数形结合思想专题讲座

专题讲座七用数形结合的思想探究化学平衡图像1．图像类型(1)浓度—时间图：此类图像能说明平衡体系中各组分在反应过程中的浓度变化情况。

如A＋B AB反应情况如图1所示，解该类图像题要注意各物质曲线出现折点(达到平衡)的时刻相同，各物质浓度变化的内在联系及比例符合化学方程式中的化学计量数关系。

(2)速率—时间图：如Zn与足量盐酸的反应，反应速率随时间的变化出现如图2所示的情况，解释原因：AB段(v渐增)，因反应为放热反应，随反应的进行，温度渐高，导致反应速率增大；BC段(v渐小)，则主要原因是随反应的进行，溶液中c(H＋)逐渐减小，导致反应速率减小。

故分析时要抓住各阶段的主要矛盾，认真分析。

(3)含量—时间—温度(压强)图：常见形式有如下几种。

(C%指生成物的质量分数；B%指某反应物的质量分数)(4)恒压(温)线(如图3所示)：该类图的纵坐标为物质的平衡浓度(c)或反应物的转化率(α)，横坐标为温度(T)或压强(p)，常见类型如下所示：(5)其他：如图4所示曲线是其他条件不变时，某反应物的最大转化率(α)与温度(T)的关系曲线，图中标出的1、2、3、4四个点，表示v正>v逆的点是3，表示v正<v逆的点是1，而2、4点表示v正＝v逆。

2．解题步骤3．解题技巧(1)先拐先平在含量(转化率)—时间曲线中，先出现拐点的则先达到平衡，说明该曲线反应速率快，表示温度较高、有催化剂、压强较大等。

(2)定一议二当图像中有三个量时，先确定一个量不变，再讨论另外两个量的关系，有时还需要作辅助线。

(3)三步分析法一看反应速率是增大还是减小；二看v正、v逆的相对大小；三看化学平衡移动的方向。

题组一浓度—时间图像1．已知NO2和N2O4可以相互转化：2NO2(g) N2O4(g)(正反应为放热反应)。

现将一定量NO2和N2O4的混合气体通入一体积为1 L的恒温密闭容器中，反应物浓度随时间变化关系如图所示，回答下列问题：(1)图中共有两条曲线X和Y，其中曲线______表示NO2浓度随时间的变化；a、b、c、d四个点中，表示化学反应处于平衡状态的点是________。

高三数学思想方法专题讲座【第2讲：数形结合思想】【思想方法要点】1、数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在解选择题、填空题时发挥着奇特功效。

运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则，准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)双方性原则．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围．2、数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、究函数的最值问题和证明不等式等．(2)构建立体几何模型研究代数问题，构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.【典型例题分析】1．设,75sinπ=a ,72cos π=b ,72tan π=c 则( ) A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<2．若c b a ,,均为单位向量，且,0)()(,0≤-⋅-=⋅c b c a b a 则||c b a -+的最大值为( ) A ．12- B ．1 C ．2 D ．23．若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],,[b a 且,2=-a b 则=k ____．4．对于实数a 和b ，定义运算“*”：=b a *⎩⎨⎧>-≤-.,,,22b a ab b b a ab a 设),1(*)12()(--=x x x f且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根,,,321x x x 则321x x x 的取值范围是____．5．设函数,3)(3ax ax x f -=),,(ln )(2R b a x bx x g ∈-=已知它们在1=x 处的切线互相平行．(1)求b 的值； (2)若函数=)(x F ⎩⎨⎧>≤0),(0),(x x g x x f 且方程2)(a x F =有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．6．已知函数,ln )(m x a mx x f --=,)(x eexx g =其中a m ,均为实数． (1)求)(x g 的极值；(2)设,0,1<=a m 若对任意的),](4,3[,2121x x x x =/∈|)(1)(1||)()(|1212x g x g x f x f -<- 恒成立，求a 的最小值；(3)设,2=a 若对任意给定的],,0(0e x ∈在区间],0(e 上总存在),(,2121t t t t =/使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围.参考答案1．D 2．B 3．2 4．01631321<<-x x x 5．解：函数x bx x g ln )(2-=的定义域为),,0(+∞(1),0)1('33)('2=⇒-=f a ax x f ,12)1('12)('-=⇒-=b g xbx x g 依题意,012=-b 所以⋅=21b (2))1,0(∈x 时，01)('<-=x x x g ，),1(+∞∈x 时，01)('>-=xx x g所以当1=x 时，)(x g 取得极小值;21)1(=g当0=a 时，方程2)(a x F =不可能有四个解：当)1,(,0--∞∈<x a 时，,0)('<x f )0,1(-∈x 时，,0)('>x f所以当1-=x 时，)(x f 取得极小值,2)1(a f =- 又,0)0(=f 所以)(x F 的图象如图所示： 从图象可以看出2)(a x F =不可能有四个解．当,0>a )1,(--∞∈x 时，,0)('>x f )0,1(-∈x 时，0)('<x f 所以当1-=x 时，)(x f 取得极大值.2)1(a f =-又,0)0(=f所以)(x F 的图象如图：从图象看出方程2)(a x F =有四个解，则a a 2212<< 所以实数a 的取值范围是)2,22(6．解：(1),)1()('xx e x g -=令,0)('=x g 得.1=x 列表如下：,1)1(=g )(x g y =∴的极大值为1，无极小值．(2)当0,1<=a m 时，,1ln )(--=x a x x f ),0(+∞∈x0)('>-=xax x f 在]4,3[恒成立，)(x f ∴在]4,3[上为增函数． 设exe x g x h x==)(1)(，0)1()('21>-=-x x e x h x 在]4,3[恒成立， ]4,3[)(在x h ∴上为增函数．设,12x x >则|)(1)(1||)()(|1212x g x g x f x f -<-等价于),()()()(1212x h x h x f x f -<- 即).()()()(1122x h x f x h x f -<-设,11ln )()()(x e ex a x x h x f x u x⋅---=-=则]4,3[)(在x u 为减函数，)4,3(0)1(11)('2在≤-⋅--=∴xx e e x a x u x 上恒成立． x e ex a x x 11--+-≥∴恒成立．设,)(11x e ex x v x x --+-=],43)211[(1)1(1)('21211+--=-+-=---x e x x e ex v x x x ],4,3[∈x ,143]43)211[(221>>+-∴-e x e x ,0)('<∴x v )(x v 为减函数．]4,3[)(在x v ∴上的最大值为.323)3(2e v -=,3232e a -≥∴∴a 的最小值为2323e -.(3)由(1)知],0()(e x g 在上的值域为]1,0(,ln 2)(m x mx x f --= ),,0(+∞∈x当0=m 时，],0(ln 2)(e x x f 在-=为减函数，不合题意，当0=/m 时，,)2()('xm x m x f -=由题意知],0()(e x f 在不单调，所以,20e m <<即⋅>em 2① 此时)2,0()(m x f 在上递减，在),2()(e mx f 在上递增，,1)(≥∴e f 即,12)(≥--=m me e f 解得⋅-≥13e m ② 由①②，得⋅-≥13e m ],,0(1e ∈ 0)1()2(=≤∴f m f 成立， 下证存在],2,0(m t ∈使得.1)(≥t f 取,m e t -=先证,2me m <-即证.02>-m e m③设,2)(x e x w x -=则012)('>-=xe x w 在),13[+∞-e 时恒成立， )(x w ∴在),13[+∞-e 时为增函数． ,0)13()(>-≥∴e w x w ∴③成立，再证.1)(≥-m e f,113)(>-≥>+=--e m m me e f m m 13-≥∴e m 时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为).,13[+∞-e。

中考数学复习专题讲座(八)----数形结合思想【中考展望】1．用数形结合的解题思想来解决问题主要分为两类，一是利用几何图形的直观或者图形的有关性质来解决数量关系和表示数的问题, 它常常借用数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形性质,常常需要建立方程（组）或函数关系式等。

2. 热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律例 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．S．【答案】解：设第n个图形的棋子数为n第1个图形，S 1=1； 第2个图形，S 2=1+4； 第3个图形，S 3=1+4+7；第n 个图形，S n =1+4+…+3n -2；第（n-1）个图形，S n-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n 个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．类型二、 利用数形结合解决数与式的问题例2.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （ ）.0a c bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b ＞0，c-b ＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果． 具体步骤为：① a,b,c 的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果. 【答案与解析】解：从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|， 故a+b ＞0，c-b ＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c ． 故选A ． 【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的 运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a ±b)2，二次根式((0)a a ≥.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.★【变式】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b +-=_________。

第五讲 高中数学解题思想方法讲座---数形结合思想 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、预备性问题：1.设命题甲：0<x<5；命题乙：|x －2|<3，那么甲是乙的 （ A ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若log a 2<log b 2<0，则 （B ）A. 0<a<b<1B. 0<b<a<1C. a>b>1D. b>a>13.如果|x|≤π4,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是 （ D ） A. 212- B. －212+ C. －1 D. 122- 4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是（ B ）A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55.设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}，集合M ＝{(x,y)| y x --32＝1}，N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}，那么()I C M N ⋃等于（ B ）A. φB. {(2,3)}C. (2,3)D. {(x,y)|y ＝x ＋16.方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( B ) A.2 B.3 C.4 D.以上均不对7.已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ≤2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ}，那么E ∩F 是（ A ） A. (π2,π) B. (π4,34π) C. (π, 32π) D. (34π,54π) 8.对于抛物线24y x =上任一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a >，则a 的取值范围是（ B ）A.(),0-∞B. (],2-∞C. []0,2D. ()0,29.如果实数x 、y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是 （ D ） A. 12 B. 33 C. 32 D. 3 10.已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( A )A. α＜a ＜b ＜βB. α＜a ＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.a ＜α＜β＜b【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴、单位圆、方程曲线。

题目 高中数学复习专题讲座数形结合思想 高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 典型题例示范讲解例1设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数 ∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4} 要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a解得21≤a ≤2 ③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}， 要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 立④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证 22222c o sb ac +=-βα 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2 =2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||b a c d += 由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即ba c d +==---2224)cos(221βα∴22222cosb ac +=-βα 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案 （43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围 解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l 对应的a ∈(–3,1)学生巩固练习 1 方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( )A 2B 3C 4D 以上均不对2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a 的最大值与最小值7 已知A （1，1）为椭圆5922y x +=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点 求｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值和最小值8 把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案 B2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t ) 点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解答案227 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得 答案 a ＞35 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a相减得tan332=+βα， 故tan(α+β)=36 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆 如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+27 解 由15922=+y x 可知a =3,b =5,c =2，左焦点F 1(–2,0),右焦点F 2(2,0) 由椭圆定义，｜PF 1｜=2a –｜PF 2｜=6–｜PF 2｜,∴｜PF 1｜+｜P A ｜=6–｜PF 2｜+｜P A ｜=6+｜P A ｜–｜PF 2｜ 如图由｜｜P A ｜–｜PF 2｜｜≤｜AF 2｜=2)10()12(22=-+-知–2≤｜P A ｜–｜PF 2｜≤当P 在AF 2延长线上的P 2处时，取右“=”号；当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“=”号即｜P A ｜–｜PF 2｜的最大、最小值分别为2于是｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值是6+2,最小值是68 解 本题实际上是求正方形窗口边长最小值由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小如图y设AE =x ,BE =y ,则有AE =AH =CF =CG =x ，BE =BF =DG =DH =y∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+225210520222222y x y y x x∴225210=+=+=y x AB课前后备注。