2015年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷及答案

湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．（5分）=（）A． i B．﹣1 C． 1 D．﹣i2．（5分）经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B． x﹣2y﹣2=0 C． x﹣2y+1=0 D．x+2y+2=03．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B． 0.85 C． 0.7 D．0.55．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A．（﹣p）∧q B．（﹣p）∨（﹣q）C． p∧（﹣q）D．p∨（﹣q）6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）则第五个顶点的坐标可能为（）A．（1，1，1）B．（1，1，）C．（1，1，）D．（2，2，）7．（5分）程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D．268．（5分）如图，已知抛物线是的焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．2C． D．﹣19．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D． ln倍10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①f（x）的图象关于直线x=﹣对称②f（x）的图象关于点（﹣，0）对称③若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣]④将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象．A．0B．1C． 2 D． 3二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=．12．（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是．13．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为．14．（5分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，若实数a满足f （log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是．长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3=．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n=8π时，n=．17．（5分）定义min{a，b}=，设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若C=，b=2，求△ABC的面积S．19．（12分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．（1）求d和q的值；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n．20．（13分）已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．21．（14分）已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，求a的值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．22．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．（5分）=（）A．i B．﹣1 C． 1 D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数的周期性即可得出．解答：解：∵===i，i4=1．∴原式=（i4）503•i3=﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，属于基础题．2．（5分）经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．x﹣2y﹣2=0 C．x﹣2y+1=0 D． x+2y+2=0考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：通过圆的一般方程求出圆的圆心坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线的方程即可．解答：解：因为圆x2﹣2x+y2=0的圆心为（1，0），与直线x+2y=0平行的直线的斜率为：﹣．所以经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是：y=﹣（x﹣1），即x+2y﹣1=0．故选A．点评：本题考查圆的一般方程求解圆的圆心坐标，直线的斜率与直线的点斜式方程的求法，考查计算能力．3．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：B．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85 C．0.7 D．0.5考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．解答：解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A．（﹣p）∧q B．（﹣p）∨（﹣q）C．p∧（﹣q）D． p∨（﹣q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于命题p，容易发现x=﹣1时，2x＞3x成立，所以命题p是真命题；对于∀x∈，，所以便可得到tanx＞sinx，所以命题q是真命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答：解：x=﹣1时，2x＞3x，∴命题p是真命题；，x；∴0＜cosx＜1，sinx＞0；∴，；即tanx＞sinx，∴命题q是真命题；∴￢p是假命题，（￢p）∧q是假命题，￢q是假命题，（￢p）∨（￢q）是假命题，p∧（￢q）是假命题，p∨（￢q）为真命题．故选D．点评：考查指数函数的值域，指数函数的图象，正弦函数、余弦函数的值域，切化弦公式，以及真假命题的概念，￢p，p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）则第五个顶点的坐标可能为（）A．（1，1，1）B．（1，1，）C．（1，1，）D．（2，2，）考点：简单空间图形的三视图．专题：空间向量及应用．分析：由三视图可知该几何体为正四棱锥，根据四个点的坐标关系确定第5个点的坐标即可．解答：解：由三视图可知该几何体为正四棱锥，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），则AB=2，BC=2，CD=2，DA=2，∴这四个点为正四棱锥的底面正方形的坐标，设顶点为P（a，b，c），则P点在xoy面的射影为底面正方形的中心O'（1，1，0），即a=1，b=1，由正视图是正三角形，∴四棱锥侧面的斜高为2，则四棱锥的高为，即c=，∴P点的坐标为（1，1，），故第五个顶点的坐标为（1，1，），故选：C．点评：本题主要考查三视图的识别和应用，利用三视图确定该几何体为正四棱锥是解决本题的关键，然后根据坐标关系即可确定第5个顶点的坐标，考查学生的空间想象能力．7．（5分）程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算S=+++…+=的值，∵A=，退出循环的条件为S≥A，当k=24时，=满足条件，故输出k=24，故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．8．（5分）如图，已知抛物线是的焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．2C． D．﹣1考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．解答：解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：A．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．9．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D． ln倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值．分析：由题设中的定义，将音量值代入η=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I0×1070，令60=lg，解得，I2=I0×1060，所以=10故选：C．点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①f（x）的图象关于直线x=﹣对称②f（x）的图象关于点（﹣，0）对称③若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣]④将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象．A．0B．1C． 2 D． 3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可知A，可求T，ω，当x=时取得最大值2，结合|φ|＜，可求φ，从而可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+），由2x+=2kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称轴，可得①不正确；由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心为，可得②不正确；若x∈[﹣，0]，可得：2x+∈[﹣，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，]，由正弦函数的图象可得③正确；由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得④不正确．解答：解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，当x=时取得最大值2，所以2=2sin（2×+φ），|φ|＜，所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+），由2x+=2kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称轴为：x=k，k∈Z，可得①不正确；由2x+=kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称中心为：（，0），k∈Z，可得②不正确；若x∈[﹣，0]，可得：2x+∈[﹣，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，]，由正弦函数的图象可得若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣]，故③正确；将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的解析式为：f（x）=2cos[2（x﹣）]=2cos（2x﹣）=2sin[﹣（2x﹣）]=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），故④不正确．综上，故选：B．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质即可得出．解答：解：∵|+|==，|﹣|==，平方相减可得：=4，解得=1．故答案为：1．点评：本题考查了数量积的性质，属于基础题．12．（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是[2，10]．考点：不等关系与不等式；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：方法一：根据实数x，y满足，可得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，即2≤2y≤2，进而得到2≤4x+2y≤10；+（x﹣y）≤10．解答：解：方法一：∵1≤x+y≤3…①﹣1≤x﹣y≤1，…②由①+②，得到0≤2x≤4 ④④×2 得到0≤4x≤8 ⑤由①﹣②，得到2≤2y≤2⑥最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10故答案为：[2，10]方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x﹣y）则解得即4x+2y=3（x+y）+（x﹣y）∵1≤x+y≤3∴3≤3（x+y）≤9…①又∵﹣1≤x﹣y≤1，…②∴2≤3（x+y）+（x﹣y）≤10故答案为：[2，10]点评：本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握．13．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：取AC的中点D，连接BD，C1D，则∠BC1D是BC1与侧面ACC1A1所成的角，求出BD=，BC1=，即可得出结论．解答：解：取AC的中点D，连接BD，C1D，则BD⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∴∠BC1D是BC1与侧面ACC1A1所成的角，∵底面是边长为1的正三角形，AA1=，∴BD=，BC1=，∴sin∠BC1D=，∴∠BC1D=．故答案为：．点评：本题考查直线与平面所成的角，考查学生的计算能力，正确作出直线与平面所成的角是关键．14．（5分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得θ+∈（，），sin（θ+）=，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ=﹣cos （2θ+）的值、cos2θ=sin2（θ+）的值，从而求得sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin的值．解答：解：∵cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）=，∴sin2θ=﹣cos（2θ+）=1﹣2=，cos2θ=sin2（θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=﹣，sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin=+=，故答案为：．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，若实数a满足f （log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是[，2]．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由偶函数的定义和运用导数判断函数在x＞0上的单调性，可将不等式f（log2a）+f（log a）≤2f（1）化简为f（log2a）≤f（1），即f（|log2a|）≤f（1），即|log2a|≤1，解得即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，∴f′（x）=1﹣sinx≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（log 2a）+f（log a）≤2f（1）即f（log2a）+f（﹣log2a）≤2f（1），∴2f（log2a）≤2f（1）即f（log2a）≤f（1），即f（|log2a|）≤f（1），∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴|log2a|≤1，即﹣1≤log2a≤1，解得≤a≤2．故答案为：[，2]．点评：本题考查函数的性质及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，注意函数的定义域，注意运用导数判断单调性，属于中档题．16．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3=4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n=8π时，n=12．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．解答：解：由题意l1=，l2=，l3=，所以l1+l2+l3=4π；l8=8π，即，解得n=12；点评：本题考查了归纳推理；关键是由具体的前三个弧长发现规律并进行猜测总结．17．（5分）定义min{a，b}=，设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的定义作出函数f（x）的图象，根据函数图象有三个交点，确定三个交点之间的关系即可得到结论．解答：解：由2=|x﹣2|，平方得4x=x2﹣4x+4，即x2﹣8x+4=0，解得x=4+2或x=4﹣2，设x1＜x2＜x3，作出函数f（x）的图象如图：则0＜x1＜4﹣2，x2与x3，关于x=2对称，则x2+x3=4，则x1+x2+x3=x1+4，∵0＜x1＜4﹣2，∴4＜4+x1＜8﹣2，即x1+x2+x3的取值范围为，故答案为：点评：本题主要考查函数与方程的应用，根据定义作出函数的图象，结合函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若C=，b=2，求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形．（Ⅱ）运用正弦定理，求得c，再由余弦定理，可得a，再由三角形的面积公式计算即可得到．解答：解：（Ⅰ）由条件得4sinAsinC=2（2）即4sinAsinC=2cos（A﹣C）=2（cosAcosC+sinAsinC）化简得cos（A+C）=，∵0＜A+C＜π，∴，又A+B+C=π，∴B=；（Ⅱ）由正弦定理得：，则，由，即，∴，．点评：本题考查正弦定理和余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．（1）求d和q的值；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意联立方程组解得即可；（2）分n为奇数、偶数分别求得．解答：解：（1）由题意得a1=1，a2=2，又S3=a4，a3+a5=2+a4，∴，∴即解得d=2，q=3；（2）当n为奇数时，s n=（a1+a3+…+a n）+（a2+a4+…+a n﹣1）=+=[1+1+（﹣1）•2]+=+﹣1；当n为偶数时，s n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（a2+a4+…+a n）=+=[1+1+（﹣1）•2]+=+﹣1．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及前n项和公式等知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想的运用，属难题．20．（13分）已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AB∥平面DEG；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明EG⊥平面BDF；（3）根据多面体的体积公式利用割补法即可求此多面体ABCDEF的体积．解答：证明：（1）∵AD∥EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（2）连结GF，四边形ADFE是矩形，∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG，∵EF∥BG，EF=BG，EF=BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF=F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF；（3）V ABCDEF=V B﹣AEFD+V D﹣BCF，作BH⊥EF于H，∵平面AEFD⊥平面BEFC，∴BH⊥平面AEFD，EG∥CF，∴CF⊥平面BDF，，，，∴．点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，以及空间多面体的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．21．（14分）已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，可得g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为﹣3，利用导数，即可求a的值；（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）分类讨论，确定函数的单调性，可得能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g（1）=a，，∵g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，∴…（3分）令f'（x）=0，得x=ln（﹣a）．…（4分）若ln（﹣a）≤0，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上为增函数，∴f（x）min=f（0）=1；…（5分）若ln（﹣a）≥2，即a≤﹣e2时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上为减函数，∴；…（6分）若0＜ln（﹣a）＜2，即﹣e2＜a＜﹣1时，由于x∈[0，ln（﹣a））时，f'（x）＜0；x∈（ln（﹣a），2]时，f'（x）＞0，∴f（x）min=f（ln（﹣a））=aln（﹣a）﹣a综上可知f（x）min=…（8分）（Ⅲ）g（x）的定义域为（0，+∞），且．∵a＜0时，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．…（9分）令f'（x）=0，得x=ln（﹣a）①若﹣1≤a＜0时，ln（﹣a）≤0，在（ln（﹣a），+∞）上f'（x）＞0，∴f（x）单调递增，由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；…（10分）②若a＜﹣1时，ln（﹣a）＞0，在（﹣∞，ln（﹣a））上f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（ln（﹣a），+∞）上f'（x）＞0，f（x）单调递增．由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴存在区间M⊆（0，ln（﹣a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．综上，当﹣1≤a≤0时，不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；当a＜﹣1时，存在区间M⊆（0，ln（﹣a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．…（13分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于难题．22．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），k OG==﹣，设直线FT的方程为：y=﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT=﹣，∴k OG=k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y ＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．点评：本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键．考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强．青山埋白骨，绿水吊忠魂。

湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．（5分）=（）A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i2．（5分）经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．x﹣2y﹣2=0 C．x﹣2y+1=0 D．x+2y+2=03．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85 C．0.7 D． 0.55．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A．（﹣p）∧q B．（﹣p）∨（﹣q） C．p∧（﹣q）D．p∨（﹣q）6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）则第五个顶点的坐标可能为（）A．（1，1，1）B．（1，1，）C．（1，1，）D．（2，2，）7．（5分）程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D． 26 8．（5分）如图，已知抛物线是的焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．2 C．D．﹣19．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D．l n倍10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①f（x）的图象关于直线x=﹣对称②f（x）的图象关于点（﹣，0）对称③若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣]④将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象．A．0B．1 C．2 D． 3二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=．12．（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是．13．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为．14．（5分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是．16．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3=．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n=8π时，n=．17．（5分）定义min{a，b}=，设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若C=，b=2，求△ABC的面积S．19．（12分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．（1）求d和q的值；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n．20．（13分）已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．21．（14分）已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．22．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．（5分）=（）A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数的周期性即可得出．解答：解：∵===i，i4=1．∴原式=（i4）503•i3=﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，属于基础题．2．（5分）经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．x﹣2y﹣2=0 C．x﹣2y+1=0 D．x+2y+2=0考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：通过圆的一般方程求出圆的圆心坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线的方程即可．解答：解：因为圆x2﹣2x+y2=0的圆心为（1，0），与直线x+2y=0平行的直线的斜率为：﹣．所以经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是：y=﹣（x﹣1），即x+2y﹣1=0．故选 A．点评：本题考查圆的一般方程求解圆的圆心坐标，直线的斜率与直线的点斜式方程的求法，考查计算能力．3．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：B．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85 C．0.7 D． 0.5考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．解答：解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A．（﹣p）∧q B．（﹣p）∨（﹣q） C．p∧（﹣q）D．p∨（﹣q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于命题p，容易发现x=﹣1时，2x＞3x成立，所以命题p是真命题；对于∀x∈，，所以便可得到tanx＞sinx，所以命题q是真命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答：解：x=﹣1时，2x＞3x，∴命题p是真命题；，x；∴0＜cosx＜1，sinx＞0；∴，；即tanx＞sinx，∴命题q是真命题；∴￢p是假命题，（￢p）∧q是假命题，￢q是假命题，（￢p）∨（￢q）是假命题，p∧（￢q）是假命题，p∨（￢q）为真命题．故选D．点评：考查指数函数的值域，指数函数的图象，正弦函数、余弦函数的值域，切化弦公式，以及真假命题的概念，￢p，p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）则第五个顶点的坐标可能为（）A．（1，1，1）B．（1，1，）C．（1，1，）D．（2，2，）考点：简单空间图形的三视图．专题：空间向量及应用．分析：由三视图可知该几何体为正四棱锥，根据四个点的坐标关系确定第5个点的坐标即可．解答：解：由三视图可知该几何体为正四棱锥，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），设A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），则AB=2，BC=2，CD=2，DA=2，∴这四个点为正四棱锥的底面正方形的坐标，设顶点为P（a，b，c），则P点在xoy面的射影为底面正方形的中心O'（1，1，0），即a=1，b=1，由正视图是正三角形，∴四棱锥侧面的斜高为2，则四棱锥的高为，即c=，∴P点的坐标为（1，1，），故第五个顶点的坐标为（1，1，），故选：C．点评：本题主要考查三视图的识别和应用，利用三视图确定该几何体为正四棱锥是解决本题的关键，然后根据坐标关系即可确定第5个顶点的坐标，考查学生的空间想象能力．7．（5分）程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D． 26考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算S=+++…+=的值，∵A=，退出循环的条件为S≥A，当k=24时，=满足条件，故输出k=24，故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．8．（5分）如图，已知抛物线是的焦点F恰好是双曲线﹣=1的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．2 C．D．﹣1考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．解答：解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得 c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：A．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．9．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D．l n倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设中的定义，将音量值代入η=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I0×1070，令60=lg，解得，I2=I0×1060，所以=10故选：C．点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①f（x）的图象关于直线x=﹣对称②f（x）的图象关于点（﹣，0）对称③若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣]④将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象．A．0B．1 C．2 D． 3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可知A，可求T，ω，当x=时取得最大值2，结合|φ|＜，可求φ，从而可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+），由2x+=2kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称轴，可得①不正确；由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心为，可得②不正确；若x∈[﹣，0]，可得：2x+∈[﹣，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，]，由正弦函数的图象可得③正确；由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得④不正确．解答：解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，当x=时取得最大值2，所以 2=2sin（2×+φ），|φ|＜，所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+），由2x+=2kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称轴为：x=k，k∈Z，可得①不正确；由2x+=kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称中心为：（，0），k∈Z，可得②不正确；若x∈[﹣，0]，可得：2x+∈[﹣，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，]，由正弦函数的图象可得若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣]，故③正确；将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位可得到函数f（x）的解析式为：f（x）=2cos[2（x ﹣）]=2cos（2x﹣）=2sin[﹣（2x﹣）]=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），故④不正确．综上，故选：B．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质即可得出．解答：解：∵|+|==，|﹣|==，平方相减可得：=4，解得=1．故答案为：1．点评：本题考查了数量积的性质，属于基础题．12．（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是[2，10]．考点：不等关系与不等式；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：方法一：根据实数x，y满足，可得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，即2≤2y≤2，进而得到2≤4x+2y≤10；方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x﹣y），构造方程组可求出m，n值，进而根据不等式的基本性质可得2≤3（x+y）+（x﹣y）≤10．解答：解：方法一：∵1≤x+y≤3…①﹣1≤x﹣y≤1，…②由①+②，得到0≤2x≤4 ④④×2 得到0≤4x≤8 ⑤由①﹣②，得到2≤2y≤2⑥最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10故答案为：[2，10]方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x﹣y）则解得即4x+2y=3（x+y）+（x﹣y）∵1≤x+y≤3∴3≤3（x+y）≤9…①又∵﹣1≤x﹣y≤1，…②∴2≤3（x+y）+（x﹣y）≤10故答案为：[2，10]点评：本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握．13．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：取AC的中点D，连接BD，C1D，则∠BC1D是BC1与侧面ACC1A1所成的角，求出BD=，BC1=，即可得出结论．解答：解：取AC的中点D，连接BD，C1D，则BD⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∴∠BC1D是BC1与侧面ACC1A1所成的角，∵底面是边长为1的正三角形，AA1=，∴BD=，BC1=，∴sin∠BC1D=，∴∠BC1D=．故答案为：．点评：本题考查直线与平面所成的角，考查学生的计算能力，正确作出直线与平面所成的角是关键．14．（5分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得θ+∈（，），sin（θ+）=，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ=﹣cos（2θ+）的值、cos2θ=sin2（θ+）的值，从而求得sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin的值．解答：解：∵cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）=，∴sin2θ=﹣cos（2θ+）=1﹣2=，cos2θ=sin2（θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=﹣，sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin=+=，故答案为：．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是[，2]．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由偶函数的定义和运用导数判断函数在x＞0上的单调性，可将不等式f（log2a）+f（log a）≤2f（1）化简为f（log2a）≤f（1），即f（|log2a|）≤f（1），即|log2a|≤1，解得即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，∴f′（x）=1﹣sinx≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（log2a）+f（log a）≤2f（1）即f（log2a）+f（﹣log2a）≤2f（1），∴2f（log2a）≤2f（1）即f（log2a）≤f（1），即f（|log2a|）≤f（1），∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴|log2a|≤1，即﹣1≤log2a≤1，解得≤a≤2．故答案为：[，2]．点评：本题考查函数的性质及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，注意函数的定义域，注意运用导数判断单调性，属于中档题．16．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3=4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n=8π时，n=12．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．解答：解：由题意l1=，l2=，l3=，所以l1+l2+l3=4π；l8=8π，即，解得n=12；故答案为：4π；12．点评：本题考查了归纳推理；关键是由具体的前三个弧长发现规律并进行猜测总结．17．（5分）定义min{a，b}=，设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的定义作出函数f（x）的图象，根据函数图象有三个交点，确定三个交点之间的关系即可得到结论．解答：解：由2=|x﹣2|，平方得4x=x2﹣4x+4，即x2﹣8x+4=0，解得x=4+2或x=4﹣2，设x1＜x2＜x3，作出函数f（x）的图象如图：则0＜x1＜4﹣2，x2与x3，关于x=2对称，则x2+x3=4，则x1+x2+x3=x1+4，∵0＜x1＜4﹣2，∴4＜4+x1＜8﹣2，即x1+x2+x3的取值范围为，故答案为：点评：本题主要考查函数与方程的应用，根据定义作出函数的图象，结合函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若C=，b=2，求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）运用二倍角的余弦公式和两角和的余弦公式，结合三角形的内角和定理，即可得到B的大小；（Ⅱ）运用正弦定理，求得c，再由余弦定理，可得a，再由三角形的面积公式计算即可得到．解答：解：（Ⅰ）由条件得4sinAsinC=2（2）即4sinAsinC=2cos（A﹣C）=2（cosAcosC+sinAsinC）化简得 cos（A+C）=，∵0＜A+C＜π，∴，又A+B+C=π，∴B=；（Ⅱ）由正弦定理得：，则，由，即，∴，．点评：本题考查正弦定理和余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．（1）求d和q的值；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意联立方程组解得即可；（2）分n为奇数、偶数分别求得．解答：解：（1）由题意得a1=1，a2=2，又S3=a4，a3+a5=2+a4，∴，∴即解得d=2，q=3；（2）当n为奇数时，s n=（a1+a3+…+a n）+（a2+a4+…+a n﹣1）=+=[1+1+（﹣1）•2]+=+﹣1；当n为偶数时，s n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（a2+a4+…+a n）=+=[1+1+（﹣1）•2]+=+﹣1．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及前n项和公式等知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想的运用，属难题．20．（13分）已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AB∥平面DEG；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明EG⊥平面BDF；（3）根据多面体的体积公式利用割补法即可求此多面体ABCDEF的体积．解答：证明：（1）∵AD∥EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（2）连结GF，四边形ADFE是矩形，∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG，∵EF∥BG，EF=BG，EF=BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF=F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF；（3）V ABCDEF=V B﹣AEFD+V D﹣BCF，作BH⊥EF于H，∵平面AEFD⊥平面BEFC，∴BH⊥平面AEFD，EG∥CF，∴CF⊥平面BDF，，，，∴．点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，以及空间多面体的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．21．（14分）已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，可得g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为﹣3，利用导数，即可求a的值；（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）分类讨论，确定函数的单调性，可得能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g（1）=a，，∵g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，∴…（3分）（Ⅱ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=e x+a．令f'（x）=0，得x=ln（﹣a）．…（4分）若ln（﹣a）≤0，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上为增函数，∴f（x）min=f（0）=1；…（5分）若ln（﹣a）≥2，即a≤﹣e2时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上为减函数，∴；…（6分）若0＜ln（﹣a）＜2，即﹣e2＜a＜﹣1时，由于x∈[0，ln（﹣a））时，f'（x）＜0；x∈（ln（﹣a），2]时，f'（x）＞0，∴f（x）min=f（ln（﹣a））=aln（﹣a）﹣a综上可知f（x）min=…（8分）（Ⅲ）g（x）的定义域为（0，+∞），且．∵a＜0时，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．…（9分）令f'（x）=0，得x=ln（﹣a）①若﹣1≤a＜0时，ln（﹣a）≤0，在（ln（﹣a），+∞）上f'（x）＞0，∴f（x）单调递增，由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；…（10分）②若a＜﹣1时，ln（﹣a）＞0，在（﹣∞，ln（﹣a））上f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（ln（﹣a），+∞）上f'（x）＞0，f（x）单调递增．由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴存在区间M⊆（0，ln（﹣a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．综上，当﹣1≤a≤0时，不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；当a＜﹣1时，存在区间M⊆（0，ln（﹣a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．…（13分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于难题．22．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），k OG==﹣，设直线FT的方程为：y=﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT=﹣，∴k OG=k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．点评：本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键．考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强．。

黄冈中学2015年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（A 卷）时间120分钟，满分120分一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知0201252=--x x ，则代数式211223-+---x )(x )(x 的值是（ ）A ．2013B ．2015C ．2016D ．20172．已知20121982198119801++++=S ，则S 的的整数部分是（ ）A ．59B ．60C ．61D ．633．已知四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=CD ；④BC=AD ；⑤∠A= ∠C ；⑥∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（ ） A ．32B ．43 C ．53 D ．157 4．如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A ．3次 B ．4次 C ．5次 D ．6次 5．如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A ．甲乙丙B ．甲丙乙C ．乙丙甲D ．丙甲乙 6．已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，点F 分别在射线AD ，射线BC 上．若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对 称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ） A ． 1+tan ∠ADB = B ．2BC =5CF C ．∠AEB +22°=∠DEF D ．4cos ∠AGB =二、填空题（每小题5分，共30分）7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交 AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .8．如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点A 1， A 2…A n ﹣1为OA 的n 等分点，点B 1，B 2…B n ﹣1为CB 的n 等分点， 连结A 1B 1，A 2B 2，…A n ﹣1B n ﹣1，分别交曲线y=（x ＞0）于点C 1，C 2，…，C n ﹣1．若C 15B 15=16C 15A 15，则n 的值为 ． （n 为正整数）9．设下列三个一元二次方程：,a x )a (x ，a ax x 0110344222=++-+=+-+03222=+-+a ax x ，其中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 .10.已知圆O 外一点P ，P 到圆心O 的距离是半径的2倍，过点P 作圆O 的切线PA 、PB ，延长AO 交PB 于E ，OP 交圆于点C ，连接AC 交 PB 于D ，圆O 的半径是3，则△PCD 的面积是 . 11.正整数a ，b ，c ，d 满足a>b>c>d ，且⎩⎨⎧=-+-=+++201020102222d c b a d c b a ，那么a 的可能值共有 个.三、解答题（共60分）12.（10分）计算：110099110099132132121121224422442244-+++++-++++-+++ .13.（10分）已知在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于点P ，且2013=⋅PF CP PD AP ，求PFCPPE BP PD AP ++ 的值.14.（10分）在“全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人． （1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．15.（15分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．16.（15分）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.15- 8.17 9. 2321-≤≥a a 或 10. 833 11.50114.解：（1）由题意，得2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人， ∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2012人均阅读量为x 本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得 1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6． 答：2012年全校学生人均阅读量为6本； ②由题意，得2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2014年读书社人均读书量为15（1+a ）2本， 2014年全校学生的读书量为6（1+a ）本， 80×15（1+a ）2=1200×6（1+a ）×25%2（1+a ）2=3（1+a ），∴a 1=﹣1（舍去），a 2=0.5．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，=时，最大为．＜＜＜，设PR交BC于点G，过点PS=S矩形OABC﹣S梯形OPGC=8×（3=设PR交BC于点G，RQ交过点P作PH⊥BC于点H，则（（t2设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4PR=RQ=（AQT=AQ2=（（2=设EM=m，BN=n，则FM=3﹣m，FN=3PQ=QS=PQ=（﹣或﹣t=2。

湖北省黄冈中学2015年九年级第三次模拟考试数学试题分数：120分时间：120分钟第Ⅰ卷选择题一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1、－2的倒数是（）A．2 B．－2C．0 D．2、下列运算正确的是（）A． B．C．x6÷x3＝x2D．（x3）2＝x53、如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A．50° B．55°C．60° D．65°4、下列左图所示的立体图形的主视图是（）5、把二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图像的对称轴与x轴的交点是（）A．（－2.5，0） B．（2.5，0）C．（－1.5，0） D．（1.5，0）6、设a，b是方程x2＋x－2010＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为（）A．2007 B．2008C．2009 D．20107、如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作□ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B1A1为邻边作□A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则C n的坐标是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）8、分解因式：2ab2－8a＝__________．9、函数中自变量的取值范围是__________；10、如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC＝40°，则∠CDB的度数为__________．11、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是AB、AD的中点，若S4，则S五边形EBCDF＝_____________.△AEF＝12、已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为____________．13、圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为____________．14、如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为（－4，0），直线BC经过点B（－4，3），C（0，3），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤l80°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′，分别与直线BC相交于P，Q．在四边形OABC旋转过程中，若，则点P 的坐标为__________．三、解答题（共10小题，满分78分）15、（5分）解不等式组：．并在数轴上表示出不等式组的解集．16、（本小题满分6分）黄州商场新进一种服装，每套服装售价100元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价和比原来提高了2%，这套服装原来裤子和上衣的单价分别是多少？17、（本小题满分7分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，BE＝DF．（1）求证：AE＝AF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．18、（本小题满分7分）如图，直线y1＝2x－1与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于C点，已知点A的坐标为（－1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，则x的取值范围是__________．（3）若P是x轴上一点，且满足△PAC的面积是6，求点P的坐标．19、（本小题满分7分）小明在春节期间去给爷爷、奶奶和外公、外婆拜年，小明从家里去爷爷家有A1、A2、A3三条路线可走，从爷爷家去外公家有B1、B2、B3、B4四条路线可走，如果小明随机选择一条从家里出发先到爷爷家给爷爷、奶奶拜年，然后再从爷爷家去外公家给外公、外婆拜年．（1）画树状图分析小明所有可能选择的路线．（2）若小明恰好选到经过路线B3的概率是多少？20、（本小题满分8分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．21、（本小题满分9分）某小区共有5000个家庭，为了了解辖区居民的住房情况，居民委员会随机调查了本辖区内一定数量的家庭的住房面积，并将调查的资料绘制成直方图和扇形图．（m～n中含右端点，不含左端点）请你根据以上不完整的直方图和扇形图提供的信息，解答下列问题：（1）这次共调查了多少个家庭的住房面积？扇形图中的a、b的值分别是多少？（2）补全频数分布直方图；（3）被调查的家庭中，在未来5年内，计划购买第二套住房的家庭统计如下表：根据这次调查，估计本小区在未来的5年内，共有多少个家庭计划购买第二套住房？22、（本小题满分7分）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．（1）求∠CAE的度数？（2）这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据：）．23、（本小题满分10分）2015年年初，南方草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格为y（万元/吨）且y＝－x＋14，当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的毛利润为w万元；①求w与x之间的函数关系；②若该公司获得了30万元的毛利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？（2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金（注：投入资金＝收购费用＋包装费用＋深加工费用），请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的毛利润，并求出最大的毛利润．24、（本小题满分12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A（－1，0）、B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN．设点P的坐标为（t，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长．（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的边长；若不存在，请说明理由；（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t 的函数关系式．答案与解析：1、D2、B3、C ∵l1∥l2，∴∠2＝∠4，又∵∠1＝∠5，∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠3＝180°－55°－65°＝60°．4、A5、D 解：依题意可得抛物线与x轴交点分别为（4，0），（－1，0），且对称轴与x轴交点为两交点的中点，，∴选D．6、C 解：依题意，a2＋a－2010＝0，a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋（a＋b）＝2010＋（－1）＝2009．7、C 解：依题意，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝60°，AO＝1，，又∵平行四边形ABA1C1中，A1C1＝AB，，在直角三角形A1A=3，A1O=4. 同理依次可推理得A2O＝16＝42，，A3O＝43，，……，∴A n O＝4n，．8、2a（b＋2）（b－2）9、x≥3且x≠6解：依题意，可得x≥3且x2－36≠0，∴x≥3且x≠6．10、20°解：∵CO⊥AB，，∴∠AOC＝2∠CDB，∴∠CDB＝20°．11、28解：连接BD，∵E，F分别是AB，AD的中点，且EF∥BD．∴△ABD∽△AEF，∴S△ABD＝4S△AEF＝16，又∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，∴S△ABD＝S△BCD，∴S五边形EBCDF＝S△ABD＋S△BCD－S△AEF＝28．12、m＞－6且m≠－413、300π解：设底面圆半径为r，圆锥母线长为l，则πr2＝100π，∴r＝10．又，n＝120°，，∴l＝30，∴S扇形＝S圆锥侧面积＝πrl＝300π．14、15、解：由（1）可得：x≥3,由（2）可得：x＞5，所以x＞5．16、解：设裤子单价是x元，上衣原来的单价是y元，依题意得：解得：答：这套服装原来裤子的单价为20元，上衣的单价分别是80元．17、证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF，即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．18、解：（1）∵点 A（－1，m）在直线y＝2x－1上，∴m＝2×（－1）－1＝－3，∴点A的坐标为（－1，－3）．∵点A在函数的图象上，∴ k＝－1×（－3）＝3，∴反比例函数的解析式为．（2）或－1＜x＜0．（3）∵直线y＝2x－1与x轴交于C点，∴当y＝0时，，即C点的坐标为．设点P的坐标为（x，0），则．∵△PAC的面积是6，A（－1，－3），，解得，∴点P的坐标为．19、（1）解：所以小明选择的路线有12种．（2）由（1）知道从小明家到外公家共有12条路线，经过B3的路线有3条．∴小明恰好选到经过路线B3的概率是：．20、（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEM＝90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，∴DC是⊙O的切线．（2）解：连接CD，∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°．∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE．．．则AC＝15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．21、（1）这次共调查了500户家庭，扇形图中a＝20%，b＝24%．（2）根据题意得：500×14.8%＝74，500×24%＝120．补全频数分布直方图如下.（3）所调查的500户家庭中计划未来5年内买房的有：由此可以预测该小区在未来五年计划购买第二套住房的家庭有．22、解：（1）延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E＝23°，∴∠GAE＝67°．又∵∠BAC＝38°，∴∠CAE＝180°－∠BAC－∠GAE＝75°.∴（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝4，，∴DH＝2．，．在Rt△ACH中，∠C＝180°－75°－60°＝45°，．答：这棵大树折断前高约10米．23、解：（1）①当0≤x＜8时，w甲＝x（－x＋14）－x＝－x2＋13x；w乙＝9（20－x）－[12＋3（20－x）]＝108－6x∴w＝w甲＋w乙－3×20＝（－x2＋13x）＋（108－6x）－60＝－x2＋7x＋48；当x≥8时，w甲＝6x－x＝5x；w乙＝9（20－x）－[12＋3（20－x）]＝108－6x∴w＝w甲＋w乙－3×20＝（5x）＋（108－6x）－60＝－x＋48．∴w关于x的函数关系式为：②当0＜x＜8时，－x2＋7x＋48＝30，解得x1＝9，x2＝－2，均不合题意；当x≥8时，－x＋48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的甲类草莓有18吨．（2）设投入资金后，甲类分到收购的草莓为x吨，乙类为y吨，总投入资金为 3（x＋y）＋x＋12＋3y＝100，即2x＋3y＝44.当x＜8时总利润为x＝4时取到最大值48．当x≥8时，总利润为为常数．故方案为收购16吨，甲类分配4吨，乙类分配12吨，总收益为48万元．24、解：（1）C点坐标为（0，5），则c＝5.代入点A（－1，0），B（5，0）到y＝ax2＋bx＋5中，得方程组，解得a＝－1, b＝4抛物线解析式为y＝－x2＋4x＋5．（2）当x＝4时，y＝－42＋4×4＋5＝5，∴D（4，5）.由A（－1，0），D（4，5）得直线AD的解析式为：y＝x＋1，设P（t，0）．∴Q（t，t＋1），G（t，－t2＋4t＋5），∵点Q在线段AD上．，当时，QG最长为．（3）∵直线AD的解析式为：y＝x＋1，且P（t，0）．∴Q（t，t＋1），M（2t＋1，t＋1）当MC＝MO时：，∴边长为．当OC＝OM时：（2t＋1）2＋（t＋1）2＝52，解得∴边长为．当CO＝CM时：（2t＋1）2＋（4－t）2＝52，解得．∴边长为，或．（4）当时，正方形的边长为（t＋1），故其面积为：s＝（t＋1）2；当时：；当2≤t≤4时：；当4≤t≤5时：．。

2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(2)2015.3.20（总分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

四个选项中只有一项是正确的）1、由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）A B C D2、黄冈市地处湖北省东部，大别山南麓，长江北岸，下辖一区七县两市，总人口740万人，人口总数用科学记数法表示为（ ）A 、70.4×105人 B 、7.4×106人 C 、7.4×105人 D 、7.4×104人 3、已知一元二次方程x 2-4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1·x 2=（ ） A 、4B 、3C 、-4D 、-34、下列四个点中，有三个点同在反比例函数y=xk的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ） A 、（5，1） B 、（-3，-35）C 、（35，3）D 、（-1，5）5、如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B到了点B ’，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、3πB 、6πC 、5πD 、4π6、已知函数y=31++-x x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ） A 、41 B 、21 C 、22 D 、23 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线L 是函数y=-3x 的图象，点A 的坐标为（1，0），在直线L 上找一个点N ，使△ONA 是等腰三角形，则符合条件的点N 的个数是（ ） A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋，经过审讯，A 、B 、C 三名警察各自得出结论，A ：主谋只有可能是甲或乙；B ：甲不可能是主谋；C ：乙和丙都不可能是主谋。

已知三名警察中只有一人推测正确，则主谋是（ ） A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁9、团结号列车上午7：45从甲地出发开往乙地，胜利号列车上午8：15从乙地出发开往甲地。