2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三

高三数学第二轮专题复习一数形结合思想一、例题解析［例1］若关于卅J方程F+2d + 3"0的两根都在-1和3之间，求R的取值范亂［分析］^f（x）= x2+2loc +3k,其图象与兀轴交点的横坐标就是方nj\x） = 0 的解，由）=/（兀）的图象可知，要使一根都在-1,3Z间，只需f（一1）>0,/⑶>0，/（丄）=：/（一灯<0同时成立，解得-1<£<0,故展（-1,0）2a［例2］解不等式Q X +2>X［解］法-、常规解'法：原不等式等价于（/山十2$0或（〃）严°°x + 2$0兀+2>0解（/）,得0Wxv2；解（〃），得一2W兀<0综上可知，原不等式的解集为{兀|-2W兀v0或0^x<2} = {x\-2^x<2}法二、数形结合解法：令）［=5/兀+ 2, y2 = x f则不等式V^+2>^J解，就是使必=眉石的图象在力=兀的上方的那段对应的横坐标，如卞图，不等式的解集为{x\x A^x<x R} 而勺可由Vx + 2 = x,解得,x B =2, x A = -2,故不等式的解集为{兀|-2Wxv2}。

［例3］已知0VQV1,则方程d"=|10ga兀|的实根个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）l个或2个或3个［分析］判断方程的根的个数就是判断图象尸亦与=|log“月的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只冇两个交点，故方程冇2个实根，选（B）。

［例4］如果实数心y满足匕-2）2 +），2=3,则丄的最大值为（）X（硝（B）f （C）£（D 朋乙J 乙［分析］等式（X-2）2+.V2=3有明显的几何总义，它表坐标平而上的一个圆,圆心为（2, 0）,半径r = V3,（如图），而丄=口则表示圆上的点（兀，刃与坐x x-0标原点（0, 0）的连线的斜率。

word 高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料一、基础知识整合中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规X严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离。

数形结合思想是一种重要的解题思想，是高考命题中主要考查的一个内容．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数,向量等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y-+-=21422纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

专题七 数形结合思想【考试要求】1．数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”．“以形助数”即是借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集．“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决． 3．在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础． （2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势．“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用．4．数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．切 莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”．可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用． 例1、已知奇函数f （x ）的定义域是{x|x ≠0,x ∈R}，且在（0,+∞）上单调递增，若f （1）=0,满足x ·f （x ）<0的x 的取值范围是 ． 分析：函数f （x ）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x ·f（x ）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f （x ）的图象加以解决． 解析：作出符合条件的一个函数图象（草图即可），可知：x ·f （x ）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）．探究拓展：函数图象是函数对应关系的一种表现方式，它具有直观、形象、简明的特点．通过绘出函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方法，称作“图象法解不等式”． 变式训练1：设奇函数y=f （x ）（x ≠0）,当x ∈（0,+∞）时，f （x ）=x-1，则不等式f （x-1）<0的解集是 ．解析：常规方法是分x-1>0,x-1<0讨论，分别得到不等式，并解之．如果能根据已知条件作出y=f （x ）的图象（奇函数图象关于原点对称），则可直观地得到f （x ）<0的解为x<-1或0<x<1（见图）．从而f （x-1）<0的解为x-1<-1或0<x-1<1,即x<0或1<x<2． 答案 {x|x<0或1<x<2}例2．求函数的值域。

思想3.3 数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．数形结合的重点是研究“以形助数”，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．5．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证． 【热点分类突破】类型一 利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1.设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（ ） A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2分析：首先方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，根据)(x f 的解析式画出)(x f 的图像，可得方程22(21)0t m t m -++=有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0,4)从而可解决问题． 【答案】D建不等式求解.【规律总结】用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．利用数形结合求方程解（或函数的零点）应注意两点：（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．（2）正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．【举一反三】【2018安徽阜阳一中二模】若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（）A. 对 B. 对 C. 对 D. 对【答案】B类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2.【2018安徽阜阳一中二模】已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴当或时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，可作出大致函数图象如图所示：令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解，∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根，∴关于的方程在和上各有一解，∴，解得，故答案为。

高三数学第二学期专题复习（数形结合思想）一．集合中的应用1．已知集合A = { x| 0 ≤ x ≤ 3 } , B = { x| x 2 – x – a( a – 1 ) ≤ 0 }，若A ⊆ B ，求实数a 的取值范围。

2．已知全集U = R ，集合A = { x| |1 –31x -| > 2 , x ∈ R } , B = x| x 2 – 2x + 1 – m 2 > 0 , m < 0 }，若“x ∈ A ”是“x ∈ B ”的充分非必要条件，求实数a 的取值范围。

3．设A = { x| –2 ≤ x ≤ a } , B = { y| y = 2x + 3 , x ∈ A } , C = { z| z = x 2 , x ∈ A }，若C ⊆ B ，求实数a 的取值范围。

二．不等式中的应用4．解不等式：312x x >。

5．若函数3x log )x (f 21+=的反函数为f –1(x)，解不等式：f –1(x) < x – 2。

6．已知f(x)是定义在( –∞ , 0 )∪( 0 , +∞ )上的偶函数，且在( –∞ , 0 )上单调递增，若f(–3) =0，求不等式0)x (f x <的解集。

7．若不等式x 2 – log a x ≤ 0在]21,0(x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。

8．若关于x 的不等式0)b ax lg()x 1lg(212>+--的解集为)21,32(-，求实数a,b 的值。

9． 设函数ax 1x )x (f 2-+=，其中a > 0。

(1) 解不等式f(x) ≤ 1；(2) 证明：当a ≥ 1时，函数f(x)在),0[+∞是单调函数。

10．对于满足不等式0 ≤ p ≤ 4的实数p ，不等式x 2 + px > 4x + p – 3恒成立，求x 的范围。

11．函数f(x) = ( a – 2 )x 2 + 2( a – 2 )x – 4 ( a ∈ R )。

2012届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题（带答案）2012年高考数学二轮复习同步练习：专题9 数学思想方法第2讲数形结合思想一、选择题 1．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32 D.3 [答案] D [解析] 设k＝yx，即y＝kx，如图所示， kOB＝tan∠O′OB＝322－＝3， kOA＝－tan∠O′OA＝－31＝－3，且kOA≤k≤kOB，∴kmax＝3. 2．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是( ) A．(－π4，π4) B．(π4，3π4) C．(π，3π2) D．(3π2，2π) [答案] C [解析] y＝|sinx|的图象如图所示，观察可得(π，3π2)符合题意． 3．已知不等式1－x2<x＋1，其解集为( ) A．{x|x>1} B．{x|x>－1} C．{x|0<x≤1) D．{x|－1<x≤1} [答案] C [解析] y＝1－x2表示r＝1的上半圆，y＝x＋1表示斜率、截距均为1的直线．故选C. 4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( ) A.7 B.10 C.13 D．4 [答案] C [解析] 构造如图所示的平行四边形，设OA→＝a，OB→＝3b，∠AOB＝60°，则a＋3b＝OC→，显然∠OBC＝120°，由余弦定理得：|OC→|2＝|a|2＋|3b|2－2|a||3b|cos120° ＝12＋32－2×1×3×(－12)＝13. 则|a＋3b|＝13. 5．(2011•天津理，8)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b>1，设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( ) A．(－∞，2]∪(－1，32) B．(－∞，－2]∪(－1，－34) C．(－1，14)∪(14，＋∞) D．(－1，－34)∪[14，＋∞) [答案] B [解析] 由已知得f(x)＝x2－－，x－－1或，如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，则－1<c<－34或c≤－2，应选B. [点评] 本小题考查分段函数及函数图象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用，难度较大． 6．设函数f(x)＝2－x －1 x≤0x12 x>0若f(x0)>1，则x0的取值范围为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] D [解析] 作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)，由f(x0)>1得x0<－1或x0>1. 7．点M是椭圆x225＋y216＝1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N 为MF1的中点，O表示原点，则|ON|＝( ) A.32 B．2 C．4 D．8 [答案] C [解析] 设椭圆另一焦点为F2，如图．则|MF1|＋|MF2|＝2a，而a＝5，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝12×8＝4. 8．(2011•北京丰台模拟)已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为( ) A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4) C．f(－a2)≥f(4) D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定 [答案] A [解析] ∵f(x)＝12x3－x2－72x，∴f′(x)＝32x2－2x－72. 由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝73. 当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数；当x>73时，f(x)为增函数，计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a2≤0，由图象可知f(－a2)≤f(4)．二、填空题 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值． [答案] 26 [解析] 由点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，得an＋1－an3＝an＋2－an＋13，即2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，又S15＝S37，a1>0，由二次函数图象性质可知，S26最大． 10．已知|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝7，则向量a与b的夹角为________． [答案] 60°[解析] 由向量减法运算的几何意义知，若OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b(如图)，在三角形OAB中，设向量a与b的夹角为θ，由余弦定理得cosθ＝22＋32－＝12，所以θ＝60°，即向量a与b的夹角为60°. 11．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k ＝________. [答案] 22 [解析] 由图形可知点A(1，2)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为M(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥MA，所以kl＝－1kMA＝－1－2＝22. 12．已知实数x，y满足条件x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3，复数z＝x＋yi(i为虚数单位)，则|z－1＋2i|的最大值和最小值分别是________． [答案] 226，22 [解析] 由于|z－1＋2i|＝|(x＋yi)－1＋2i|＝－＋＋，所以它表示点P(x，y)与M(1，－2)之间的距离．画出可行域(如图)，求得A(3,8)，可知|MA|＝226是最大值，M到直线x＋y＝0的距离22为最小值．三、解答题 13．若在区间(0,1)内任取两个数，求事件A：两数之和小于65的概率． [解析] 设x，y表示在(0,1)内随机地取得的两个数．则0≤x，y≤1，把(x，y)看作平面xOy内的点的坐标，则所有基本事件可用图中的正方形区域表示，其面积为1，而事件A：“两数之和小于65”，则用图中的阴影部分来表示，其面积为1725.故所求事件的概率为P＝17251＝1725. 14．(文)已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(－1,1)，Q(2,2)．若直线l：x＋my＋m＝0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围． [解析] 直线l的方程x＋my＋m＝0可化为点斜式：y＋1＝－1m(x－0)，易知直线l过定点M(0，－1)，且斜率为－1m. ∵l与PQ的延长线相交，由数形结合，可得当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大．又kPQ＝2－12－－＝13，kMQ＝2－－－0＝32，设l的斜率为k1，由kPQ<kl<KMQ，得13<－1m<32，∴－3<m<－23. (理)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ(0<θ<π2)． (1)求证：平面VAB⊥平面VCD； (2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围． [解析] (1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)， B(0，a,0)，D(a2，a2，0)， V(0,0，22atanθ) 于是VD→＝(a2，a2，－22atanθ)，CD→＝(a2，a2，0)，AB→＝(－a，a,0)．从而AB→•CD→＝(－a，a,0)•(a2，a2，0) ＝－12a2＋12a2＋0＝0，即AB⊥CD. 同理AB→•VD→＝(－a，a,0)•(a2，a2，－22atanθ) ＝－12a2＋12a2＋0＝0，即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，∴AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB. ∴平面VAB⊥平面VCD. (2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB 的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n•AB→＝0n•VD→＝0，得－ax ＋ay＝0a2x＋a2y－22aztanθ＝0. 可取n＝(1,1，2cotθ)．又BC→＝(0，－a,0)，于是sinφ＝|n•BC→|n|•|BC→||＝aa•2＋2cot2θ＝22sinθ. ∵0<θ<π2，∴0<sinθ<1，∴0<sinφ<22. 又0≤φ≤π2，∴0<φ<π4，即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为(0，π4)． 15．(2011•抚顺质检)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(x∈R)，已知F(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数且F(1)＝t(t<1)． (1)求b，c，d的值； (2)求F(x)的单调区间与极值； (3)当t＝－26时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，求m的取值范围． [解析] (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，从而F(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b －3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)是一个奇函数，所以F(－x)＝－x3＋(b －3)x2－(c－2b)x＋(d－c) ＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x－(d－c) ＝－F(x)．由F(0)＝0得d－c＝0，故d＝c，由b－3＝0，得b＝3. 由F(1)＝t可得 1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝t，即d＝5＋t，所以d＝c＝5＋t. (2)由(1)知F(x)＝x3＋(t－1)x，从而F′(x)＝3x2＋(t－1)．令3x2＋(t－1)＝0，得x＝±331－t，由F′(x)＝3x2＋(t－1)>0，得x>331－t或x<－331－t. 由F′(x)＝3x2＋(t －1)<0，得－331－t<x<331－t. 故－∞，－331－t和331－t，＋∞是函数F(x)的单调递增区间；－331－t，331－t是函数F(x)的单调递减区间．所以F(x)在x＝－331－t时，取得极大值，极大值为－； F(x)在x＝331－t时，取得极小值，极小值为－－当t＝－26时，F(x)＝x3－27x，由F(x)＝m，得x3－27x＝m. 因为F′(x)＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)，令F′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝3. 由(2)得F(x)＝x3－27x在x＝－3时，取得极大值，极大值为54； F(x)在x＝3时，取得极小值，极小值为－54. 作出函数F(x)和y＝m的图象如图所示．从图象中可以看出当－54<m<54时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，故实数m的取值范围是(－54,54)．。

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习思想专题之数形结合思想③教学目标认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理1、数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

2、数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】典例精讲例1. （★★★） 已知函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时()f x 的图像如下图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是（ ）.(3,)(0,1)(,3)22A ππ--.(,1)(0,1)(,3)22B ππ-- .(3,1)(0,1)(1,3)C --.(3,)(0,1)(1,3)2D π--分析：函数()f x 定义在(3,3)-上，并且是奇函数，根据奇函数图像性质可知()f x 在(3,0)-上的图像如图所示，若使()cos 0f x x ⋅<，只需()f x 与cos x 异号，即图像应分别分布在x 轴上下两侧，由图可知，有三个部分符合条件，即(,1)(0,1)(,3)22ππ--【这个问题充分考察了函数的性质与数形结合思想的完美结合，注意作图的正确性】例2. （★★★★）已知函数()f x 满足下面关系：(1)(1)(1);(2)f x f x +=-当[ 1.1]x ∈-时，2(),f x x =则方程()lg f x x =解的个数为（ ）.5A 个 .7B 个 .9C 个 .10D 个分析：判断方程的根的个数就是判断函数图像()y f x =与lg y x =的交点个数，画出两个函数的图像，由题意知()y f x =是以2为周期，值域为[0,1]的函数，又()lg f x x =，则(0,10]x ∈易知两图像有九个交点，故方程有九个实数根【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3. （★★★★）当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为（ ）.2A .23B .4C .3D分析：21cos 28sin 53cos 2()sin 2sin 2x x xy f x x x++-===，则y 为点(0,5)A 与点(sin 2,3cos3)B x x -两点连线的斜率，又点(sin 2,3cos3)B x x -的轨迹方程为sin 2(0)3cos 22x y απαα=-⎧<<⎨=⎩,即221(0)9y x x +=<，如图，当过点(0,5)A 的直线:5l y kx =+与椭圆221(0)9y x x +=<相切时，k 有最小值4【此题是一个典型的数形结合思想在解析几何问题中的应用，如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常用的有：(1)(,),(,)b na b m n a m-↔-两点连线的斜率； 22(2)()()(,),(,)a m b n a b m n -+-↔两点之间的距离；222(3),,a b c a b c +=↔为直角三角形的三边对于这类问题一定要帮助学生回顾这些公式，并掌握如何使用】例4. （★★★★）设方程112+=-k x ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析：我们可把这个问题转化为确定函数211y x =-与21y k =+图像交点个数的情况，因函数21y k =+表示平行于x 轴的所有直线，从图像可以直观看出 ：①当1k <-时， 1y 与2y 没有交点，这时原方程无解;－1－10 X11②当1k =-时， 1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解;③当10k -<<时， 1y 与2y 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当0k =时， 1y 与2y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个； ⑤当0k >时1y 与2y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个．【根的个数和参数的范围问题一直是考试喜欢考的问题之一，在讲解这题过程中要让学生体会到因为参数范围不同而产生的变化的过程】例5. （★★★）方程223,log 3xx x x +=+=的实根分别为12,x x ，则12x x +=分析：本题直接求解不好求，观察题目，联想原函数和反函数的图像性质进行数形结合，令12232,log ,3x y y x y x===-12,y y 互为反函数，其图像关于y x =对称，设1122(,3),(,3)A x x B x x --123x x ∴=-即123x x +=【本题利用了原函数与反函数的图像和性质，在讲解过程中要帮助学生复习与之相关的一些性质】 例6. （★★★★）设12125,2,13z z z z ==-=，求12z z 的值。