数学专题 新题原创强化训练

微专题强化练(二) 与圆有关的最值问题一、选择题1．(2022·安徽省池州一中期中)若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为( )A．B．C．D．2．(2022·重庆市巴蜀中学月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )A．0 B．2 C．2D．43．(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l 被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为( )A．±2 B．±C．±D．±34．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A．5 B．10 C．15 D．205．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5，4)且半径为1的动圆，点B 是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．7．在平面直角坐标系xOy中，圆Ω经过点(0，0)，(2，4)，(3，3)，则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为________；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，则的最大值为________．三、解答题9．已知P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．微专题强化练(二)1．D2．C3．C4．A5．B6．＋2 7．28．－19．解：如图所示，设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)．线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，则点R的坐标为(－y，x)，则|QR|＝＝．∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2上的点，∴的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离．连接PM，当|PM|最小时，|QR|也最小；当|PM|最大时，|QR|也最大．连接MC，则|PM|min＝||MC|－r|＝|－r|＝|2－r|，|PM|max＝|MC|＋r＝2＋r．∴|QR|min＝|2－r|，|QR|max＝(2＋r)．。

强化训练25 函数与导数——大题备考第二次作业1．[2022·江苏苏州模拟]已知函数f(x)＝x ln x＋1，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x>1时，函数f(x)>kx恒成立，求实数k的取值范围．2．[2022·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝e x－ax2－x－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程；(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．3．[2022·山东日照三模]已知函数f(x)＝(x－2)e x－ax＋a ln x(a∈R).(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a<e时，讨论f(x)的零点个数．4．[2022·辽宁协作体二模]已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2－x (m ∈R ).(1)若直线y ＝x ＋b 与f (x )的图象相切，且切点的横坐标为1，求实数m 和b 的值； (2)若函数f (x )在(0，＋∞)上存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：ln x 1＋ln x 2>2.强化训练25 函数与导数1．解析：（1）∵f （x ）＝x ln x ＋1，x >0， ∴f ′（x ）＝ln x ＋1，当x ∈（0，1e ）时，f ′（x ）<0；当x ∈（1e ，＋∞）时，f ′（x ）>0.所以函数f （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，＋∞）上单调递增．（2）由于x >1，f （x ）>kx 恒成立，即k <ln x ＋1x恒成立，构造函数k （x ）＝ln x ＋1x，x >1，则求导可得k ′（x ）＝1x －1x 2＝x －1x2，当x >1时，k ′（x ）>0恒成立．所以k （x ）在（1，＋∞）上单调递增，则k （x ）>k （1）＝1， 所以k ≤1.2．解析：（1）因为f （x ）＝e x －x 2－x －1，当x ＝1时，切点为（1，e －3）， 求导f ′（x ）＝e x－2x －1，故切线斜率k ＝f ′（1）＝e －3， 所以所求切线方程为y ＝（e －3）x .（2）f （x ）≥0等价于e x≥ax 2＋x ＋1恒成立， 当a >0时，上式不恒成立，证明如下：当x <0时，e x <1，当x <－1a时，ax 2＋x ＋1＝x （ax ＋1）＋1>1，从而e x ≥ax 2＋x ＋1不恒成立，当a ≤0时，ax 2＋x ＋1≤x ＋1，下面先证明e x≥x ＋1， 令h （x ）＝e x －x －1，则h ′（x ）＝e x－1，当x <0时，h ′（x ）<0，h （x ）单调递减；当x >0时，h ′（x ）>0，h （x ）单调递增， 所以h （x ）min ＝h （0）＝0，即h （x ）≥0，所以e x≥x ＋1，而ax 2＋x ＋1≤x ＋1，故e x ≥ax 2＋x ＋1， 综上，若f （x ）≥0，则实数a 的取值范围为（－∞，0]. 3．解析：（1）当a ＝－1时，f （x ）＝（x －2）e x＋x －ln x ，则f ′（x ）＝（x －1）（e x ＋1x ），当x ∈（0，＋∞）时，e x ＋1x>0恒成立，所以当x ∈（0，1）时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，＋∞）时f ′（x ）>0，f （x ）单调递增，即f （x ）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，＋∞）.（2）由题意，函数f （x ）＝（x －2）e x－ax ＋a ln x ＝（x －2）e x－a （x －ln x ），x >0， 设m （x ）＝x －ln x ，x >0，则m ′（x ）＝1－1x ＝x －1x，当x ∈（0，1）时，m ′（x ）<0，m （x ）单调递减； 当x ∈（1，＋∞）时，m ′（x ）>0，m （x ）单调递增， 又由m （1）＝1，所以m （x ）≥1，令f （x ）＝0，可得（x －2）e x－ax ＋a ln x ＝0，所以a ＝（x －2）e xx －ln x，其中（x >0），令g （x ）＝（x －2）e x x －ln x ，可得g ′（x ）＝e x（x －1）（x －ln x ）2（x －ln x ＋2x－1），令h （x ）＝x －ln x ＋2x －1，则h ′（x ）＝1－1x －2x 2＝x 2－x －2x 2＝（x －2）（x ＋1）x2（x >0）， 可得0<x <2时，h ′（x ）<0，h （x ）单调递减；x >2时，h ′（x ）>0，h （x ）单调递增； 所以h （x ）min ＝h （2）＝2－ln 2>0，即x >0时，h （x ）>0恒成立；故0<x <1时，g ′（x ）<0，g （x ）单调递减；x >1时，g ′（x ）>0，g （x ）单调递增； 所以g （x ）min ＝g （1）＝－e ，又由x →0时，g （x ）→0，当x →＋∞时，g （x ）→＋∞， 函数g （x ）的图象，如图所示，结合图象可得：当a <－e 时，无零点；当a ＝－e 或0≤a <e 时，一个零点；当－e<a <0时，两个零点． 4．解析：（1）由题意，切点坐标为（1，－12m －1），f ′（x ）＝ln x －mx ，所以切线斜率为f ′（1）＝－m ＝1，所以m ＝－1，切线为y ＋12m ＋1＝1·（x －1），整理得y ＝x －32，所以b ＝－32.（2）证明：由（1）知f ′（x ）＝ln x －mx .由函数f （x ）在（0，＋∞）上存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，知⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－mx 1＝0ln x 2－mx 2＝0，则m ＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2且m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，联立得ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，即ln x 1＋ln x 2＝x 1＋x 2x 1－x 2·ln x 1x 2＝（x 1x 2＋1）·lnx 1x 2x 1x 2－1，设t ＝x 1x 2∈（0，1），则ln x 1＋ln x 2＝（t ＋1）·ln t t －1，要证ln x 1＋ln x 2>2，只需证（t ＋1）·ln t t －1>2，只需证ln t <2（t －1）t ＋1，只需证ln t －2（t －1）t ＋1<0.构造函数g （t ）＝ln t －2（t －1）t ＋1，则g ′（t ）＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2>0. 故g （t ）＝ln t －2（t －1）t ＋1，在t ∈（0，1）上递增，g （t ）<g （1）＝0，即g （t ）＝ln t －2（t －1）t ＋1<0，所以ln x 1＋ln x 2>2.。

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析专题强化训练（三)指数运算与指数函数(建议用时:40分钟)一、选择题1．若a〈错误!，则化简错误!的结果是（）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!C［∵a〈错误!，∴2a－1<0，于是，原式＝错误!＝错误!。

］2．若函数f(x)＝错误!·a x是指数函数,则f错误!的值为（) A．2B．－2 C．－2错误!D．2错误!D[∵函数f(x)是指数函数，∴错误!a－3＝1，∴a＝8.∴f（x）＝8x，f错误!＝8错误!＝错误!＝2错误!.]3．函数y＝a x＋1（a＞0且a≠1)的图象必经过点(）A．（0，1) B．（1,0）C．(2，1) D．（0,2）D[因为a0＝1,所以,当x＝0时，y＝1＋1＝2。

]4．已知函数f（x）＝3x－错误!错误!，则f（x)（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数,且在R上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数A [∵函数f (x ）的定义域为R ,f （－x )＝3－x －错误!错误!＝错误!错误!－3x ＝－f (x ），∴函数f （x )是奇函数．∵函数y ＝错误!错误!在R 上是减函数，∴函数y ＝－错误!错误!在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x ）＝3x －错误!错误!在R 上是增函数．故选A 。

]5．函数f （x )＝(错误!)错误!的单调递减区间为( )A ．（－∞，＋∞)B ．［－3,3]C ．（－∞，3］D ．［3，＋∞)D ［令u ＝x 2－6x ＋5＝错误!错误!－4，则u 的单调递增区间为错误!，又y ＝错误!错误!是减函数，所以函数f （x ）＝（错误!）错误!的单调递减区间为［3，＋∞）]二、填空题6．方程3x －1＝19的解为________．－1 ［∵3x －1＝错误!＝3－2,∴x －1＝－2，∴x ＝－1.］7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为_____________．y ＝13×（1＋1%）x ，x ∈N * ［经过1年后人口数为13×(1＋1％)＝13（1＋1%）；经过2年后人口数为13×（1＋1%)2;…经过x年后人口数为13×（1＋1%）x。

强化训练3 排列、组合、二项式定理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东泰安模拟](x －1x)22展开式中的常数项为( )A ．C 1122 B ．－C 1122 C ．C 1222D ．－C 12222．3名男生2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有( )A ．72种B ．64种C ．48种D ．36种3．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )A ．15种B ．90种C ．540种D ．720种4．[2022·湖南益阳一模]为迎接新年到来，某中学2022年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )A ．36B ．45C ．72D ．905．[2022·山东德州二模]已知a >0，二项式(x ＋ax2)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )A ．36B ．30C ．15D ．106．[2022·山东淄博一模]若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝( )A ．－448B ．－112C ．112D ．4487．[2022·河北沧州二模](x －2x－1)5的展开式中的常数项为( )A ．－81B ．－80C ．80D ．1618．[2022·湖北十堰三模]甲、乙、丙、丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑、3 000米长跑、跳高、跳远、铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )A．224种B．288种C．314种D．248种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·河北唐山二模]已知(x－2x2)n的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则( )A．n＝9B．n＝11C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是－110．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12 C13C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C12 C12C13D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12 C12＋111．[2022·广东·华南师大附中三模]已知(a＋2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )A．7 B．8C．9 D．1012．[2022·湖北荆州三模]已知二项式(2x－1x)n的展开式中共有8项，则下列说法正确的有( )A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1C．第4项和第5项的二项式系数最大D ．有理项共3项三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东烟台三模]若(1－ax )8展开式中第6项的系数为1792，则实数a 的值为________．14．[2022·辽宁辽阳二模]某话剧社计划在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有________种．15．[2022·浙江卷]已知多项式(x ＋2)(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 2＝______，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝______．16．[2022·河北保定一模]2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有________种．强化训练3 排列、组合、二项式定理1．解析：（x －1x）22展开式中的常数项为C 1122 （－1）11＝－C 1122 .答案：B2．解析：将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有A 22 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有A 13 种站法，剩下3个位置，站3名男生有A 33 种站法，故不同的站法共有A 22 A 13 A 33 ＝36种． 答案：D3．解析：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C 26 ＝15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 24 ＝6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 22 ＝1种方法．由分步乘法原理得共有15×6×1＝90种方法．答案：B4．解析：采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法； 第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法． 答案：D5．解析：令x ＝1，则可得所有项的系数和为（1＋a ）6＝64且a >0，解得a ＝1， ∵（x ＋1x 2）6的展开式中的通项T k ＋1＝C k 6 x 6－k（1x2）k ＝C k 6 x 6－3k ，k ＝0，1， (6)∴当k ＝2时，展开式中的常数项为C 26 ＝15. 答案：C6．解析：（1－x ）8＝（x －1）8＝[（1＋x ）－2]8＝a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋…＋a 8（1＋x ）8，a 6＝C 28 ·（－2）2＝112.答案：C7．解析：（x －2x －1）5＝（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x－1），所以展开式中的常数项为（－1）5＋C 15 C 14 ×（－2）×（－1）3＋C 25 C 23 ×（－2）2×（－1）＝－81.答案：A8．解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有C 24 A 34 ＝144种；②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有C 14 C 23 A 24 ＝144种．故他们报名的情况总共有144＋144＝288种． 答案：B9．解析：由C 2n ＝C 7n ，可得n ＝9，则选项A 判断正确；选项B 判断错误； （x －2x2）n 的展开式的通项公式为C k 9 x 9－k （－2）k x －2k ＝（－2）k C k 9 x 9－3k，令9－3k ＝0，则k ＝3，则展开式的常数项是（－2）3C 39 ＝－672.选项C 判断错误； 展开式中所有项的系数和是（1－212）9＝－1.判断正确．答案：AD10．解析：若任意选科，选法总数为C 12 C 24 ，A 错误； 若化学必选，选法总数为C 12 C 13 ，B 正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C 12 （C 12 C 12 ＋1），C 错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C 12 C 12 ＋1，D 正确． 答案：BD11．解析：当（a ＋2b ）n的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，n ＝7； 当（a ＋2b ）n的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，n ＝9； 当（a ＋2b ）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，n ＝8. 答案：ABC12．解析：由题设n ＝7，则T k ＋1＝C k 7 （2x ）7－k（－1x）k ＝（－1）k 27－k C k7 x7－3k2，A ．所有项的二项式系数和为27＝128，正确； B ．当x ＝1，所有项的系数和为（2－1）7＝1，正确；C ．对于二项式系数C k 7 ，显然第四、五项对应二项式系数C 37 ＝C 47 最大，正确； D ．有理项为7－3k2∈Z ，即k ＝0，2，4，6共四项，错误．答案：ABC13．解析：因为T 6＝T 5＋1＝C 58 （－ax ）5＝C 58 （－a ）5x 5＝C 38 （－a ）5x 5， 所以有：C 38 （－a ）5＝－56a 5＝1 792， 所以a 5＝－32, 解得a ＝－2. 答案：－214．解析：依题意，可得导演的不同选择的种数为C 38 ·C 15 ＝280. 答案：28015．解析：因为（x ＋2）（x －1）4展开式中x 2的系数为a 2，所以a 2＝C 34 （－1）3＋2C 24 （－1）2＝8.在多项式（x ＋2）（x －1）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5中，令x ＝0，得a 0＝2；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－a 0＝－2.答案：8 －216．解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法共有C 210 C 48 C 44 A 22 A 33 ＋C 410 C 36 C 33 A 22 A 33 ＝22 050. 答案：22 050。

专题强化训练(一)一、单项选择题1.(2022·山东济南二模)函数f(x)=√16-x 2x的定义域是( A )A.[-4,0)∪(0,4]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.[-4,0)∪[4,+∞)解析:由{16-x 2≥0,x ≠0,得-4≤x ≤4,且x ≠0,所以函数y=√16-x 2x 的定义域是[-4,0)∪(0,4].故选A.2.(2022·四川绵阳三模)已知函数f(x)=x x -1,则( D )A.f(x)为奇函数B.f(f(2))=1C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的图象关于点(1,1)对称解析:由解析式知函数f(x)的定义域为{x|x ≠1},显然不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,A 错误;f(2)=2,则f(f(2))=f(2)=2,B 错误; 由f(x)=1+1x -1,可知f(x)在(1,+∞)上单调递减且图象关于点(1,1)对称,故C 错误,D 正确.故选D.3.(2022·陕西西安二模)设f(x)={2x+1-1,x ≤3,log 2(x 2-1),x >3,若f(x)=3,则x的值为( B )A.3B.1C.-3D.1或3解析:当x ≤3时,令2x+1-1=3,解得x=1,当x>3时,令log 2(x 2-1)=3,解得x=±3,这与x>3矛盾,所以x=1.故选B. 4.(2022·河北石家庄一模)函数f(x)=x 32x +2-x的部分图象大致是( A )解析:函数f(x)=x 32x +2-x的定义域为R,f(-x)=-f(x),故为奇函数,图象关于原点对称,据此排除B,D 选项;易知当x →+∞时,f(x)=x 32x +2-x>0,2x →+∞,2-x →0,x 3→+∞,因为指数函数y=2x 比幂函数y=x 3增长的速率要快,故f(x)→0,即f(x)在x →+∞时,图象往x 轴无限靠近且在x 轴上方,故A 选项符合.故选A.5.(2022·北京丰台区二模)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.若f(lg x)>f(1),则x 的取值范围是( C ) A.(110,1) B.(0,110)∪(1,+∞)C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)解析:因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,则f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1,即-1<lg x<1,即lg 110<lg x<lg 10,解得110<x<10,即原不等式的解集为(110,10).故选C.6.(2022·天津河东区一模)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,则( B ) A.f(log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(2-32)>f(2-23)>f(log 314)C.f(log 314)>f(2-23)>f(2-32)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log 314)解析:因为f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又log 34>1,0<2-32<2-23<1,所以f(2-32)>f(2-23)>f(log 34),即f(2-32)>f(2-23)>f(log 314).故选B.7.(2022·江苏苏州二模)已知f(x)是定义域为R 的偶函数, f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( D ) A.-3 B.-2 C.2 D.3解析:g(x+1)为偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=- [-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.故选D.8.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f (x )= {-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0,若f(2-a 2)>f(-|a|),则实数a 的取值范围是( A ) A.(-2,-√10-23)∪(√10-23,2) B.(-2,-1)∪(1,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-1,0)∪(0,1)解析:作出函数f(x)={-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0的图象如图,因为-|a|≤0,若2-a 2<0,由f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2-a 2)>f(-|a|),则2-a 2>-|a|,解得√2<|a|<2; 若2-a 2≥0,则-12(2-a 2)>-2|a|-a 2,解得√10-23<|a|≤√2. 综上,√10-23<|a|<2,解得-2<a<-√10-23或√10-23<a<2.所以实数a 的取值范围是(-2,-√10-23)∪(√10-23,2).故选A.二、多项选择题9.(2022·山东济南一中模拟预测)设函数f(x)={log 2(x -1),x >2,2x -3,x ≤2,则以下结论正确的为( BC ) A.f(x)为R 上的增函数B.f(x)有唯一的零点x 0,且1<x 0<2C.若f(m)=5,则m=33D.f(x)的值域为R解析:作出f(x)的图象如图所示.对于A,取特殊值:f(2)=1,f(3)=1,故A 错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一的零点x 0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,故B 正确;对于C,当x ≤2时,2x -3≤1,故log 2(m-1)=5,解得m=33,故C 正确; 对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1]=(-3,+∞),故D 错误.故选BC. 10.(2022·重庆模拟预测)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x -y 1-xy),且当x ∈(-1,0)时,f(x)<0,则有( ABC )A.f(x)为奇函数B.存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12)C.f(x)为增函数D.f(12)+f(13)>f(56)解析:令x=0,y=0,得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0;令x=0,y=x,得f(0)-f(x)=f(-x),故-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数,A 正确;任取-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2),因为x 1-x 21-x 1x 2+1=x 1-x 2+1-x 1x 21-x 1x 2=(1+x 1)(1-x 2)1-x 1x 2>0,故-1<x 1-x 21-x 1x 2<0,f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)<0,f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数,C 正确; f(12)+f(13)=f(12)-f(-13)=f(12+131+12×13)=f(57)<f(56),D 错误;若f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(a+b1+ab )=f(12),则a+b1+ab=12,则2a+2b=1+ab,a=1-2b2-b =2+3b-2,当b∈(-1,1)时,a∈(-1,1),所以存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12),B正确.故选ABC.11.若函数f(x)满足:对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f(x1+x22),则称函数f(x)具有H性质.则下列函数中具有H性质的是( ACD )A.f(x)=(12)xB.f(x)=ln xC.f(x)=x2(x≥0)D.f(x)=tan x(0≤x<π2)解析:若对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f (x1+x22),则点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的中点在点(x1+x22,f(x1+x22))的上方,如图(其中a=f(x1+x22),b=f(x1)+f(x2)2).根据函数f(x)=(12)x,f(x)=ln x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)的图象可知,函数f(x)=(12)x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)具有H性质,函数f(x)=ln x不具有H性质.故选ACD.12.(2022·福建福州模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x ∈(-1,1)时,f(x)=-x 2+1,则下列结论正确的是( ABD ) A.f(72)=-34B.f(x+7)为奇函数C.f(x)在(6,8)上单调递减D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解解析:因为f(x+1)为偶函数,故f(x+1)=f(-x+1),令x=52得f(72)=f(-52+1)=f(-32),因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)=-f(-x-1),令x=-12得f(-32)=-f(12-1)=-f(-12),其中f(-12)=-14+1=34,所以f(72)=f(-32)=-f(-12)=-34,A 正确;因为f(x-1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的周期为4×2=8,故f(x+7)=f(x-1),所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)= -f(x-1+8)=-f(x+7),从而f(x+7)为奇函数,B 正确;f(x)=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)在(-2,0)上单调递增,且f(x)的周期为8,故f(x)在(6,8)上单调递增,C 错误;根据题目条件画出函数f(x)与y=-lg x 的图象,如图所示,其中y=-lg x 单调递减且-lg 12<-1,所以两函数图象有6个交点,故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D 正确.故选ABD.三、填空题13.(2022·广东深圳二模)已知函数f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则k= .解析:由题意知f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则x ∈R,f(-x)=f(x), 即ln(e -x +1)-k(-x)=ln(e x +1)-kx, 即ln(e x +1)-x+kx=ln(e x +1)-kx, 即(k-1)x=-kx,解得k=12.答案:1214.(2022·山东烟台一模)已知f(x)为R 上的奇函数,且f(x)+ f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x ,则f(2+log 25)的值为 . 解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log 25)=f(2×2+log 254)=f(log 254)=-f(log 245),且-1<log 245<0,所以f(2+log 25)=-2log 245=-45.答案:-4515.(2022·湖南湘潭三模)已知a >0,且a ≠1,函数f (x )= {log a (2x 2+1),x ≥0,a x,x <0,若f(f(-1))=2,则a= ,f(x)≤4的解集为 .解析:①由题可知,f(f(-1))=f(a -1)=log a (2a -2+1)=2,则a 2=2a -2+1,即a 4-a 2-2=0,解得a 2=2,故a=√2.②当x ≥0时,f(x)=log √2(2x 2+1)≤4,解得0≤x ≤√62;当x<0时, f(x)=(√2)x≤4恒成立,故不等式的解集为(-∞,√62]. 答案:√2 (-∞,√62]16.(2022·山东菏泽一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式log 3|f(x)+1|<0的解集为 .解析:法一 不等式log 3|f(x)+1|<0等价于0<|f(x)+1|<1,即0<f(x)+1<1或-1<f(x)+1<0,即-1<f(x)<0或-2<f(x)<-1,因为f(x)是奇函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,所以f(2)=1,f(-1)=0,故f(1)= f(2×12)=f(2)+f(12)=0 ,则f(12)=-1 ,f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=-2,f(-4)=-f(4)=-f(2)-f(2)=-2.又奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,故f(x)在区间(0,+∞)上也是增函数,故-1<f(x)<0,即f(-2)<f(x)<f(-1)或f(12)<f(x)<f(1),此时x ∈(-2,-1)∪(12,1) ;而-2<f(x)<-1,即f(-4)<f(x)<f(-2) 或f(14)<f(x)<f(12),此时x ∈(-4,-2)∪(14,12),故不等式l o g 3|f (x )+1|<0的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).法二 因为f(x)为奇函数,且f(-2)=-1,所以f(2)=1,又当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x>0时,可设f(x)=log a x(a>0,且 a ≠1),由f(2)=1可得a=2,所以f(x)={log 2x (x >0),-log 2(-x )(x <0),由log 3|f(x)+1|<0可得-2<f(x)<0且f(x)≠-1. 作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,不等式的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).答案:(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1)。

专题四 新题原创强化训练第二关 综合强化试卷（二）一、单选题1．已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（ ） A ．∅B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．R 2．设12i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．125i + B ．125i - C ．135i + D ．135i - 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （ ）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-4．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 5．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．216．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥v v v v v（），则t =（ ）A ．32B ．23C ．14D ．13 7．函数的一段图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式: ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关9．已知函数lg(1),0()1lg ,01x x f x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ） A ．恒为正 B ．恒为负 C ．恒为0 D ．无法确定10．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12l l //的一个充分条件是 ( )A ．1//l α且//2l αB ．1l α⊥且2l α⊥C ．1//l α且2l α⊄D ．1//l α且2l α⊂11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，15AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小时，DP =（ ）A ．1B ．2C ．52 D ．412．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若22AOF AOB S S ∆∆=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________．14．已知抛物线的方程为()220x py p =>，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，8AB =，则p =______，M 为抛物线弧AOB 上的动点，AMB ∆面积的最大值是______. 15．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α，β，l 的式子表达）．16．已知函数()2ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题17．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190BAC CAA ∠=∠=︒，11AA B===.（Ⅰ）求证：1A B BC ⊥；（Ⅰ）若M 是棱11B C 的中点，求二面角M AB C --的余弦值.21．如图，圆22 If. (16x y ++=，)N 是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v(O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.22．已知函数21ln 02f x ax x a x=-+≥（）（）. （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点1x ，2x ，证明：1234ln 2f x f x +>-（）（）. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.专题四 新题原创强化训练第二关 综合强化试卷（二）一、单选题1．已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（ ）A ．∅B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．R【答案】A【解析】对集合M ，1x <-，则x ∈∅，根据集合的交运算可得M N ⋂=∅.故选A.2．设12i z i-=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．125i + B ．125i - C ．135i + D ．135i - 【答案】C 【解析】因为12i z i -=+()()()()1213225i i i i i ---==+-，故z =135i +.故选C. 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （ ）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4- 【答案】B【解析】由于123,,a a a 成等比数列，即2213a a a =⋅，()()211124a a a +=⋅+，解得18a =-. 4．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 【答案】B 【解析】因为函数解析式为()()1ln 2f x x x =--，则()1303f =-<，()14ln 204f =->，所以()()340f f ⋅<，即零点所在的大致区间为()3,4.故选B.5．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．21【答案】B 【解析】由已知()()()322111214f f f =++=++=，()()()432214217f f f =++=++=， ()()()5423178116f f f =++=++=，故选B ．6．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥v v v v v（），则t =（ ）A ．32B ．23C ．14D ．13 【答案】B 【解析】(3,1),(1,)2(7,2)a b t a b t =-=⇒+=-r r r r ，2(7,2)(3,1)0212023a b a t t t +⊥⇒-⋅-=⇒-+=⇒=r r r （），故选B.7．函数的一段图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由图像知A=1，,所以函数的解析式为，又函数图像过点（2，1）点，所以，即，将选项代入得答案为D ．8．近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式:()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关【答案】D【解析】由直方图知，（0.004+0.013+0.014+a+0.027+0.039+0.08）×5=1，解得a=0.023，故月消费金额超过2000元的大学生人数为（0.023+0.014+0.013）×5×1000=250人，由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人，由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，故A选项错误；月消费金额不超过500元的人数为0.004×5×1000=20人，故选项B错误；又由频率分布直方图知，当消费金额小于1750元时，频率为（0.004+0.027+0.039）×5+0.08×5×12=0.55>0.5.选项C错误；由条件可以列出列联表：故K2的观测值()()()()()250010.8289n ad bcka b c d a c b d-==>++++，所以在犯错的概率不超过0.1%的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关.故选D.9．已知函数lg(1),0()1lg,01x xf xxx+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b+>，0b c+>，0c a+>，则()()()f a f b f c++的值（）A．恒为正B．恒为负C．恒为0D．无法确定【解析】由题意得()()()()1,01,011,0,01lg x x lg x x f x lg x x lg x x ⎧+≥⎧+≥⎪⎪==⎨⎨--<<⎪⎩⎪-⎩， 当0x >时，0x -<，于是()()()lg 1f x x f x -=-+=-．同理当0x <时，可得()()f x f x -=-， 又()00f =，所以函数()f x 是R 上的奇函数． 又根据函数单调性判定方法可得()f x 在R 上为增函数． 由0,0,0a b b c c a +>+>+>，可得,,a b b c c a >->->-， 所以()()()()()(),,f a f b f b f c f c f a >->->-， 所以()()()()()()0,0,0f a f b f b f c f c f a +>+>+>， 以上三式两边分别相加可得()()()0f a f b f c ++>，故选A.10．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12l l //的一个充分条件是 ( )A ．1//l α且//2l αB ．1l α⊥且2l α⊥C ．1//l α且2l α⊄D ．1//l α且2l α⊂【答案】B【解析】A:1l 与2l 可能相交或异面．B 正确．C ：1l 与2l 可能相交或异面．D:1l 与2l 可能异面．11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，15AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小时，DP =（ ） A ．1B ．2C ．52D ．4【解析】根据题意，以A 为坐标原点，以1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设(),05DP x x =≤≤，故可得()()()10,2,,0,0,5,1,2,0P x A C ，由空间中两点之间的距离公式可得1A P ==PC=1AC 故在三角形1PA C中，由余弦定理可得222211112A P PC AC cos A PC A P PC+-∠==⨯，则1sin A PC ∠==，故11112A PC S sin A PC A P PC =∠⨯⨯n12===当且仅当1x =时，1PA C ∆的面积最小.故满足题意时，1DP =.故选A.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若22AOF AOBS S ∆∆=，则双曲线的离心率为（）AB C．2D【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线by x a=，即0bx ay -=，则过右焦点(c,0)F 与渐近线垂直的直线方程为()ay x c b=--，即0ax by ac +-=，又由焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay -=的距离为2d F A b ===，又由22AOF AOBS S ∆∆=，所以22F A AB b ==，即12AB b =，又由原点到0ax by ac +-=的距离为OA a ==，在直角2F OB ∆中，由射影定理得22OA F A AB =⋅，即222b a =，又由222bc a =-，整理得223c a =，所以c e a == B.二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________．【答案】7-【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 设z ＝x +2y 得y 12=-x 2z +，平移直线y 12=-x 2z +，由图象可知当直线y 12=-x 2z+经过点A 时，纵截距最小，z 也最小，由3310x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得A （﹣3，﹣2），Ⅰ目标函数2z x y =+的最小值为7-.14．已知抛物线的方程为()220x py p =>，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，8AB =，则p =______，M 为抛物线弧AOB 上的动点，AMB ∆面积的最大值是______.【答案】2【解析】(1)抛物线焦点为(0,)2p F ，设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程为：2p y x =+，代入抛物线方程得22304p y py -+=，则123y y p +=，因为1248y p p A y B ++===，所以2p =；(2)抛物线方程为：24x y =，直线方程为：1y x =+，联立得2440x x --=，解得1222x x =-=+设点20(,)4x M x ，(022x -≤≤+，点M 到直线AB的距离为d =， 20(2121)2AMB x AB d S ∆-==-，当02x =时，面积取得最大值. 故答案为：2；15．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α，β，l 的式子表达）．【答案】h=()sin sin sin αββα-l ． 【解析】如图所示，在ⅠABC 中，ⅠACB=β﹣α，由正弦定理得，BC sin α=AB sin ACB∠， ⅠBC=()lsin sin αβα-；在ⅠBCD 中，sinⅠCBD=CDBC，Ⅰh=CD=BC•sinβ=()lsin sin sin αββα-．16．已知函数()2ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1[,)2+∞【解析】 由题意，可得()2ln 1f x ax x -'=-，若()f x 在1[,)e +∞递增，则()0f x '≥在1[,)e +∞恒成立， 则ln 12x a x +≥在1[,)e+∞恒成立， 令()ln 12x g x x +=，1[,)x e ∈+∞，则()22ln 4x g x x -'=，令()0g x '>，解得1x <，令()0g x '<，解得1x >， 所以()g x 在1[,1)e 递增，在(1,)+∞递增，故()()max 112g x g ==， 故12a ≥，所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞.三、解答题17．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.【答案】xⅠ（0，20）.(2)截取时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .【解析】（1）Ⅰy=f （x ），xⅠ（0，20）.（2）2200,y x x ===2max 400y cm =.Ⅰ截取ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-+【解析】(1)因为122n n S +=-,所以当1n =时,112S a ==,当2n …时,1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=,上式对1n =也成立,所以2nn a =.(2)由(1)知(21)(21)2n n n b n a n =-=-g ,所以23123252(21)2n n T n =+++⋯+-g g g g ,23412123252(21)2n n T n +=+++⋯+-g g g g ,两式相减,得23122(222)(21)2n n n T n +-=+++⋯+--g 114(12)22(21)212n n n -+-=+---g g ,所以16(23)2n n T n +=+-g .19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）2πC .3=；（2）4+ 【解析】（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=． (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190BAC CAA ∠=∠=︒，11AA B===.（Ⅰ）求证：1A B BC ⊥；（Ⅰ）若M 是棱11B C 的中点，求二面角M AB C --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ 【解析】（Ⅰ）因为AB AC ⊥，1AC AA ⊥，又1AB AA A ⋂=，所以AC ⊥平面11ABB A .又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1AC A B ⊥.设1AA =12AB A B ==，所以22211AB A B AA +=，所以1A B AB ⊥. 又AC AB A ⋂=，所以1A B ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1A B BC ⊥. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，直线11A C ，11A B ，1BA 两两互相垂直.如图，以1A 为原点，分别以11A C ，11A B ，1BA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.设1AA =()10,0,0A ，()0,2,2A --，()1,1,0M ，()0,0,2B -， 所以()0,2,0AB =u u u v ，()1,1,2MB =---u u u v.设平面MAB 的法向量为(),,n x y z =v，则00n AB n MB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，所以2020y x y z =⎧⎨---=⎩. 取1z =，则()2,0,1n v=-.而平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =v，所以cos ,5m n m n m n v v v v v v ⋅==. 易知二面角M AB C --为锐角，所以二面角M AB C --21．如图，圆22 If. (16x y ++=，)N是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v(O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）2，32y x =±+（3）存在，x +8y ﹣8=0或x =0【解析】（1）由题意可知，Q 在PN 的垂直平分线上，所以|QN |=|QP |，又因为|QM |+|QP |=r =4，所以|QM |+|QP |=4>|MN |，所以Q 点的轨迹为椭圆，且2a =4即a =2，由题意可知b =1，Ⅰ曲线E 的方程为2214x y +=（2）因为OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OACB 为平行四边形，当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意； 当直线m 的斜率存在时，设直线 的方程为y =kx +3，直线m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立方程组22314y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ， 整理得(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Ⅰ=(24k )2﹣128(1+4k 2)>0 得k 2>2. x 1+x 2=﹣22414k k +，x 1x 2=23214k+， 因为S ⅠOAB =12|OD ||x 1﹣x 2|=32|x 1﹣x 2|，所以S ⅠOACB =2S ⅠOAB =3|x 1﹣x 2令k 2﹣2=t ，则k 2=t +2(由上式知t >0)，所以S ⅠOANB，当且仅当t =94，即k 2=174时取等号，Ⅰ当k时， 平行四边形OACB 的面积的最大值为2.此时直线的方程为y=±2x +3 （3）若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为3344(,),(,)G x y H x y ，满足曲线E 的方程223322441414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()3434343404x x y y x y y x +--++=，G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，则有()34342y y x x +=+代入可得343418y y x x -=--，直线方程可以设为18y x m =-+与抛物线方程联立， 得21218y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得方程2440y y m +=﹣， 直线与抛物线相切则有16160m ∆==﹣，所以1m =，则直线的方程为x +8y ﹣8=0，与椭圆方程联立:2214880x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消元可得方程17y 2﹣32y +15=0，Ⅰ=322﹣4×17×15>0， 所以直线x +8y ﹣8=0满足题意.若直线斜率不存在时，直线x =0满足题意.所以，综上这样的直线存在，方程是x +8y ﹣8=0或x =0.22．已知函数21ln02f x ax x a x=-+≥（）（）. （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点1x ，2x ，证明：1234ln 2f x f x +>-（）（）. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意，函数221ln ln 22f x ax x x ax x x=-+=--+（）， 得2121'21ax x f x ax x x -+-=--+=（），0x ∈+∞（，）， （i ）若0a =时；1x f x x-'=（）， 当01x ∈（，）时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ∈+∞（，）时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以当1x =，函数()f x 取得极小值，1x =是()f x 的一个极小值点；（ii ）若0a >时，则180a ∆=-≤，即18a ≥时，此时0f x '≤（），()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x '无极值点，当108a <<时，则180a ∆=->，令0f x （）'=，解得114x a =，214x a+=， 当10x x ∈（，）和2x x ∈+（，）∞时，0f x '<（），当12x x x ∈（，）时，0f x '>（）， Ⅰ()f x 在1x 取得极小值，在2x 取得极大值，所以()f x 有两个极值点， 综上可知：（i ）0a =时，()f x 仅有一个极值点；(ii).当18a ≥时，()f x 无极值点； (iii)当108a <<，()f x 有两个极值点.（2）由（1）知，当且仅当108a ∈（，）时，()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程2210ax x -+=的两根，Ⅰ1212x x a +=,1212x x a=， 则222121121211ln ln 22f x f x ax x ax x x x +=-++-+（）（） 22121212ln 2ln 2x x a x x x x =-+-+++（）（）（）22111ln[]42a a a a a=---+11ln 1242a a a =++-1ln 1ln 24a a =+--，设1ln ln 24g a a a =++-（）1，1(0,)8a ∈，则221141044a g a a a a -'=-=<（），Ⅰ10,8a ∈（）时，()g a 是减函数，1()()8g a g >，Ⅰ1ln3ln 234ln 28g a >+-=-（）， Ⅰ1234ln 2f x f x +>-（）（）. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.【答案】（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos ρθ=（2）2+ 【解析】（1）因为曲线1C :1x y +=，所以曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；因为曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2） 由（1）知1cos sin A OA ραα==+，4cos B OB ρα==，()()4cos cos sin 21cos 2sin 2224OB OA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，由02πα≤≤知52444πππα≤+≤，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA 有最大值2+.。

人教版八年级数学强化练习题及答案20题随着国家对数学教育的日益重视，各类数学练习题也得到了广泛应用。

在八年级这个学习阶段，学生需要通过练习题来巩固和提高数学知识。

在本文中，我们将提供人教版八年级数学强化练习题及答案20题，供学生们参考。

1. 一个数减去6，再乘上3，结果是36，这个数是多少？解答：设这个数为x，则根据题意可得：(x - 6) × 3 = 36。

解这个方程可得x = 18。

2. 一盒香糖共有48颗，小明拿了其中三分之一，小刚拿了其中四分之一，还剩下多少颗？解答：小明拿了48 × 1/3 = 16颗，小刚拿了48 × 1/4 = 12颗。

剩下的香糖数量为48 - 16 - 12 = 20颗。

3. 一条绳子长12米，小明用这条绳子剪成3段，第1段比第2段短2米，第2段比第3段短4米，那么第1段、第2段、第3段各是多长？解答：设第1段为x，第2段为x + 2，第3段为x + 2 + 4。

则根据题意可得：x + (x + 2) + (x + 2 + 4) = 12。

解这个方程可得x = 2，所以第1段长2米，第2段长4米，第3段长8米。

4. 甲乙两人一起用时10天做完一项工作，甲单独做需要15天，甲、乙两人合作多少天可以完成？解答：设甲、乙两人合作x天可以完成工作。

根据题意可得：1/15 + 1/x = 1/10。

解这个方程可得x = 30，所以甲、乙两人合作30天可以完成。

5. 若一个数的6倍加上4等于40，这个数是多少？解答：设这个数为x，则根据题意可得：6x + 4 = 40。

解这个方程可得x = 6。

6. 用绳子围成一个三角形，已知两边分别为5cm和8cm，这个三角形的周长是多少？解答：根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边。

所以，这个三角形的周长为5 + 8 + 未知边的长度。

7. 一个矩形的长是3倍宽，如果宽是4cm，这个矩形的面积是多少？解答：设矩形的宽为x，则矩形的长为3x。

新题原创强化训练第一关一、 填空题1． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．2．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．3．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．4．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ．5．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 6．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==+，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ．二、解答题 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b +=>>()过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点F ．（1）求a b ，的值； （2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标；（3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．2． 设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，． AB CM N（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．3．已知函数()e (1)x f x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；（3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．。

专题四 新题原创强化训练第一关 综合强化试卷（一）一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，{}220B x x x =->，则A B =I （ ）A ．{}13x x <<B ．{}23x x <<C ．{}02x x <<D ．{}12x x <<2．2(2)(13)i i --+=（ ） A ．2i +B ．27i -C ．47i -D ．4i +3．关于函数ln ()xf x x=的极值的说法正确的是（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1eC ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小e 值4．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,,A B C 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，若22||||3AB BC π==，则m ω+=（ ）A ．52B ．2+C ．3D ．25．若向量a r ，b r的夹角为60︒，且1a b ==r r ，则a b +r r =( )A ．2B CD ．16．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是（ ） A ．单调增函数，且()0f x <B ．单调减函数，且()0f x >C ．单调增函数，且()0f x >D ．单调减函数，且()0f x <7．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,8．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）A ．163B ．263C ．283D ．129．已知实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A ．13B．3CD ．2310．设3log 0.4a =，2log 3b =，则（ ） A ．0ab >且0a b +> B ．0ab <且0a b +> C ．0ab >且0a b +<D ．0ab <且0a b +<11．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N ⋃=；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，已知点()0,3S ，SA ，SB 与圆()22:00C x y my m +-=>和抛物线()220x py p =->都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，//SA ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．C ．3D ．二、填空题13．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．14．已知tan()24x π+=，x 是第三象限角，则cos x =__________．15．已知A ，B ，C 三点在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin 1sin sin A bB C a c+=++，则C 为_．三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314m S a S ，，成等比数列，求2m S .18．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC ，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，AQ CQ ==30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面P AB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.19．椭圆()22112x y m m m+=>+的左、右顶点分别为A ，B ，过点B 作直线l 交直线2x =-于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求该椭圆的离心率的取值范围；（2）若该椭圆的长轴长为4，证明：2OM OP m ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）．20．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(]0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(]200,400件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.21．设函数()ln 1xf x e x =--.（1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e mx x x--≤成立，求实数m 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线1C 的方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是1C 上的动点，点M 满足2OP OM =u u u v u u u u v（O 为极点），点M 的轨迹为曲线2C ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是32x ty t=+⎧⎨=⎩，（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程与直线l 的普通方程； （Ⅰ）求点M 到直线l 的距离的最大值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =+--.（1）对x R ∀∈，都有()f x x m ≥+恒成立，求m 的取值范围；（2）设不等式()0f x <的解集为A ，若,a b A ∈，求证：124a b ab+<+.专题四 新题原创强化训练第一关 综合强化试卷（一）一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，{}220B x x x =->，则A B =I （ ）A ．{}13x x <<B ．{}23x x <<C ．{}02x x <<D ．{}12x x <<【答案】B【解析】因为{}{2202B x x x x x =->=>或}0x <，又因为{}13A x x =<<，所以A B =I {}23x x <<，故选B.2．2(2)(13)i i --+=（ ） A ．2i + B ．27i - C ．47i -D ．4i +【答案】B【解析】()()()2213341327i i i i i --+=--+=-. 故选B.3．关于函数ln ()xf x x=的极值的说法正确的是（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1eC ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小e 值【答案】A【解析】21ln ()0(0,),()0;(,),()0;xf x x e x e f x x e f x x-==∴=∈>∈+∞'''<Q Q 因此x e = 时()f x 有极大值1e，故选 A. 4．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,,A B C 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，若22||||3AB BC π==，则m ω+=（ ）A ．52B ．2+C ．3D ．2【答案】C【解析】由题意||||||T AC AB BC π==+=，得2ω=，设()()002sin 22f x x ϕ=+=，得022,2x k k Z πϕπ+=+∈，则002sin 22sin 21636m f x x k πππϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3m ω+=，故选C .5．若向量a r ，b r的夹角为60︒，且1a b ==r r ，则a b +r r =( )A ．2 BCD ．1【答案】B【解析】因为向量a r ，b r 的夹角为60︒，且1a b ==r r ，所以1cos602a b a b ⋅==or r r r ，则a b +r r === B.6．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是（ ） A ．单调增函数，且()0f x <B ．单调减函数，且()0f x >C ．单调增函数，且()0f x >D ．单调减函数，且()0f x <【答案】A【解析】△f （x+1）=f （x ﹣1），△f （x+2）=f （x ）即f （x ）是周期为2的周期函数 △当x △（0，1）时，()211f x log x=-＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f （x ）是奇函数， △当x △（﹣1，0）时，f （x ）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增根据函数的周期性可知y=f （x ）在（1，2）内是单调增函数，且f （x ）＜0，故选A ．7．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U .故选A 8．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）A ．163B ．263C ．283D ．12【答案】A【解析】由三视图还原几何体如图所示，该几何体为组合体，下半部分为直三棱柱，上半部分为三棱锥， 三棱锥的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2．∴该几何体的体积111162222222323V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选A.9．已知实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A ．13B ．3C D ．23【答案】A【解析】实轴长为C ：22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），可得a c ＝2，则b ，不妨B （0），则△BF 1F 2的重心G 0,3⎛ ⎝⎭，双曲线的渐近线方程为：y ＝x 的距离为：d 13=．故选A ． 10．设3log 0.4a =，2log 3b =，则（ ）A ．0ab >且0a b +>B ．0ab <且0a b +>C ．0ab >且0a b +<D ．0ab <且0a b +<【答案】B 【解析】Q10.413<<，31log 0.40∴-<<.又2log 31>，即10a -<<，1b >，0ab ∴<，0a b +>． 故选B.11．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N ⋃=；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==，则()1195420P M N ⋃=+=，故（1）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN ===，则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（2）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN ===，则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅ 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（3）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === ，当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯，故（4）错误；若()()()115,,236P M P N P MN ===，则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==-，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（5）正确.故选D. 12．如图，已知点()0,3S ，SA ，SB 与圆()22:00C x y my m +-=>和抛物线()220x py p =->都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，//SA ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）A ．4 B．C ．3D．【答案】A【解析】ⅠSM ,SN 是圆C 的切线,SA ⅠON ,ⅠSM =SN ,SN ⅠOM . Ⅰ四边形SMON 是菱形，又ⅠSMN =ⅠMON ， ⅠⅠSMN 是等边三角形．设A (x 0,y 0),由()220x py p =->得22x y p=-,Ⅰ0'A x y p =-=又2000032y x py x -==-，Ⅰ032y p =-=，. Ⅰ点A 到抛物线的准线的距离042pd y =-+=.故选A. 二、填空题13．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---，令2r ﹣6＝0可得r ＝3，常数项为（﹣1）33362C =-160.14．已知tan()24x π+=，x 是第三象限角，则cos x =__________．【答案】 【解析】因为tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan tan421tan tan 4x x ππ+=-⋅，解得1tan 3x =，即1sin cos 3x x =， 又22sin cos 1x x +=，所以29cos 10x =，又x是第三象限角，所以cos x =. 15．已知A ，B ，C 三点在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π【解析】设球的半径为r ，O ′是ⅠABC 的外心，外接圆半径为R =Ⅰ球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， Ⅰ得r 219-r 2＝43，得r 232=．球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π． 16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin 1sin sin A bB C a c+=++，则C 为_．【答案】π3【解析】Ⅰsin 1sin sin A bB C a c +=++，Ⅰ1a b b c a c+=++，可得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ，Ⅰcos C ＝2221222a b c ab ab ab +-==，ⅠC Ⅰ（0，π），ⅠC ＝3π．故选π3． 三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314m S a S ，，成等比数列，求2m S .【答案】（1）21n a n -＝（2）324【解析】（1）n S Q 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝.Ⅰ()95123199481238S a a d a a a d ⎧==+=⎨+=+=⎩，解得112a d ＝，＝，()11221n a n n ∴+-⨯-＝＝. （2）由（1）知，()21212n n n S n +-==.314m S a S Q ，，成等比数列，2314m S S a ∴=，即22927m ＝解得9m ＝， 2218324m S =∴=18．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，AQ CQ ==30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面P AB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】（1）424sin sin 30BAC ==∠︒，所以sin 1BAC ∠=，90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥，又Q 平面PAB ⊥平面ABC ，AB =平面PAB ABC I ，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面P AB ，AC ⊂Q 面P AC ，∴面PAC ⊥面P AB（2）以A 为坐标原点，AB u u u r ，AC u u ur 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0B，()C，(1,P，(Q ，设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =u r，则0AC m AQ m ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v， 令1z =，)m ∴=u r设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =r，则00AC n PA n x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v， 令1z =：()n ∴=r，设二面角P AC Q --的平面角为θ，则cos cos ,m n θ==u r r而此二面角为锐角，故二面角P AC Q --的平面角的余弦值为619．椭圆()22112x y m m m+=>+的左、右顶点分别为A ，B ，过点B 作直线l 交直线2x =-于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求该椭圆的离心率的取值范围；（2）若该椭圆的长轴长为4，证明：2OM OP m ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）解：c e a ====Q ， 又1m >，0e ∴<<=，0,3e ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）证明：Q 椭圆的长轴长为4=，2m ∴=， 易知()2,0A -，()2,0B ，设()02,M y -，()11,P x y ，则()11,OP x y =u u u r ，()02,OM y =-u u u u r，直线BM 的方程为()024y y x =--，即00142y y x y =-+， 代入椭圆方程2224x y +=，得2222000140822y y y x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭．由韦达定理得()20124828y x y -=+．()20120288y x y -∴=+，012088y y y ∴=+， ()222000101222000488432242888y y y OP OM x y y m y y y -+∴⋅=-+=-+===+++u u u r u u u u r ．20．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(]0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(]200,400件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【答案】（1）见解析； （2）75. 【解析】（1）因为2K 的观测值()210048842250509010k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4 3.841=>，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关. （2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时， 得计件工资为26001200 1.2⨯+⨯ 20013100+⨯=元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为125p =， 女员工实得计件工资不少于3100元的概率为212p =， 设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为X ，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为Y ，则1~2,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2~1,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Z 的所有可能取值为0，1，2，3， ()()00,0P Z P X Y ==== 2123112520⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()11,0P Z P X Y ==== ()0,1P X Y +=== 1211211225C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21221255⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，()()22,0P Z P X Y ==== ()1,1P X Y +=== 22212125C ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121127122520C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()()32,1P Z P X Y ===== 21212510⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以Z 的分布列为故01205EZ =⨯+⨯+ 2320105⨯+⨯=. 21．设函数()ln 1xf x e x =--. （1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e mx x x--≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)121 e ln2,.2∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭【解析】证明：()()x1f x e lnx 1Q =--，()x1f'x e (x 0)x∴=->，()x 21f x e 0x∴"=+>， ∴函数()f'x 在()0,∞+是增函数，1f'202⎛⎫=< ⎪⎝⎭Q ，()f'1e 10=->，且函数()f'x 的图象在()0,∞+上不间断，01x ,12⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f'x 0=，结合函数()f'x 在()0,∞+是增函数，有：∴函数()f x 存在极小值()0f x .()12x ,2∞⎡⎫∃∈+⎪⎢⎣⎭，使得不等式xem lnx 0x x--≤成立，等价于1x ,2∞⎡⎫∃∈+⎪⎢⎣⎭，使得不等式x m e xlnx ≥-成立()*令()x h x e xlnx =-，1x ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，则()()xh'x e lnx 1f x =--=，∴结合()1得：()()0x min 00[h'x ]f x e lnx 1==--，其中01x ,12⎛⎫∈⎪⎝⎭，满足()0f'x 0=，即0x01e 0x -=， 0x 01e x ∴=，00x lnx =-，()0x min 0001[h'x ]e lnx 1x 1110x ∴=--=+->=>， ()1x ,,h'x 0,2∞⎡⎫∴∈+>⎪⎢⎣⎭()h x ∴在1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭内单调递增， ()1122min 1111[h x ]h e ln e ln22222⎛⎫∴==-=+ ⎪⎝⎭， 结合()*有121m e ln22>+，即实数m 的取值范围为121e ln2,.2∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ 22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线1C 的方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是1C 上的动点，点M 满足2OP OM =u u u v u u u u v （O 为极点），点M 的轨迹为曲线2C ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是32x t y t =+⎧⎨=⎩，（t 为参数）． （Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程与直线l 的普通方程； （Ⅰ）求点M 到直线l 的距离的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=, 260x y --=．（Ⅰ）max d =． 【解析】（Ⅰ）设在极坐标系中(),M ρθ，据2OP OM =u u u v u u u u v 有()2,P ρθ， 代入1C 的方程()2213sin 16ρθ+=整理得：()2213sin 4ρθ+=，再化为直角坐标方程是：2214x y +=即为所求．直线l 的参数方程32x t y t =+⎧⎨=⎩，（t 为参数）化为普通方程是260x y --=．（Ⅰ）由222:14x C y +=知，在直角坐标系中设()2cos ,sin M αα，a R ∈， 点M 到直线l的距离d==Ⅰmax 5d ==．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =+--.（1）对x R ∀∈，都有()f x x m ≥+恒成立，求m 的取值范围； （2）设不等式()0f x <的解集为A ，若,a b A ∈，求证：124a bab+<+.【答案】（1）1m ≤-（2）见解析【解析】（1）Ⅰ()()122131221x x f x xx x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩，Ⅰ()()()1222121221x x g x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-=-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩Ⅰ()g x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，当1x ≥时为常数Ⅰ()min 112g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，Ⅰ1m ≤- （2）Ⅰ()0f x <，Ⅰ20x -<< Ⅰ()22222222222816441612421616a b ab a ab b a b ab a b a b ⎛⎫++++++--⎛⎫-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()224416a b --= Ⅰ,a b A ∈,Ⅰ20a -<<,20b -<<,Ⅰ240a -<,240b -> Ⅰ()()2244016a b --<，Ⅰ()22144a b ab +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，Ⅰ124a bab+<+。