样本空间举例ppt课件

不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
2. 几点说明
（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在间为 : S 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
S { HHH ,HHT ,HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 S { 0 , 1 , 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
S { H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件.通常以 大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A ,B ,A ( k k
A
B
S
2. A等于B
若事件 A 包含事件 B， 而且事件
B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作

请你分别指出试验：抛掷一枚硬币、掷一个骰子的样本点和样本空间．
（1）抛一枚硬币，如果样本点记为“正面向上”、“反面向上”，则样本空间为Ω＝{正
面向上，反面向上}．
思考：样本点可以用更简单的方式表示吗？
如果把样本点“正面向上”、“反面向上”分别记为“1”、“0”，
则样本空间为Ω＝{1，0}．
（2）掷一个骰子，如果样本点用朝上的面的点数表示，则其样本空间为Ω＝{1，2，3，
表示，则可知所有样本点均可表示成（i，j）的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，
6中的数．因此，样本空间Ω＝{（i，j）|1≤i≤6，1≤j≤6，i∈N，j∈N}
也可简写为Ω＝{（i，j）|i，j＝1，2，3，4，5，6}
（2）A＝{（1，2），（2，1）}，B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}
分析解答本题要根据日常生活的经验,逐个列出所要求的结果.
解：①Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)}.
②样本点的总数为16.
③“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
思考：（2）同学们分成小组，举例写出一些随机事件，用集合语言和自然语言两
种方式来描述．
（2）B＝{2，4，6}，B表示随机事件“出现的点数为偶数”．
如果掷骰子得到的点数为3，则可知上述随机事件A发生且随机事件B不发生．
02
探索新知
抽象概括
必然事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此，可以认为每次
02

概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法进行赌博有密切的关系．
1
1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜b局（b<c）时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家帕斯卡（Pascal，法，1623-1662），帕斯卡与费玛（Fermat，法，1601-1665）通信讨论了这一问题，并用组合的方法给出了正确的解答．
概率论与数理统计
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第1章 概率论基础
1.2 随机事件及其概率
1.1 随机试验与样本空间
1.3 古典概型与几何概型
1.4 条件概率与乘法公式
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
独立性
貳
壹
叁
肆
伍
陆
第1章 概率论基础
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域．本章介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计算方法．
随机试验通常用大写字母E表示．
1.1.1 随机试验
随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
“抛一枚硬币观察哪一面朝上”：
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 = { }，其中 表示基本结果，又称为样本点．
【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间．
研究随机现象首先要了解它的样本空间．

点数的和，样本点与所描述的点一一对应.由图可知，样本点个数为36.
例3.将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中表示第一次抛掷出现
的点数，表示第二次抛掷出现的点数.
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
解(2)：“出现的点数之和大于8”可用集合表示为
{(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
A.1
B.3
C.0
).
D.4
答案：B.
①②③为随机事件，④为必然事件.
题型三：随机事件与样本空间
例3.将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中表示第一次抛掷出现
的点数，表示第二次抛掷出现的点数.
(1)求样本空间中的样本点个数；
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
解(1)：(法一：列举法)试验的样本空间为：
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需要任何能量的永动机将会出现.
答案：(1)(4)(5)随机事件；(2)必然事件；(3)(6)不可能事件.
方法技巧：
对事件分类的两个关键点
条件
事件的分类是与一定的条件相对而言的，
(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，
(6，6)}.
解(1)：(法二：树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，
由图可知，共36个样本点.
解(1)：(法三：坐标系法)如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的

Ω的子集A，B，...
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x
各种集合间的关系
12
一、子事件 (事件的包含）Contain
事件A发生必然导致事件B发生，则称A蕴含了
B或者B包含了A，记为 A B
={事件A发生必然导致事件B发生}
AB
事件A是事件B的子事件
A B 事件A的样本点都是事件B的样本点
例如： 抛掷一颗骰子，观察出现的点数
20 Tossing a coin
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况
1. 试验的样本点和基本事件：“正面向上”、“反面向上”
2. 样本空间: Ω = {H，T}
H
T
3. 随机试验：
掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
实例 ➢上抛一枚均匀的硬币 ➢上抛一枚均匀的骰子 ➢在一条生产线上，检测产品的合格情况、等级情况 ➢向一目标射击
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x
3
三、随机事件 Random Events
1. 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
例如：抛掷一颗骰子，观察出现的点数
A={出现偶数点} B={出现2，4或6点} A B
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三、和事件(并事件) Union
若事件A发生或事件B发生，则称为事件A与B的
和事件发生，记为 A B
例如： “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”
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在具体问题的研究中 , 描 述随机现象的第一步就是建立样 本空间.
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一、样本空间的求法
例1 写出下列试验的样本空间： (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
解 该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的 结果； 解 该试验，所有可能的结果如图所示，
实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
确定性现象 随机现象
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
8
实例2 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色 的情况. 解 如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)， (1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)， (2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)， (3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.
HTT , TTH , THT , TTT}. 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1, 2, 3}. 19
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模 型. 因此 , 一个样本空间可以概括许多内容大不相 同的实际问题.

12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 6
72 088 36 124 0.501 1
1
0.5 2048 4040 12000
24000 30000
抛掷次数n
72088
【提升总结】 随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐
随机事件
四 随机事件的概率及频率 物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水
平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它 产生的可能性的大小，我们也希望能用一个数量来 反应.
在数学中,用概率来度量随机事件产生的可能性 大小.
1.频数与频率
在相同的条件S下重复n次实验，视察某一事件A是
否出现, 称n次实验中事件A出现的次数nA为事件A出现
三 随机事件 视察下列现象：
不可能
水 中
产生
捞 月
（1）实心铁块丢入 水中,铁块浮起
（2）水中捞到月亮
在条件S下,一定不会产生的事件,叫做相对于条件
S的不可能事件.
（3）明天，地球 还会转动
（4）人会死亡
在条件S下，一定会产生的事件，叫做相
对于条件S的必然事件.
确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的 确定事件.
①从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？ ②从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有 多少个样本点？
【思路】 ①一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的， 是无序问题；②先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前 后是有区别的．
【解析】 不妨记 3 张红色卡片为 1，2，3 号，2 张白色卡 片为 4，5 号．

三、事件的关系与运算
以下设 A, B,C
等都是同一样本空间
中的事件.
文氏图 ( Venn diagram )
A
1. 事件的包含关系
定义1.1.1：若 A，有 B（若事件A发生必然导
致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作 B A
或 A B ，即A是B的子集．

注：对任何事情 A，有A 7中 A B={该产品的直径不合格，高度合格} 5．对立事件（逆）
定义1.1.5：若A是一个事件，令 A A
称为事件A的对立事件或逆事件．
A A A A

A
A
对立事件与互不相容事件的关系：
6. 事件的互不相容(互斥) 定义1.1.6：若AB ，则称事件A与事件 A
2.若A B, 则 A B A.
类似的“ A , A ,, A
1
2
n
同时发生”称为A , A ,, A
1
2
n
的交（或积）记作A A A
1
2
n
（简记为n A i1 i
n

A
i1 i
4. 差事件
定义1.1.4：“事件A 发生而 B
A

不发生”，这样一个事件称作事件
B
A与 B 的差，记为 A B.
第一章 随机事件及概率
随机试验、样本空间、随机事件 概率的定义及性质 古典概型与几何概型 有关条件概率的计算公式 独立性及贝努里概型
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§1.1 随机事件和样本空间
一、随机事件和样本空间的概念
1、基本事件和样本空间
定义：一个试验如果满足下述条件：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行； （可重复性）

谢谢
(1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3 且 y>1” 呢？ (4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【解】 (1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2， 2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)， (4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)样本点的总数为 16. (3)“x＋y＝5”包含以下 4 个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)， (1，4)；“x<3 且 y>1”包含以下 6 个样本点：(1，2)，(1，3)， (1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)． (4)“xy＝4”包含以下 3 个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x ＝y”包含以下 4 个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件； (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果 出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗 漏．
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”． 解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪， 剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}． (2)记“甲赢”为事件 A，则 A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}． (3)记“平局”为事件 B，则 B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
样本空间
考点 样本空间
学习目标 理解样本点和样本空间，会求所 给试验的样本点和样本空间

有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算
第一节 随机事件的概念
一、 随机现象 二、 随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念
五、事件的关系与运算
一、随机现象
自然界所观察到的现象:
1.确定性现象
确定性现象 随机现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实确例定性现象的特征
条件完全决定结果
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S {0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H,T} 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短.
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机 会而定”.
3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科.
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计