅当a ＝b时取等号，故选：A．【点评】本题考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．3．已知x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．12C．16D．20【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y＝（x+2y）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且＝1，即x＝y＝3时取等号．故选：A．【点评】本题考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（）A．4B．C．D．【分析】由题意求得+＝2，故有x+y＝（）•（+）＝+1++，再利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y＝2xy，∴＝2，即+＝2，∴x+y＝（）•（+）＝+1++≥+2＝+，当且仅当x2＝2y2时，等号成立，则x+y的最小值为+，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．5．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．2【分析】把所给的等式变形并利用基本不等式，求出它的最小值．【解答】解：∵x＞，∴3x﹣5＞0，则3x+＝（3x﹣5）++5≥2+5＝9，当且仅当3x﹣5＝2时，等号成立，故3x+的最小值为9，故选：C．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．6．已知m，n＞0，+＝3，则m+n的最小值为（）A．3B．9C．6D．4【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵m，n＞0，+＝3，则m+n＝（m+n）（）＝（5+）＝3，当且仅当且+＝3即m＝1，n＝2时取等号，故选：A．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．7．若直线ax﹣by﹣1＝0（a，b＞0）过点（2，﹣1），则的最小值为（）A．B．8C．D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，2a+b＝1，a＞0，b＞0，则＝＝3，当且仅当且2a+b＝1即a＝1﹣，b＝时取等号．故选：D．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．8．若正数x，y满足2x+y＝1，则+的最小值为（）A．4B．3+2C．8D．9【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得解．【解答】解：∵2x+y＝1，∴+＝（+）（2x+y）＝2+++1≥3+2＝3+，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立．∴+的最小值为3+．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9．关于x的不等式（x﹣1）（x+1）≤0的解集是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[﹣1，1]【分析】利用一元二次不等式（x﹣x1）（x﹣x2）≤0（x1＜x2）的解集是{x|x1≤x≤x2}即可求出．【解答】解：不等式（x﹣1）（x+1）≤0，∴﹣1≤x≤1，∴原不等式的解集为[﹣1，1]．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，掌握三个“二次”的关系是解题的关键．属于基础题．10．关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是（）A．B．C．D．【分析】直接利用一元二次不等式解集是空集的条件得出答案．【解答】解：要使关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：一元二次不等式解集是空集的条件，属于基础题型．11．一元二次不等式（3﹣2x）（x+1）＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式对应方程的解，写出不等式的解集．【解答】解：不等式（3﹣2x）（x+1）＜0⇒不等式（2x﹣3）（x+1）＞0对应方程的解为和﹣1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题．12．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解．【解答】解：不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，所以△＜0，即m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．故选：D．【点评】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数范围，理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．13．不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．﹣3＜x＜1【分析】先因式分解，再解一元二次不等式即可．【解答】解：∵x2+2x﹣3＜0，∴（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1．用集合表示为（﹣3，1）．故选：A．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．14．不等式x2≤3x的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．（0，3）D．（﹣∞，3）【分析】把不等式化为x2﹣3x≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2≤3x可化为x2﹣3x≤0，即x（x﹣3）≤0，解得0≤x≤3，所以不等式的解集为[0，3]．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是基础题．15．关于x的不等式﹣x2+4x+5＞0的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【分析】不等式可化为x2﹣4x﹣5＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣x2+4x+5＞0可化为x2﹣4x﹣5＜0，即（x﹣5）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜5，所以不等式的解集为（﹣1，5）．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．16．若关于x的一元二次不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【分析】根据判别式列出不等式求得a的取值范围．【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，则，即，解得a＞1，所以实数a的取值范围是（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．17．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集是（）A．{x|x＞6或x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜6}C．{x|x＞1或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜1}【分析】把不等式化为（x+1）（x﹣6）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣5x﹣6＜0可化为（x+1）（x﹣6）＜0，解得﹣1＜x＜6，所以不等式的解集是{x|﹣1＜x＜6}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．18．不等式x2＞8的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】通过因式分解，不等式x2＞8化为x2﹣8＞0，（x+2）（x﹣2）＞0，可解得答案．【解答】解：不等式x2＞8化为x2﹣8＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜﹣2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．19．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．14【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为，进而求出a与b的数值，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2＝0的解为，所以a﹣2b+8＝0且a+3b+18＝0，所以a＝﹣12，b＝﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．20．若集合A＝{x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A＝{x|（2x+1）（x﹣3）＜0}＝（﹣，3），B＝{x|x∈N*，x≤5}＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝{1，2}，故选：B．【点评】本题考查交集及运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．21．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为则a+b等于（）A．﹣18B．8C．﹣13D．1【分析】通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，即可求出a+b【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为∴是ax2+bx﹣2＝0的两个根解得：∴a+b＝﹣13故选：C．【点评】本题考查一元二次不等式解集的定义，实际上是考查一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于基础题．22．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥}【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【解答】解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选：B．【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．23．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）【分析】由x+＝（x+）（）＝2，利用基本不等式可求其最小值，存在x，y使不等式有解，即＜m2+3m，解不等式可求．【解答】解：∵正实数x，y满足，∴x+＝（x+）（）＝2＝4当且仅当且，即x＝2，y＝8时取等号，∵存在x，y使不等式有解，∴4＜m2+3m，解可得m＞1或m＜﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及存在性问题与最值问题的相互转化思想的应用．二．解答题（共17小题）24．已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，．（Ⅰ）求f（5）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式．【分析】（Ⅰ）根据f（x）是奇函数及x＜0时的f（x）解析式，即可求出f（﹣5），从而得出f（5）；（Ⅱ）可设x＞0，从而得出﹣x＜0，进而得出，从而可得出x＞0时的f（x）解析式，进而得出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，且x＜0时，；∴；（Ⅱ）设x＞0，﹣x＜0，则：；∴；∴．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，奇函数求对称区间上解析式的方法．25．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝|x|+1．（1）求f（﹣1）的值；（2）当x＜0时，求f（x）的解析式．【分析】（1）根据f（x）是奇函数，以及x＞0时的f（x）解析式，即可得出f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2；（2）可设x＜0，得出﹣x＞0，从而得出f（﹣x）＝|x|+1＝﹣f（x），解出f（x）即可．【解答】解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝|x|+1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+1）＝﹣2；（2）设x＜0，﹣x＞0，则：f（﹣x）＝|x|+1＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣|x|﹣1，即x＜0时，f（x）＝﹣|x|﹣1．【点评】本题考查了奇函数的定义，已知函数求值的方法，求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法，考查了计算能力，属于基础题．26．设f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x（1+）+1，求f（x）表达式．【分析】根据条件，可设x＜0，得出﹣x＞0，从而可求出，然后利用分段函数即可表示出f（x）．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x（1+）+1，∴设x＜0，﹣x＞0，则：，∴．【点评】考查偶函数的定义，求偶函数对称区间上函数解析式的方法和过程，以及已知f （x）求f[g（x）]的方法，分段函数的定义．27．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）＝x2﹣4x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）根据图象写出f（x）的单调减区间和值域．【分析】（1）当x＞0时，﹣x＜0，由此利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，能求出当x＜0时，f（x）的解析式．（2）由f（x）＝，能求出函数f（x）的图象．（3）由f（x）的图象能求出f（x）的减区间和值域．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）＝x2﹣4x∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x．（2）由（1）得f（x）＝，∴函数f（x）的图象如下所示：（3）由f（x）的图象知f（x）的减区间是（﹣∞﹣2），（0，2）．f（x）的值域为[﹣4，+∞）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数的图象、减区间、值域的求法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．28．关于x的不等式：x2﹣（a+1）x+a＜0，a∈R．（1）当a＝1时，解这个不等式；（2）当a≠1时，解这个不等式．【分析】（1）a＝1时不等式为x2﹣2x+1＜0，求出解集即可；（2）a≠1时不等式化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，讨论a和1的大小，写出对应不等式的解集．【解答】解：（1）a＝1时，不等式为：x2﹣2x+1＜0，即（x﹣1）2＜0，所以不等式的解集为∅；（2）当a≠1时，不等式化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，不等式对应方程的两个实数根为a和1，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．29．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）a＝1时f（x）＝x2﹣4x+3，求不等式f（x）＜0的解集即可；（2）不等式化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，求出不等式对应方程的实数根，讨论a的大小，写出对应不等式的解集．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4x+3，不等式f（x）＜0化为x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3；所以不等式f（x）＜0的解集为（1，3）；（2）不等式f（x）≥0，化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，即（x﹣3）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为3和a，所以当a＞3时，不等式的解集为{x|x≤3或x≥a}；当a＝3时，不等式的解集为R；当a＜3时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥3}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．30．已知a＞0，b＞0，+＝2，求2a+8b的最小值．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为a＞0，b＞0，+＝2，所以2a+8b＝（2a+8b）（）×＝＝25，当且仅当即a＝b＝时取等号．故2a+8b的最小值25．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．31．已知不等式ax2+3x﹣2＜0（a≠0）．（1）当a＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a的值．【分析】（1）a＝2时解一元二次不等式即可；（2）由根与系数的关系求出a的值．【解答】解：（1）a＝2时，不等式为2x2+3x﹣2＜0，分解因式得（2x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜}；（2）不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，所以方程ax2+3x﹣2＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知，﹣＝1+2，解得a＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．32．已知二次函数f（x）＝mx2﹣mx﹣6．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．【分析】（1）求m＝1时对应一元二次不等式的解集；（2）由题意知，求出解集即可．【解答】解：（1）当m＝1时，不等式为x2﹣x﹣6＞0，即（x+2）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣2或x＞3，所以不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，则应满足，即，解得﹣24＜m＜0；所以m的取值范围是﹣24＜m＜0．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．33．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+2（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）≥﹣1的解集为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝﹣1代入关于x的不等式f（x）＜0，由解一元二次不等式的解法可得答案；（2）若f（x）≥﹣1的解集为R，分类讨论a，根据一元二次不等式的解R时满足的条件可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，由f（x）＜0得，﹣x2﹣4x+2＜0，所以x2+4x﹣2＞0，所以不等式的解集为；（2）因为f（x）≥﹣1解集为R，所以ax2+（a﹣3）x+2≥﹣1在R恒成立，当a＝0时，得﹣3x+2≥﹣1，不合题意；当a＞0时，由ax2+（a﹣3）x+3≥0在R恒成立，得，所以：，【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论方法，解题时应对字母系数进行分析，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34．已知函数f（x）＝x2+bx+3，且不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．（1）求实数b的值；（2）求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，即可求出b的值；（2）由（1）知不等式化为x2﹣4x+3≤9﹣x2，解不等式即可．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+bx+3，对应不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；所以方程x2+bx+3＝0的两个实数解为1和3，由根与系数的关系知，b＝﹣（1+3）＝﹣4；（2）由（1）知，不等式f（x）≤9﹣x2可化为x2﹣4x+3≤9﹣x2，即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3，所以不等式f（x）≤9﹣x2的解集为[﹣1，3]．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应函数和方程的问题，是基础题．35．若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0．【分析】（1）由题意知1﹣a＜0且﹣3和1是对应方程的两根，由根与系数的关系列方程求出a的值；（2）由（1）化简不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）由题意，知1﹣a＜0且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两根，所以，解得a＝3．（2）由（1）得不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0，即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．故所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及不等式的解法问题，是基础题．36．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0，k≠0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣，1），求k的值．（Ⅱ）若不等式的解集为R，求k的取值范围．【分析】（I）由题意可得，﹣和1是方程2kx2+kx﹣＝0的两个根，由方程的根与系数关系可求，（II）由题意可得，2kx2+kx﹣＜0恒成立，结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意可得，﹣和1是方程2kx2+kx﹣＝0的两个根，由方程的根与系数关系可得，﹣，解可得，k＝，（II）由题意可得，2kx2+kx﹣＜0恒成立，则，﹣3＜k＜0，故k的范围为（﹣3，0）．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．37．（1）已知2＜x＜3＜y＜4，求各自的取值范围．（2）若关于x的不等式ax2﹣x+b＞0的解集为，求不等式bx2+ax﹣1≤0的解集．【分析】（1）根据题意，利用不等式的基本性质，求出x﹣y、2x﹣y和的取值范围；（2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b和a的值，再代入求不等式的解集．【解答】解：（1）因为2＜x＜3＜y＜4，所以4＜2x＜6，﹣4＜﹣y＜﹣3，，所以﹣2＜x﹣y＜0，0＜2x﹣y＜3，；（2）由题意可知方程ax2﹣x+b＝0的两根为，所以，解得，∴不等式bx2+ax﹣1≤0，即为3x2﹣2x﹣1≤0，解得﹣≤x≤1，其解集为．【点评】本题考查了不等式的基本性质与一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题．38．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由已知得2和3是相应方程kx2﹣2x+6k＝0的两根且k＞0，利用根与系数的关系即可得出；（2）设f（x）＝kx2﹣2x+6k，利用二次函数的图象与性质把问题化为，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为（2，3），所以2和3是方程kx2﹣2x+6k＝0的两根且k＞0，由根与系数的关系得，2+3＝，解得k＝；（2）令f（x）＝kx2﹣2x+6k，则原问题等价于，即，解得k≤，又k＞0，所以实数k的取值范围是0＜k≤．【点评】本题考查了一元二次不等式与与相应的一元二次方程以及二次函数的应用问题，是综合性题目．39．已知关于x的不等式ax2﹣5x+2＜0，a∈R．（1）当a＝2时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞}，求实数a的值．【分析】（1）求a＝2时一元二次不等式的解集即可；（2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值．【解答】解：（1）a＝2时，不等式为2x2﹣5x+2＜0，可化为（x﹣2）（2x﹣1）＜0，解得＜x＜2，∴不等式的解集为{x|＜x＜2}；（2）若不等式ax2﹣5x+2＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞}，则方程ax2﹣5x+2＝0的实数根为﹣2和，∴﹣2+＝，解得a＝﹣3，即a的值为﹣3．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应一元二次方程的应用问题，是基础题．40．解下列不等式：（1）x（7﹣x）≥12；（2）x2＞2（x﹣1）．【分析】（1）把不等式x（7﹣x）≥12化为x2﹣7x+12≤0，求出解集即可；（2）不等式x2＞2（x﹣1）化为x2﹣2x+2＞0，利用判别式△＜0，求出不等式的解集来．【解答】解：（1）不等式x（7﹣x）≥12可化为x2﹣7x+12≤0，即（x﹣3）（x﹣4）≤0；解得3≤x≤4，∴不等式的解集为[3，4]；（2）不等式x2＞2（x﹣1）可化为，即x2﹣2x+2＞0；∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴不等式的解集为R．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应根据不等式的特点选择适当的方法进行解答，是基础题目．。

高一期末数学复习---不等式一、知识点突破1．比较两个实数大小的方法2．不等式的性质3（1）()0,2≥+≤b a b a ab ；（2）R b a ab b a ∈≥+,,222；（3）0,2>≥+ab ba ab ； （4）R b a b a ab ∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤,,22；（5）R b a b a b a ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+,,22222．当且仅当b a =时等号成立． 4．算术平均数与几何平均数设0>a ，0>b ，则a ，b 的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 5．利用基本不等式求最值问题 已知0>x ，0>y ，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时，x ＋y 有最小值是p 2．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是42p ．(简记：和定积最大)6．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象一元二次方程()002>=++a c bx ax 的根 有两个相异实根1x ，()212x x x <有两个相等实根ab x x 221-== 没有实数根一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集 {1x x x <或}2x x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集{}21x x xx <<φ φ对于0<二、题型突破题型一 比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知实a ，b ，c ，满足2346a a c b +-=+，244a a b c +-=-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >≥B ．b c a ≥>C ．a b c >>D ．b c a >> (2)已知1≥a ，试比较a a M -+=1与1--=a a N 的大小．巩固训练：1．已知R p ∈，()()312-+=p p M ，()()1036++-=p p N ，则M 、N 的大小关系为________． 题型二 不等式的性质【例2】（1）若0<<b a ，给出下列不等式：①221b a >+；②11->-b a ；③ba b a 111>>+，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 (2)(多选题)下列命题中不正确的是( )A ．若b a >，则22bc ac > B ．若b a >，d c <，则db c a > C ．若b a >，d c >，则d b c a ->- D ．若0>ab ，b a >，则b a 11<【例3】(1)若106<<a ，a b a22≤≤，b a c +=，则c 的取值范围是( ) A ．[]18,9 B ．()30,15 C ．[]30,9 D ．()30,9(2)已知41<<-x ，32<<y ，则y x -的取值范围是________，y x 23+的取值范围是________． 巩固训练：1．(多选题)若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是( )A ．b a >B ．ab a >2C.b a 11> D.ab a 11>- 2．若41<+<-y x ，32<-<y x ，则y x 23+的取值范围为________． 题型三 利用基本不等式求最值【例4】（1）函数()1122>-+=x x x y 的最小值为________． （2）已知两个正数x ，y 满足xy y x 82=+，则y x 24+的最小值为( ) A ．47 B ．2 C ．49 D ．25 （3）已知正实数a ，b 满足01=+-b ab ，则b a41+的最小值是________． 巩固训练： 1．若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,51C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-51,D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-51,2．已知函数()22>-+=x x mx y 的最小值为6，则正数m 的值为________． 3．若0>a ，0>b ，ab b a =+，则b a +的最小值为________． 4．已知0>a ，0>b ，且1=ab ，则ba b a +++82121的最小值为________． 题型四 一元二次不等式的解法【例5】（1）已知全集R U =，集合{}0232≥+-=x x x A ，则∁A R 等于( )A ．()2,1B ．[]2,1C ．(][)+∞⋃∞-,21,D ．()()+∞⋃∞-,21, （2）不等式1512-≥-+x x 的解集为________． （3）已知不等式02>++c bx ax 的解集是{}()0><<αβαx x ，则不等式02<++a bx cx 的解集是( )A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛αβ1,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ C ．()βα, D ．()()+∞⋃∞-,,βα 巩固训练： 1．解下列不等式：（1）08232≥+--x x ； （2）4202≤--<x x ．2．已知不等式052>+-b x ax 的解集为{}23-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<3121x x x 或 C ．{}23<<-x x D ．{3-<x x 或}2>x 题型五 含参数的一元二次不等式的解法[例6] 解关于x 的不等式()()00112><++-a x a ax ． 巩固训练：1．解关于x 的不等式()()012132>+++-a a x a x ．题型六 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例7] （1）若不等式012>+-kx x 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________． （2）设函数()012≠--=m mx mx y ，若对于[]3,1∈x ，5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．（3）若不等式342-+>+p x px x ，当40≤≤p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[]3,1- B ．(]1,-∞- C ．[)+∞,3 D ．()()+∞⋃-∞-,31, 巩固训练：1．设函数()012≠--=m mx mx y ，若存在[]3,1∈x ，使得5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．2．对任意的[]1,1-∈k ，函数()k x k x y 2442-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围为________．三、反馈练习一、单项选择题1．若a b <<0,0<<c d ,则下列正确的是( ) A .ac bd < B .d bc a >C .d b c a ->-D .d b c a +>+ 2．已知函数x x x y 122+-=，则y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的最小值为（ ）A ．21 B ．34C ．1-D ．03．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数.设计师将某手机的屏幕面积与整机面积同时增加相同的数值,作为一款新手机的“屏占比”,则新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比 ( )A .不变B .变小C .变大D .不确定4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式313m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．18 D ．245．若关于x 的不等式012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则b a +的值为 ( )A .41-B .0C .21D .1 6．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+ 7．已知,,(,0)a b c ∈-∞，则下列三个数1a b +，4b c+，9c a +（ ） A ．都不大于-4 B ．至少有一个不大于-4 C ．都不小于-4 D ．至少有一个不小于-4 8．为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD (阴影部分)和四周的绿化带组成. 规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ,绿化带的宽分别为m 2和m 5(如图所示). 当长方形1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为( ) A .m 20 B .m 50 C .m 1010 D .m 100 二、多项选择题9.关于函数542+--=m x mx y 的零点，以下说法正确的是 ( )A .当0=m 时，该函数只有一个零点B .当1=m 时，该函数只有一个零点C .当1-=m 时，该函数没有零点D .当2=m 时，该函数有两个零点 10.对任意实数x ，若不等式k x x >--+12在R 上恒成立，则k 的取值可以是（ ） A .6- B .5- C .4- D .3-11.已知命题p :R x ∈∀，042>++ax x ，则命题p 成立的一个充分条件可以是( ) A .[]1,1-∈a B .()4,4-∈a C .[]4,4-∈a D .{}0∈a12．十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 若R c b a ∈,,，则下列命题正确的是 ( )A .若0>>b a ，则22bc ac > B .若0<<b a ，则ab b a 11+<+C .若0<<<c b a ，则c a cb a b ++<D .若0>a ，0>b ，则b a b a a b +≥+22 三、填空题13.若关于x 的不等式0132<+-ax x 的解集为φ，则实数a 的取值范围是 . 14.已知实数x ，y 满足14-≤-≤-y x ，541≤-≤-y x ，则y x +3的最大值为 . 15.设集合{}5120≤-≤=x x A ，{}02<+=a x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围为 . 16.已知0>x ，0>y ，且111=+y x ，则yyx x -+-1419的最大值为 . 四、解答题17.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往. 甲车队说:“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 18.（1）若正实数x ，y 满足xy y x =++62，求xy 的最小值； （2）若实数x ，y 满足122=++xy y x ，求y x +的最大值. 19.已知集合R U =，{}112>-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=2153x x x B ，求B A ， A ∁U B .20.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . (1)若不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,23，求实数k 的值； (2)若不等式对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 21．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=023x x xA ，{}042<-=x x B ．（1）求∁()B A R ⋃；（2）已知函数12+-=kx x y ，从()+∞∈∀,0x ，都有0≥y 成立，[]2,1∈∃x ，使得0<y 成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答．问题：记p ∈k ∁()B A R ⋃，q ：________，若p 为假，q 为真，求实数k 的范围．若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分22.在，，∁A R ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式0232>+-x ax 的解集为{1<=x x A 或}b x >，关于x 的不等式()02<++-bm x b am ax 的解集为B （其中R m ∈）（1）求a ，b 的值； （2）求集合B ；（3）是否存在实数m ，使得___________（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.。