2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案

2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c220+=<mx ny mn1()（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221(3)916x y x -=>D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y 两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c22+=mx ny（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p ．经典常规题3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上， 设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+，化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）高频易错题（45分钟）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-= 【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||AHABHBH∠===，故直线l的斜率为．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，1(2,2)P，2P，3(2,3)P-，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于M，N两点且||||ME NE=？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y+=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点，又由22224449a b a b+<+知C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222221211649121abba b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C的方程为2211612x y+=．（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m=+，设11(,)M x y，22(,)N x y．将直线:p y kx m=+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx mx y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．222222644(34)(448)01612k m k m k m∆=-+->⇒+>①，故122834kmx xk-+=+，212244834mx xk-=+，设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k =+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+， 代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3精准预测题【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠， 故轨迹方程为221(3)916x y x -=>． 4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162p PF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴2004y x =，∴0y =，∴0sin 60︒=，020043214x x x =++， ∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =， ∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。

专题强化训练(十九)　解析几何1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，左、右焦点分x 2a 2y 2b 213别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝(O 为坐标原43点)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |，所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝＝，b 2a 83又e ＝＝，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，c a 13故所求椭圆C 的方程为＋＝1.x 29y 28(2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.由Error!得Error!由Error!得Error!所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，所以＝(－2，－3k ＋m )，＝(4,3k ＋m )，F 1M → F 1N → 所以·＝－8＋m 2－9k 2.F 1M → F 1N → 联立Error!得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简得m 2＝9k 2＋8.所以·＝－8＋m 2－9k 2＝0，F 1M → F 1N → 所以⊥，故∠MF 1N ＝.F 1M → F 1N → π2同理可得⊥，∠MF 2N ＝.F 2M → F 2N → π2故∠MF 1N ＝∠MF 2N .2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设＝＋，求证：点N 在定直线上，并求该定MN → MA → MB → 直线的方程．解：解法一：依题意设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，所以y ＝，x 212所以y ′＝，x 6设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝，x 16所以切线l 2的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋y 1.16令x ＝0，则y ＝－x ＋y 1＝－×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，162116所以＝(x 1－m ，y 1＋3)，MA → ＝(－m ，－y 1＋3)，MB → 所以＝＋＝(x 1－2m,6)，MN → MA → MB → 所以＝＋＝(x 1－m,3)．ON → OM → MN → 设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．解法二：设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ①，设l 2的斜率为k ，A，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋x (x 1，112x 21)11221②，联立①②得，x 2＝12，(k (x －x 1)＋112x 21)因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x ＝0，所以k ＝，21x 16所以切线l 2的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋x .1611221令x ＝0，得B 点坐标为，(0，－112x 21)所以＝，MA → (x 1－m ，112x 21＋3)＝，MB → (－m ，－112x 21＋3)所以＝＋＝(x 1－2m,6)，MN → MA → MB → 所以＝＋＝(x 1－m,3)，ON → OM → MN → 所以点N 在定直线y ＝3上．3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：＋＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦x 2a 2y 2b 2点F (，0)．3(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝·，若t 的最MA → MB → 大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则＋x 2a 2y 2b 23x 2a 2＝1，a 2>3.y 2a 2－3又椭圆过点M (－2,1)，∴＋＝1，4a 21a 2－3又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.x 26y 23(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴Error!，则t ＝·＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)MA → MB → ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5　③，将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·＋(2－k 2－k )·＋k 2＋2k ＋5，2k 2－62k 2＋14k 22k 2＋1∴t ＝，15k 2＋2k －12k 2＋1∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ，则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0，由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根，∴t 1＋t 2＝.1324．[2019·石家庄一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤)的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛2物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．解：(1)由抛物线定义，得|PF |＝x 0＋，p2由题意得：Error!解得Error!所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤)的切线斜率存在，2设切线PA 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2，则圆心M 到切线PA 的距离d ＝＝r ，|2k 1＋2|k 21＋1整理得，(r 2－4)k －8k 1＋r 2－4＝0.21设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2，同理可得(r 2－4)k －8k 2＋r 2－4＝0，2所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝，k 1k 2＝1.8r 2－4设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0，由韦达定理知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，4k 18－4k 1k 1所以y 1＝＝－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2.4－2k 1k 14k 1设点D 的横坐标为x 0，则x 0＝＝＝＝x 1＋x 22y 21＋y 28(4k 2－2)2＋(4k 1－2)282(k ＋k )－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3.212设m ＝k 1＋k 2，则m ＝∈[－4，－2)，8r 2－4所以x 0＝2m 2－2m －3，对称轴m ＝＞－2，所以9＜x 0≤37，即t ∈(9,37]．125．[2019·太原模拟]已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，A ，B 分别是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为.3(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解：(1)由题意，得Error!解得Error!所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)．设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，6m 4＋3m 294＋3m 2∴my 1y 2＝(y 1＋y 2)．32∵直线AM 的方程为y ＝(x ＋2)，y 1x 1＋2直线BN 的方程为y ＝(x －2)，y 2x 2－2∴(x ＋2)＝(x －2)，y 1x 1＋2y 2x 2－2∴＝＝＝3，x ＋2x －2y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1∴x ＝4，∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．6．[2019·北京卷]已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)．设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由Error!得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝x .y 1x 1令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－.x 1y 1同理得点B 的横坐标x B ＝－.x 2y 2设点D (0，n )，则＝，DA → (－x 1y 1，－1－n )＝，DB → (－x 2y 2，－1－n )·＝＋(n ＋1)2＝＋(n ＋1)2DA → DB → x 1x 2y 1y 2x 1x 2(－x 214)(－x 24)＝＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.16x 1x 2令·＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3.DA → DB → 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．7．[2019·洛阳统考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点．(1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，试问：是否为定值？若2|MN |2|FN |为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1)，即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!，得y 2－4ty －4＋4t ＝0，∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)>0，y 1＋y 2＝4t ，∴4t ＝2，即t ＝.12∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)为定值2p ，证明如下．2|MN |2|FN |∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∴焦点F 的坐标为.(p 2，0)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋(t ≠0)，p 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2>0.∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ，∴M .(pt 2＋p 2，pt )∴MN 的方程为y －pt ＝－t .(x －pt 2－p 2)令y ＝0，解得x ＝pt 2＋，N ，3p 2(pt 2＋3p 2，0)∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋－＝pt 2＋p ，3p 2p 2∴＝＝2p .2|MN |2|FN |2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p 8．[2019·浙江卷]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G 的坐标．S 1S 2解：(1)由题意得＝1，p 2即p ＝2.所以，抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x ＝y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－t 2－12t y －4＝0，2(t 2－1)t 故2ty B ＝－4，即y B ＝－，所以B .2t (1t 2，－2t )又由于x G ＝(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －＋y C ＝0，13132t 得C ，G .((1t －t )2，2(1t －t ))(2t 4－2t 2＋23t 2，0)所以，直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而＝＝＝2－.S 1S 212|FG |·|yA |12|QG |·|yC |2t 4－t 2t 4－1t 2－2t 4－1令m ＝t 2－2，则m >0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.S 1S 2m m 2＋4m ＋31m ＋3m ＋412m ·3m ＋432当m ＝即t 2＝＋2时，取得最小值1＋，此时G (2,0)．33S 1S 232。

考点过关检测（二十二）1．(2019·豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1解析：选A 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1.又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选A.2．(2019·菏泽期末)已知等边△AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)上，且△AOB 的面积为93，则p ＝( )A. 3 B ．3 C.32D ．2 3解析：选C 根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设直线OB ：y ＝33x ，与y 2＝2px 联立，解得B (6p,23p )，故|OB |＝43p .因为△AOB 的面积为93，所以34×(43p )2＝93，解得p ＝32.故选C.3．若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0(a >0，b >0)对称，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.43 B.53 C.54D.74解析：选C 圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，满足题意时，直线过圆心，即32a －2b ＝0，∴b a ＝34，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝54.4．(2019·青岛二模)若直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选A 根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.5．(2019·海珠模拟)双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于( )A ．4 B. 3 C ．2 3D ．4 3解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，所以双曲线E 的一个顶点为(2,0)，即a ＝2.又因为离心率e ＝ca ＝c2＝2，所以c ＝4.因此b ＝16－4＝23，虚轴长等于2b ＝43，故选D.6．(2019·唐山一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .又抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋(3)2＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .7．(2019·桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C 设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 24.又因为点F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，所以(OP →·FP →)max＝6.8．(2019·通化三模)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，55B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，455 解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45.因为e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0<e 2≤45，解得0<e ≤255.故选B. 9．(2019·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是________．解析：设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，∴y 1y 2＝－4n ，又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 的方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0)． 答案：(9,0)10．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是________(填序号)．①△ABF 是等边三角形； ②|BF |＝3；③点F 到准线的距离为3； ④抛物线C 的方程为y 2＝6x .解析：∵以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .答案：①③④11．(2019·泉州期末)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立．则双曲线的离心率为________，λ的值为________．解析：由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a，化简得e 2－e －1＝0.∵e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS△IF1F2得，12|PF1|·r＝12|PF2|·r＋λcr，故λ＝|PF1|－|PF2|2c＝ac＝11＋52＝5－12.答案：5＋125－12。

考点过关检测（十九）1．(2020届高三·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的两点A ，B ，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)．解：(1)由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.①由Δ1＝16－32k >0，解得k <12. 直线n 的方程为y ＝－1kx ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k >0，解得k >0或k <－2.所以k <－2或0<k <12， 故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k . 同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线MQ 的斜率k MQ ＝2k 2k 2－2k－2＝－k k 2＋k －1， 直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k k 2＋k －1＝k MQ ， 所以直线MN 过定点Q (2,0)．2．(2019·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过圆E ：x 2＋y 2＝2上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1)因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b ＝c ，12·2c ·b ＝b 2＝3，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝6，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)圆E 的方程为x 2＋y 2＝2，设O 为坐标原点，①当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝2，A (2，2)，B (2，－2)，所以∠AOB ＝90°，所以以AB 为直径的圆过坐标原点O (0,0)．②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线与相关圆相切，所以d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2＝2，所以m 2＝2＋2k 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， 则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝8(6k 2－m 2＋3)＝8(4k 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(2m 2－6)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－6k 2－61＋2k2＝0， 所以OA →⊥OB →，所以以AB 为直径的圆恒过坐标原点O (0,0)．综合①②可知，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O (0,0)．3．(2019·柳州联考)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (t,4)，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点？并说明理由．解：(1)由题意知抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p 2， ∵P (4，m )到焦点的距离等于点P 到准线的距离，∴4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)把M (t,4)代入抛物线C 的方程，得16＝4t ，∴t ＝4，∴M (4,4)．由题易知直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为x ＝ky ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋n ，y 2＝4x 消去x ，得y 2－4ky －4n ＝0， Δ＝16k 2＋16n >0，①设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4n .∵MD ⊥ME ，∴MD →·ME →＝(x 1－4，y 1－4)·(x 2－4，y 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16＝y 214·y 224－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16 ＝(y 1y 2)216－(y 1＋y 2)2＋3y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋32 ＝n 2－16k 2－12n ＋32－16k ＝0，即n 2－12n ＋32＝16k 2＋16k ，得(n －6)2＝4(2k ＋1)2，∴n －6＝±2(2k ＋1)，得n ＝4k ＋8或n ＝－4k ＋4，当n ＝4k ＋8时，代入①式满足Δ>0，∴直线DE 的方程为x ＝ky ＋4k ＋8＝k (y ＋4)＋8，直线过定点(8，－4)．当n ＝－4k ＋4时，代入①式，当k ≠2时，Δ>0，此时直线DE 的方程为x ＝k (y －4)＋4，直线过定点(4,4)，不合题意，舍去．∴直线过定点(8，－4)． 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程．(2)动直线l ：mx ＋ny ＋13n ＝0(m ，n ∈R )交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在．求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴a ＝2b ，∴x 22b 2＋y 2b 2＝1. 又∵椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，将点P 的坐标代入椭圆方程得b 2＝1，∴a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意动直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13. 当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432； 当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，即两圆相切于点(0,1)，因此，如果所求的点T 存在，只能是(0,1)，下证点T (0,1)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)．当直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：y ＝kx －13. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1消去y 并整理，得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9. 又∵TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，∴TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169＝0. ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)， ∴在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件．。

河南省卢氏一中2020届高考数学二轮《解析几何》专题训练一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2020·北京高考)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案：C2．(2020·北京西城模拟)设向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos2θ等于( )A ．－13B ．－23C.23D.13解析：∵a ∥b ，∴1＝3sin 2θ.即sin 2θ＝13.∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－23＝13.答案：D3．(2020·烟台模拟)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：因为S 3＝2x 2|x ＝3－2x 2|x ＝0＝18， 所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.答案：C4．(2020·南昌二模)一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )[ : ]A.253πB.343π C ．3＋163πD ．12＋163π解析：由三视图知该几何体为一个半球和一个正四棱柱的组合体．体积V ＝V 半球＋V 正四棱柱＝12×43πr 3＋Sh ＝12×43π×23＋2×2×3＝163π＋12. 答案：D5．(2020·合肥模拟)已知双曲线的渐近线是2x －3y ＝0和2x ＋3y ＝0，且过点(6,6)，则双曲线的标准方程是( )A.x 23－y 24＝1B.y 24－x 23＝1C.x 29－y 212＝1D.y 216－x 212＝1 解析：依题意，设所求双曲线方程是(2x －3y )(2x ＋3y )＝m (m ≠0)，即4x 2－3y 2＝m ，则有4×62－3×62＝m ，m ＝36，因此所求双曲线方程是4x 2－3y 2＝36，即x 29－y 212＝1.答案：C6．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33D.36解析：由题意可知，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 212－y 24＝1的渐近线为y ＝±33x ，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×(±3)|3＋9＝1.答案：A7．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.答案：C8．(2020·杭州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：如图，OH ：y ＝b ax ，HF 2：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab (x －c )，解得H (a 2c ，ab c)，所以HF 2的中点为M (a 2＋c 22c ，ab2c)，代入双曲线方程整理得：c 2＝2a 2，所以e ＝ 2. 答案：A9．若函数f (x )＝－1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定解析：由f ′(x )＝－a be ax， ∴k ＝f ′(0)＝－a b.切线l 的方程为y ＋1b ＝－abx .即ax ＋by ＋1＝0，又l 与⊙C 相离． ∴1a 2＋b2>1，点P 与圆心的距离d ＝a 2＋b 2<1.∴点P 在圆内． 答案：B10．(2020·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：容易求得双曲线的渐近线为y ＝±2x ，因线段AB 被C 1三等分，而AB ＝2a ，则第一象限内的等分点的坐标为(a 35，2a 35)，代入椭圆方程得，(a 35)2a 2＋(2a 35)2b 2＝1，又a 2－b 2＝5，故b 2＝12.答案：C二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为____________________．解析：y 2＝4x ，焦点F (1,0)， ∴圆心O (0,1)．O 到4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，则圆半径r 满足r 2＝12＋32＝10，∴圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案：x 2＋(y －1)2＝1012．(2020·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A u u u r ＝52F B u u u u r，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A u u u r ＝(m ＋2，n )，2F B u u u u r＝(c －2，d )．∵1F A u u u r ＝52F B u u u u r ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴c 23＋d 2＝1，(m ＋625)23＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)13．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1P A u u u r ·2PF u u u r的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则1PF u u u r＝(－1－x ，－y )，PF 2―→＝(2－x ，－y )，1P A u u u r ·2PF u u u r ＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图像的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，1P A u u u r ·2PF u u u r取最小值－2.答案：－214．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，切点分别为A 、B ，则点P 到直线AB 的距离为________．解析：如图，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，则CA ⊥AP ，且PC ⊥AB 于H ，故|PH |为点P 到直线AB 的距离．又|PC |＝(2－1)2＋(3－1)2＝5，故切线长|PA |＝|PC |2－r 2＝(5)2－12＝2，在Rt △PAC 中，由射影定理可得|PA |2＝|PH |×|PC |，故|PH |＝|PA |2|PC |＝225＝455.答案：455三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)(2020·福建高考)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与拋物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．[ : ] 从而圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，[ :21世纪教育网]故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. ⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与拋物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与拋物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与拋物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与拋物线C 不相切．16．(本小题满分12分)(2020·北京高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又AC ∩PA ＝A ， 所以BD ⊥平面PAC . (2)设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz 则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，所以PB u u u r＝(1，3，－2)，AC u u u r ＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝PB u u u r ·ACu u ur | PB u u u r ||AC u u u r |＝622×23＝64∴PB 与AC 所成角的余弦值为64. (3)由(2)知BC u u u r＝(－1，3，0)设P (0，－3，t )(t ＞0)，则BP u u u r＝(－1，－3，t )，设平面PBC 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC u u u r ·m ＝0，BP u u u r·m ＝0， 所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t.所以m ＝(3，3，6t)．同理，平面PDC 的一个法向量n ＝(－3，3，6t)．因为平面PBC ⊥平面PDC ， 所以m ·n ＝0，即－6＋36t2＝0.解得t ＝6， 所以PA ＝ 6.17．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两点，已知向量m ＝(x 1b ，y 1a )，n ＝(x 2b ，y 2a )，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值；(3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解：(1)由题意知2b ＝2，b ＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，则a ＝2，c ＝ 3.椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 由m·n ＝0得：x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝(1＋k 24)x 1x 2＋3k 4(x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44(－1k 2＋4)＋3k 4·－23k k 2＋4＋34＝0，[ : ] 解得k ＝± 2.(3)①当直线AB 的斜率不存在时， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 由m·n ＝0，得x 21－y 214＝0，即y 21＝4x 21，又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，所以|x 1|＝22，|y 1|＝2，所以△AOB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1.所以△AOB 的面积为定值．②当直线AB 的斜率存在时：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 24＋x 2＝1得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由x 1x 2＋y 1y 24＝0，得x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4＝0，整理得： 2b 2－k 2＝4，所以S △AOB ＝12·|b |1＋k2|AB |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1，所以△AOB 的面积为定值．18．(本小题满分14分)(2020·淄博模拟)椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为5 2.(1)求此时椭圆G 的方程；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P (0，33)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1)根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分， 故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心．[ : ]故该椭圆中a ＝2b ＝2c ，即椭圆方程可为x 2＋2y 2＝2b 2. 设H (x ，y )为椭圆上一点，则|HN |2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b ≤y ≤b ， 若0<b <3，则y ＝－b 时，|HN |2有最大值b 2＋6b ＋9. 由b 2＋6b ＋9＝50得b ＝－3±52(舍去)， 若b ≥3，当y ＝－3时，|HN |2有最大值2b 2＋18. 由2b 2＋18＝50得b 2＝16， ∴所求椭圆方程为x 232＋y 216＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2132＋y 2116＝1，x 2232＋y2216＝1，两式相减得x 0＋2ky 0＝0.③又直线PQ ⊥直线m ，∴直线PQ 方程为y ＝－1k x ＋33将点Q (x 0，y 0) 代入上式得，y 0＝－1k x 0＋33④由③④得Q (233k ，－33)，而Q 点必在椭圆内部．∴x 2032＋y 2016<1.由此得k 2<472，又k ≠0，∴－942<k <0或0<k <942. 故当k ∈(－942，0)∪(0，942)时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称．。

（9）解析几何1、若直线()(213)a x a y ＋＋－＝与直线1230))2((a x a y －＋＋＋＝互相垂直，则a 等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．－22、在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A. B.C. D.3、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．2k ≥或34k ≤B ．324k ≤≤C ．34k ≥D ．2k ≤4、直线l 过点()1,2P -且与以点()3,2M --、()4,0N 为端点的线段恒相交,则l 的斜率取值范围是( )A. 2,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. (]2,00,25⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭C. [)2,5,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D. [)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦5、若直线0)12()1(:=--+-m y m x m l 与曲线()224:2+--=x y C 有公共点，则直线l 的斜率的最小值是（ ） A.5623+ B.41 C. 5623-D.516、椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 与圆222()2+=+b x y c （c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是 （ ）A ．5355<<eB ．315<<eC ．515<<e D ．305<<e7、如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,,P Q M N 则9PN QM +的最小值为（ ）A.36 B ．42 C.49D ．508、若M 是椭圆22194x y +=上任意一点，则点M 到直线2100x y +-=的距离的最小值为( )A. 5B. 10C.10D. 59、过点(0,1)A 作直线l ,与双曲线2219y x -=有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( )A.0B.2C.4D.无数 10、如图,过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ,l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点,令1AF BF λ=,2BC BFλ=,则当3πα=时, 12λλ+的值为( )A.4B.5C.6D.711、过点1(,1)2M 的直线与圆22:(1)4C x y -+=交于A B 、两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线的方程为__ _．12、已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P 点到直线:250l x y +-=的距离的最小值为___________13、已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是____________.14、已知直线l 过点(0,3)M ，l 与抛物线2y x =交于,E F 两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点(0,)P t ，使得PEF △的内心在y 轴上，则实数t =__________．15、已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点()2,1，椭圆2C 的两个焦点分别为12,F F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且3AB =，曲线3C 是以坐标原点O 为圆心，以2OF 为半径的圆. (1)求2C 与3C 的标准方程；(2)若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M,N 两点，求OMN △的面积S 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：D解析：如图,∵()()()1,2,3,2,4,0P M N ---,∴()22231PM k --==---,()022415PN k -==---.由图可知,使直线l 与线段MN 相交的l 的斜率取值范围是[)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选D.考点:直线的倾斜角和斜率.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A 解析：7答案及解析：答案：B 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：C解析：由题意可知所求直线l 的斜率一定存在,设直线l 的斜率一定存在,设直线方程为1y kx =+由22119y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(9)2100k x kx ---= (*) ①当290k -=,即3k =±时,(*)式只有一解,即方程组只有一解,此时直线l 与双曲线的渐近线平行,有两条符合题意的直线;②当290k -=时,令0∆=,即22440(9)0k k +-=解得10k =±此时直线l 与双曲线相切,符合题意的直线有两条 综上,符合条件的直线有4条10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：2430x y -+= 解析：12答案及解析： 答案：102解析：13答案及解析：答案：33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：14答案及解析： 答案：-3 解析：15答案及解析： 答案：(1)由已知设抛物线1C 的方程为()220x py p =>， 则42p =，解得2p =，即1C 的标准方程为24x y =.则()20,1F ，不妨设椭圆2C 的方程为()222210,0y x a b a b +=>>，由222211y x a by ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2b x a =±，所以223b AB a ==， 又221a b =+，所以2,3a b ==，故2C 的标准方程为22143y x +=.易知21OF =，所以3C 的标准方程为221x y +=.(2)因为直线l 与3C 相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以1122MN S MN =⨯⨯=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得到的OMN △的面积相等. 由221431y x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得263y =±. 不妨设26261,,1,33M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则463MN =， 此时2623MN S ==. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，则211m k -=+，即221m k =+.由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223463120k x kmx m +++-=， 所以 ()()()()222222236434312484348230k m k m k m k ∆=-+-=+-=+>恒成立. 设()(),,,M M N N M x y N x y ，则2226312,3434M N M N km m x x x x k k --+==++. 所以 ()()2222222222222114224823163121231231412343423434MN M NMN S k x x x x k km m k k k k k k k k ==++-+--++⎛⎫=+-⨯=+=⎪++++⎝⎭.令()2344k t t +=≥，则243t k -=， 所以22223212311233t t S t t t--⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭， 令1'm t =，则1'(0,]4m ∈， 易知2''2y m m =--+区间1(0,]4上单调递减，所以 32623S ≤<.综上，OMN △的面积S 的取值范围为326[,)23.解析：。

增分强化练一、选择题1．直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－52B.72C.56D.16解析：∵直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，∴3(1－2a )－2＝0，∴a ＝16，故选D. 答案：D2．过点(1，－1)且与直线x －2y ＋1＝0平行的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y ＋1＝12(x－1)，即x －2y －3＝0.故选C. 答案：C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7D.133解析：当m ＝－3时，两条直线分别化为：2y ＝7，x ＋y ＝4，此时两条直线不平行；当m ＝－5时，两条直线分别化为：x －2y ＝10，x ＝4，此时两条直线不平行；当m ≠－3，－5时，两条直线分别化为：y ＝－3＋m 4x ＋5－3m 4，y ＝－25＋m x ＋85＋m ，∵两条直线平行，∴－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.综上可得：m ＝－7.故选A. 答案：A4．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5)D ．(－5,3)解析：根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x －4y －27＝0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为－43，又P (2,1)，则该直线的方程为：y －1＝－43(x －2)即4x ＋3y －11＝0，与已知直线联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －11＝0 ①3x －4y －27＝0 ②①×4＋②×3得25x ＝125，解得x ＝5， 把x ＝5代入①解得y ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－3，所以直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)． 故选A. 答案：A5．圆x 2＋y 2＝8与圆x 2＋y 2＋4x －16＝0的公共弦长为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：两圆方程作差得x ＝2，当x ＝2时，由x 2＋y 2＝8得y 2＝8－4＝4，即y ＝±2， 即两圆的交点坐标为A (2,2)，B (2，－2)， 则|AB |＝2－(－2)＝4， 故选B. 答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心， ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线， ∴其方程为：y ＋2x －1＝1＋22－1， 整理，得3x －y －5＝0. 故选A. 答案：A7．圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝3x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1D. 2解析：圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|(3)2＋1＝32，弦长为2·1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 答案：C8．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则 “k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A. 答案：A9．(2019·青岛模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：直线l 方程为kx －y ＋2k ＝0， 当直线l 与圆C 相切时可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴直线l 与圆C 相交时，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－33，33， ∴所求的概率P ＝23323＝13.故选C. 答案：C10．(2019·威海模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，则b 的值为( )A ．－2或2B ．2或43＋2C ．－2或43＋2D ．－43－2或2解析：由圆(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1，设圆心(2,0)到直线y ＝3x ＋b 的距离为d ，则d ＝|23＋b |3＋1，因为圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，所以d －r ＝3，即|23＋b |3＋1－1＝3，解得b ＝2或b ＝－43－2，故选D.答案：D11．圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝9和C 2：x 2＋(y －2)2＝1，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的点，P 是直线y ＝－1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆C 1关于y ＝－1的对称圆的圆心坐标A (1，－5)，半径为3，圆C 2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P ，C 2，A ，三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC 2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A. 答案：A12．设过点P (－2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的两个交点为A ，B ，若8PA →＝5AB →，则|AB |＝( ) A.855 B.463 C.665D.453解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0x ＝my －2，得(m 2＋1)y 2－(8m ＋2)y ＋13＝0，则y 1＋y 2＝8m ＋2m 2＋1，y 1y 2＝13m 2＋1，又8PA →＝5AB →，所以8(x 1＋2，y 1)＝5(x 2－x 1，y 2－y 1)，故8y 1＝5(y 2－y 1)，即y 2＝135y 1，代入y 1y 2＝13m 2＋1得：y 21＝5m 2＋1，故y 22＝16925×5m 2＋1，又(y 1＋y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，即y 21＋y 22＋2y 1y 2＝19425×5m 2＋1＋26m 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，整理得：m 2－40m ＋76＝0，解得m ＝2或m ＝38，又|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝23m 2＋8m －12m 2＋1，当m ＝2时，|AB |＝855；当m ＝38时，|AB |＝855.综上，|AB |＝855.故选A. 答案：A 二、填空题13．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为________． 解析：∵直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直， ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(a ＋2－2a －3)＝0， ∴(a －1)(a ＋1)＝0， ∴a ＝1或a ＝－1. 答案：±114．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t >0, ∴半径为r ＝|t |＝t ，∵圆C 截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|t －0＋1|2＝t 2－1，∴t 2－2t －3＝0， ∴t ＝3或t ＝－1(舍)， 故t ＝3， ∴(x －3)2＋y 2＝9. 答案：(x －3)2＋y 2＝915．已知圆x 2＋y 2＝9被直线mx ＋y －2m －1＝0所截得弦长为32，则实数m 的值为________． 解析：因为圆x 2＋y 2＝9的圆心是(0,0)，半径为3， 根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322， 所以d ＝|－2m －1|m 2＋1＝322，解得m ＝1或m ＝7.答案：1或716．已知点P (－1,2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________． 解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，由反射的对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，|PQ |＋|QT |＝|P ′T |， ∵圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心坐标为A (3,4)，半径r ＝2， ∴|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52， |AT |＝r ＝2，∴|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3. 答案：4 3增分强化练考点一 圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线l 的倾斜角为π3，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的方程为( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由x 2a 2－y 2b 2＝0可得y ＝±b a x ，即渐近线的方程为y ＝±bax ，又一条渐近线l 的倾斜角为π3， 所以b a ＝tan π3＝ 3.因为双曲线C 的一个焦点(c,0)到l 的距离为3， 所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D.答案：D4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 225＋y 216＝1的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，则|PF 1|·|PF 2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a ＝5，c ＝3，根据椭圆的定义，有|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－|PF 1|，故|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(10－|PF 1|)，由于|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,8]注意到二次函数y ＝x (10－x )的对称轴为x ＝5，故当x ＝2，x ＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16. 答案：16考点二 圆锥曲线的性质1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1 ，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴为2a ＝1 ，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±bax ，A (a,0)，F (c,0)， 则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c， 点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b2＝bcc＝b ， ∴d 1∶d 2＝ab c∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b a ＝c 2－a 2a ＝a a＝1， ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1(a ＞b ＞0)的渐近线方程y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 答案：2 24．(2019·株洲模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若△F 1BD 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________． 解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )． 由题意得△F 1BD 为等腰三角形，且|DF 1|＝|DB |.由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ， 又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ， ∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝|DF 2|sin ∠BF 2O ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝|DF 2|cos ∠BF 2O ＝a 2×c a ＝c 2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.又点D 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，整理得3c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝33. 答案：33考点三 直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A.14B.34C.32D. 3解析：由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ， 不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋1x 24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17 ， 又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B.答案：B2．已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则MN 的最小值为________．解析：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by 2＝2px ⇒4x 2＋(4b －2p )x ＋b 2＝0,则52＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2b －p 22－4×b 42， 又直线l 经过C 的焦点，则－b 2＝p 2，∴b ＝－p ，由此解得p ＝2, 抛物线方程为y 2＝4x ，M (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0，则|MN |2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋4x 0＝(x 0－1)2＋8, 故当x 0＝1时，|MN |min ＝2 2. 答案：2 23．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点G (0,1)作直线l 与曲线交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最大值．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3(a －c )a 2＝b 2＋c21a 2＋94b2＝1，解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k23＋4k2d ＝1k 2＋1，∴S △ABO ＝12×d ×1＋k 2|x 1－x 2|＝26·1＋2k 23＋4k 2， 令 1＋2k 2＝t ，∵k 2≥0，∴t ≥1， ∴S △ABO ＝26t 2t 2＋1＝262t ＋1t，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t≥3，∴S △ABO ≤263，∴△ABO 面积的最大值为263.增分强化练考点一 直线的方程1．直线mx ＋y －m ＋2＝0恒经过定点( ) A ．(1，－1) B ．(1,2) C ．(1，－2)D ．(1,1)解析：直线mx ＋y －m ＋2＝0，化为：m (x －1)＋y ＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．故选C. 答案：C2．(2019·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D.10解析：设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，所以A ′(3,1)．要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A. 答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x －y ＝a ，将A (－2,4)代入得，a ＝－6， ∴此时所求的直线方程为x －y ＋6＝0. 答案：2x ＋y ＝0或 x －y ＋6＝04．平行线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0平行，可得5m ＝126，解得m ＝52，即5x ＋12y ＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d ＝|－10－4|52＋122＝1413. 答案：1413考点二 圆的方程1．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：因为方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0要表示一个圆，所以2＋4m >0 解得：m >－12，故选A.答案：A2．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．1D ．3解析：圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k ＝4. 所以圆的方程为：x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，圆的半径为：12 42＋22－4×(－4)＝3. 故选D.答案：D3．已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3) 2＋(y －4)2＝25解析：由题意可知：O (0,0)，C (6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62＋(－8)2＝10，据此可得圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C.答案：C4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A. 答案：A考点三 直线与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数是( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的圆心(0,2)半径为2，O 1O 2＝12＋22＝5，∵1＜5＜3，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数2.故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)已知直线l ：3x －4y －15＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0(r >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝36 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝16 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝49解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝r 2，设圆心(1,2)到直线l 的距离为d ，则d ＝|3－8－15|5＝4，又|AB |＝6，根据r 2＝32＋42＝25，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.故选A. 答案：A3．(2019·汕头模拟)已知直线l 与圆x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 的坐标为(－1,1)，则直线l 的方程为________．解析：因为圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为C (0,2)，又点P 坐标为(－1,1)， 所以直线CP 的斜率为k CP ＝2－10＋1＝1； 又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点， 所以AB ⊥CP ，故k AB ＝－1，即直线l 的斜率为－1， 因此，直线l 的方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝04．直线2x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＝0y ＝－2x ＋3，整理可得5x 2－10x ＋3＝0，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝(－2x 1＋3)＋(－2x 2＋3)＝－2(x 1＋x 2)＋6＝2， 据此可得M (1,1)，|OM →|＝1＋1＝2，结合平面向量的运算法则有|OA →＋OB →| ＝|2OM →| ＝2 2. 答案：2 2增分强化练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值． 解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1， 又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4， ∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3，②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k2， 由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1kx ，所以|OQ |＝1k2＋1123＋41k 2＝ 1＋k 2123k 2＋4， 所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝6(k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2，(k 2＋1)2k2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值． 解析：(1)依题意F 1(－c,0)， ∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3， ∵e ＝c a ＝32， ∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列，∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3， 即83k21＋4k 2＝3， 解得k 2＝14，故k 1k 2＝14.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p2.由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x . (2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)， 所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋t消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4， 所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时， 不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值． 当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.增分强化练一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(±2,0)B ．(±2，0)C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34x D ．y ＝±64x 解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k，由题意得4＋k 2＝k ＋9k ，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ， 故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( ) A ．x 2－y 22＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B.答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8，故选C. 答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1 (b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.32 B ．2 C.52D ．4解析：以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ， 则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2， 所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2， 又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝ 1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C. 答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点， 连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2. ∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53. ∴椭圆E 的离心率范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，53. 故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B.答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝b ay ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A. 答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)． 答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________． 解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ， 其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点， 综上共有2条直线符合要求． 答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||PA |取得最小值时，直线AP 的方程为________． 解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |PA |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t2＋24≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254， 又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0， 解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95.由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列， 得 (x 1－4)2＋y 21＋ (x 2－4)2＋y 22＝2×95，①点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21 ＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，② 同理可得 (x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围． 解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22， 得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22， 则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立． 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.增分强化练(三十一)考点一 范围、最值问题(2019·大连模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为：y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1.即l ：y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝－1，即M (2k ，－1)，M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝(1＋k 2)[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4， 当k ＝0时，△MAB 面积取得最小值4. 考点二 定点、定值问题(2019·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点M 在C 的长轴上运动，过点M 且斜率大于0的直线l 与C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于N 点．当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当N ，P ，Q ，M 均不重合时，记NP →＝λNQ →，MP →＝μMQ →，若λμ＝1，求证：直线l 的斜率为定值．解析：(1)因为当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2，所以a ＝|PM |＝2，故b c ＝tan π6＝33， 因为a 2＝b 2＋c 2， 因此c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋m (m ≠0)，所以M (m,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m t ，所以k l ＝1t .因为斜率大于0，所以t >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋m t ，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋m t ，由NP →＝λNQ →得，x 1＝λx 2，①同理可得y 1＝μy 2，②①②两式相乘得，x 1y 1＝λμx 2y 2，又λμ＝1，所以x 1y 1＝x 2y 2，所以(ty 1＋m )y 1＝(ty 2＋m )y 2，即t (y 21－y 22)＝m (y 2－y 1)，即(y 2－y 1)[]m ＋t (y 1＋y 2)＝0，由题意k l >0，知y 1－y 2≠0，所以m ＋t (y 1＋y 2)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，依题意，y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，所以m －2t 2mt 2＋4＝0，又m ≠0，所以t 2＝4，因为t >0，故得t ＝2，所以k l ＝1t ＝12，即直线l 的斜率为12.考点三 存在性问题已知抛物线y 2＝4x ，过点P (8，－4)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当P 恰为AB 的中点时，显然x 1≠x 2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝－8，故k AB ＝－12， 则直线l 的方程为y ＝－12x . (2)假设存在定点Q ，设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －8)－4(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝k (x －8)－4，整理得ky 2－4y －32k －16＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－32－16k， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)16＋1(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0， 故(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋16＝0，整理得(y 20－16)k ＋4(y 0－4)＝0，即当y 0＝4时，恒有QA →·QB →＝0，故存在定点Q (4,4)满足题意；当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝8，不妨令A (8,42)，B (8，－42)，Q (4,4)，也满足QA →·QB→＝0，综上所述，存在定点Q (4,4)，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q .。

考点专训卷（10）解析几何1、已知()(),2,?3,1Aa Bb +,且直线AB 的倾斜角为90o,则,?a b 的值为( )A. 3,1a b ==B. 2,2a b ==C. 2,3a b ==D. 3,a b R =∈且1b ≠2、以(1,1),(5,3),(0,3)A B C 为顶点的三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3、已知圆 222:2450M x y ax y a+-++-=,圆N 过(1,0),(2222-三点,若圆M 与圆N 相交,则实数a 的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (0,2)C. (-D. (-⋃4、已知圆224x y +=,直线:l y x b =+若圆224x y +=上有2个点到直线l 的距离等于1.则以下b 可能的取值是( ) A.1C.2D.5、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(,)Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，则y bx a--的取值范围是（ ）A.[2,2]-B.44,33⎡---+⎢⎣⎦C.13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.6633⎡+⎢⎣⎦6、以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是( )A ．2212x y -=B ．221x y -= C ．221y x -= D ．2212y x -=7、已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点12,F F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=o ,则12F PF △的面积为( )A ．B ．43C D ．8(2-8、过点(1,1)P -作直线与椭圆22124x y +=交于,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为P 点，则AB 所在直线方程是( )A ．210x y +-=B ．230x y ++=C ．210x y ++=D ．230x y -+=9、已知直线:30l x +=与椭圆22:143x y C +=交于 A B ，两点，过 A B ，分别作l 的垂线与x 轴交于 C D ，两点，则CD =（ ）A B ．1613 C. 3213D ．301310、若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为( )AB C D11、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812、已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F -,，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=13、双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为_______14、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,,A B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足30,45MAB MBA ︒︒∠=∠=，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______. 15、椭圆22124x y +=的焦点坐标为 ．16、已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b -=>>与双曲线222222222:1(0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是 ．17、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,左顶点为A ,以F 为圆心,FA 为半径的圆交C的右支于,M N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N,则C的离心率为_________.18、从12345，，，，这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是__________.19、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，点M是C长轴上的一个动点，过点M的直线l与C交于,P Q两点，与y轴交于点N，弦PQ的中点为R．当M为C的右焦点且l的倾斜角为5π6时，,N P重合，2PM=．（1）求椭圆C的方程；（2）当,M N均与原点O不重合时，过点N且垂直于OR的直线l与x轴交于点H．求证：OMOH为定值．20、已知点(4,0)P,点Q在曲线2:4C y x=上．(1).若点Q在第一象限内,且4PQ=,求点Q的坐标；(2).求PQ的最小值．答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：∵直线AB 的倾斜角为90o , ∴直线AB 垂直于 x 轴,∴312,R a b b =⎧⎨+≠∈⎩∴3,1a b =≠且b R ∈.2答案及解析： 答案：B解析：求得5,AB BC CA ===222BC AB CA =+,故△ABC 为直角三角形.3答案及解析： 答案：D解析：由题可知,圆M 的标准方程为22()(2)9x a y -++=,因为圆N 过三点,所以圆N 的方程为221xy +=,,若圆M 与圆N 相交,则3131-<<+,解得a -<<0a≠,故选D.4答案及解析： 答案：C 解析：5答案及解析： 答案：B 解析：6答案及解析： 答案：B 解析：7答案及解析： 答案：C 解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：C解析：如图：联立22330143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得213183150y-+=，设1122,,()(),A x yB x y,则12183y y+=，121513y y=，218315163441313AB-⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵直线:330l x+=的倾斜角为30︒，∴163321330133ABCDcos===︒.10答案及解析：答案：C解析：依题意可得渐近线方程为0bx ay±=,而圆的标准方程为()2239x y-+=.由弦长为5,可得圆心()3,0到渐近线的距离为2,故222a b=+,即2245ba=,所以离心率222355c a b e a a +===,故选C.11答案及解析： 答案：C解析：设椭圆上任意一点00(,)P x y ，则有2200143x y +=，即220033,4y x =-()220030,3,40y x O =-，0()1,F -，则22000001(1)34OP FP x x y x x ⋅=++=++u u u r u u u r201(2)24x =++. ∵02x ≤，∴当02x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r取得最大值为6.12答案及解析： 答案：B解析：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B△中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B ．13答案及解析： 答案：17解析：∵双曲线224640x y -+=， ∴双曲线的标准方程是2216416y x -=，∴8,a c ==双曲线上一点P 到它的一个焦点的距离等于1， 设点P 到另一个焦点的距离为x ， 则由双曲线定义知：116x -=， 解得17x =,或15x =-(舍). ∴点P 到另一个焦点的距离是17.14答案及解析：答案：1解析：15答案及解析：答案：(0, 解析：16答案及解析：答案：1(,+)2∞解析：17答案及解析： 答案：43解析：18答案及解析：答案：15解析： 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数， 基本事件总数2510n C ==，这2个数的和为6包含的基本事件有：()()1,5,2,4，共2个，则这2个数的和为6的概率是21105p ===20%.19答案及解析：答案：（1）因为当M 为C 的右焦点，且l 的倾斜角为5π6时，,N P 重合，2PM =.所以2a b c=⎧⎪⎨⎪⎩，因此1,b c ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线()()()1122:0,,,,l y kx m kP x y Q x y =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得：()222148440k x kmx m +++-=，所以2121222844,4141km m x x x x k k --+==++， 所以2241,,44141OR km m R k k k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭所以直线l 的方程为4y kx m =+，所以点H 的坐标为,04m k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又因为点,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4OM OH =为定值. 解析：20答案及解析：答案：设()21,04Q y y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭．(1).由题意得4PQ =,解得4y =．∴点Q 的坐标为()4,4(2).PQ=28y =时，PQ取到最小值 因此，PQ的最小值为 解析：。

2020年高考数学二轮专题复习解析几何习题精选一、选择题：1、直线3y 3x =+的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。

A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π2、直线m 、l 关于直线x = y 对称，若l 的方程为1x 2y +=，则m 的方程为＿＿＿＿＿。

A ．21x 21y +-= B ．21x 21y --= C ．21x 21y +=D ．21x 21y -=3、已知平面内有一长为4的定线段AB ，动点P 满足|PA|—|PB|=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。

A ．1B ．23C ．2D ．34、点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈()1,-∞-，则λ所对应的点P 的集合是＿＿＿。

A ．线段21P PB ．线段21P P 的延长线C ．射线21P PD ．线段21P P 的反向延长线5、已知直线L 经过点A ()0,2-与点B ()3,5-，则该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。

A ．150°B ．135°C ．75°D ．45°6、经过点A ()1,2且与直线04y x 3=+-垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。

A ．05y 3x =++B ．05y 3x =-+C ．05y 3x =+-D ．05y 3x =--7、经过点()0,1且与直线x 3y =所成角为30°的直线方程为＿＿＿＿＿＿。

A ．01y 3x =-+ B ．01y 3x =--或1y =C ．1x =D ． 01y 3x =--或1x =8、已知点A ()3,2-和点B ()2,3--，直线m 过点P ()1,1且与线段AB 相交，则直线m 的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

A ．4k 43k -≤≥或 B ．43k 4≤≤- C ．51k -< D ．4k 43≤≤- 9、两不重合直线0n y mx =-+和01my x =++相互平行的条件是＿＿＿＿＿＿。

（2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【肢解2】若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知12342AF BF x x +=++=，所以1252x x +=， 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ， 由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <， 所以121212592m x x -+=-=，解得78m =-，所以直线l 的方程为3728y x =-，即12870x y --=. 【肢解2】若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB ．【解析】设直线l 方程为23x y t =+， 专题 解析几何大题肢解一直线与抛物线联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ， 由韦达定理知221=+y y ，因为PB AP 3=，所以213y y-=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y . 则=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)3(4294123134.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．【拓展1】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若27||||=+BF AF ，求l 在y 轴上的截距. 【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知123722AF BF x x +=++=，所以122x x +=， 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ， 由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <， 所以12121229m x x -+=-=，解得21m =-，所以直线l 的方程为3122y x =-，令0=x 得21-=y ，所以直线l 在y 轴上的截距为21-. 【拓展2】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若2AP PB =u u u r u u u r，)0,4(-M ，求ABM ∆的面积．【解析】设直线l 方程为23x y t =+， 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ， 由韦达定理知221=+y y ，t y y 321-=，因为PB AP 2=，所以212y y -=，所以22-=y ，41=y ，所以821-=y y .38-=t ， 所以=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)8(429412132， 直线l 方程为2833x y =-，即0823=+-y x ，所以点)0,4(-M 到l 的距离13413|812|=+-=d ， 所以ABM ∆的面积为413413221||21=⨯⨯=⋅d AB ．1.（2019年山西太原一模)已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为6，求||AB .【解析】由题意知抛物线x y 42=的焦点F 的坐标为)0,1(， 易知当直线AB 垂直于x 轴时，AOB ∆的面积为2，不满足题意， 所以可设直线AB 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ， 与x y 42=联立，消去x 得0442=--k y ky ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理知ky y 421=+，421-=y y ， 所以1616||221+=-ky y ， 变式训练一所以AOB ∆的面积为616161212=+⨯⨯k，解得2±=k ， 所以6||11||212=-⋅+=y y k AB . 2.（2019年湖北荆州模拟)已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点.（1）若3AF FB =u u u r u u u r，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值. 【解析】（1）依题意可设直线:1AB x my =+，将直线AB 与抛物线联立214x my y x=+⎧⎨=⎩⇒2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得121244y y my y +=⎧⎨=-⎩，因为3AF FB =u u u r u u u r ，所以213y y -=，即312=m ，所以直线AB 的斜率为3或3-． （2）2212121212122()4161642OACB AOB S S OF y y y y y y y y m ∆==⋅⋅-=-=+-=+≥， 当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4．（2020届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大. 【肢解1】求椭圆C 的方程； 【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.大题肢解二【肢解1】求椭圆C 的方程；【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点得()222222221011321m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 解得21n =，24m =， 所以椭圆:C 2214x y +=. 【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【解析】将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得22m -<<.由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.()()22221212124442284x x x x x x m m m -=+-=--=-242121222OPQ S m x x m m m m ∆=-=-=-+. 由二次函数可知当21m =即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2|y 1－y 2| ＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.【变式1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线)0(21:>+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若APQ ∆的面积为1+m ，求m 的值. 【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点得()222222221011321m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 解得21n =，24m =. 所以椭圆:C 2214x y +=. （2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得22m -<<.设),(11y x P ，),(22y x Q ，韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.所以)22(4)2()21(1||222---⋅+=m m PQ 252+-⋅=m ，由点到直线的距离公式得点)1,0(-A 到直线l 的距离5|22|m d +=. 所以APQ ∆的面积为255|22|212+-⋅⋅+⋅m m 2|1|2+-⋅+=m m ， 因为APQ ∆的面积为1+m ，所以12|1|2+=+-⋅+m m m ，解得1=m 或1-=m （舍去）. 所以1=m ．变式训练二【变式2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，其中左焦点为)0,2(-F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，1ABF ∆的面积为)2(6-m ，求直线的方程．【解析】(1)由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222222c b a c a c 解得⎩⎨⎧==222b a ，所以椭圆C 的方程为14822=+y x . （2）设点),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822消去y 得0824322=-++m mx x ， 由0)84(12)4(22>--=∆m m 得3232<<-m ，由韦达定理知3421mx x -=+，382221-=m x x ，所以)82(4)34(2||22---⋅=m m AB 367342+-=m ， 由点到直线的距离公式得)0,2(1-F 到直线m x y +=的距离2|2|m d -=， 所以1ABF ∆的面积为36342|2|212+-⋅-⋅m m )2(6-=m ，解得3±=m ，满足3232<<-m ， 所以所求直线方程为3+=x y 或3-=x y .1.（2019年山东高考模拟）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A 的纵坐标为2(52)A y =-，结合抛物线定义得||2522A pAF y =+=-. （2）由22x py =得22x y p =，x y p'=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000xy y x x p-=-.即000x x py py --=. 又由0220||2py ON x p -==+得02084y p y =-且2040y ->， 所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-220000020824244y py y y y y =+-=+-- ()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+--- 2020641644y y =++--.令204t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈， 令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减， 当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增， 又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN 的最大值为1355.2.（2020黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)23,22(与点)22,1(--. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1(0,)2-，且斜率为()10k k-≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意，可得2222231441214a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，所以∆>0，即2221k m +>，……….①且2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， 所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-+，纵坐标为00212my kx m k=+=+， 将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2122k m += ……… ②，由①②可得232k <，又0k ≠，所以66(,0)(0,)22k ∈-⋃， 又222221212211()48(12)812k AB kx x x x k m k +=++-=+-+，且原点O 到直线AB 的距离21m d k =+，所以22218(12)822(12)AOB m S AB d k m k ∆==⋅+-+2212168242m m m m =-=-， 所以1m =时，AOB S ∆最大值22，此时22k =±， 所以22k =±时，AOB S ∆最大值22.3.（2020福建省宁德市高三第一次质量检查）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(,)2Q t 在抛物线C上，且32QF =. （1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOB MON S S D D =，求直线l 的方程.【解析】（1）因为3||2QF =，所以13222p +=，所以2p =，抛物线C 的方程为：24y x =， 将1(,)2Q t 代入24y x =得2t =，（2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ， 显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=，因为22Δ16(1)160k k =-->，得12k <且0k ≠， 所以1212224(1)4,k x x x x k k -+==， 因为ΔΔ3AOB MON S S =，所以||3||AB MN =，所以 221201310kx x k x +-=+-，即1203x x x -=，因为N 是AB 的中点，所以1202x x x +=， 所以22121212()()434x x x x x x ++-=?，整理得21212()16x x x x +=所以2224(1)64[]k k k -=，解得1211,3k k =-=，所以直线l 的方程为：2y x =-+或123y x =+. 4.（2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【解析】（1）设(),0F c ，因为直线AF 的斜率为233，()0,2A -， 所以2233c =，3c =. 又2223,2c b a c a ==-，解得2,1a b ==， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立22142,x y y kx +==-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，所以32k <-或32k >，由韦达定理知1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以()22121214PQ kx x x x =++-2222164811414k k k k ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭222414314k k k +-=+， 点O 到直线l 的距离221d k =+，所以221443214OPQk S d PQ k ∆-==+， 设2430k t -=>，则2243k t =+，所以244414424OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =，即2432k -=， 解得72k =±时取等号，满足234k >，所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：722y x =-或722y x =--.5.（2020广东省佛山市高三教学质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线2l ：y kx =与椭圆C 交于M ，N 两点，交1l 于P 点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足14OP MN =，求此时MN 的长度. 【解析】（1）由题意得12c e a ==，2223121ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，结合222a b c =+， 解得24a =，23b =，21c =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）易知定直线1l 的方程为330x y +-=.联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412k x +=，解得21234x k =±+， 令M 点的坐标为221212,3434k kk ⎛⎫ ⎪⎪++⎝⎭. 因为14OP MN =，由对称性可知，点P 为OM 的中点，故2212123434(,)22k k k P ++， 又P 在直线1l ：330x y +-=上，故221212343433022k k k ++⨯+-=， 解得10k =，2233k =，所以M 点的坐标为()2,0或643,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2OM =或2215，所以MN 的长度为4或4215.6.（2020广西名校高三上学期12月高考模拟）如图，中心为坐标原点O 的两圆半径分别为11r =，22r =，射线OT 与两圆分别交于A 、B 两点，分别过A 、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l 、2l ，1l 交2l 于点P ．（1）当射线OT 绕点O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线l ：3y kx =+与曲线E 交于M 、N 两点，两圆上共有6个点到直线l 的距离为12时，求MN 的取值范围．【解析】（1）设(),P x y ,OT 与x 轴正方向夹角为θ,则cos sin x OA y OB θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，化简得2214y x +=,即P 点的轨迹E 的方程为2214y x +=. （2）当两圆上有6个点到直线1的距离为12时,原点O 至直线l 的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 即2133221k <<+,解得21,113k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 联立方程22314y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2242310k x kx ++-=， 设()11,M x y ,()22,N x y ,则122234k x x k +=-+,12214x x k=-+， 所以()()2222121222212414144k MN kx x x x k k k =++-=++++()2224134144k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则1616,135MN ⎛⎫∈⎪⎝⎭.7.（2020辽宁省沈阳市东北育才学校高三模拟）已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为14-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =u u u u r u u u r，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--g ． 又2211221x y a b +=，代入上式可得2214b a -=-，又2a =，解得1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(4)240t y mty m +++-=， 由韦达定理知12224mty y t +=-+，212244m y y t -=+，因为2AM MB =u u u u r u u u r，所以122y y =-，所以122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． 所以OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=， 22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +==⨯⨯=⨯++++g ．所以212||1214949||||t S t t t ==++…，当且仅当249t =时取等号． 所以OAB ∆面积的最大值为1．。

2019-2020年高三数学二轮复习高考大题专攻练9解析几何(A组)理新人教版1.椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点P为椭圆上一动点,△F1PF2面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A,B两点,连结A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,问·是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由. 【解析】(1)已知椭圆的离心率为,不妨设c=t,a=2t,即b=t,其中t>0,又△F1PF2面积取最大值时,即点P为短轴端点,因此·2t·t=,解得t=1,则椭圆的方程为+=1.(2)设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)联立可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,则y1+y2=,y1y2=,直线AA1的方程为y=[x-(-2)],直线BA1的方程为y=[x-(-2)],则P,Q,则=,=,则·=9+=+9=0,即·为定值0.2.已知点P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2,且·=2,tan∠OPF2=,其中O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)已知点M(-1,0),设Q是椭圆C上的一点,过Q,M两点的直线l交y轴于点N,若=2,求直线l的方程.(3)作直线l1与椭圆D:+=1交于不同的两点S,T,其中S点的坐标为(-2,0),若点G(0,t)是线段ST垂直平分线上一点,且满足·=4,求实数t的值.【解析】(1)由题意知,在△OPF2中,PF2⊥OF2,又因为tan∠OPF2=,所以c=,r=1,则点P的坐标为(,±1).因为点P在椭圆+=1上,所以有+=1,又因为a2-b2=c2=2.所以a2=4,b2=2,即椭圆C的方程为:+=1.(2)由题意知椭圆C的方程为:+=1.依题意知直线l的斜率存在,设为m,故直线方程为y=m(x+1),N(0,m),设Q(x1,y1),因为=2,所以(x1,y1-m)=2(-1-x1,-y1),解得x1=-,y1=,又Q是椭圆C上的一点,则+=1.解得m=±4,所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0.(3)依题意知D:+y2=1.由S(-2,0),设T(x2,y2),根据题意可知直线l1的斜率存在,可设直线斜率为k,则直线l1的方程为y=k(x+2),把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,1+4k2≠0,Δ=(16k2)2-4(1+4k2)(16k2-4)=16>0.由根与系数的关系得-2+x2=-,则x2=,y2=k(x2+2)=,所以线段ST的中点坐标为.①当k=0时,则有T(2,0),线段ST垂直平分线为y轴,于是=(-2,-t),=(2,-t),由·=-4+t2=4, 解得:t=±2.②当k≠0时,则线段ST垂直平分线为:y-=-,因为点G(0,t)是线段ST垂直平分线上的一点,令x=0得:t=-,于是=(-2,-t),=(x2,y2-t),由·=-2x2-t(y2-t)==4,解得:k=±,代入t=-,解得:t=±,综上可知,满足条件的实数t的值为±2或±.。

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， 22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜PA |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R)，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 ⇔⇔⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan|k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ,231312-=+-+=BC k ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈Y k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时， 可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜PA ｜的最小值；(2)若|PA |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0， 所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内．3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离．4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程； (2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM所以，即圆心到直线l 的距离为1，于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0． 【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．,1||||||22=-=PM CP CM 11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．5,11k k -=Θ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62253．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．1=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 2325511．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F。

最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）解析几何1、在△ABC 中，若A ＝60°，a则sin sin sin a b cA B C+-+-等于（ ）A ．2 B.12【答案】A 【解析】因为sin sin sin a b c A B C +-+-＝sin aA＝2.2、直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是（）.A 1,135ο.B 1,45-ο.C 1,45ο.D 1,135-ο【答案】D【解析】因为k=-1,所以直线的倾斜角为135o ；当x=0时，y=-1,所以其在y 轴上的截距分别是-1.3、与直线+32=0x y -关于x 轴对称的直线方程为（） A ．32=0x y --B ．32=0x y -+ C ．+32=0x y +D ．3+2=0x y - 【答案】A【解析】直线023=-+y x 与x 轴的交点为()0,2，与y 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0关于x 对称点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，所求直线过点()0,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，因此斜率3120032=---=k ，因此所求直线()2310-=-x y 023=--y x .4、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左焦点F 斜率为ab的直线分别与C 的两渐近线交于点P 与Q ，若FP PQ =u u u r u u u r，则C 的渐近线的斜率为（）A ．3±B ．2±C ．1±D ．5± 【答案】A【解析】如图:双曲线左焦点(),0F c -,直线的方程为:()ay x c b=+,两条渐近线方程为:by x a=±解方程组得222222,P Q a c a c x x a b a b -==+-+又FP PQ =u u u r u u u r 所以P 是FQ 中点,所以2222224222222222222222b 3a b 33Q F p a c a c a b a b b x x x c a b a b a b a b a a---+=⇒-=⇒=⇒=⇒=⇒=±-++-++.5、已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b 3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【答案】A7、已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-=C.22(1)1x y -+=D. 22(1)1x y +-=【答案】C8、直线x +a 2y +6=0和直线(a －2)x +3ay +2a =0没有公共点，则a 的值是 A.a =3 B.a =0 C.a =－1 D.a =0或－1 【答案】D9、在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32 【答案】A【解析】平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。

5 解析几何时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a ＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B．2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0[答案] A[解析] 圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵k OM ＝1，∴k l＝－1，∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( )A ．有最大值为πB ．有最小值为πC ．有最大值为4πD ．有最小值为4π[答案] D[解析] 如图所示，由圆C 经过点F(0,1)，并且与直线y ＝－1相切，可得点C 的轨迹为抛物线x 2＝4y ，显然以抛物线x 2＝4y 上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x －4y ＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C 的面积不存在最大值，设圆C 与3x －4y ＋20＝0相切于点A ，其圆心为(x 0，y 0)，则由AC ＝PC 可得d ＝3x 0－4y 0＋205＝y 0＋1(点C 在直线3x －4y ＋20＝0的右方)，即3x 0－x 20＋205＝14x 20＋1，解得x 0＝－2或x 0＝103(舍去)，当x 0＝－2时，圆心C 坐标为(－2,1)，此时圆C 的半径为2，即可得圆C 的面积的最小值为4π，故应选D ．3．(文)(2015·江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±52xB ．y ＝±255xC ．y ＝±23xD ．y ＝±32x[答案] A[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧36a 2－25b2＝1，a 2＋b 2＝c 2，c ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝25，c ＝6.∴渐近线方程为y ＝±52x.(理)(2015·新课标Ⅱ理，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°， 则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D ． 2[答案] D[解析] 考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM ＝120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN|＝a ，|MN|＝3a ，故点M 的坐标为M(2a ，3a)，代入双曲线方程得a 2＝b 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝2，故选D ．4．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点，若P(1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．y 2＝－2x[答案] B[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故应选B ．5．(文)(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12[答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)．因为E 的右焦点与抛物线焦点重合，所以椭圆中c ＝2，离心率e ＝c a ＝12，所以a＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4，则椭圆方程为x 216＋y 212＝1，因为抛物线的准线方程为x ＝－2，当x ＝－2时，y ＝±3，则|AB|＝2×3＝6.故本题正确答案为B ．(理)过原点O 作直线l 交椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)于点A 、B ，椭圆的右焦点为F 2，离心率为e.若以AB 为直径的圆过点F 2，且sin ∠ABF 2＝e ，则e ＝( )A.12 B ．22C.23 D ．32[答案] B[解析] 记椭圆的左焦点为F 1，依题意得|AB|＝2c ，四边形AF 1BF 2为矩形，sin ∠ABF 2＝|AF 2||AB|＝|AF 2|2c ＝e ，|AF 2|＝2ce ，|AF 1|2＝(2a－|AF 2|)2＝(2a －2ce)2，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，(2a －2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e ＝22，选B ．6．半径不等的两定圆O 1、O 2没有公共点，且圆心不重合，动圆O 与定圆O 1和定圆O 2都内切，则圆心O 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．双曲线的一支或椭圆D ．双曲线或椭圆[答案] C[解析] 设⊙O 1、⊙O 2、⊙O 的半径分别为r 1、r 2、R ，且r 1>r 2>0，当⊙O 1与⊙O 2外离时，由条件知⊙O 1与⊙O 2都内切于⊙O ，∴|OO 1|＝R －r 1，|OO 2|＝R －r 2，∴|OO 2|－|OO 1|＝r 1－r 2,0<r 1－r 2<|O 1O 2|，∴点O 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的双曲线靠近O 1点的一支；当⊙O 2内含于⊙O 1时，应有⊙O 内切于⊙O 1，⊙O 2内切于⊙O ，∴|OO 1|＝r 1－R ，|OO 2|＝R －r 2，∴|OO 1|＋|OO 2|＝r 1－r 2，∵O 1与O 2不重合，且r 1>r 2，∴r 1－r 2>|O 1O 2|，∴点O 的轨迹为以O 1、O 2为焦点的椭圆，故选C.7．(文)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2) B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(12，1)[答案] C[解析] 由题意可得，2k －1>2－k>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k>0，解得1<k<2，故选C.(理)(2014·广东文，8)若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216－y25－k ＝1与曲线x 216－k －y25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[答案] D[解析] ∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2得其焦距相等，选D ．8．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y28＝1 D ．x 212＋y24＝1[答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.9．(文)已知P 点是x 2＋y 2＝a 2＋b 2与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)在第一象限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为( )A．2 B．6 2C.102D．52[答案] C[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，∴c＝102x，由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝ca ＝102，故选C.(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若|AF1||AF2|＝53，则双曲线的离心率等于( )A．2 B．3C. 2 D． 3[答案] A[解析] 设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由双曲线的定义知，2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2x ， ∴a ＝x ，∴e ＝ca＝2.10．(文)过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝36，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝3x C ．y 2＝12x D ．y 2＝23x[答案] D[解析] ∵F(p 2，0)，设A(x 0，y 0)，y 0>0，则C(－p2，y 0)，B(p－x 0，－y 0)，由条件知p －x 0＝－p 2，∴x 0＝3p2，∴y 20＝2p ·3p 2＝3p 2，∴y 0＝3p ，∴B(－p 2，－3p)，A(3p 2，3p)，C(－p 2，3p)，∴BA →·BC →＝(2p,23p)·(0,23p)＝12p 2＝36，∴p ＝3，∴抛物线方程为y 2＝23x.(理)过双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1的左顶点A 作斜率为2的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC →＝2AB →，则双曲线M 的离心率是( )A. 5 B ．10 C.17 D ．37[答案] C[解析] 由条件知A(－1,0)，∴l ：y ＝2(x ＋1)，双曲线渐近线方程为y ＝±bx ，∵BC→＝2AB →，∴B 在A ，C 之间，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x ＋1)，y ＝－bx ，得B(－2b ＋2，2bb ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x ＋1)，y ＝bx ，得C(2b －2，2bb －2)，再由BC→＝2AB →得b ＝4，∴e ＝17. 11．若抛物线y 2＝2px 上恒有关于直线x ＋y －1＝0对称的两点A 、B ，则p 的取值范围是( )A ．(－23，0)B ．(0，32)C ．(0，23)D ．(－∞，0)∪(23，＋∞)[答案] C[解析] 设直线AB ：y ＝x ＋b ，代入y 2＝2px 中消去x 得，y2－2py ＋2pb ＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，x 1＋x 2＝y 1＋y 2－2b ＝2p －2b ，由条件知线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即(p －b ，p)在直线x ＋y －1＝0上，∴b ＝2p －1，Δ＝4p 2－8pb ＝4p 2－8p(2p －1)＝－12p 2＋8p>0，∴0<p<23.12．(2015·郑州市质检)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且2|PF 1|＝3|QF 1|，则椭圆的离心率为( )A.35 B ．45C.34 D ．325[答案] A[解析] 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，|QF 1|＝23|PF 1|＝43(a －c)，|QF 2|＝2a －|QF 1|＝2a －23(2a －2c)＝23a＋43c |PQ|＝103(a －c)在△PF 1F 2和△PF 2Q 中，由余弦定理得： cos ∠F 2PQ ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝|PQ|2＋|PF 2|2－|QF 2|22|PQ|·|PF 2|即(2a －2c )2＋(2c )2－(2c )22(2a －2c )·2c＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103a －103c 2＋(2c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a ＋4c 322(103a －103c )·2c整理得5c 2－8ac ＋3a 2＝0，即5e 2－8e ＋3＝0， ∴e ＝35或e ＝1(舍)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝8x 有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)中c ＝2，又a ＝1，∴e ＝ca＝2.(理)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线x 2b 2＋y2a 2＝1上，则双曲线的离心率为________．[答案]2[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－ab(x －c )y ＝bax 得垂足的坐标为(a2c，ab c )，把此点坐标代入方程x 2b 2＋y 2a 2＝1，得a 4b 2c 2＋a 2b2a 2c 2＝1，化简，并由c 2＝a 2＋b 2得a ＝b ，∴e ＝ca＝ 2.14．(文)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P(1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.[答案] 10[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB的方程为x －2y ＋7＝0，将x ＝2y －7代入x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.(理)椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[答案]3－1[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解．如图，由题意易知F 1M ⊥F 2M 且|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a ＝(3＋1)c ，∴c a ＝23＋1＝3－1.15．(2015·潍坊市模拟)抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．[答案] y 2＝16x[解析] 由圆的面积为36π，得圆的半径r ＝6，圆心到准线的距离为p 2＋p 4＝6，得p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝16x.16．(文)(2015·兰州市诊断)椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为________．[答案] x216＋y212＝1[解析] 由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b＝2 3.因为e＝ca＝12，所以a＝2c，又因为a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.(理)(2014·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案] x2＋32y2＝1[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋y2b2＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF 1|＝3|BF 1|，∴B 点坐标为(－53c ，－13b 2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧(－53c )2＋(－13b 2)2b 2＝1，b 2＝1－c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23方程为x 2＋32y 2＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(2015·唐山市二模)已知抛物线E ：x 2＝4y ，m ，n 是过点A(a ，－1)且倾斜角互补的两条直线，其中m 与E 有唯一公共点B ，n 与E 相交于不同的两点C ，D ．(1)求m 的斜率k 的取值范围；(2)当n 过E 的焦点时，求B 到n 的距离．[解析] (1)m ：y ＋1＝k(x －a)，n ：y ＋1＝－k(x －a)，分别代入x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4ka ＋4＝0 ①， x 2＋4kx －4ka ＋4＝0 ②， 由Δ1＝0得k 2－ka －1＝0，由Δ2＞0得k 2＋ka －1＞0，故有2k 2－2＞0，得k 2＞1，即k ＜－1或k ＞1. (2)E 的焦点F(0,1)，k AF ＝－2a ＝－k ，所以ak ＝2.∴k 2＝ka ＋1＝3，B(2k ，k 2)， 所以B 到n 的距离d ＝|3k 2－ak ＋1|1＋k2＝|3k 2－1|1＋k2＝4.18．(本题满分12分)(2015·石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(1,0)且与直线x ＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)已知点A(5,0)，倾斜角为π4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A)且与曲线E 交于M 、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程．[解析] (1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y 2＝4x.(2)解法一 ：由题意，可设l 的方程为y ＝x －m ，其中0＜m ＜5由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －my 2＝4x，消去y ，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＝0①当0＜m ＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m ＋4)2－4m 2＝16(1＋m)＞0成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)则x 1＋x 2＝4＋2m ，x 1·x 2＝m 2， ∴|MN|＝2|x 1－x 2|＝ 42＋2m 又因为点A 到直线l 的距离为d ＝5－m 2∴S △AMN ＝2(5－m)1＋m ＝2m 3－9m 2＋15m ＋25. 令f(m)＝m 3－9m 2＋15m ＋25，(0<m<5)， f ′(m)＝3m 2－18m ＋15＝3(m －1)(m －5)，(0<m<5) 所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减． 当m ＝1时，f(m)有最大值32，故当直线l 的方程为y ＝x －1时，△AMN 的最大面积为8 2. 解法二：由题意，可设l 与x 轴相交于B(m,0), l 的方程为x ＝ y ＋m ，其中0＜m ＜5由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋m y 2＝4x，消去x ，得y 2－4y －4m ＝0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ＝(－4)2＋16m ＝16(1＋m)＞0必成立， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)则y 1＋y 2＝4，y 1·y 2＝－4m. ∴S △＝12(5－m) |y 1－y 2|＝12(5－m)(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(5－m)1＋m ＝2m 3－9m 2＋15m ＋25. 令f(m)＝m 3－9m 2＋15m ＋25，(0<m<5)， f ′(m)＝3m 2－18m ＋15＝3(m －1)(m －5)，(0<m<5) 所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减． 当m ＝1时， f(m)有最大值32，故当直线l 的方程为y ＝x －1时，△AMN 的最大面积为8 2. 19．(本题满分12分)(文)设点P 是曲线C ：x 2＝2py(p>0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54. (1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y.(2)由题意直线PQ 的方程为：y ＝k(x －1)＋1，则点M(1－1k ，0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋1y ＝x 2，消去y 得x 2－kx ＋k －1＝0，得Q(k－1，(k－1)2)．所以得直线QN的方程为y－(k－1)2＝－1k(x－k＋1)．代入曲线方程y＝x2中，得x2＋1kx－1＋1k－(1－k)2＝0.解得N(1－1k－k，(1－k－1k)2)．所以直线MN的斜率k MN＝(1－k－1k)2 (1－1k－k)－(1－1k)＝－(1－k－1k)2k.过点N的切线的斜率k′＝2(1－k－1k )．由题意有－(1－k－1k)2k＝2(1－k－1k)．解得k＝－1±52.故存在实数k＝－1±52使命题成立．(理)(2015·郑州市质检)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离心率为22，O为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恰有两个交点M 、N ，且满足|OM →＋ON →|＝|OM →－ON →|？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意得S△BF 1F 2＝12×2c ×b ＝4，e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M ，N ，因为|OM →＋ON →|＝|OM →－ON →|，所以有OM→·ON →＝0， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y ＝kx ＋m ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 28＋y24＝1得x 2＋2(kx ＋m)2＝8，即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0， 即8k 2－m 2＋4>0，x 1,2＝－4km ±16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)2(1＋2k 2)∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2；y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝k 2(2m 2－8)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k2， 要使OM →·ON →＝0，需x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝0，所以3m 2－8k 2－8＝0，所以k 2＝3m 2－88≥0，又8k 2－m 2＋4>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2>23m 2≥8，所以m 2≥83，即m ≥263或m ≤－263，因为直线y ＝kx ＋m为圆的一条切线，所以圆的半径为r ＝|m|1＋k 2，r 2＝m 21＋k 2＝m 21＋3m 2－88＝83，r ＝263，所求的圆为x 2＋y 2＝83，此时圆的切线y ＝kx ＋m 都满足m ≥263或m ≤－263，而当切线的斜率不存在时，切线为x ＝±263与椭圆x 28＋y24＝1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫263，±263或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－263，±263满足OM →·ON →＝0，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝83满足条件．20．(本题满分12分)(2015·北京文，20)已知椭圆C：x2＋3y2＝3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．[分析] 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e＝ca计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标和直线AE的方程，由直线AE与x＝3相交于M点，得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1＋x2和x1x2，代入到k BM＝1中，只需计算出等于0即可证明k BM＝k DE，即两直线平行．[解析] (1)椭圆C的标准方程为x23＋y2＝1.所以a＝3，b＝1，c＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D(1,0)且垂直于x 轴，所以可设A(1，y 1)，B(1，－y 1)．直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)． 令x ＝3，得M(3,2－y 1)．所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE.当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －1)(k ≠1)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M(3，y 1＋x 1－3x 1－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0. 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2.直线BM的斜率k BM＝y1＋x1－3 x1－2－y23－x2.因为k BM－1＝k(x1－1)＋x1－3－k(x2－1)(x1－2)－(3－x2)(x1－2)(3－x2)(x1－2)＝(k－1)[－x1x2＋2(x1＋x2)－3](3－x2)(x1－2)＝(k－1)[－3k2＋31＋3k2＋12k21＋3k2－3](3－x2)(x1－2)＝0，所以k BM＝1＝k DE.所以BM∥DE.综上可知，直线BM与直线DE平行．21．(本题满分12分)(文)(2015·南昌市一模)已知圆E：x2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y－122＝94经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且MN→＝λOA→(λ≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．[解析] (1)如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2，∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径，∴AF 2⊥F 1F 2，∴F 2(c,0)在圆上， ∴c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－122＝94， ∵c>0，∴c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，∴|AF 2|＝1,2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋1＝4，∴a ＝2，∵a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， ∴椭圆C 的方程x 24＋y22＝1.(2)点A 的坐标(2，1)，∵MN→＝λOA →(λ≠0)， 所以直线l 的斜率为22，故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y22＝1，消去y 得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，∴－2<m<2， |MN|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l 的距离d ＝6|m|3，S △AMN ＝12|MN|· d ＝1212－3m 2×63|m|＝22(4－m 2)m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2， 当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，S △AMN 取到最大值2，直线l 的方程为y ＝22x ± 2.(理)(2014·上海八校调研)已知点F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b>0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2＝30°.圆O 的方程是x 2＋y 2＝b 2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求PP1→·PP 2→的值； (3)过圆O 上任意一点Q(x 0，y 0)作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 的中点为M ，求证：|AB→|＝2|OM →|. [解析] (1)设F 2、M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b 2＝1，即y 0＝±b 2，所以|MF 2|＝b 2，在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2， 所以|MF 1|＝2b 2，由双曲线的定义可知|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知两条渐近线方程为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)，两渐近线的夹角为θ， y ＝2x 的倾斜角为α，则cos θ＝cos(π－2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2－12＋1＝13. 点P 到两条渐近线的距离分别为 |PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3，因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2，所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos(π－θ)＝|2x 20－y 20|3·(－13)＝－29.(3)证明：由题意，要证|AB→|＝2|OM →|，即证OA ⊥OB ．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＝2. ①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 的方程中， 化简得(2y 20－x 20)x 2＋4x 0x －(2y 20＋4)＝0， 所以x 1＋x 2＝－4x 02y 20－x 20，x 1x 2＝－2y 20＋42y 20－x 20，又y 1y 2＝2－x 0x 1y 0·2－x 0x 2y 0＝1y 20[4－x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 22y 20－x 20， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－2y 20＋42y 20－x 20＋8－2x 22y 20－x 20＝4－2(x 20＋y 20)2y 20－x 2＝0； ②当y 0＝0时，易知上述结论也成立， 即OA→·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 综上所述，OA ⊥OB ，所以|AB→|＝2|OM →|. 22．(本题满分12分)(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，且与抛物线y 2＝43x 有共同的一个焦点，椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AP 、BP 与直线y ＝3分别交于G 、H 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段GH 的长度的最小值；(3)在线段GH 的长度取得最小值时，椭圆C 上是否存在一点T ，使得△TPA 的面积为1，若存在求出点T 的坐标，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知得，抛物线的焦点为(3，0)，则 c ＝3，又b ＝1，由a 2－b 2＝c 2，可得a 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AP 的斜率k 显然存在，且k>0，故可设直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)，从而G(3k－2,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设P(x 1，y 1)，则(－2)x 1＝16k 2－41＋4k2，所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2.即P(2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)，又B(2,0)，则直线PB 的斜率为－14k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k (x －2)，y ＝3.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12k ＋2，y ＝3.所以H(－12k ＋2,3)．故|GH|＝|3k －2＋12k －2|＝|3k＋12k －4|.又k>0，3k ＋12k ≥23k·12k ＝12. 当且仅当3k ＝12k ，即k ＝12时等号成立．所以当k ＝12时，线段GH 的长度取最小值8.(3)由(2)可知，当GH 的长度取最小值时，k ＝12.则直线AP 的方程为x －2y ＋2＝0，此时P(0,1)，|AP|＝ 5. 若椭圆C 上存在点T ，使得△TPA 的面积等于1，则点T 到直线AP 的距离等于255，所以T 在平行于AP 且与AP 距离等于255的直线l 上．设直线l ：y ＝12x ＋t.则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ，x24＋y 2＝1.得x 2＋2tx ＋2t 2－2＝0.Δ＝4t 2－8(t 2－1)≥0.即t 2≤2.由平行线间的距离公式，得|2－2t|5＝255，解得t ＝0或t ＝2(舍去)．可求得T(2，22)或T(－2，－22)．(理)设椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B(O 为坐标原点)，如图．若抛物线C 2：y ＝x 2－1与y 轴的交点为B ，且经过F 1、F 2点．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设M(0，－45)，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求△MPQ 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知B(0，－1)，则A(0，－2)，故b ＝2. 令y ＝0得x 2－1＝0即x ＝±1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，故c ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝5，于是椭圆C 1的方程为：x 25＋y24＝1.(2)设N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直线PQ的方程为：y－(t2－1)＝2t(x－t)．即y＝2tx－t2－1.代入椭圆方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2－20＝0，Δ＝400t2(t2＋1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4]＝80(－t4＋18t2＋3)，x1＋x2＝5t(t2＋1)1＋5t2，x1x2＝5(t2＋1)2－204(1＋5t2)，故|PQ|＝1＋4t2|x1－x2|＝1＋4t2·(x1＋x2)2－4x1x2＝5·1＋4t2·－t4＋18t2＋31＋5t2.设点M到直线PQ的距离为d，则d＝|45－t2－1|1＋4t2＝|t2＋15|1＋4t2.所以，△MPQ的面积S＝12|PQ|·d＝125·1＋4t2·－t4＋18t2＋31＋5t2·t2＋151＋4t2＝510－t4＋18t2＋3＝510－(t2－9)2＋84≤51084＝1055.当t＝±3时取到“＝”，经检验此时Δ>0，满足题意．综上可知，△MPQ的面积的最大值为105 5.[方法点拨] 1.涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．2．涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决．3．涉及垂直问题可结合向量的数量积解决．反馈练习一、选择题1．(文)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.(理)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于( )A.12或－12 B ．12 C ．－12D ．14[答案] B[解析] 由条件知，2t 1＝36t ≠2－2，∴t ＝12.2．(文)若直线l 1：x －ay ＋1＝0与直线l 2：(a ＋4)x ＋(2a －1)y －5＝0互相垂直(a<0)，则直线l 1的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．60°D ．30°或135°[答案] B[解析] ∵l 1⊥l 2，∴1×(a ＋4)－a(2a －1)＝0， ∴a ＝－1或2，∵a<0，∴a ＝1， ∴l 1的方程为x ＋y ＋1＝0， ∴l 1的倾斜角为135°.(理)若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )A ．x ＋4y ＋3＝0B ．x ＋4y －9＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．4x －y －2＝0[答案] D[解析] y ′＝4x ，直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，令4x ＝4得x ＝1，∴切点(1,2)，∴切线l ：y －2＝4(x －1)， 即4x －y －2＝0，故选D ．3．(2015·东北三省四市第二次联考)已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M(－1，m)，若MA→·MB →＝0，则m ＝( )A. 2 B ．22C.12 D ．0[答案] B[解析] 求出点A ，B 的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线y ＝22(x －1)和抛物线C ：y 2＝4x ，解得A(2,22)，B(12，－2)，所以MA →·MB →＝(3,22－m)·(32，－2－m)＝92＋(22－m)(－2－m)＝0，化简得m 2－2m ＋12＝0，∴m ＝22，故选B ．[点评] 当A 、B 坐标互换时，求得m 的另一个值，但结合选项知只能选B ．4．(2015·广东理，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y23＝1 B ．x 29－y216＝1C.x 216－y29＝1 D ．x 23－y24＝1[答案] C[解析] 本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.5．(文)(2014·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y220＝1 B ．x 220－y25＝1C.3x 225－3y 2100＝1 D ．3x 2100－3y 225＝1[答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y ＝2x ＋10.则b a ＝2，结合a 2＋b2＝c 2，c ＝5得，∴a 2＝5，b 2＝20，双曲线标准方程为x 25－y 220＝1，选A.(理)(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y212＝1 B ．x 27－y29＝1C.x 28－y28＝1 D ．x 212－y24＝1[答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝bax ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|FA|＝|FO|＝r ＝4.∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝bax的交点，∴可求得A点坐标为A(a，b)．∴在Rt△ABO中，|OA|＝OB2＋AB2＝a2＋b2＝c＝|OF|＝4，∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝23，∴双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.6．(文)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )A．1 B．3 2C．2 D．3 [答案] C[解析] ∵e＝ca＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴ba＝3，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3x，不妨设A(－p2，3p2)，B(－p2，－3p2)，则AB＝3p，又三角形的高为p2，则S△AOB＝12×p2×3p＝3，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.(理)已知点F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5[答案] B[解析] 由双曲线定义得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，∴|PF 2|2|PF 1|＝(2a ＋|PF 1|)2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ，其中|PF 1|≥c －a.当c －a ≤2a 时，y ＝x ＋4a2x 在[c －a ，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c －a>2a ，即c>3a ⇒e>3，y ＝x ＋4a2x 在[c －a ，＋∞)上为增函数，故f(x)min ＝f(c －a)＝c －a ＋4a 2c －a ＋4a ＝9a ，化简得10a 2－7ac＋c 2＝0，两边同除以a 2可得e 2－7e ＋10＝0，解得e ＝5或e ＝2(舍去)．7．(2015·邯郸市二模)已知点P 为椭圆x 24＋y23＝1上一点，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心，若△PIF 1和△PIF 2的面积和为1，则△IF 1F 2的面积为( )A.14B ．12C ．1D ．2[答案] B[解析] 由椭圆方程知，a ＝2，c ＝1，设内心到三边距离为d ，则由椭圆定义及条件知，S △PIF 1＋S △PIF 2＝12|PF 1|·d ＋12|PF 2|·d＝12(|PF 1|＋|PF 2|)·d ＝2d ＝1，∴d ＝12，∴S △IF 1F 2＝12|F 1F 2|·d ＝cd ＝12. 8．抛物线y ＝x 2(－2≤x ≤2)绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是( )A ．1B ．2C ．2 2D ．4[答案] B[解析] 当x ＝2时，y ＝4，设正方体的棱长为a ，由题意知(22a,4－a)在抛物线y ＝x 2上，∴4－a ＝12a 2，∴a ＝2.9．(文)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为b 2，则双曲线的离心率等于( )A. 3 B ． 5 C.32 D ．52[答案] D[解析] ∵A 在以OF 为直径的圆上，∴AO ⊥AF ，∴AF ：y ＝－a b (x －c)与y ＝b a x 联立解得x ＝a 2c a 2＋b 2，y ＝abca 2＋b 2，∵△AOF 的面积为b 2，∴12·c ·abc a 2＋b 2＝b 2，∴e ＝52. (理)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B ．102C.17＋14D ．224[答案] A[解析] 依题意得2b 2a ＝2c ，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，(e －12)2＝54，又e>1，因此e －12＝52，e ＝5＋12，故选A.10．(2015·洛阳市期末)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为( )A.45 B ．95C ．2D ．94[答案] B[解析] 由题意知直线经过圆心(－2，－1)，∴2a ＋b －1＝0，∴(a －1)2＋(b －1)2的最小值为(1,1)到直线2a ＋b －1＝0的距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫252＝45，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95.11．(2014·唐山市二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1)D ．[32，1)[答案] C[解析] 如图，设切点为A 、B ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵∠APB ＝90°，连接OP ，则∠APO ＝45°，∴AO ＝PA ＝b ，OP ＝2b ，∴a ≥2b ，∴a 2≤2c 2，∴c 2a 2≥12，∴e ≥22，又∵e<1，∴22≤e<1.12．(2015·河南八市质量监测)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若A(3，y 0)且AF ＝4，则△OAB 的面积为( )A.233B ． 3 C.433D ．533[答案] C[解析] 由条件及抛物线的定义知，4＝3＋p2，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴A(3,23)，k AF ＝3，∴l AB ：y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝3(x －1)可得3(x －1)2－4x ＝0，解得x 1＝3，x 2＝13，所以y 1＝23，y 2＝－233，∴S △AOB ＝12|OF|·|y 1－y 2|＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＋233＝433. 二、填空题13．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8.若点Q(x ，y)是圆C 上一点，则x ＋y 的取值范围为________．[答案] [－5,3][分析] 设x ＋y ＝t ，则Q 是⊙C 与直线x ＋y ＝t 的公共点，则问题转化为直线与⊙C 有公共点时，求参数t 的取值范围问题．[解析] 设x ＋y ＝t ，∵Q(x ，y)是⊙C 上任意一点，∴直线与圆相交或相切，∴|－1＋0－t|2≤22，∴－5≤t ≤3.14．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点F 关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为________．[答案] x 2＋(y －1)2＝10[分析] 由圆心C 与F 关于直线y ＝x 对称可求得C 点坐标，再由弦长|AB|＝6可求得圆的半径，进而可得圆的方程．[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F(1,0)关于直线y ＝x 的对称点C(0,1)是圆心，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|5＝1，又圆截直线4x －3y －2＝0的弦长为6， ∴圆的半径r ＝12＋32＝10. ∴圆方程为x 2＋(y －1)2＝10.15．(文)已知直线2ax ＋by ＝1(其中a 、b 为非零实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则1a 2＋2b2的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵△AOB 为等腰直角三角形，⊙O 的半径为1，∴O 到直线2ax ＋by －1＝0的距离为22，即12a 2＋b 2＝22，∴2a 2＋b 2＝2，∴1a 2＋2b 2＝(1a 2＋2b 2)(2a 2＋b 22)＝2＋2a 2b 2＋b 22a 2≥4，等号在2a 2b 2＝b22a2， 即b 2＝2a 2＝1时成立，∴所求最小值为4.(理)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2＋y2＝34有公共点，则α的取值范围是________．[答案] [π4，π3]∪[2π3，3π4][解析] F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝|tanα|1＋tan2α≤32，∴－3≤tanα≤ 3.(1)将y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝2k2＋4k2，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝4k，∴AB的中点坐标为P(k2＋2k2，2k)，∵|AB|≤8，∴P到准线的距离k2＋2k2＋1≤4，∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)由(1)(2)得π4≤α≤π3或2π3≤α≤3π4.16．(文)(2014·吉林市质检)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是________．[答案] 213[分析] 设O关于直线x＝2的对称点为O′，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故当P、A、O′三点共线时取到最小值．。

解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线). (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：x a ＋y b＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0). 2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率都存在时： (1)两直线平行：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3.三种距离公式(1)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，两点间的距离 |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)).(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0)).提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离. 判断方法：代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含. 判断方法：代数判断法与几何判断法. 6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a＝1＋b 2a2(e >1)e ＝1准线 x ＝－p 2渐近线y ＝±b ax7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|.8.解决范围、最值问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解. (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. 9.定点问题的思路(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ,0).(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 10.求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值此值一般就是定值→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值. 11.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论.1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解.6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.。