2．若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，
a>1 ． 则实数 a 的取值范围是________
解析 设函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)和函数
y＝x＋a，则函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，就是函数 y＝ax(a>0， 且 a≠1)与函数 y＝x＋a 有两个交点，由 图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点，不符合；如 图所示，当 a>1 时，因为函数 y＝ax(a>1)的图象过点 (0,1)，而直线 y＝x＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方， 所以一定有两个交点，所以实数 a 的取值范围是 a>1.
3．函数 f(x)＝ex＋2x－6 (e≈2.718)的零点属于区间(n， n＋1) (n∈Z)，则 n＝________. 1
解析 可以估算两个相邻自然数的函数值， f(1) ＝ e －
4<0，f(2)＝e2－2>0，从而可知函数 f(x)的零点位于区间 (1,2)内，故 n＝1.
4．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点为 2，则 g(x)＝bx2 －ax 的零点是 A．0,2 1 C．0，－ 2 1 B．0， 2 1 D．2，－ 2 ( C )
f(a)· f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所 以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
基础自测 1．根据下面表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为__________. (1,2) x ex x＋2 －1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5
解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f(1)· f(8)<0， 故 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
方法二
令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． (2)方法一 ∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0， f(3)＝log25－3<log28－3＝0，∴f(1)· f(3)<0， 故 f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点． 方法二 设 y＝log2(x＋2)，y＝x，在同 一直角坐标系中画出它们的图象，从图 象中可以看出当 1≤x≤3 时，两图象有 一个交点，因此 f (x)＝log2(x＋2)－x， x∈[1,3]存在零点．
§2.7
要点梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义
函数与方程 自主学习
基础知识
对于函数 y＝f(x) (x∈D)， 把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 f(b)<0 ，那么函数 y＝f(x)在区 一条曲线，并且有 f(a)· 间 (a，b) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ， 这个
c 也就是 f(x)＝0 的根．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象 与 x 轴的交 点 零点个数
故 f(x)＝2x＋x 的零点 a∈(－1,0)． ∵g(2)＝0，故 g(x)的零点 b＝2； 1 1 1 h 2 ＝－1＋ ＝－ <0，h(1)＝1>0， 2 2 1 故 h(x)的零点 c∈2，1，因此 a<c<b.
点评 本题的易错点是，学生误以需求出 a、b、c 其实 a 和 c 只需限定区间即可．
解析
由 f(2)＝2a＋b＝0，得 b＝－2a，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)． 1 令 g(x)＝0，得 x＝0，x＝－ ， 2 1 ∴g(x)的零点为 0，－ . 2
5．已知三个函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x ＋x 的零点依次为 a，b，c，则 A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 1 1 解析 由于 f(－1)＝ －1＝－ <0，在性问题常用的办法有三种：
一是用定理， 二是解方程， 三是用图象． 值得说明的是， 零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．
变式训练 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x3＋1，x∈R； 1 (2)f(x)＝x－x，x∈(0,1)．
2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并 且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)· f(b)<0，则函数 y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)使 f(c)＝0， 这个 c 就是方程 f(x)＝0 的根．这就是零点存在性定理．满 足这些条件一定有零点， 不满足这些条件也不能说就没有零 点．如图，
( B )
题型分类
题型一 例1
深度剖析
判断函数在给定区间上零点的存在性
判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 思维启迪
第 (1) 问利用零点的存在性定理或直接求出
零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交 点来求解．
(x1,0) ，
(x2,0)
Δ＝ 0
Δ<0
(x1,0)
无交点
两个
一个
无
[难点正本
疑点清源]
1．函数的零点不是点 函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根， 也就 是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，所以函 数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点 时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
