【精品】2017年山东省济南外国语学校八年级上学期期中数学试卷带解析答案

2016-2017学年山东省济南外国语学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（4分）的平方根是（）A．B．﹣ C．± D．±2．（4分）下列命题中，错误的是（）A．实数不是有理数就是无理数B．4的算术平方根是2C．121的平方根是±11D．在实数范围内，非负数一定是正数3．（4分）下列计算结果正确的是（）A．B．=±6 C．D．4．（4分）在实数中π，，0，，﹣3.14，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（4分）与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．6．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点关于y轴的对称点在第一象限的是（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）7．（4分）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是（）A．60cm2B．64cm2C．48cm2D．24cm28．（4分）点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（）A．（3，3） B．（3，﹣3）C．（6，﹣6）D．（3，3）或（6，﹣6）9．（4分）估算的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．6和7之间D．7和8之间10．（4分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：511．（4分）已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm12．（4分）由方程组可得出x与y的关系是（）A．2x+y=4 B．2x﹣y=4 C．2x+y=﹣4 D．2x﹣y=﹣413．（4分）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（）A．12 B．13 C．14 D．1514．（4分）如图，A、B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，由a+b的值为（）A．3 B．4 C．5 D．615．（4分）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳运1个单位至点P1（1，1）紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳运3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第2016次跳动至点P2016的坐标是（）A．（505，1008）B．（﹣505，1008） C．（504，1007）D．（﹣504.1007）二、填空题16．（4分）第三象限内的点P（x，y），满足|x|=5，y2=9，则点P的坐标是．17．（4分）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．18．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是．19．（4分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为．20．（4分）已知点P（2，﹣3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，且Q 到x轴的距离为5，则点Q的坐标为．21．（4分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为．三、解答题22．计算下列各式：（1）+（1﹣）0（2）+﹣．23．解下列二元一次方程组：（1）（2）．24．先化简，再求值：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中a=2+，b=﹣2．25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法）（2）写出A1、B1、C1的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．26．列方程组解应用题：某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元，求两种球拍每副各多少元？27．如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上且AE=4cm，连接EC，将三角形ABE沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，求A'C的长．28．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．2016-2017学年山东省济南外国语学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）的平方根是（）A．B．﹣ C．± D．±【解答】解：∵（±）2=，∴的平方根是±．故选：C．2．（4分）下列命题中，错误的是（）A．实数不是有理数就是无理数B．4的算术平方根是2C．121的平方根是±11D．在实数范围内，非负数一定是正数【解答】解：A、实数不是有理数就是无理数，本选项正确；B、4的算术平方根为2，本选项正确；C、121的平方根为±11，本选项正确；D、在实数范围内，非负数为正数和0，本选项错误．故选：D．3．（4分）下列计算结果正确的是（）A．B．=±6 C．D．【解答】解：A、原式=|﹣3|=3，正确；B、原式=6，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式不能合并，错误．故选：A．4．（4分）在实数中π，，0，，﹣3.14，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵=2，2是有理数，∴这一组数中的无理数有：π，共2个．故选：B．5．（4分）与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；B、与﹣的被开方数不同，故B错误；C、与﹣的被开方数相同，故C正确；D、与﹣的被开方数不同，故D错误；故选：C．6．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点关于y轴的对称点在第一象限的是（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：A、（2，1）关于y轴的对称点是（﹣2，1），在第二象限．B、（2，﹣1）关于y轴的对称点是（﹣2，﹣1），在第三象限．C、（﹣2，1）关于y轴的对称点是（2，1），在第一象限．D、（﹣2，﹣1）关于y轴的对称点是（2，﹣1）．在第四象限．故选：C．7．（4分）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是（）A．60cm2B．64cm2C．48cm2D．24cm2【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长为=8cm，∴它的面积为8×6=48cm2．故选：C．8．（4分）点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（）A．（3，3） B．（3，﹣3）C．（6，﹣6）D．（3，3）或（6，﹣6）【解答】解：∵点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，∴|2﹣a|=|3a+6|，∴2﹣a=±（3a+6）解得a=﹣1或a=﹣4，即点P的坐标为（3，3）或（6，﹣6）．故选：D．9．（4分）估算的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．6和7之间D．7和8之间【解答】解：﹣=2﹣=，∵2＜＜3，故选：A．10．（4分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选：D．11．（4分）已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选：B．12．（4分）由方程组可得出x与y的关系是（）A．2x+y=4 B．2x﹣y=4 C．2x+y=﹣4 D．2x﹣y=﹣4【解答】解：，把②代入①得2x+y﹣3=1，即2x+y=4．故选：A．13．（4分）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选：B．14．（4分）如图，A、B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，由a+b的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵A（2，0），A1（4，b），∴点A向右平移2个单位，∵B（0，1），B1（a，3），∴点B向上平移2个单位，∴线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位至A1B1，∴a=2，b=2，∴a+b=4，故选：B．15．（4分）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳运1个单位至点P1（1，1）紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳运3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第2016次跳动至点P2016的坐标是（）A．（505，1008）B．（﹣505，1008） C．（504，1007）D．（﹣504.1007）【解答】解：由题中规律可得出如下结论：设点P m的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n﹣1）和4n﹣3，在y轴左侧的点的下标是：4n﹣2和4n﹣1；判断P2016的坐标，就是看2016=4（n﹣1）和2016=4n﹣3和2016=4n﹣2和2016=4n ﹣1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标，点P第2016次跳动至点P2016的坐标是（﹣505，1008）．故选：B．二、填空题16．（4分）第三象限内的点P（x，y），满足|x|=5，y2=9，则点P的坐标是（﹣5，﹣3）．【解答】解：∵P在第三象限，∴x＜0 y＜0，又∵满足|x|=5，y2=9，∴x=﹣5 y=﹣3，故点P的坐标是（﹣5，﹣3）．17．（4分）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是8cm．【解答】解：如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案是：8．18．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是b﹣2a．【解答】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=b﹣2a．故答案为：b﹣2a．19．（4分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为25．【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），∴，解得：，则a b的值为：（﹣5）2=25．故答案为：25．20．（4分）已知点P（2，﹣3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，且Q 到x轴的距离为5，则点Q的坐标为（2，5）或（2，﹣5）．【解答】解：∵点P（2，﹣3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，∴x=2，∵Q到x轴的距离为5，∴y=5或﹣5，∴点Q的坐标为（2，5）或（2，﹣5）．故答案为：（2，5）或（2，﹣5）．21．（4分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为（﹣1，1）和（3，3）．【解答】解：分两种情况：（1）如图①，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．∵∠BCA=∠DCE=90°，在△BCD与△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，CE=CD=OE，∵AB==2，∴AC=AB=，CE2+（CE﹣2）2=AC2=10，解得CE=3或﹣1（不合题意舍去）．则点C坐标为（3，3）；（2）如图②，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．∵∠BCA=∠DCE=90°，在△BCD与△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，CE=CD=OE，∵AB==2，∴AC=AB=，CE2+（CE+2）2=AC2=10，解得CE=1或﹣3（不合题意舍去）．则点C坐标为（﹣1，1）．综上可知点C坐标为（﹣1，1）和（3，3）．故答案为：（﹣1，1）和（3，3）．三、解答题22．计算下列各式：（1）+（1﹣）0（2）+﹣．【解答】（1）解：原式===6；（2）解：原式===．23．解下列二元一次方程组：（1）（2）．【解答】解：（1），①+②，得5x=5，解得，x=1，把x=1代入①中，得y=1，故原方程组的解是；（2）解：，①×15，得5x+3y=15③②整理后，得5x﹣3y=15④③+④，得10x=30，解得，x=3把x=3代入③，得y=0，故原方程组的解是．24．先化简，再求值：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中a=2+，b=﹣2．【解答】解：原式=a2+2ab+b2+2a2+ab﹣2ab﹣b2﹣3a2=ab，当a=2+，b=﹣2时，原式=（2+）×（﹣2）=3﹣4=﹣1．25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法）（2）写出A1、B1、C1的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）（2）A1的坐标是：（1，5），B1的坐标是：（1，0），C1的坐标是：（4，3）；（3）A1B1=5，A1B1边上的高是3，则S△A1B1C1=×5×3=．26．列方程组解应用题：某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元，求两种球拍每副各多少元？【解答】解：设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，根据题意得：，解得：．答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元．27．如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上且AE=4cm，连接EC，将三角形ABE沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，求A'C的长．【解答】解：∵△ABE沿直线BE翻折得到△A'BE，∴△ABE≌△A'BE，∴，又∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=A'B，AD∥BC，∠D=90°，∴∠DEC=∠ECB，∴在Rt△A'BC和Rt△DEC中∵，∴△BA'C≌△CDE，∴CE=CB，令A'C=x，∴CE=CB=x+4，∴在Rt△BA'C中，A'B2+A′C2=BC2，∴152+x2=（x+4）2，∴．即A'C的长为．28．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．【解答】解：（1）∵AC==，CE==，∴AC+CE=+；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，∴DF=AB=5，∴AE==10，∴AC+CE的最小值是10；（3）如图2所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE==13，即的最小值为13．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

济南市八年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（）A . 20B . 20或24C . 26D . 282. （2分） (2018八下·楚雄期末) 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，CD与BE交于点F，若∠DEF=120°，则∠A=（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（）A . 70°B . 60°C . 40°D . 30°5. （2分）如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是（）A . AD=AEB . BE=CDC . ∠AEB=∠ADCD . AB=AC6. （2分）已知AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是（）A . ∠B＝∠CB . ∠B＝∠EC . ∠1＝∠2D . ∠CAD＝∠DAC7. （2分） (2017七下·苏州期中) 已知一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为（）A . 6B . 7C . 88. （2分） (2019八上·安康月考) 等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（）A . 17B . 13C . 17或22D . 229. （2分） (2016八上·道真期末) 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为（）A . 5.5B . 4C . 4.5D . 310. （2分）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A . PD＝PEB . OD＝OEC . ∠DPO＝∠EPOD . PD＝OD11. （2分）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=5，则点P到AB的距离是（）A . 3B . 4C . 512. （2分）(2017·洛阳模拟) 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C 为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= AB中，一定正确的是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④13. （2分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则等于（）A . 25°B . 30°C . 45°D . 60°14. （2分） (2016八上·宁阳期中) 等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A . 60°B . 90°C . 120°D . 150°15. （2分）(2019·新会模拟) 如图，P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）A . 2+B . 2+C . 2+D .二、解答题 (共9题；共61分)16. （5分）已知：四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,点E是射线CD上的一个动点（与C、D 不重合）,将△ADE绕点A顺时针旋转120°后,得到△ABE',连接EE'.（1）如图1,∠AEE'= °;（2）如图2,如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F,过点E作EM∥AD交直线AF于点M,写出线段DE、BF、ME之间的数量关系;（3）如图3,在（2）的条件下,如果CE=2,AE=,求ME的长.17. （5分） (2017八下·南召期中) 在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18. （5分）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=BF，∠ADB=∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．19. （5分）(2017·河北模拟) 如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．20. （5分） (2018八下·灵石期中) 如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．21. （5分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．22. （6分）(2017·孝感) 如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；②作∠DAE的平分线交CD于点F；③连接EF；（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为________．23. （10分）【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系．等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等．（1）【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC= AB．（2）【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图2①所示，方桌的主视图如图2②．经测得OA=OB=90cm，OC=OD=30cm，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB=120°．求：桌面与地面的高度．24. （15分） (2015八上·卢龙期末) 如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE=2AF．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、解答题 (共9题；共61分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、。

八年级期中检测数学试题（2016年11月）本巻共150分，答题时刻120分钟。

第I 卷（选择题 共48分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，每题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的．）1．化简4的结果是（ ）A.2 B.2± C.2 D.2± 2.以下语句中正确的选项是（ ）A.9-的平方根是3-B. 9的平方根是3C. 9的算术平方根是3±D. 3是9的平方根 3．以下个组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ． 0.3，0.4，0.5B ． 32，42，52C ． 6，8，10D ． 9，40，41 4.以下各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A. ()()x x x x +-=--1222B. x x x x x 242222-+=+-+()() C. 222a b c ab ac ()+=+ D. m n m n m n 22-=+-()() 5.以下计算正确的（ ）A ． 5.00125.03= B. 4364273=-C.2118333=D. 5212583-=-- c bx x ++2分解因式为)2)(3(-+x x ，那么c b ,的值为( )A.6,1-==c bB.1,6=-=c bC.6,1=-=c bD.1,6-==c b7. 本学期的五次数学测试中，甲、乙两同窗的平均成绩一样，方不同离为1.2和0.5，那么下 列说法正确的选项是( )A ．乙同窗的成绩更稳固B ．甲同窗的成绩更稳固C ．甲、乙两位同窗的成绩一样稳固D ．不能确信8.李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用电话软件记录了某个月（30天）天天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如下图的统计图．在天天所走的步数这组数据中，众数和中位数别离是（ ） A ．1.2，1.3 B ．1.4，9.等边三角形的边长为2，那么该三角形的面积为（ ） A.43 B.3 C.23a 、b 、c ，知足03222=-+-b c b c a b a ，那个三角形是（ ）11.如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．假设AE=1，BE=2，CE=3，那么∠BE ′C 的度数为（ ） A.0135 B. 0120 C.090 D.010512.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…依照此规律继续下去，那么S 2021的值为（ ）A. 201222⎪⎪⎭⎫⎝⎛ B. 201322⎪⎪⎭⎫⎝⎛ C. 201221⎪⎭⎫⎝⎛ D. 201321⎪⎭⎫ ⎝⎛第Ⅱ卷（非选择题 共102分）注意事项：1．第Ⅱ卷为非选择题，请考生用黑色钢笔(签字笔)直接在试卷上作答． 2．答卷前，请考生先将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．学校 班级 姓名 考场 考号 座号_______第8题图第11题图第12题图二、填空题(本大题共6个小题.每题4分,共24分.把答案填在题中横线上.13.如图中的三角形为直角三角形，字母A 所在的正方形的面积是 ．2-1的相反数是 ．15.因式分解: xy -x = ．∏2，高为3，假设一只小虫从A 点动身沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，那么小虫爬行的最短路程是 ．（结果保留根号）17.如图，把一块等腰直角三角形零件ABC(∠ACB ＝90°)如图放置在一凹槽内，极点A 、B 、C 别离落在凹槽内壁上，∠ADE ＝∠BED ＝90°，测得AD ＝5cm ，BE ＝7cm ，那么该零件的面积 为 2cm ．18.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，取得△AFB ，连接EF ．以下结论中正确的有 ．(请将正确答案的序号填在横线上)①45EAF ∠=︒ ②EA 平分CEF ∠ ③ 222BE DC DE += ④DC BE =三、解答题(本大题共9个小题，共78分.解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.) 19. (此题分)51-45（1）计算：（3）计算：32218-+（4）因式分解： m 3n －9mn ．（5）因式分解：)(4)(22x y b y x a -+- （6）因式分解：()()110252+-+-x y y x20. (本小题总分值8分)如图，一架长为5m 的梯子A B 斜靠在与地面O M 垂直的墙 O N 上，梯子底端距离墙O N 有3m ．(1)如图1，求梯子顶端与地面的距离O A 的长．(2）如图2，假设梯子极点A 下滑1m 到C 点，求梯子的底端向右滑到D 的距离B D ．21.（本小题总分值8分）某口岸位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开口岸，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开口岸一个半小时后相距30海里．得分 评卷人得分评卷人得分 评卷人第13题图第16题图 第17题图第18题图（2）计算：1245253÷⨯ 20题图_______（1）求 PQ 、PR 的长.（2）若是明白“远航”号沿东北方向航行，能明白“海天” 号沿哪个方向航行？什么缘故？ 22.(本小题总分值8分)如图，将一副直角三角板摆放在一路，030=∠ACB ,045=∠BCD ,090=∠=∠BDC ABC 量得CD=20cm ，试求BC 和AC 的长.23.（本小题总分值9分）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，每一个小格的极点叫做格点． （1）在图1中以格点为极点画一个面积为10的正方形；（2）在图2中以格点为极点画一个三角形，使三角形三边长别离为二、5、13（3）如图3，点A 、B 、C 是小正方形的极点，求∠ABC 的度数．24.（本小题总分值9分）下面的表格是李刚同窗一学期数学成绩的记录，依照表格提供的信息回答下面的问题；（1）李刚同窗6次成绩的极差是 ．（2）李刚同窗6次成绩的中位数是 ．（3）李刚同窗平常成绩的平均数是 ．（4）利用图的权重计算一下李刚本学期的综合成绩（平常成绩用四次成绩的平均数，写出解题进程，每次考试总分值都是100分）得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人21题图DCAB22题图25.（本小题总分值12分）得分评卷人已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A动身，沿线段AB 向点B运动．(1)如图1，设点P的运动时刻为t(s)，那么t=_____(s)时，△PBC是直角三角形；(2)如图2，假设另一动点Q从点B动身，沿线段BC向点C运动，若是动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．设运动时刻为t(s)，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？(3)如图3，假设另一动点Q从点C动身，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．若是动点P、Q都以1cm/s 的速度同时动身．设运动时刻为t(s)，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？(4)如图4，假设另一动点Q从点C动身，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．若是动点P、Q 都以1cm/s的速度同时动身．请你猜想：在点P、Q的运动进程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．八年级期中检测数学试题参考答案一、选择题： ADBDC AABBA AC 二、填空题：13. 16；14.12- 15.)1(-y x 16.13 17.12 18.三、解答题： 四、19.（1）原式=5553- （2分）=5514（4分） （2）原式=38545⨯⨯ （2分）=610 （4分） （3）原式=322218-+ （2分） =319-+ （3分） =1 （4分） （4）原式=)4)(3(3mn )2)(9(2分）（分-+=-m m m mn（5）原式=分））（）（）（（分））（）（（分42b -a 2b a y -x 24b -a y -x )1)((4)(2222+==---y x b y x a（6）原式=分）（）（分41-y 5-x 5)1(1)(10)(2522=+---y x y x20.解：)3(453)1(900分，分中，在=∴===∠∆OA AB OB AOB AOB Rt分）答：（略）（分分，分中，在8)7(1)6(453)4(900=∴=∴===∠∆BD OD CD OC COD COD Rt21解：依照题意，得（1）PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里）（2分） （2）PQ 2+PR 2=242+182=900 QR 2=900∴PQ 2+PR 2=QR 2， （6分） ∴∠QPR=90°． （7分）由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，那么∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行. （8分）22.（1）∵△BDC 是等腰直角三角形 ∴BD=DCBC ² =BD ²+DC ² =400+400 ∴BC=√800=20√2 （4分）（2）设AC=x ∵△ABC 是含有30角的直角三角形 ∴AB=x/2 （5分） AC ²=AB ²+BC ²x ²=x ²/4+800 3x ²/4=800 ∴AC=6340（8分） 23.第（1）问2分 第(2)问3分；第（3）问3分，结论1分，合计9分 24.（1）极差是96-86=10分（1分） （2）中位数是：90分，（3分）（3）89分；（5分）（4）89×10%+90×30%+96×60%=93.5分．（8分）答：李刚的总评分应该是93.5分．（9分）25.解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，∠BPC=90°，因此BP=，因此t=（2分）（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，3-t=0.5t，因此t=2；当∠BQP=90°时，BP=2BQ，3-t=2t，因此t=1；因此t=1或2（s）（5分）（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，因此∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，又因为∠A=60°，因此AD=2AP，2t+t=3，解得t=1（s）；（8分）（4）相等，如下图：（9分）作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，因为，因此△EAP≌△GCQ（AAS），因此PE=QG，因此，△PCD和△QCD同底等高，因此面积相等．（12分）。

济南市外国语初中部八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF NF ⊥于F ，点A 、C 分别在NF 和MF 上，作线段AB 和CD （如图1），使90FAB MCD ∠-∠=︒．求证：//AB CD ”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A 作//AG FM ，交CD 于G ．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E 在直线CD 下方，且知30BED ∠=︒，直接写出ABE ∠和CDE ∠之间的数量关系．2．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．3．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABF ACFS S的值．4．阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OEOD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________） 所以CD FE =（________） 因为AB AC =（已知） 所以ACB B =∠∠（________） 所以EFB B ∠=∠（等量代换） 所以BE FE =（________） 所以CD BE =5．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．7．（概念认识）如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．（问题解决）（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；（延伸推广）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含 m、n的代数式表示）8．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ； （3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．9．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF CF、作MD⊥直线l于、，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M N→路径运动，点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A C→→→→路径运动，终终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F C B C FM N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，点为F，点,△为等腰直角三角形时，求t的值．当CMN10．已知，如图1，直线l2⊥l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C 不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3⊥l1，点E在直线l3上，点D的下方．（1）l2与l3的位置关系是；（2）如图1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，则∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如图2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G．试说明：∠DGF＝∠DFG；（4）如图3，若∠DBE＝∠DEB，点C在射线AM上运动，∠BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索∠N:∠BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．在△ABC 中，AB =AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE =AD ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，若∠BAC =40°，则∠ACE = ，∠DCE = ，BC 、DC 、CE 之间的数量关系为 ； （2）设∠BAC =α，∠DCE =β．①当点D 在BC 延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上（不与B ，C 两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，试探究∠ACB 的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．13．（阅读材料）：（1）在ABC ∆中，若90C ∠=︒，由“三角形内角和为180°”得1801809090A B C ∠︒+∠=-∠︒︒-=︒=．（2）在ABC ∆中，若90A B ∠+∠=︒，由“三角形内角和为180°”得180()1809090C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（解决问题）：如图①，在平面直角坐标系中，点C 是x 轴负半轴上的一个动点．已知//AB x 轴，交y 轴于点E ，连接CE ，CF 是∠ECO 的角平分线，交AB 于点F ，交y 轴于点D ．过E 点作EM 平分∠CEB ，交CF 于点M ．（1）试判断EM 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E 点作PE ⊥CE ，交CF 于点P ．求证：∠EPC=∠EDP ；（3）在（2）的基础上，作EN 平分∠AEP ，交OC 于点N ，如图③．请问随着C 点的运动，∠NEM 的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．14．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：2114x x =+，求代数式x 2+21x的值． 解：∵2114x x =+，∴21x x+＝4 即21x x x+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求xy z+的值． 解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0）则11kk k k x 622,,,117234y z 7k k 3412x y z ===∴===++ 根据材料回答问题：（1）已知2114x x x =-+，求x +1x的值． （2）已知523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a+的值． （3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c ++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz的值．15．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。

2019-2020学年山东省济南外国语学校八年级（上）期末数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（每小题4分，共48分）1．实数，，0，﹣π，16，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．已知正比例函数y＝kx中若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＝0 D．k＜13．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．14．已知点P位于第一象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则点P的坐标为（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，5）或（﹣2，5）D．（5，2）或（﹣5，2）5．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中∠A＝52°，则∠ABX+∠ACX＝（）A．38°B．48°C．28°D．58°6．下列命题是真命题的是（）A．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0B．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0C．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是0D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数定是07．已知点（k，b）为第四象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．下列说法中，正确的有（）①如果∠A+∠B﹣∠C＝0，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C＝5：12：13，则△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则△ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2﹣4、4n、n2+4（n＞2），则△ABC是直角三角形；A．1个B．2个C．3个D．4个9．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣210．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：星期日一二三四五六个数11 12 13 12其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（）A．B．C．1 D．11．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（）A．（2011，0）B．（2011，1）C．（2011，2）D．（2010，0）12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．D．二、填空题（每小题4分，共24分.）13．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m的墙上，则梯角应距墙角m．14．的立方根是．15．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是．16．如图，数轴上点A表示的数为a，化简a+＝．17．如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+2x＞0的解集为．18．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为．三、解答题（共78分）19．（8分）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2（x﹣1）+4＜3x （2）＞1﹣20．（8分）计算（1）9+7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2．21．（8分）解方程组：（1）（2）22．（8分）如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2．23．（8分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？24．（8分）2013年1月，由于雾霾天气持续笼罩我国中东部大部分地区，口罩市场出现热卖，某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，进价和售价如下表：甲种口罩乙种口罩品名价格进价（元/袋）20 25售价（元/袋）26 35（1）求该网店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该网店第二次以原价购进甲、乙、两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若两种口罩销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于3680元，乙种口罩最低售价为每袋多少元？25．（8分）如图，已知直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝2x﹣4交x轴于点D，与直线AB相交于点C（3，2）．（1）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集；（2）若点A的坐标为（5，0），求直线AB的解析式；（3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积．26．（10分）张庄甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．（1）甲采摘园的门票是元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克元；（2）当x＞10时，求y乙与x的函数表达式；（3）游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同．27．（12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B 的坐标为（﹣2，），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH＝，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．（1）求∠CEF的度数和点D的坐标；（2）求折痕EF所在直线的函数表达式；（3）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标，并写出解答过程．。

山东省济南外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．|﹣|的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A． 617×105B． 6.17×106C． 6.17×107D． 0.617×1083．如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）A．B．C．D．4．函数y=中自变量x的取值范围是（）A． x＞3 B． x＜3 C． x≤3 D． x≥﹣35．下列计算正确的是（）A． a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2D． a2+a2=a46．某男子排球队20名队员的身高如下表：则此男子排球队20名队员的身高的众数和中位数分别是（）身高（cm）180 186 188 192 208人数（个） 4 6 5 3 2A． 186cm，186cm B． 186cm，187cm C． 208cm，188cm D． 188cm，187cm7．下列说法错误的是（）A．必然事件的概率为1B．数据1、2、2、3的平均数是2C．数据5、2、﹣3、0的极差是8D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A． a（x﹣2）2B． a（x+2）2C． a（x﹣4）2D． a（x+2）（x﹣2）9．如图，已知AB∥CD，AD平分∠BAE，∠D=38°，则∠AEC的度数是（）A． 19°B． 38°C． 72°D． 76°10．估算+1的值在（）A． 2和3之间B． 3和4之间C． 4和5之间D． 5和6之间11．如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A． 2B． 2 C． 4D． 412．如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时点B的坐为（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．14．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个15．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16．如果分式的值为0，那么x的值为．17．如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有实数根，那么k的取值范围是．18．如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=．19．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．20．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD 沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，则线段BF的取值范围为．21．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为．三、解答题：（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1（2）解方程：=．23．某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．24．如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．25．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．26．我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：（1）统计表中a=，b=；（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）株洲市决定从来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为市级形象代言人．A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问A、B同时入选的概率是多少？区域频数频率炎陵县 4 a茶陵县 5 0.125攸县 b 0.15醴陵市8 0.2株洲县 5 0.125株洲市城区12 0.2527．如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．（1）确定k的值；（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；（3）计算△OAB的面积．28．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．（1）线段BE与AF的位置关系是，=．（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角a的度数．29．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA=2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标．山东省济南外国语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．|﹣|的值是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：绝对值．分析：根据绝对值的定义，即可解答．解答：解：|﹣|=，故选：C．点评：本题考查了绝对值的定义，解决本题的关键是熟记负数的绝对值等于它的相反数．2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A． 617×105B． 6.17×106C． 6.17×107D． 0.617×108考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将61700000用科学记数法表示为6.17×107．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解答：解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．函数y=中自变量x的取值范围是（）A． x＞3 B． x＜3 C． x≤3 D． x≥﹣3考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，3﹣x＞0，解得x＜3．故选B．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．5．下列计算正确的是（）A． a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2D． a2+a2=a4考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、a6÷a3=a3，故A选项正确；B、（a2）3=a6，故B选项错误；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C选项错误；D、a2+a2=2a2，故D选项错误．故选A．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．6．某男子排球队20名队员的身高如下表：则此男子排球队20名队员的身高的众数和中位数分别是（）身高（cm）180 186 188 192 208人数（个） 4 6 5 3 2A． 186cm，186cm B． 186cm，187cm C． 208cm，188cm D． 188cm，187cm考点：众数；中位数．专题：图表型．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：身高为186cm的队员数最多为6人，众数为6；中位数是第10、11位队员的身高的平均数，即（186+188）÷2=187cm．故选B．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．下列说法错误的是（）A．必然事件的概率为1B．数据1、2、2、3的平均数是2C．数据5、2、﹣3、0的极差是8D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖考点：概率的意义；算术平均数；极差；随机事件．分析：A．根据必然事件和概率的意义判断即可；B．根据平均数的秋乏判断即可；C．求出极差判断即可；D．根据概率的意义判断即可．解答：解：A．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项正确；B．数据1、2、2、3的平均数是=2，本项正确；C．这些数据的极差为5﹣（﹣3）=8，故本项正确；D．某种游戏活动的中奖率为40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误，故选：D．点评：本题主要考查了概率的意义、求算术平均数以及极差的方法，比较简单．8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A． a（x﹣2）2B． a（x+2）2C． a（x﹣4）2D． a（x+2）（x﹣2）考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．解答：解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．点评：本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．如图，已知AB∥CD，AD平分∠BAE，∠D=38°，则∠AEC的度数是（）A． 19°B． 38°C． 72°D． 76°考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质得出∠CEA=∠EAB，∠D=∠BAD=38°，求出∠EAB，即可求出∠AEC．解答：解：∵CD∥AB，∴∠CEA=∠EAB，∠D=∠BAD=38°，∵AD平分∠BAE，∴∠EAB=2∠DAB=76°，∴∠AEC=∠EAB=76°，故选D．点评：本题考查了平行线的性质和角平分线性质，关键是求出∠EAB的度数，题目比较好，难度适中．10．估算+1的值在（）A． 2和3之间B． 3和4之间C． 4和5之间D． 5和6之间考点：估算无理数的大小．专题：计算题．分析：利用夹逼法可得，3＜＜4，从而可判断出答案．解答：解：∵3＜＜4，∴4＜+1＜5，即在4和5之间．故选C．点评：此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．11．如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A． 2B． 2 C． 4D． 4考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，在△BCD中，由勾股定理得：CB=，在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，故选：A．点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．12．如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时点B的坐为（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）考点：一次函数综合题；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：过A作AB⊥直线y=x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C，推出∠AOB=45°，求出∠OAB=45°，得出等腰直角三角形AOB，得出C为OA中点，得出BC=OC=AC=OA，代入求出即可．解答：解：过A作AB⊥直线y=x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C，∵直线y=x，∴∠AOB=45°=∠OAB，∴AB=OB，∵BC⊥OA，∴C为OA中点，∵∠ABO=90°，∴BC=OC=AC=OA=，∴B（﹣，﹣）．故选A．点评：本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线的性质，一次函数等知识点的应用，主要考查学生能否找到符合条件的B点，题目比较典型，是一道具有代表性的题目．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．分析：求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．解答：解：连接DC．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D．∴sinB=sinD==．故选A．点评：综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．14．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，∴故①正确；②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴②正确；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB；故③正确；④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA=∠CEA=∠BDA，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE+∠BEA=90°，∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，∴∠ADB+∠GFD=90°，∴∠CGD=90°，∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，∴△CGD∽△EAF，∴，∴CD•AE=EF•CG．故④正确，故正确的有4个．故选：D．点评：此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；动点型．分析：当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．解答：解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，开口方向向下．故选：B．点评：考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16．如果分式的值为0，那么x的值为4．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的分子为0，可得答案．解答：解：的值为0，x﹣4=0，x+2≠0，x=4，故答案为：4．点评：本题考查了分式的值为零的条件，分式的分子为零，分母不能为零．17．如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有实数根，那么k的取值范围是k≥﹣1．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=22﹣4×（﹣k）≥0，解得k≥﹣1．故答案为k≥﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=2．考点：解直角三角形．分析：先解等腰直角三角形ABC，求出AB的长，再解直角三角形ABD，即可求出BD．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4，∴AB=BC•sin∠C=4×=2．在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=2，∴BD===2．故答案为2．点评：本题考查了解直角三角形，求出AB的长是解题的关键．19．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．考点：平面展开-最短路径问题；截一个几何体．专题：压轴题；数形结合．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．故答案为：（3+3）．点评：考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．20．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD 沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，则线段BF的取值范围为3≤BF≤4．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图1、2，在点H或点E的极限位置处，作出符合题意的两个几何图形；在图1中，由题意得AF=CF（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，进而得到BF的值．在图2中，首先证明∠CEF=∠CFE，得到CF=CE=4，进而求出BF的值．解答：解：如图1，当点H与点A重合时，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°；由题意得：AF=CF（设为λ），则BF=8﹣λ；由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，BF=3；如图2，当点E与点D重合时，由翻折变换的性质得：∠HEF=∠CEF=45°，HE=CE；∴∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=4，BF=8﹣4=4，综上所述，线段BF的取值范围为3≤BF≤4．故答案为3≤BF≤4．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入把握题意，运用分类讨论的数学思想，正确作出符合题意的几何图形，根据图形逐一解析．21．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是等腰直角三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为或．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据题意求得解析式，然后转化成顶点式，求得顶点D的坐标，根据DE=2，AB=4，DE垂直平分AB，得出AE=DE=BE，AD=BD，得出∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，从而求得∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，证得△ABD是等腰直角三角形；（2）要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，然后分着三种情况分别讨论即可求得．解答：解：如图1，∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，a=，∴二次函数为y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴顶点D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AC=BC时在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．综上，要使△ACB为等腰三角形，则a值为或；故答案为：等腰直角、或．点评：本题考查了抛物线和x轴的交点，抛物线的解析式，抛物线的对称轴以及顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题：（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1（2）解方程：=．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=1+﹣2×+4=5；（2）方程两边同乘以x（x﹣3），得2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验，x=9是原方程的解．点评：此题考查了实数的运算，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．考点：一元一次不等式的应用．分析：首先设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品，利用使此车间每天所获利润不低于15600元，得出不等关系进而求出即可．解答：解：设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．根据题意可得，12x×100+10（10﹣x）×180≥15600，解得；x≤4，∴10﹣x≥6，∴至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．24．如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：①先根据△AOB与△CBD均是等边三角形得出OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，再由SAS定理即可得出结论；②根据①容易得到∠OAE=60°，然后根据在Rt△OAE中30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的．解答：解：①全等．理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不变．理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°﹣∠OAB﹣∠BAD=60°，∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，∴OE=，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．25．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．解答：解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，∵EO=5cm，OH=4cm，∴EH===3cm，∵OH过圆心O，OH⊥EF，∴EF=2EH=6cm．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．26．我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：（1）统计表中a=0.1，b=6；（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）株洲市决定从来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为市级形象代言人．A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问A、B同时入选的概率是多少？区域频数频率炎陵县 4 a茶陵县 5 0.125攸县 b 0.15醴陵市8 0.2株洲县 5 0.125株洲市城区12 0.25考点：频数（率）分布表；列表法与树状图法．专题：图表型．分析：（1）由茶陵县频数为5，频率为0.125，求出数据总数，再用4除以数据总数求出a的值，用数据总数乘0.15得到b的值；（2）根据各组频数之和等于数据总数可知各组频数正确，根据频率=频数÷数据总数可知株洲市城区对应频率错误，进而求出正确值；（3）设来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”为A、B、C、D，根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与A、B同时入选的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）∵茶陵县频数为5，频率为0.125，∴数据总数为5÷0.125=40，∴a=4÷40=0.1，b=40×0.15=6．故答案为0.1，6；（2）∵4+5+6+8+5+12=40，∴各组频数正确，∵12÷40=0.3≠0.25，故株洲市城区对应频率0.25这个数据是错误的，该数据的正确值是0.3；（3）设来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”为A、B、C、D，列表如下：∵共有12种等可能的结果，A、B同时入选的有2种情况，∴A、B同时入选的概率是：=．。

2018.1）八年级数学教学质量检测题（分150考试时间120分钟满分分）共第Ⅰ卷（选择题60分。

在每小题给出的四个选项60一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分中，只有一项是符合题目要求的）) 1.4的算术平方根是(2 A.2 B.-2 C.±2 D.±) 2.若a>b,则下列各式中一定成立的是(ba?D. am>bmA.a-3<b-3B.C.-3a<-3b 33?130-,,8-27,,,16)中，无理数的个数为在实数( 3.25 D.4个 B.2个C.3个 A.1个) -3）向上平移4个单位，再向右平移2个单位后的点的坐标为( 4.将直角坐标系中的点（-1，1，1）-1 B.（-5，） C.（-3，1） D.（， A.（3-1）kx?y) 5.若正比例函数的图像经过点（-1，2），则k 的值为(11-D.2B. A.C.-2 22) 6.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是(A.a:b:c=3:4:5B.∠A:∠B:∠C=3:4:53 D.a:b:c=1:2:B=C.∠A+∠∠C) 角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2 的度数是( 7.如图，将直尺与含30°D.60°C.50°A.30° B.40°题第8 题图第7)月份的用水量统计图如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是至6( 小明家8.14方差是吨5吨 C.平均数是5 D.吨中位数是吨众数是 A.6 B.3( x在平面直角坐标系的第二象限内，x-4,x+3P9.如果点（）那么的取值范围在数轴上可表示为)by?kx?0kb?满足)，且y随10.一次函数x的增大而减小，则此函数的图像一定不经过(第四象限C.第三象限D. A.第一象限 B.第二象限1my?0x?x???m，则的值被盖住了。

不过仍能求出m ，其中11.关于x,y的方程组y的解是??x?y?3y???)( 的值是1111--D.B. C. A. 244212.如图，已知点A(1,1),B(2,-3),点P为x轴上一点，当|PA-PB|最大值时，点P的坐标为( )15，0）D.（（1，0）A.（-1，0）B.（C.，0）42第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13.-8的立方根.14.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是.题图第16 第15题图14 第题图y?3x?by?ax?3的图像如图所示，其交点为15.一次函数P（-2，和-5），则不等式（3-a）x?b?3?0.的解集是OB的两边在坐标轴上，以它的对角线的正方形OABC16.如图，在平面直角坐标系中，边长为11111......C，以此类推为边作正方形OBB为边做正方形OBBC,再以正方形OBBC的对角线OB3312122222. C坐标是为则正方形OBBC的顶点2017201720172016分）8题，满分74三、解答题（本大题共（本小题满分8分）计算17.118?82?2748-（-32-1）2）（1（）32分）18.（本小题满分85x?1?3(x?1)??（1）解不等式组，并求出它的整数解；x?21??x?1?3?2x?y?k?的解互为相反数，求）已知关于x，y的二元一次方程组k的值。

济南市外国语初中部八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．已知ABC ，P 是平面内任意一点（A 、B 、C 、P 中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB 、PC ，设∠PBA ＝s°，∠PCA ＝t°，∠BPC ＝x°，∠BAC ＝y°．（1）如图，当点 P 在ABC 内时，①若 y ＝70，s ＝10，t ＝20，则 x ＝ ；②探究 s 、t 、x 、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P 在ABC 外时，直接写出 s 、t 、x 、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．2．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．3．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.4．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．5．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．6．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．7．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．8．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．（1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB=； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）10．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积．11．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中mn 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+．（1）已知()()1,10,0,28T T -==．①求mn 、的值； ②若关于p 的不等式组()()2,244,32T p p T p p a ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围； （2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出mn 、满足的关系式．学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 12．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．13．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．（1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）14．已知，如图1，直线l 2⊥l 1，垂足为A ，点B 在A 点下方，点C 在射线AM 上，点B 、C 不与点A 重合，点D 在直线11上，点A 的右侧，过D 作l 3⊥l 1，点E 在直线l 3上，点D 的下方．（1）l 2与l 3的位置关系是 ；（2）如图1，若CE 平分∠BCD ，且∠BCD ＝70°，则∠CED ＝ °，∠ADC ＝ °； （3）如图2，若CD ⊥BD 于D ，作∠BCD 的角平分线，交BD 于F ，交AD 于G ．试说明：∠DGF ＝∠DFG ；（4）如图3，若∠DBE ＝∠DEB ，点C 在射线AM 上运动，∠BDC 的角平分线交EB 的延长线于点N ，在点C 的运动过程中，探索∠N :∠BCD 的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．15．探索发现： 111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：（1）145⨯＝ ，1(1)n n ⨯+＝ ； （2）利用你发现的规律计算：1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+ （3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++ 16．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：（1）取特殊情况，探索讨论：当点E 为AB 的中点时，如图（2），确定线段AE 与DB 的大小关系，请你写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”），并说明理由．（2）特例启发，解答题目：解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你将剩余的解答过程完成） （3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若△ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果）．17．（阅读材料）：（1）在ABC ∆中，若90C ∠=︒，由“三角形内角和为180°”得1801809090A B C ∠︒+∠=-∠︒︒-=︒=．（2）在ABC ∆中，若90A B ∠+∠=︒，由“三角形内角和为180°”得180()1809090C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（解决问题）：如图①，在平面直角坐标系中，点C 是x 轴负半轴上的一个动点．已知//AB x 轴，交y 轴于点E ，连接CE ，CF 是∠ECO 的角平分线，交AB 于点F ，交y 轴于点D ．过E 点作EM 平分∠CEB ，交CF 于点M ．（1）试判断EM 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E 点作PE ⊥CE ，交CF 于点P ．求证：∠EPC=∠EDP ；（3）在（2）的基础上，作EN 平分∠AEP ，交OC 于点N ，如图③．请问随着C 点的运动，∠NEM 的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．18．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．19．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．20．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．①请直接写出∠AEB的度数为_____；②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同－直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y ；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．2．（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠，9032122=︒+=︒，故答案为：122︒；（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线， 112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论：1902BQC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．3．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA ∴∆≅∆GF BD ∴=，即DF DG BD +=AD DF DG MD DG ∴=+=+即AD DG MD =+；（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下：如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=︒∠=︒-∠-∠=︒=HDN ∴∆是等边三角形,60NH ND H HND ∴=∠=∠=︒60BNG ∠=︒HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．4．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝ ∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴BF ＝BD∴AF ＝DC∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝ ∵∠ADC 是ABD ∆的外角∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD ＝∠CDE在AFD ∆与DCE ∆中AFD DCE AF CDFAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.证明：∵BC CD =∴AC CD =∵CE 平分ACD ∠∴CE 垂直平分AD∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.5．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC AB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ，∴DB EC AB AC=， ∵AB=AC ，∴DB=EC ，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7， 故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．6．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒， ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆， CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =， EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒， ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．7．（1）4；（2）DEF ∆的最小内角为15°或9°或180()11︒；（3）30°＜x ＜45°． 【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据n 倍角三角形的定义判断即可得到答案；(2) 根据△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．【详解】解：(1)∵在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故ABC ∆为4倍角三角形；(2) 设其中一个内角为x °，3倍角为3x °，则另外一个内角为：1804x ︒-①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时， 即：x=13（90°-3x ）， 解得：x=15°，②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的13时， 即：3x=13（90°-x ），解得：x=9°， ③当()11804903x x ︒-=︒-时， 解得：45011x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭， 此时：4501804180411x ⎛⎫︒-=︒-⨯︒ ⎪⎝⎭=180()11︒，因此为最小内角， 因此，△DEF 的最小内角是9°或15°或180()11︒． (3) 设最小内角为x ，则2倍内角为2x ，第三个内角为（180°-3x ），由题意得： 2x ＜90°且180°-3x ＜90°，∴30°＜x ＜45°，答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°．8．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°在△ACD 与△CBE 中，AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD ，∵AB=AC ，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；（2）过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；（3）过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，∴AE=BD+BP=DP ．∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，∴△NEA ≌△CDP （SAS ），∴AN=PC ．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；（2）通过“ASA ”可证得△ODB ≌△OAP ，进而可得BO=OP ；（3）过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，由“AAS ”可证△OBM ≌△OPF ，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC 的面积．【详解】（1）∵点A 的坐为（2，0），点D 的坐标为（0，-2），∴OA=OD ，∵∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°；（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，∴∠BOD=∠AOP ，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC ，∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ODB=135°=∠OAP ，在△ODB 和△OAP 中，BOD AOP OD OAODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ），∴BO=OP ；（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°，∴点Q 横坐标为2，∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ，∴BQ=QC ，∵点B 的标为（-2，-4），∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ，∵PF ⊥x 轴，∴∠OFP=∠OMB=90°，在△OBM 和△OPF 中，BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△OBM ≌△OPF （AAS ），∴PF=BM=2，OF=OM=4，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，∴OM=AQ=FN=4，∴PN=2，∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CPN=45°，∴CN=PN=2，∵四边形BOPC 的面积=S △OBM +S 梯形OMNP +S △PNC ，∴四边形BOPC 的面积=12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 11．（1）①11m n =⎧⎨=⎩；②42≤a ＜54；（2）m=2n 【解析】【分析】（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．【详解】解：（1）①由题意得()088m n n ⎧--=⎨=⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩， ②由题意得()()()()222424432464p p p p p p p p a ⎧+-+->⎪⎨+-+-≤⎪⎩， 解不等式①得p ＞-1． 解不等式②得p≤1812a -， ∴-1＜p≤1812a -， ∵恰好有3个整数解，∴2≤1812a -＜3． ∴42≤a ＜54；（2）由题意：（mx+ny ）（x+2y ）=（my+nx ）（y+2x ），∴mx 2+（2m+n ）xy+2ny 2=2nx 2+（2m+n ）xy+my 2，∵对任意有理数x ，y 都成立，∴m=2n ．【点睛】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12．（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q 118090582119； 由（2）可得：11582922R Q ;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．13．（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒ 【解析】【分析】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ，∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=，EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线，BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=，理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯ 同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.14．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，12 【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：（1）直线l 2⊥l 1，l 3⊥l 1，∴l 2∥l 3，即l 2与l 3的位置关系是互相平行，故答案为：互相平行；（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE＝∠DCE＝12BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案为：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于12；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝12．【点睛】本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．15．（1）1111,451n n --+；（2）n n 1+；（3）见解析． 【解析】【分析】 （1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到145⨯和1(1)n n ⨯+ （2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】解：（1）1114545=-⨯， 111(1)1n n n n =-++ ； 故答案为1111,451n n --+ （2）原式＝111111111+122334111n n n n n --+-++-=-=+++ ; （3）已知等式整理得： 1111112111245(5)x x x x x x x x x --+-++-=++++++ 所以，原方程即： 11215(5)x x x x x --=++ ， 方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.16．（1）AE DB =，理由详见解析；（2）AE DB =，理由详见解析；（3）3或1【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质、三线合一的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质，证明△EFC ≌△DBE 即可；（3）注意区分当点E 在AB 的延长线上时和当点E 在BA 的延长线上时两种情况，不要遗漏．【详解】解：（1）AE DB =，理由如下：ED EC =，EDC ECD ∴∠=∠∵△ABC 是等边三角形，60ACB ABC ∠=∠=︒∴，点E 为AB 的中点， 1302ECD ACB ∴︒∠=∠=，30EDC ∠=︒∴，30D DEB ∠=∠=︒∴， DB BE ∴=，AE BE =，AE DB ∴=；故答案为：=；（2）AE DB =，理由如下：如图3：∵△ABC 为等边三角形，且EF ∥BC ，60AEF ABC ∠=∠=︒∴，60AFE ACB ∠=∠=︒，FEC ECB ∠=∠；120EFC DBE ∠=∠=︒∴；ED EC =，D ECB ∴∠=∠，D FEC ∠=∠，在△EFC 与△DBE 中，FEC D EFC DBE EC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFC ≌△DBE （AAS ），EF DB ∴=60AEF AFE ∠=∠=︒，∴△AEF 为等边三角形，AE EF ∴=，AE BD ∴=．（3）①如图4，当点E 在AB 的延长线上时，过点E 作EF ∥BC ，交AC 的延长线于点F ：则DCE CEF ∠=∠，DBE AEF ∠=∠；ABC AEF ∠=∠，ACB AFE ∠=∠；。

山东省济南外国语学校2018-2019学年八上数学期末考试试题一、选择题1．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个，设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( )A.B.C.D. 2．如果分式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A.x≠0 B.x=﹣1 C.x≠﹣1 D.x≠13．如果分式:23xy x y+中分子、分母的x ，y 同时扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的12 C ．扩大为原来的4倍 D ．不变 4．下列因式分解正确的是( )A ．x 2﹣4＝(x+4)(x ﹣4)B ．4a 2﹣8a ＝a(4a ﹣8) C ．a+2a+2＝(a ﹣1)2+1D ．x 2﹣2x+1＝(x ﹣1)2 5．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a =⋅ B ．235?)(a a = C ．623a a a ÷= D ．22(2)(2)4ab a b a b +-=- 6．若4s t +=，则228s t t -+的值是（ ）A.8B.12C.16D.327．已知ABC ∆中，90ACB ∠=，8AC =，6BC =．在射线BC 上取一点D ，使得ABD ∆为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？ （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，将一根长为()8cm AB 8cm =的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A 和B ，然后把中点C 竖直地向上拉升3cm 至D 点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm 9．如图，在中，和的平分线交于点，过作交于交于，若，则的周长为（ ）A.15B.18C.17D.1610．如图，OP 平分∠BOA ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（ ）A.PC=PDB.OC=ODC.OC=OPD.∠CPO=∠DPO11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连结BE，AB＝5cm，△AEB的周长为18cm，则△ABC的周长是（）cm．A.36B.23C.18D.3012．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC.若CD=3,BC+AB=16,则△ABC的面积为()A.16B.18C.24D.3213．如图，直线AB和CD交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝70°，则∠BOD的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．110°14．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．6，7，8 C．5，6，11 D．1，4，715．若一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形二、填空题16．若关于x的分式方程3111mx x+=--无解，则m的值是_____．17．已知2x+3y-5=0，则9x•27y的值为______．18．如图，∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OE是∠AOC的平分线，则∠BOE的度数为_____．19．如图，是的平分线，是内的一条射线，已知比大，则的度数为__________．20．已知一张三角形纸片(ABC 如图甲)，其中.AB AC =将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为(BD 如图乙).再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为(EF 如图丙).原三角形纸片ABC 中，ABC ∠的大小为______.三、解答题21．计算（1）2(2)ab b -⋅ （2）201901(1)(3.14)2x --+-+22．把下列各式进行因式分解：（1）2222184x x y xy -+-；（2）231827m m -+；（3）22()()x x y y y x -+-23．如图，直线l 与m 分别是ABC ∆边AC 和BC 的垂直平分线，它们分别交边AB 于点D 和点E.（1）若10AB =，则CDE ∆的周长是多少？为什么？（2）若125ACB ︒∠=，求DCE ∠的度数.24．如图，在ABC ∆中，点M 、N 是ABC ∠与ACB ∠三等分线的交点，连接MN（1）求证：MN 平分BMC ∠；（2）若60A ∠=︒，求BMN ∠的度数.25．如图，直线AB 、CD 相交于点O ．已知∠BOD=75°，OE 把∠AOC 分成两个角，且∠AOE ：∠EOC=2：3．（1）求∠AOE 的度数；（2）若OF 平分∠BOE ，问：OB 是∠DOF 的平分线吗？试说明理由．【参考答案】***一、选择题16．317．24318．20°19．15°20．72;三、解答题21．（1）32ab - ；（2）12 22．()()21292x x xy y --+；（2）23(3)m -；（3()2)()x y x y -+．23．（1）10；（2）70DCE ︒∠=【解析】【分析】根据垂直平分线定理即可推出CD AD =，同理CE BE =，即CDE ∆的周长为10由垂直平分线定理可得ACD A ∠=∠，BCE B ∠=∠，再根据三角形内角和定理2CDE A ∠=∠，2CDE A ∠=∠即22180DCE A B ︒∠+∠+∠=，再由三角形外角和定理得125DCE A B ︒∠+∠+∠= ，即可计算出70DCE ︒∠=.【详解】解：（1）CDE ∆的周长为10∵l 是AC 的垂直平分线∴CD AD =同理CE BE =∴CDE ∆的周长10CD DE CB AD DE BE AB =++=++==（2）∵l 是AC 的垂直平分线∴ACD A ∠=∠同理BCE B ∠=∠∴2CDE A ∠=∠，2CDE A ∠=∠∵180DCE CDE CED ︒∠+∠+∠=①∴22180DCE A B ︒∠+∠+∠=∵125DCE ACD BCE ACB ︒∠+∠+∠=∠=∴125DCE A B ︒∠+∠+∠=②联立①②，解得：70DCE ︒∠=【点睛】本题考查垂直平分线和三角形的内角和定理，熟练掌握垂直平分线定理推出CDE ∆=AB 是解题关键.24．（1）见解析；（2）50°.【解析】【分析】（1）过点N 作NG ⊥BC 于G ，NE ⊥BM 于E ，FN ⊥CM 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FM=FN ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN 平分∠BMC（2）根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角的三等分求出∠EBC+∠ECB 的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BEC 的度数，从而得解【详解】（1）如图，过点N 作NG ⊥BC 于G ，NE ⊥BM 于E ，FN ⊥CM 于F ，∵∠ABC 的三等分线与∠ACB 的三等分线分别交于点M,N ，∴BN 平分∠MBC ，CN 平分∠MCB ，∴CN=EN ，CN=FN ，∴EN=FN ，∴MN 平分BMC ∠；(2)∵MN 平分BMC ∠；∴∠BMN=12∠BMC ， ∵∠A=60∘，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°根据三等分,∠MBC+∠MCB=23 (∠ABC+∠ACB)=23×120°=80° 在△BMC 中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°∴BMN ∠=12×100°=50°【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知角平分线的判定与性质及三角形的内角和.25．(1) 30°；(2) OB 是∠DOF 的平分线,理由见解析。

2016-2017学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．化简的结果是（）A．2 B．±2 C．D．±2．下列语句中正确的是（）A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3C．9的算术平方根是±3 D．3是9的平方根3．下列个组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52C．6，8，10 D．9，40，414．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2 B．x2﹣4+2x=（x+2）（x﹣2）+2xC．2a（b+c）=2ab+2ac D．m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣2），则b，c的值为（）A．b=1，c=﹣6 B．b=﹣6，c=1 C．b=﹣1，c=6 D．b=6，c=﹣17．本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，则下列说法正确的是（）A．乙同学的成绩更稳定B．甲同学的成绩更稳定C．甲、乙两位同学的成绩一样稳定D．不能确定8．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.2，1.3 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.39．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4 B．C．2 D．310．若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．三角形的形状不确定11．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C的度数为（）A．135°B．120°C．90°D．105°12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．（）2012B．（）2013C．（）2012D．（）2013二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.13．如图中的三角形为直角三角形，字母A所在的正方形的面积是．14．1的相反数是．15．因式分解：xy﹣x=．16．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）17．如图，把一块等腰直角三角形零件ABC（∠ACB=90°）如图放置在一凹槽内，顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，则该零件的面积为．18．如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有．（请将正确答案的序号填在横线上）①∠EAF=45°②EA平分∠CEF③BE2+DC2=DE2④BE=DC．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（24分）（1）计算：﹣（2）计算：÷×（3）计算：﹣3（4）因式分解：m3n﹣9mn．（5）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（6）因式分解：25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1．20．（8分）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．21．（8分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．（1）求PQ、PR的长．（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？22．（8分）如图所示，把一副直角三角板摆放在一起，∠ACB=30°，∠BCD=45°，∠ABC=∠BDC=90°，量得CD=20cm，试求BC、AC的长．23．（9分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．24．（9分）如表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题考试类别平时期中考试期末考试第一单元第二单元第三单元第四单元成绩868690929096（1）李刚同学6次成绩的极差是．（2）李刚同学6次成绩的中位数是．（3）李刚同学平时成绩的平均数是．（4）利用如图的权重计算一下李刚本学期的综合成绩（平时成绩用四次成绩的平均数写出解题过程，每次考试满分都是100分）．25．（12分）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．2016-2017学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．化简的结果是（）A．2 B．±2 C．D．±【考点】二次根式的性质与化简．【分析】结合二次根式的性质进行求解即可．【解答】解：=2．故选A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．2．下列语句中正确的是（）A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3C．9的算术平方根是±3 D．3是9的平方根【考点】算术平方根；平方根．【分析】利用算术平方根及平方根的定义判断即可．【解答】解：A、9的平方根是±3，错误；B、9的平方根是±3，错误；C、9的算术平方根是3，错误；D、3是9的平方根，正确，故选D【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．下列个组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52C．6，8，10 D．9，40，41【考点】勾股定理的逆定理．【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：解：A、0.32+0.42=0.52，能组成直角三角形，不符合题意；B、（32）2+（42）≠（52）2，不能组成直角三角形，符合题意；C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意；D、92+402=412，能组成直角三角形，不符合题意．故选：B【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2 B．x2﹣4+2x=（x+2）（x﹣2）+2xC．2a（b+c）=2ab+2ac D．m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）【考点】因式分解的意义．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；C、是整式的乘法，故C错误；D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】立方根．【分析】A、B、C、D都可以直接根据立方根的定义求解即可判定．【解答】解：A、0.53=0.125，故选项错误；B、应取负号，故选项错误；C、∵等于，∴的立方根等于，故选项正确；D、应取正号，故选项错误．故选C【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．6．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣2），则b，c的值为（）A．b=1，c=﹣6 B．b=﹣6，c=1 C．b=﹣1，c=6 D．b=6，c=﹣1【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出b与c 的值即可．【解答】解：根据题意得：x2+bx+c=（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6，则b=1，c=﹣6，故选A【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．7．本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，则下列说法正确的是（）A．乙同学的成绩更稳定B．甲同学的成绩更稳定C．甲、乙两位同学的成绩一样稳定D．不能确定【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．2=1.2＞S乙2=0.5，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．【解答】解：因为S甲故选：A．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.2，1.3 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.3【考点】众数；条形统计图；中位数．【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，7环，故众数是1.4（万步）；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数都是1.3（万步），故中位数是1.3（万步）．故选B．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．9．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4 B．C．2 D．3【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD 中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，∴BD=CD=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD=，=BC•AD=×2×=，∴S△ABC故选B．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．10．若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．三角形的形状不确定【考点】因式分解的应用．【分析】首先将原式变形为a2（b﹣c）﹣b2（b﹣c）﹣c2（b﹣c）=0，就有（b﹣c）（a2﹣b2﹣c2）=0，可以得到b﹣c=0或a2﹣b2﹣c2=0，进而得到，b=c或a2=b2+c2．从而得出△ABC的形状．【解答】解：∵a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，∴a2（b﹣c）﹣b2（c﹣b）﹣c2=0，∴（b﹣c）（a2+b2）=0，∴b﹣c=0或a2+b2=0（舍去），∴△ABC是等腰三角形．故选A．【点评】本题考查因式分解提公因式法在实际问题中的运用，等腰三角形的判定和直角三角形的判定．11．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C的度数为（）A．135°B．120°C．90°D．105°【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】连接EE′，如图，根据旋转的性质得BE=BE′=2，AE=CE′=1，∠EBE′=90°，则可判断△BEE′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得EE′=BE=2，∠BE′E=45°，在△CEE′中，由于CE′2+EE′2=CE2，根据勾股定理的逆定理得到△CEE′为直角三角形，即∠EE′C=90°，然后利用∠BE′C=∠BE′E+∠CE′E求解．【解答】解：连接EE′，如图，∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE′，∴BE=BE′=2，AE=CE′=1，∠EBE′=90°，∴△BEE′为等腰直角三角形，∴EE′=BE=2，∠BE′E=45°，在△CEE′中，CE=3，CE′=1，EE′=2，∵12+（2）2=32，∴CE′2+EE′2=CE2，∴△CEE′为直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=∠BE′E+∠CE′E=135°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．（）2012B．（）2013C．（）2012D．（）2013【考点】等腰直角三角形；正方形的性质．【分析】根据题意可知第2个正方形的边长是，则第3个正方形的边长是，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是，那么易求S2015的值．【解答】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，…第n个正方形的边长是，所以S2015的值是（）2012，故选C【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的边长．二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.13．如图中的三角形为直角三角形，字母A所在的正方形的面积是16．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理，可知A=25﹣9=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积是解答此题的关键．14．1的相反数是．【考点】实数的性质．【分析】如果两数互为相反数，那么它们和为0，由此即可求出1﹣的相反数．【解答】解：1﹣的相反数是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是相反数的概念：两数互为相反数，它们和为0．15．因式分解：xy﹣x=x（y﹣1）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提公因式法x，整理即可．【解答】解：xy﹣x=x（y﹣1）．故答案为：x（y﹣1）．【点评】本题考查学生提取公因式的能力，解题时要首先确定公因式．16．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•=2，CB=2．∴AC=．故答案为：【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．17．如图，把一块等腰直角三角形零件ABC（∠ACB=90°）如图放置在一凹槽内，顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，则该零件的面积为37cm2．【考点】全等三角形的应用；等腰直角三角形．【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC=BE=7cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC=BE=7cm，∴AC===（cm），∴BC=cm，∴该零件的面积为：××=37（cm2）．故答案为：37cm2．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．18．如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有①②③．（请将正确答案的序号填在横线上）②EA平分∠CEF③BE2+DC2=DE2④BE=DC．【考点】旋转的性质；勾股定理．【分析】根据等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，根据旋转得出BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判断①，证△EAF≌△EAD，即可判断②，求出BF=DC，∠FBE=90°，根据勾股定理即可判断③，根据已知判断④即可．【解答】解：正确的有①②③，理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，∴∠C=∠ABC=45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正确；即∠FAE=∠DAE=45°，在△FAE和△DAE中∴△FAE≌△DAE（SAS），∴∠FEA=∠DEA，即EA平分∠CEF，∴②正确；∴EF=DE，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，∴∠FBE=45°+45°=90°，在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，∴③正确；不能推出BE=DC，∴④错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（24分）（2016秋•槐荫区期中）（1）计算：﹣（2）计算：÷×（3）计算：﹣3（4）因式分解：m3n﹣9mn．（5）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（6）因式分解：25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1．【考点】二次根式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法则运算；（3）利用二次根式的除法法则运算；（4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解；（5）先提公因式（x﹣y），然后利用平方差公式因式分解；（6）利用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：（1）原式=3﹣=；（2）原式==10；（3）原式=+﹣3=3+1﹣3=1；（4）原式=mn（m2﹣9）=mn（m+3）（m﹣3）；（5）原式=a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4b2）=（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）；（6）原式=25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1．=[5（x﹣y）﹣1]2=（5x﹣5y﹣1）2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了因式分解．20．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON 有3米．（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；（2）在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，OC=4﹣1=3，再根据勾股定理求得OD的长即可．【解答】解：（1）AO==4米；（2）OD==4米，BD=OD﹣OB=4﹣3=1米．【点评】能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用．21．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．（1）求PQ、PR的长．（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）根据路程=速度×时间计算即可．（2）利用勾股定理的逆定理证明∠QPR=90°即可．【解答】解：根据题意，得（1）PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），（2）∵PQ2+PR2=242+182=900，QR2=900∴PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．【点评】本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图所示，把一副直角三角板摆放在一起，∠ACB=30°，∠BCD=45°，∠ABC=∠BDC=90°，量得CD=20cm，试求BC、AC的长．【考点】勾股定理．【分析】在直角△BCD中，利用勾股定理求得BC的长度；然后在直角△ABC中由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”和勾股定理来求AB的长度，则AC=2AB．【解答】解：∵BD=CD=20，∴BC===20（cm）设AB=x，在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，则AC=2x．∵由勾股定理得AB2+BC2=AC2，∴x2+（20）2=（2x）2，得x2=，又x＞0，∴x=，即AC=2AB=．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．【考点】勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．【解答】解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；（2）如图2的三角形的边长分别为2，，；（3）如图3，连接AC，CD，则AD=BD=CD==，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=BC==，∴∠ABC=∠BAC=45°．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．24．如表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题考试类别平时期中考试期末考试第一单元第二单元第三单元第四单元成绩868690929096（1）李刚同学6次成绩的极差是10分．（2）李刚同学6次成绩的中位数是90分．（3）李刚同学平时成绩的平均数是89分．（4）利用如图的权重计算一下李刚本学期的综合成绩（平时成绩用四次成绩的平均数写出解题过程，每次考试满分都是100分）．【考点】扇形统计图；加权平均数；中位数；极差．【分析】（1）用最大值减去最小值即可求得极差；（2）排序后位于中间位置的数是中位数；（3）用算术平均数的公式直接计算即可；（4）用加权平均数的计算公式直接计算即可．【解答】解：（1）极差为：96﹣86=10分；（2）中位数为（90+90）÷2=90分；（3）平均数是（86+86+90+92+90+96）÷6=90分；（4）综合成绩为96×60%+90×30%+89×10%=93.5．【点评】本题考查了扇形统计图及有关统计量的计算，难度较小，关键是计算要认真仔细．25．（12分）（2015春•张家港市期末）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定．【分析】（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；（4）面积相等．可通过同底等高验证．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，所以t=（2分）（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，3﹣t=0.5t，所以t=2；当∠BQP=90°时，BP=2BQ，3﹣t=2t，所以t=1；所以t=1或2（s）（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，又因为∠A=60°，所以AD=2AP，2t+t=3，解得t=1（s）；（2分）（4）相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，所以，∠G=∠AEP，因为，所以△EAP≌△GCQ（AAS），所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．【点评】本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法．。